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1.1. Generalidades do MHS (Parte 1)

— 1. Oscilações —

— 1.1. Generalidades do MHS —

Exercício 1 .

A equação de um MHS é dada por { x=0,5 \sin 10 \pi t (SI)}.

Determina o número de ciclos feitos em { 10 \ s } de oscilação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

A equação de um MHS é geralmente dada na forma { x= A \cdot \sin (\omega \cdot t+\varphi_0 }. .

Comparando, termo a termo, com a equação dada no enunciado, temos que:

\displaystyle A=0,5 \ m

\displaystyle w=10 \ \pi \ rad/s

\displaystyle \varphi_0=0 \ rad

As unidades dos resultados estão no SI pois o enuanciado assim indica.

Para conseguir calcular o número de ciclos feitos em { 10 \ s} precisasse saber quantas oscilações são feitas em {1 \ s} (a frequência da oscilação).

Para o MHS, {\omega} é dado por:

\displaystyle \omega=2 \pi \cdot f

Logo:

\displaystyle \omega=2 \cdot \pi \cdot f

Substituindo o valor de {\omega} dos dados, obtemos:

\displaystyle 10 \pi = 2 \cdot \pi \cdot f

Isolando {f}:

\displaystyle f= \frac{10 \pi}{2 \pi}=5 \ Hz

Ou seja, em cada segundo são realizadas 5 oscilações. Para o MHS, a frequência é definida por:

\displaystyle f= \frac{N}{t}

\displaystyle \Rightarrow N= f \cdot t

substituindo valores, obtemos:

\displaystyle N=5 \cdot 10

Em { 10 \ s} de oscilações são realizados 50 ciclos.

.

Exercício 2 Uma partícula realiza um MHS, cuja equação horária é { x=5 \cos (\dfrac{\pi}{4} t } SI.

  1. Determine o período do MHS.
  2. Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 2 .

Este exercício está relacionado com o movimento harmónico simples. Determinaremos o período pela relação entre período e frequência angular. Determinaremos a velocidade derivando a equação da posição, dada no enunciado.

  1. A equação horária de um MHS pode ser dada na forma { x=A \cos(\omega t+\varphi_0)}.Comparando, termo a termo, com a equação dada no enunciado ({x=5 \cos (\dfrac{\pi}{4} t }), obtemos:

    \displaystyle \omega=\frac{\pi}{4} \ rad/s

    Sabendo que { \omega=\frac{2\pi}{T} },logo:

    \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}

    Substituindo os dados:

    \displaystyle t= \frac{2\pi}{\pi /4}

    \displaystyle T=8 \ s

  2. Para se esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo precisamos construir uma tabela que relaciona as duas grandezas({v} e {t}).Para isso, precisamos escrever a equação da velocidade em função do tempo.
    Sabe-se que a velocidade é dada pela derivada da posição em função do tempo, temos:

    \displaystyle v=\frac{dx}{dt}

    \displaystyle \Rightarrow v=\frac{d}{dt} [5 \cos(\frac{\pi}{4}t)]

    \displaystyle \Rightarrow v= -5 \cdot \frac{\pi}{4} \sin ( \frac{\pi}{4}t)

    \displaystyle v= -1,25\pi \sin (\frac{\pi}t)

A tabela será construida atribuindo diversos valores a {t} e calculando os valores correspondentes de {v}. Escolhemos os valores de {t} de 0, 2, 4, 6, 8 e 10 s.

Lançando os valores num sistema de coordenadas cartesianos {(t;v)} e interpolando os pontos, obtemos um gráfico similar ao da figura abaixo:

Nota: Ao interpolarmos os pontos, fazemos um ajuste sinusoidal, pois sabemos que a dependência de {v} em relação a {t} é .

Exercício 3 .

Uma partícula descreve um MHS segundo a equação {x=0,5 \cos( \pi / 3+2 \pi t) }, no SI.Obtenha.

  1. A correspondente equação da velocidade.
  2. O módulo da máxima velocidade atingida por essa partícula.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 3 .

Este exercício está relacionado com o Movimento Harmónico Simples. Nos é dada a equação horária do MHS para acharmos a equação horária da velocidade e a velocidade máxima. A equação horária da velocidade será obtida pela derivada da função horária da posição. A velocidade máxima é obtida na amplitude da função horária da velocidade.

  1. A equação da velocidade de uma partícula em MHS é dada pela derivada da equação da posição em função do tempo, ou seja:

    \displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}x

    \displaystyle \Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}[0,5 \cos(\frac{\pi}{3} +2 \pi t)]

    Derivando, obtemos:

    \displaystyle v{t}=-0,5 \cdot 2 \pi \sin( \frac{\pi}{3} +2 \pi t)

    \displaystyle \Rightarrow v_{t}=-\pi \sin(\frac{\pi}{3} +2 \pi t)

  2. A velocidade num MHS é máxima quando { \sin( \varphi_0+ \omega)=1}. Logo:

    \displaystyle v_{max}=\pi \ m/s

Exercício 4 .

Considere o MHS dado no gráfico. Escreva sua equação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 4 .

O Problema ilustra o gráfico de {x(t)} de um MHS. Para escrevermos a equação deste MHS, devemos determinar em primeiro lugar os seus parâmetros ({A}, {\omega} e {\varphi_0}). Estes parâmetros são determinados no gráfico.

A amplitude é a distancia vertical máxima entre o maior valor e o valor de equilíbrio (ou médio). No caso, como a função é simétrica em relação ao eixo de {t} (valor de equilíbrio é 0), então a amplitude é o maior valor de x a se registar na curva.

O período pode ser determinado como o tempo entre duas passagens sucessivas num máximo ou num mínimo. Como o gráfico não ilustra nem duas passagens pelo máximo, nem duas passagens pelo mínimo, então, então vamos usar o semi-período (metade do período)que é o tempo de passagem de um máximo para um mínimo ou vice-versa. á fase é obtida pela relação do valor inicial é relação ao valor máximo (considerando o momento de oscilação: subida ou descida.

A equação do movimento de um MHS é dada na forma { x = A \sin (\omega t + \varphi_0)}.

Com base na análise, é possível concluir que:

A amplitude { A=3 \ cm} ou { A=0,03 \ m} .

No momento inicial, o corpo se encontra no máximo positivo, e como estamos a considerar uma função seno. Neste caso, a função seno atinge exactamente o valor máximo quando o argumento é {90^o=\pi / 2 \ Rad}. Neste caso, para obter a fase inicial, teremos:

\displaystyle \omega t + \varphi_0= \pi/2

\displaystyle \Rightarrow \omega \cdot 0 + \varphi_0= \pi/2

\displaystyle \Rightarrow \ \varphi_0= \pi/2

O corpo demora 4 segundos para sair de um extremo ao outro, ou seja, demorou 4 segundos para percorrer metade do percurso de oscilação.

Logo, os 4 segundos correspondem à metade do período da oscilação. Com isso, pode-se dizer que:

\displaystyle T/2= 4 s

\displaystyle \Rightarrow \ T= 4\cdot 2

\displaystyle \Rightarrow \ T= \ 8 \ s

Sabendo que { \Rightarrow=2 \pi /T}, logo:

\displaystyle \omega =2 \pi /8

\displaystyle \Rightarrow \omega = \frac{1}{4} \pi \ rad/s

Por fim, substituindo os dados na equação da oscilação ({ x = A \sin (\omega t + \varphi_0)}), obtemos:

\displaystyle x = 0,03 \sin (\frac{1}{4} \pi t + \dfrac{\pi }{2})

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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Resolução de Exercícios – Movimento Circular Uniforme

— 1. Introdução —

A pedido de uma participante de um grupo de facebook do qual a Luso Academia é um membro propomos as seguintes resoluções para os exercícios apresentados.

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Um corpo executa um movimento harmónico simples, e as suas posições são observadas numa régua graduada em centímetros posicionada atrás do corpo. Inicialmente, em {t=0\,\mathrm{s}}, a posição ocupada pelo corpo na régua de {8,0\,\mathrm{cm} } corresponde à máxima elongação. em {t=0,1 \pi\,\mathrm{s}} o corpo passa pela primeira vez na posição {2,0\,\mathrm{cm}} com velocidade nula.

Determine o módulo da aceleração máxima do corpo nesse movimento.

Como sabemos as equações de movimento para o movimento harmónico simples podem ser escritas do seguinte modo:

  • {x(t)=A\cos(\omega t)}
  • {v(t)=-A\omega\sin(\omega t)}
  • {v(t)=-A\omega ^2\cos(\omega t)}

Assim sendo o módulo da aceleração máxima deste movimento é dada por {A\omega ^2} sendo que nos resta determinar os valores para {A} e {\omega}.

Pelo enunciado sabemos que para {t=0} é válido o seguinte

\displaystyle  x(0)=A\cos(\omega 0)=8 \Rightarrow A\cos (0)=8 \Rightarrow A=8

Também pelo enunciado sabemos que para a equação de velocidade é válido o seguinte:

\displaystyle  v(0,1\pi)=-8\omega\sin(0,1\pi \omega)=0

o que implica que o argumento da função seno tem que ser igual a {\pi}, pois a velocidade é nula.

Assim é

{\begin{aligned} \omega &= \frac{\pi}{0,1\pi} \\ &=\frac{1}{0,1} \\ &= 10 \end{aligned}}

Após calcularmos o valor de {A} e de {\omega} podemos então calcular o valor do módulo da aceleração máxima.

{\begin{aligned} |a_{max}| &= A\omega ^2 \\ &=8\times 100^2 \\ &= 800\,\mathrm{m/s^2} \end{aligned}}

Exercício 2 Um movimento circular uniforme de raio {R=40\,\mathrm{cm}} possui velocidade tangencial {2,0\,\mathrm{m/s}} e um ângulo inicial de {30 ^\circ } em relação ao eixo {x} girando no sentido anti-horário.

Considerando o MHS descrito pela projecção desse movimento no eixo {x}, determine a função velocidade do MHS (nas unidades do Sistema Internacional.

Uma vez que neste exercício faz sentido considerar uma fase inicial vamos escrever as equações de movimento na forma:

  • {x(t)=R\cos(\omega t -\varphi)}
  • {v(t)=-R\omega\sin(\omega t-\varphi)}
  • {v(t)=-R\omega ^2\cos(\omega t-\varphi)}

Pelo enunciado sabemos que para {v(0)} é válido o seguinte

{\begin{aligned} 2 &= -40\omega\sin(-\pi /6) \\ 2 &= 40\omega\sin(\pi /6) \\ 2 &= 40\omega\frac{1}{2} \\ 2 &=20\omega \end{aligned}}

Assim sendo temos que a velocidade angular é dada por

\displaystyle  \omega = 0,1 \mathrm{rad} /s

Assim a expressão para a velocidade fica

\displaystyle  v(t)=-4\sin\left(0,1t-\dfrac{\pi}{6}\right)

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