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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas (Parte 4)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 10 Um conjunto de 4 cargas iguais, de {5 \ \mu C} estão dispostas da base de uma pirâmide de base quadrada, dada na figura.

{a= \ h= \ 20 \ mm}.

Qual deverá ser a massa da carga de prova (de valor igual) para que ela flutue em equilíbrio dinâmico?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 10 .

O exercício nos apresenta uma carga de prova {(q_{o})} que está acima de um arranjo quadrado de cargas, formando assim uma pirâmide. As cargas se encontram nos vértices da pirâmide.

A carga flutua por interacção electrostática. Sendo que todas as cargas são positivas, existem forças repulsivas constantes entre as cargas.Dados

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{H= \ a= \ 20 \ mm= \ 20 \cdot 10^{-3} m}

{q_0=q_1=q_2=q_3=q_4= \ 5 \ \mu C= \ 5 \cdot 10^{-6} \ C}

{m-?}

.

Sendo que a figura geométrica é regular e simétrica, a distancia entre a carga {q_0} com as outras cargas é igual. Chamamos a esta distancia de {d}.

Veja a figura abaixo.

Considerando o triângulo rectângulo formado entre as cargas {q_1}, {q_2} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow \cdot b^2=\dfrac{a^2}{2}

Isolando {b}, teremos:

\displaystyle b=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}

Analisando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+h^2=d^2

Ou:

\displaystyle d^2=b^2+h^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{a^2}{2}+a^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{3a^2}{2}

Na carga {q_0} actuam ao todo 4 forças repulsivas, da sua interacção com as outras cargas (1, 2, 3 e 4).

Chamamos a estas forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}.

Então:

\displaystyle F_{01}=F_{02}=F_{03}=F_{04}

O facto de as distâncias serem todas iguais e de as cargas terem o mesmo valor absoluto, pela lei de Coulomb, nos leva a concluir que as forças electrostáticas de repulsão entre {q_0} e as outras cargas (1, 2, 3 e 4) são todas iguais.

Os seus módulos serão:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{d^{2}}

Substituindo {d^2}, teremos:

\displaystyle F_{01} = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{3a^{2}/2}

Calculando:

\displaystyle F_{01} = \ 9 \cdot 10^9 \dfrac{5 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{3(20 \cdot 10^{-3}) ^{2}/2}

\displaystyle \longleftrightarrow F_{01} = 375 \ N

Lembre que:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04}

\displaystyle \Rightarrow F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = 375 \ N

As forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}, além de terem o mesmo modulo, são todas respectivamente paralelas a diagonal formada pelo segmento que une as cargas que as originam. Neste caso, pela simetria do problema, todas estas diagonais formam o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Neste caso, todas estas forças formarão também o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Se inserirmos um sistema de coordenadas cartesiano em {q_0} e projectarmos as forças, as projecções destas forças no plano {xOy} vão anular-se mutuamente.

Na figura, só representamos as projecções para {F_{03}} e para {F_{04}}. Pela simetria do problema, poderemos deduzir as outras.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_1} e {q_3}.

O eixo {y} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_4} e {q_2}.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a vertical que contem o ponto O e {q_0}.

Neste caso:

  • {F_{01}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{02}} pertence ao plano {yOz},,
  • {F_{03}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{04}} pertence ao plano {zOz}.

As componentes horizontais (no plano {xOy}) anulam-se:

  • {F_{01x}} anula {F_{03x}},
  • {F_{02y}} anula {F_{04y}}.

Sobram apenas as componentes verticais. As projecçõpes verticais das forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}} podem ser calculadas pelas seguintes relação:

\displaystyle F_{01z}=F_{01z} \sin \theta

Temos de obter o ângulo {\theta}. Considerando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle tg \theta = \dfrac{h}{b} \Rightarrow \theta = arctg \dfrac{h}{b}

Substituindo {h} e {b} pelos seus valores, obtemos:

\displaystyle \theta = arctg \dfrac{a}{a/\sqrt{2}}

\displaystyle \Rightarrow \theta = arctg \sqrt{2}

\displaystyle \Rightarrow \theta = 54,7^o

Sabemos que, pela simetria do problema {F_{01z}=F_{02z}=F_{03z}=F_{04z}}. Então:

\displaystyle F_{01z}=F_{01} \sin \theta = 375 cos 54,7^o

\displaystyle F_{01z}=216,7 \ N

As resultante das componentes verticais será igual a força eléctrica resultante em {q_0}, que chamamos de {F_{el}}.

Neste caso:

\displaystyle F_{el}=F_{01z} + F_{02z} +F_{03z} + F_{04z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot F_{01z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot 216,7

\displaystyle F_{el}=866,8 \ N

Para quê a carga de prova flutue em equilíbrio dinâmico é necessário que a força eletrostática resultante que atua nela seja igual a força de gravidade:

\displaystyle F_{el} \ = \ F_{g}

Então:

\displaystyle F_{el} \ = \ m \ . \ g

Ou:

\displaystyle \ m \ . \ g = F_{el}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{F_{el}}{g}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{866,8}{9,8}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \ 88,44 \ kg

Exercício 11 Uma carga de prova {q_0= \ 10 \ \mu C} de massa depressível, esta presa numa mola também de massa depressível, com constante {K'= \ 10 \ N/m}, conforme a figura abaixo.

Uma outra carga {q_1 \ =50 \ \mu C} é fixada abaixo desta. qual devera ser a distância entre as cargas para que a mola seja comprimida em 3 cm.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 11 .

O sistema apresenta um arranjo de cargas, onde a carga {q_0} está presa a uma mola. Actuam nela a força eléctrica {F_{01}} e a força elástica {(F_k)}.

A mola está comprimida devido a força de repulsão. A massa da mola é depressível. {K'}-constante elástica e {K}– constante electrostática. O uso de {K'} em vez do habitual {K} para a constante elástica da mola é para distingui-lo da constante electrostática do meio {K}.

As duas cargas são positivas, logo a força de interacção entre elas é de repulsão. Esta força tenderá a comprimir a mola. A compressão termina quando se atinge o equilíbrio entre a força deformadora (força eléctrica) e a força restauradora (força elástica).

Aplicaremos a condição de equilíbrio, substituiremos a força eléctrica pela relação obtida da lei de Coulomb, e isolaremos a distância d.

Dados

{K'= \ 10 \ N/m}

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{x= \ 3 \ cm= \ 3 \cdot 10^{-2}}

{q_0= \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}

{q_1= \ 50 \ \mu C= \ 50 \cdot 10^{-6} \ C}

{d-?}

Sabemos que, pela lei de Hook:

\displaystyle F_{k}=K' \cdot x (

Sabemos também, pela Lei de Coulomb, que:

\displaystyle F_{01}=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

.

Considerando que na carga {q_0} as duas forças estão em equilíbrio, temos:

\displaystyle \vec{F_{k}}+\vec{F_{01}}=0

Em módulo, teremos:

\displaystyle F_{k}-F_{01}=0

\displaystyle \Rightarrow F_{k}=F_{01}

Substituindo as forças pelas suas relações, temos:

\displaystyle K' \cdot x=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

Passando o {d^2} no membro esquerdo e a {K' \cdot x} para o membro direito, obtemos:

\displaystyle d^2=\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}}

Substituindo os valores:

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 50 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot (3 \cdot 10^{-2})}}

\displaystyle d= \ 3, 87 \ m

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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 2)

 

Exercício 11 Três espelhos interceptam-se em ângulos rectos.Um feixe de luz atinge o primeiro deles com um ângulo {\theta} (ver figura ao lado) .a)Mostre que quando esse raio é refletido pelos outros dois espelhos e cruza o raio original,o ângulo entre esses dois raios será {\alpha = \ \ 180^{o}-2\theta} e determine o ângulo {\theta} para o qual os dois raios serão perpendiculares quando se cruzam?

.NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 11 .

Redesenhando a figura. Na figura o ponto de intersecção entre o raio incidente e o primeiro espelho espelho chamamos de {B}.

O raio que se reflecte deste ponto vai incidir no outro ponto do segundo espelho, que chamamos de {C}.

Raio reflectido do ponto {C} vai incidir no outro ponto do terceiro espelho que chamamos de {D}.

O raio reflectido do ponto {D} vai cruzar-se com o raio incidente num ponto que chamamos {A}.

O ângulo de incidência e reflexão no ponto {C} chamamos de {z}. O complementar de {z} chamamos de {\varphi}.

O ângulo de incidência e reflexão no ponto {D} chamamos de {\beta}. O complementar de {\beta} chamamos de {\Psi}.

O complementar de {\theta} chamas de {\chi}.

Marcamos ainda os .s é eficaz conforme indicado na figura.

Da figura, no ponto B, analisando entre o espelho e a sua normal, temos:

\displaystyle \chi \ + \theta = \ \ 90^{o}

pelo triângulo BHC, pelo teorema da soma dos ângulos internos, temos temos :

\displaystyle \chi \ + \varphi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}

\displaystyle \chi \ + \varphi = \ \ 90^{o}

Subtraindo ambas equações dos passos anteriores, obtemos :

\displaystyle \varphi = \ \theta

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo CDG, temos :

\displaystyle \varphi \ + \Psi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}

\displaystyle \varphi \ + \Psi = \ \ 90^{o}

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo ADF, temos :

\displaystyle y \ + \ 90^{o} \ + \Psi = \ \ 180^{o} \Rightarrow

\displaystyle y \ + \Psi = \ \ 90^{o}

Subtraindo esta última pela equação do passo anterior, obtemos :

\displaystyle y = \ \varphi

Como {\varphi = \ \theta}, obtermos:

\displaystyle y = \ \theta

No quadrilátero {ABCD} temos :

\displaystyle 2y \ + \alpha = \ \ 180^{o} \Rightarrow \alpha = \ \ 180^{o} \ - \ 2y

Substituindo {y = \ \theta}, obtemos:

\displaystyle \alpha = \ 180^{o} \ - \ 2\theta

Exercício 12 Um feixe de luz emitido por um laser,incide sobre a superfície da água de um aquário,como representado nesta figura :

O fundo desse aquário é espelhado ,a profundidade da agua é de 40 cm e o ângulo de incidência do feixe de luz é de {50^{o}}. Qual é a distância entre os pontos A e C da figura?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 12 .

Dados

{n_{agua} = \ \ 1,33}

{h = \overline{BO}= \ \ 40 \ cm}

{\varphi = \ \ 50^{o}}

{ \overline{AC} \rightarrow \ ?}

.

No problema, a luz incide a partir do ar para a água. Toca na água no ponto A e refracta-se na água. É reflectida no ponto B(no espelho que está no fundo) e retorna à superfície de separação água-ar. No ponto C, faz refracção novamente para o Ar.

Para acharmos a distância AC devemos calcular o ângulo que o feixe de luz faz com a normal na água (usando a lei de Snell-Descartes), e combinando estes valores com a profundidade, no triângulo ABC.

.

Redesenhando a figura,temos :

Pela lei de Snell, no ponto A, podemos determinar o ângulo de refração. Temos :

\displaystyle n_{ar} \ sen 50^{o} = \ \ n_{agua} \ . sen \theta

Isolando o seno, no membro esquerdo, temos:

\displaystyle sen \theta = \ \dfrac{n_{ar} \ sen 50^{o}}{n_{agua}} = \ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}

\displaystyle \Rightarrow \theta =\ arcsen({ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}}) = \ 35,15^{o}

Se considerarmos o ponto médio do segmento {\overline{AB}}, que chamamos de {D}, então o triângulo ABD é rectângulo. O ângulo interno do vértice B é igual a {\theta } e {\overline{AD}=\overline{AC}/2}. Então:

\displaystyle tg \theta= \ \dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}} = \ \dfrac{\dfrac{\overline{AC}}{2}}{h} = \ \dfrac{\overline{AC}}{2h}

\displaystyle \Rightarrow \overline{AC} = \ 2h \ . \ tg \theta

Substituindo valores, obtemos:

\displaystyle \overline{AC} = \ 2 \ . \ 40 \ cm \ . \ tg \ (35,15^o) \Rightarrow \overline{AC} = \ 56,37 \ cm

.

Exercício 13 Um rapaz em repouso na rua,vê sua imagem reflectida por um espelho plano preso verticalmente na traseira de um autocarro que se afasta com a velocidade escalar constante de {20 \ m/s}. Qual é a velocidade de afastamento da imagem em relação ao rapaz?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 13 Neste problema temos de analisar não só a velocidade com o espelho se afasta do rapaz, mas também a velocidade com que a sua imagem (que o espelho produz) se afasta dele.

O melhor raciocínio mais simplificado, consiste em estabelecer o espelho como referencial de analise e depois achar a velocidade relativa.

A medida que o autocarro se move para a direita, automaticamente o espelho também se move para a direita. como o movimento é relativo, podemos considerar que o autocarro e o espelho estão em repouso e o rapaz ({AB}) é que se está a mover no sentido oposto (para a esquerda), com a mesma velocidade.

Se o rapaz, que é o nosso objecto óptico({AB}), se move para esquerda com velocidade v, então a sua imagem formada pelo espelho ({A'B'}) se afasta do espelho para direita com velocidade {v'}.

Vamos estabelecer as equações do movimento no 1ª referencial (com origem no espelho) e depois amos fazer a transformação de Galileu par o 2º Referencial (com origem no rapaz). Veja a figura.

Pela lei da reflexão, em qualquer momento:

\displaystyle \Delta x_{e} = \Delta x_{i}

Portanto :

\displaystyle -v \cdot t = v' \cdot t

\displaystyle \Rightarrow -v = v'

\displaystyle \Rightarrow |v| = |v'|

Então , neste referencial (Referencial 1), temos:

\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} - v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref1}=0

\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} + v.t

.

Se estabelecermos um novo referencial (no rapaz), então este referencial 1 (com origem no espelho) está em movimento em relação ao novo referencial 2 (com origem no rapaz), com velocidade v.

A transformação de galileu diz que: {x_{Ref2}=x_{Ref 1} - v. t}.

Então para o rapaz( que no referencial 1 estava em movimento regressivo com velocidade v) teremos:

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{Rap-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=(x_{0Rap}-v.t) + v. t

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{0Rap}

Neste novo referencial, o rapaz está repouso.

.

Para o espelho/autocarro( que no referencial 1 estava em repouso na origem) teremos:

\displaystyle x_{Esp-Ref2}=x_{Esp-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref2}=0 + v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref2}= v. t

Neste novo referencial, o espelho/autocarro estão em movimento com velocidade v (conforme enunciado).

Para a imagem (que no referencial 1 estava em movimento progressivo com velocidade v) teremos:

\displaystyle x_{Im-Ref2}=x_{Im-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Im-Ref2}=(x_{0Im}+v.t) + v. t

\displaystyle x_{Im-Ref2}= x_{0Im} + 2 v t

Neste novo referencial,imagem está em movimento com velocidade 2v .

Neste caso, a velocidade da imagem é:

\displaystyle v_{im}= \ 2.v= \ 2.20=40 \ m/s

Exercício 14 Um nativo de uma aldeia pesca em uma lagoa de água transparente. Para isso usa uma lança. Ao observar um peixe, ele atira a sua lança na direcção em que o observa. O jovem está fora da água e o peixe está em 1 m abaixo da superfície. O peixe está a uma distancia horizontal de {0,9 \ m} do ponto aonde a lança atinge a superfície da água. Para essas condições determine :

a)O ângulo {\alpha},de incidência da luz na superfície da agua-ar.

b)O ângulo {\beta} que a lança faz com a superfície da água quando tenta alcançar o peixe.

c)A profundidade aparente y,da superfície da água em que o nativo vê o peixe.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 14

Dados

{n_{ar} = \ \ 1}

{n_{agua} = \ \ 1,33}

{\alpha \ - \ ?}

{\beta \ - \ ?}

{y = \ \overline{DE} - \ ?}

Neste problema, temos analise baseadas na refracção da luz. O Peixe está no Ponto O nativo, na beira do rio, vê como se o peixe estivesse no ponto D (que é a imagem virtual do ponto C) formada pela refracção da luz na superfície. O ponto A é o ponto onde ocorre a refracção. O ângulo {\alpha} é o ângulo de incidência da luz que sai do peixe e incide no ponto A. O ângulo {\theta } é o ângulo de refracção da luz no ponto A. ângulo {\beta } é complementar de {\theta}

  1. Para encontramos o ângulo {\alpha}, vamos aplicar a relação para as razões trigonométricas no triângulo rectângulo ABC. Sendo {\overline{AB}} cateto adjacente, {\overline{BC}} cateto oposto e{\overline{AC}} a hipotenusa, teremos:

    \displaystyle tg \alpha = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \ \dfrac{0,9}{1}

    \displaystyle \Rightarrow \alpha =arctg ( \ \dfrac{0,9}{1})= \ 41,99^{o}

    \displaystyle \alpha = \ 41,99^{o}

  2. Como {\beta} é o complementar de {\theta}, então, acharemos primeiro o {\theta} e com ele acharemos o {\beta}. O {\theta} será obtido pela lei da refracção:

    \displaystyle n_{ar} \ sen \theta = \ \ n_{agua} \ sen \alpha

    Insolando o seno de { \theta }, temos:

    \displaystyle \ sen \theta = \ \ \dfrac{ \ n_{agua} \ . \ sen \alpha}{n_{ar}} = \ \dfrac{ \ 1,33. \ sen(41,99)}{1}

    Neste caso:

    \displaystyle \theta = arcsen ( \dfrac{1,33. \ sen(41,99)}{1})

    \displaystyle \Rightarrow \theta = \ \ 62,85^{o}

    Como {\theta \ + \beta = \ \ 90^{o}}, então:

    \displaystyle \beta = \ \ 90^{o} \ - \theta = \ \ 90^{o} \ - \ 62,85^{o}

    \displaystyle \Rightarrow \beta = \ 27,15^{o}

  3. A profundidade aparente do peixe, neste caso, corresponde ao segmento {\overline{DE}}. Para achar o seu valor, usaremos o triângulo ADE. Para este triângulo, temos:

    \displaystyle tg \beta = \ \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \ \dfrac{y}{x}

    \displaystyle \Rightarrow y = \ x \ tg \ (\beta)

    \displaystyle \Rightarrow y = \ 0,9\ tg \ ( 27,15^{o})

    \displaystyle y = \ 0,46 \ m

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1.1. Generalidades do MHS (Parte 1)

— 1. Oscilações —

— 1.1. Generalidades do MHS —

Exercício 1 .

A equação de um MHS é dada por { x=0,5 \sin 10 \pi t (SI)}.

Determina o número de ciclos feitos em { 10 \ s } de oscilação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

A equação de um MHS é geralmente dada na forma { x= A \cdot \sin (\omega \cdot t+\varphi_0 }. .

Comparando, termo a termo, com a equação dada no enunciado, temos que:

\displaystyle A=0,5 \ m

\displaystyle w=10 \ \pi \ rad/s

\displaystyle \varphi_0=0 \ rad

As unidades dos resultados estão no SI pois o enuanciado assim indica.

Para conseguir calcular o número de ciclos feitos em { 10 \ s} precisasse saber quantas oscilações são feitas em {1 \ s} (a frequência da oscilação).

Para o MHS, {\omega} é dado por:

\displaystyle \omega=2 \pi \cdot f

Logo:

\displaystyle \omega=2 \cdot \pi \cdot f

Substituindo o valor de {\omega} dos dados, obtemos:

\displaystyle 10 \pi = 2 \cdot \pi \cdot f

Isolando {f}:

\displaystyle f= \frac{10 \pi}{2 \pi}=5 \ Hz

Ou seja, em cada segundo são realizadas 5 oscilações. Para o MHS, a frequência é definida por:

\displaystyle f= \frac{N}{t}

\displaystyle \Rightarrow N= f \cdot t

substituindo valores, obtemos:

\displaystyle N=5 \cdot 10

Em { 10 \ s} de oscilações são realizados 50 ciclos.

.

Exercício 2 Uma partícula realiza um MHS, cuja equação horária é { x=5 \cos (\dfrac{\pi}{4} t } SI.

  1. Determine o período do MHS.
  2. Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 2 .

Este exercício está relacionado com o movimento harmónico simples. Determinaremos o período pela relação entre período e frequência angular. Determinaremos a velocidade derivando a equação da posição, dada no enunciado.

  1. A equação horária de um MHS pode ser dada na forma { x=A \cos(\omega t+\varphi_0)}.Comparando, termo a termo, com a equação dada no enunciado ({x=5 \cos (\dfrac{\pi}{4} t }), obtemos:

    \displaystyle \omega=\frac{\pi}{4} \ rad/s

    Sabendo que { \omega=\frac{2\pi}{T} },logo:

    \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}

    Substituindo os dados:

    \displaystyle t= \frac{2\pi}{\pi /4}

    \displaystyle T=8 \ s

  2. Para se esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo precisamos construir uma tabela que relaciona as duas grandezas({v} e {t}).Para isso, precisamos escrever a equação da velocidade em função do tempo.
    Sabe-se que a velocidade é dada pela derivada da posição em função do tempo, temos:

    \displaystyle v=\frac{dx}{dt}

    \displaystyle \Rightarrow v=\frac{d}{dt} [5 \cos(\frac{\pi}{4}t)]

    \displaystyle \Rightarrow v= -5 \cdot \frac{\pi}{4} \sin ( \frac{\pi}{4}t)

    \displaystyle v= -1,25\pi \sin (\frac{\pi}t)

A tabela será construida atribuindo diversos valores a {t} e calculando os valores correspondentes de {v}. Escolhemos os valores de {t} de 0, 2, 4, 6, 8 e 10 s.

Lançando os valores num sistema de coordenadas cartesianos {(t;v)} e interpolando os pontos, obtemos um gráfico similar ao da figura abaixo:

Nota: Ao interpolarmos os pontos, fazemos um ajuste sinusoidal, pois sabemos que a dependência de {v} em relação a {t} é .

Exercício 3 .

Uma partícula descreve um MHS segundo a equação {x=0,5 \cos( \pi / 3+2 \pi t) }, no SI.Obtenha.

  1. A correspondente equação da velocidade.
  2. O módulo da máxima velocidade atingida por essa partícula.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 3 .

Este exercício está relacionado com o Movimento Harmónico Simples. Nos é dada a equação horária do MHS para acharmos a equação horária da velocidade e a velocidade máxima. A equação horária da velocidade será obtida pela derivada da função horária da posição. A velocidade máxima é obtida na amplitude da função horária da velocidade.

  1. A equação da velocidade de uma partícula em MHS é dada pela derivada da equação da posição em função do tempo, ou seja:

    \displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}x

    \displaystyle \Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}[0,5 \cos(\frac{\pi}{3} +2 \pi t)]

    Derivando, obtemos:

    \displaystyle v{t}=-0,5 \cdot 2 \pi \sin( \frac{\pi}{3} +2 \pi t)

    \displaystyle \Rightarrow v_{t}=-\pi \sin(\frac{\pi}{3} +2 \pi t)

  2. A velocidade num MHS é máxima quando { \sin( \varphi_0+ \omega)=1}. Logo:

    \displaystyle v_{max}=\pi \ m/s

Exercício 4 .

Considere o MHS dado no gráfico. Escreva sua equação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 4 .

O Problema ilustra o gráfico de {x(t)} de um MHS. Para escrevermos a equação deste MHS, devemos determinar em primeiro lugar os seus parâmetros ({A}, {\omega} e {\varphi_0}). Estes parâmetros são determinados no gráfico.

A amplitude é a distancia vertical máxima entre o maior valor e o valor de equilíbrio (ou médio). No caso, como a função é simétrica em relação ao eixo de {t} (valor de equilíbrio é 0), então a amplitude é o maior valor de x a se registar na curva.

O período pode ser determinado como o tempo entre duas passagens sucessivas num máximo ou num mínimo. Como o gráfico não ilustra nem duas passagens pelo máximo, nem duas passagens pelo mínimo, então, então vamos usar o semi-período (metade do período)que é o tempo de passagem de um máximo para um mínimo ou vice-versa. á fase é obtida pela relação do valor inicial é relação ao valor máximo (considerando o momento de oscilação: subida ou descida.

A equação do movimento de um MHS é dada na forma { x = A \sin (\omega t + \varphi_0)}.

Com base na análise, é possível concluir que:

A amplitude { A=3 \ cm} ou { A=0,03 \ m} .

No momento inicial, o corpo se encontra no máximo positivo, e como estamos a considerar uma função seno. Neste caso, a função seno atinge exactamente o valor máximo quando o argumento é {90^o=\pi / 2 \ Rad}. Neste caso, para obter a fase inicial, teremos:

\displaystyle \omega t + \varphi_0= \pi/2

\displaystyle \Rightarrow \omega \cdot 0 + \varphi_0= \pi/2

\displaystyle \Rightarrow \ \varphi_0= \pi/2

O corpo demora 4 segundos para sair de um extremo ao outro, ou seja, demorou 4 segundos para percorrer metade do percurso de oscilação.

Logo, os 4 segundos correspondem à metade do período da oscilação. Com isso, pode-se dizer que:

\displaystyle T/2= 4 s

\displaystyle \Rightarrow \ T= 4\cdot 2

\displaystyle \Rightarrow \ T= \ 8 \ s

Sabendo que { \Rightarrow=2 \pi /T}, logo:

\displaystyle \omega =2 \pi /8

\displaystyle \Rightarrow \omega = \frac{1}{4} \pi \ rad/s

Por fim, substituindo os dados na equação da oscilação ({ x = A \sin (\omega t + \varphi_0)}), obtemos:

\displaystyle x = 0,03 \sin (\frac{1}{4} \pi t + \dfrac{\pi }{2})

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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 1)

— 2. Exercícios sobre Geométrica —

— 2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos —

Exercício 7 Supondo que o objecto B,no instante inicial está em movimento com a velocidade de {1 \ m/s},na direcção indicada. Após quanto tempo será visível pelo espelho de vidro,pelo observador no ponto A?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 7 .

O problema a seguir trata de um problema de Campo de Visão. Pretendemos determinar após quanto tempo o corpo B é visível ao observador do ponto A, pelo espelho na parede.

.

Considerando as dimensões indicadas pelos quadriculados, e a posição do ponto A, podemos traçar os raios luminosos que partem do ponto A e se reflectem no espelho. Os raios que vão definir o campo de visão serão os raios que incidem nas extremidades do espelho. No caso os raios (1) e (2).

Traçamos os seus raios reflectidos pelo espelho, obedecendo a lei da reflexão, de modos que formem os mesmos ângulos. Neste caso, traçamos os raios (1′) e (2′) respeitando a simetria do problema. Veja a figura a seguir:

.

Neste caso, o campo de visão do observador A é a região compreendida entre os raios (1′) e (2′).

.

O Corpo B será visível pelo observador A no momento em que entra no campo de visão de A. Considerando que o corpo B se move e direcção horizontal, ele entrará no campo de visão de A, quando atingir o ponto P, que é o ponto de intercessão entre a linha da sua trajectória e o raio reflectido (1′).

Para calcularmos o tempo, devemos achar primeiramente a distancia percorrida por ele (corpo B) até chegar ao ponto P. No gráfico, podemos observar que esta distancia igual a 2 metros. Então:

{\Delta x = \ 2 m.}

Então, como estamos a avaliar o movimento como um todo, usamos as equações do MRU. Logo:

\displaystyle v = \ \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow \Delta t = \ \dfrac{\Delta x}{v} = \

\displaystyle \Rightarrow \Delta t = \dfrac{2 \ m}{1 \ m/s} \Rightarrow \Delta t = \ \ 2 s

Exercício 8 Dois espelhos planos estão dispostos de modo a formar um ângulo de {30^o} entre eles, conforme a figura abaixo. Um raio luminoso incide sobre um dos espelhos, formando um ângulo de {70^o} com a superfície. Este raio reflecte-se neste espelho e depois se reflecte no outro espelho, e cruza o raio incidente formando um ângulo {\alpha}. Qual é o valor deste ângulo{\alpha}?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8

Em primeiro lugar, devemos devemos dar nome aos pontos de referência:

  • O raio incidente identificamo-lo por 1;
  • O raio reflectido do primeiro espelho, que vai para o segundo espelho, identificamo-lo por 2;
  • O raio que sai do segundo espelho e cruza novamente com raio 1, identificamo-lo por 3;
  • O ponto de intersecção do raio 1 com o primeiro espelho, identificamo-lo por A;
  • O ponto intersecção do raio 2 com o segundo espelho, identificamo-lo por B;
  • O ponto de intersecção do raio 3 com raio 1, identificamo-lo por D;
  • O ponto de cruzamento dos dois espelhos, identificamo-lo por C.
  • O ângulo formado entre o raio 1 e o raio 2, identificamo-lo por {\beta};
  • O ângulo formado entre o raio 2 2 o espelho 1, identificamo-lo por {\varphi};
  • O ângulo formado entre o raio 2 e o segundo espelhos, identificamo-lo por {\gamma};
  • o ângulo formado entre o raio 2 e o raio 3, identificamo-lo por {\delta};
  • o ângulo formado entre o raio 3 e o espelho 2, identificamo-lo por {\gamma '}.

Queremos determinar {\alpha}, pela geometria sabemos que rectas concorrentes(rectas que se cruzam) formam dois ângulos iguais e opostos, então:

\displaystyle \alpha = \ \alpha'

Podemos determinar {\alpha'} pelo triângulo ABD. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual à {180^o}, então:

\displaystyle \alpha' + \beta + \delta = \ 180^o

O raio 1 forma um ângulo de {70^o} com o espelho {E_1} e pela lei da reflexão, por analogia, o raio 2 também forma um ângulo de {70^o} com o mesmo espelho( {\varphi = \ 70^o}).

A soma destes três ângulos {(\varphi, \ \beta \ e \ 70^o} dá um ângulo de {180^0}, então:

\displaystyle \varphi + \beta+ 70^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \beta = \ 180^o - 70^o - \varphi = \ 180^o - 70^o - 70^o \Rightarrow \beta = \ 40^o

No triângulo ABC, {\gamma} é um dos ângulos do mesmo triângulo e, como já sabemos, a soma dos três ângulos deste triângulo é igual a {180^o}. Assim podemos determinar {\gamma}:

\displaystyle \varphi + \gamma + 30^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \gamma = \ 180^o-30^o- \varphi = \ 180^o-30^o-70^o \Rightarrow \gamma = \ 80^o

Como {\gamma} é o ângulo formado pelo raio 2 e o espelho 2, pela lei de reflexão, por analogia, este ângulo é igual ao ângulo formado pelo raio 3 e o espelho 2 {\gamma'}. Desta forma podemos determinar {\delta};

\displaystyle \gamma + \delta + \gamma ' = \ 180^o \Rightarrow \delta = \ 180^o - \gamma -\gamma ' = \ 180^o - 80^o - 80^o \Rightarrow \delta = \ 20^o

Tendo já conhecido os valores de {\beta} e {\delta} podemos determinar {\alpha '} que consequentemente será igual à {\alpha}.

\displaystyle \alpha ' + \delta + \beta = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \alpha ' = \ 180^o - \delta - \beta = \ 180^o - 20^o - 40^o \Rightarrow \alpha ' = \ 120^o

\displaystyle \alpha ' = \ \alpha, \ logo: \ \alpha = \ 120^o

Exercício 9

Considere a figura baixo em que um ponto A está situado em frente de um espelho plano. Qual é a distância entre a imagem do ponto A e o ponto B, na figura, considerando as dimensões da escala indicada?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 9

E primeiro lugar, devemos localizar a imagem de A. Para esboçar a imagem, seguimos o seguinte raciocínio:

  1. Tracemos dois raios incidentes partindo do ponto A, que incidem no espelho 1 e 2;
  2. Sabemos que por ser um espelho plano os raios vão se reflectir sob o mesmo ângulo. Traçamos então os raios reflectidos 1′ e 2′;
  3. A partir da prolongação dos raios reflectidos pelo espelho podemos determinar a posição da imagem. Está imagem, de acordo com a formação da imagem me espelhos planos, estará à mesma distancia do espelho a que o objecto A se encontra. Neste caso a imagem estará a {1 m} de distância do espelho.

.

A distância entre a imagem de A (A’) e o ponto B é o segmento:{\overline{A'B}}.

Considerando a escala em quadriculado, podemos considerar o triângulo rectângulo (A’BP). Neste caso, {\overline{A'B}} é a hipotenusa do triângulo rectângulo.

Então:

\displaystyle \overline{A'B}^2 = \ \overline{A'P}^2+\overline{PB}^2

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{8^2+3^2}

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{73}

\displaystyle \overline{A'B} = \ 8,544 m

Exercício 10 A distância entre A e o espelho plano {E_1} é de 20 cm. A distância entre o mesmo ponto e o outro espelho plano {E_2} é de 40 cm. Sendo o ângulo {\theta = \ 30^o}. Determine a distância entre a posição da imagem do ponto A formada pelo espelho {E_1} e a imagem do mesmo ponto formada pelo espelho {E_2}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10

Em primeiro lugar devemos encontrar as imagens formadas pelos espelhos {E_1} e {E_2}.

Sabemos que, nos espelhos planos, a imagem é formada no lado oposto ao espelho, na direcção da perpendicular ao espelho que passa pelo objecto em causa (A) e fica situada a uma distância igual a distância entre objecto e o espelho.

Usando isso, podemos encontrar uma imagem do objecto a ser formado pelo espelho {E_1} (que designamos de {4}) e pelo espelho {E_2} (que designamos {C}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem B (Segmento {\overline{AB}}) e o próprio espelho {E_1} identificamos por {B'}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem C (Segmento {\overline{AC}}) e o próprio espelho {E_2} identificamos por {C'}.

Então pela formação de imagens em espelhos planos sabemos que {\overline{AB'}=\overline{B'B}} e que {\overline{AC'}=\overline{C'C}}.

A distância que deseja determinar corresponde ao segmento {\overline{BC}}.

Consideremos {\overline{AB} = \ a}, distância entre o objecto e a imagem formada pelo espelho {E_1}, e {\overline{BC} = \ d}, distância entre as duas imagens.

As imagens são formadas pela prolongação dos raios incididos perpendicularmente aos espelhos. Neste caso o ângulo entre cada espelho e o seu respectivo raio incidido é igual à {90^o}.

Por se tratar de espelhos planos, a distância entre cada imagem e o espelho que forma esta imagem é igual à distância entre o objecto e o respectivo espelho. Então:

\displaystyle \overline{BB'} = \ \overline{AB'} = \ 20 \ cm \Rightarrow \overline{AB} = \ a = \ 2\overline{AB'} = \ 2 \cdot 20 \ cm = \ 40 \ cm

\displaystyle \overline{CC'} = \ \overline{AC'} = \ 40 \ cm \Rightarrow \overline{AC} = \ b = \ 2\overline{AC'} = \ 2 \cdot 40 \ cm = \ 80 \ cm

Podemos determinar {\overline{BC} = \ d} pela lei dos cossenos:

\displaystyle d^2 = \ a^2+b^2-2ab \cos \alpha

Mas precisamos antes determinar {\alpha}. {\alpha} é um dos ângulos internos do quadrilátero AB’C’D. Pela geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual à {360^o}. Então:

\displaystyle \theta + 90^o + \alpha + 90^o = \ 360^o \Rightarrow \alpha = \ 360^o - 180^o - \theta

Sabendo que {\theta = \ 30^o}, teremos:

\displaystyle \alpha = \ 360^o - 180^o -30^o \Rightarrow \alpha = \ 150^o

Assim, já podemos calcular o valor da distância entre as imagens formadas pelos dois espelhos:

\displaystyle d^2 = \ a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha\Rightarrow d = \ \sqrt{a^2+b^2-2ab \cos \alpha}

\displaystyle a = \ 40 \ cm, \ b = \ 80 \ cm , \ \alpha = \ 150^o

Então:

\displaystyle d = \ \sqrt{(40)^2 + (80)^2 - 2 \cdot 40 \cdot 80 \ \cdot (\cos 150^o)}= 116,37 \ cm

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