Início » Posts tagged 'parênteses de Poisson'
Tag Archives: parênteses de Poisson
Mecânica Quântica – Revisões VI
— 19. Resolução de Exercícios —
Exercício 2 Escolha o conjunto de coordenadas generalizadas que especifica totalmente o estado mecânico de cada um dos sistemas:
|
Exercício 3 Derive as transformações de equações para um pêndulo duplo.
Temos: |
Exercício 4 Mostre que é:
Temos
Que é o resultado pretendido |
Exercício 5 Considere um conjunto de partículas que descrevem um incremento nas suas coordenadas generalizadas. Derive a seguinte expressão para o trabalho total realizado pela força que actua no sistema e interprete fisicamente o factor .
Primeiro vamos notar que é Para é
e é a força generalizada. |
Exercício 6 Mostre que .
Temos e Logo Uma vez que são linearmente independentes (ou se preferir, são arbitrários) vem que . |
Exercício 7 Derive o lagrangiano de um pêndulo simples e obtenha as equações de movimento
A coordenada generalizada para o pêndulo simples é e as equações de transformação de coordenadas são and . A energia cinética é . A energia potencial é . Assim o lagrangiano é Uma vez que temos e E a equação de Euler-Lagrange fica
|
Exercício 8
Duas partículas de massa estão ligadas entre si e a duas paredes por molas de constante . As partículas deslocam-se ao longo de uma direcção. Use as equações de Euler-Lagrange para descrever o movimento das massas. A energia cinética é . A energia potencial é . Logo o lagrangiano é . As derivadas parciais do lagrangiano são: E as equações de Euler-Lagrange ficam: |
Exercício 9
Uma partícula de massa move-se sob a acção de um campo central e conservativo. Use coordenadas cilíndricas para derivar:
|
Exercício 10 Para um duplo pêndulo calcule:
|
Exercício 11 Uma partícula move-se no plano sujeita a uma força central que é uma função da distância entre a partícula e a origem.
|
Exercício 12
Uma partícula descreve um movimento unidimensional sujeita a uma força da forma Onde e são constantes positivas. Calcule o lagrangiano e hamiltoniano. Compare o hamiltoniano com a energia total e discuta se existe conservação de energia para este sistema. Uma vez que vem que . Para a energia cinética é . Assim o lagrangiano é Ora . E o hamiltoniano é Uma vez que o sistema não é conservativo. Uma vez que sabemos que é . |
Exercício 13
Considere duas funções das coordenadas generalizadas e os momentos generalizados, e . O parênteses de Poisson é definido como: Mostre que as seguintes propriedades do parênteses de Poisson são válidas:
Se o parênteses de Poisson entre duas funções é nulo então dizemos que as duas funções comutam. |