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Análise Matemática – Limites e Continuidade V

A condição {\epsilon\delta}, por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição {\epsilon\delta} para limites e a definição {\epsilon\delta} para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.

De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição {\epsilon\delta}.

— 4.7. {\epsilon\delta} para continuidade —

Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.

Seja {f(x)=\alpha} (que é uma função obviamente contínua!).

O ponto de utilizarmos o argumento {\epsilon\delta} para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do {\delta} escolhido conseguimos sempre encontrar um {\epsilon} que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.

Voltando à nossa função {f(x)=\alpha} vem que {|f(x)-f(c)| < \delta}. Neste caso temos {f(x)=f(c)=\alpha}. Assim

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha-\alpha| &< \delta \\ |0| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}

Que é trivialmente válido, uma vez que {\delta > 0} por hipótese. Assim qualquer valor positivo de {\epsilon} satisfaz o critério de Heine para a continuidade e {f(x)=\alpha} é contínua em {c}.

Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a {c} para além de que {c \in {\mathbb R}} podemos concluir que {f(x)=\alpha} é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Vamos agora analisar {f(x)=x} e novamente vamos estudar a continuidade no ponto {c} ({f(c)=c}):

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |x-c| &< \delta \end{aligned}}

A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma {x-c} (a primeira parte do critério {\epsilon\delta}).

Se tomarmos {\epsilon=\delta} fica então {|x-c| < \epsilon} o que completa a nossa demonstração que {f(x)=x} é contínua em {c}.

Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de {c} para além de que {c \in {\mathbb R}} e como tal concluímos que {f(x)=x} é contínua no seu domínio.

Vamos agora olhar para funções da forma {f(x)=\alpha x + \beta} e estudar a continuidade de {f(x)} em {c}.

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha x + \beta-(\alpha c + \beta)| &< \delta \\ |\alpha x -\alpha c| &< \delta \\ |\alpha||x-c| &< \delta \\ |x-c| &< \dfrac{\delta}{|\alpha|} \end{aligned}}

Se tomarmos {\epsilon=|\delta|/ |\alpha|} vem que {|x-c|< \epsilon} e {f(x)=\alpha x + \beta} é contínua em {c}.

Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função {f(x)=\sin x}.

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\sin x-\sin c| &< \delta \end{aligned}}

Uma vez que queremos algo da forma {|x-c| < g(\delta)} a última expressão não nos é útil.

Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.

Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.

{\begin{aligned} |\sin x-\sin c| &= 2\left| \cos\left( \dfrac{x+c}{2}\right)\right| \left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right|\\ &< 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| \end{aligned}}

Uma vez que {x \rightarrow c} sabemos que em algum momento {\dfrac{x-c}{2}} vai estar no primeiro quadrante. Assim

{\begin{aligned} 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| &< 2\left|\dfrac{x-c}{2}\right| \\ &= |x-c|\\ &< \epsilon \end{aligned}}

Onde a última desigualdade é válida por hipótese.

Quer isto dizer que se tomarmos {\epsilon=\delta} fica {|x-c|<\epsilon \Rightarrow | \sin x - \sin x | < \delta} que é a condição {\epsilon\delta} para a continuidade.

— 4.8. {\epsilon\delta} para limites —

Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.

Seja {f(x)=2}. Queremos mostrar que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=2}.

{\begin{aligned} |f(x)-2| &< \delta \\ |2-2| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}

Que é trivialmente válido para qualquer valor de {\delta}, assim {\epsilon} pode ser um número positivo qualquer.

Seja {f(x)=2x+3}. Queremos mostrar que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=5}.

{\begin{aligned} |f(x)-5| &< \delta \\ |2x+3-5| &< \delta \\ |2x-2| &< \delta \\ 2|x-1| &< \delta \\ |x-1| &< \dfrac{\delta}{2} \end{aligned}}

Com {\epsilon=\delta/2} satisfazemos a condição {\epsilon\delta} para limites.

Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.

\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}

Nesse artigo demonstrámos que para {a \neq 0} o limite {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)} não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0} usando a condição {\epsilon\delta}:

{\begin{aligned} |f(x)-f(0)| &< \delta \\ |f(x)-0| &< \delta \end{aligned}}

Uma vez que {f(x)=0} ou {f(x)=x} vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.

No primeiro caso é {|0-0|<\delta} que é trivialmente válido e assim {\epsilon} pode ser um número positivo qualquer.

No segundo caso é {|x-0|<\delta}. Tomando {\epsilon=\delta} faz com que se respeite o critério de Heine.

Uma vez que mostramos que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0=f(0)} a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em {x=0}.

Análise Matemática – Limites e Continuidade I

— 4. Limites e Continuidade —

Após introduzirmos sucessões e ganharmos conhecimentos sobre algumas das suas propriedades (I, II, III, e IV) estamos finalmente prontos para estudar Análise Real.

— 4.1. Definições Preliminares —

A Física expressa-se de uma forma mais concisa e eficiente na linguagem da Matemática. Um conceito matemático muito útil para a Física é conceito de uma função.

Falando de forma informal uma função é uma associação (transforma um sinal de entrada de um conjunto a um sinal de saída noutro conjunto) entre os elementos de dois conjuntos.

As sucessões que estudámos são casos particulares de funções: eles tomam números naturais e mapeiam-nos para números reais.

Mais formalmente introduzimos:

Definição 24

  • Uma função, {f} é uma relação (mapeamento) entre elementos de dois subconjuntos de números reais fazendo corresponder a um elemento do primeiro conjunto, um e um só elemento do segundo conjunto.

    \displaystyle  f:D\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \ \ \ (44)

  • O conjunto {D} é o domínio da função
  • O conjunto formado pelos elementos que podem ser relacionados com o conjunto da função diz-se o contradomínio da função .

    Representamos o elemento transformado pela função por {f(x)}:

    \displaystyle   \left\lbrace f(x):x \in D \right\rbrace = f\left[ D \right] \ \ \ \ \ (45)

Por vezes estamos interessados no mapeamento de uma função não para a totalidade de {D} mas somente para um subconjunto de {D}. Assim, faz sentido introduzir:

Definição 25

Seja {E \subset D}. Então {f\left[ E \right] = \left\lbrace f(x):x \in E \right\rbrace } é o transformado de {f} por {E}.

Tal como fizemos para as sucessões podemos definir o que é uma função majorada, minorada e limitada.

A título de exemplo temos

Definição 26

{f} diz-se limitada sse {\exists \, \alpha > 0 : |f(x)| \leq \alpha \forall x \in D }

— 4.2. Introdução à Topologia —

Vamos agora introduzir de forma breve algumas noções topológicas para depois estudarmos os conceitos de limites e continuidade.

Definição 27

  • Seja {E \subset \mathbb{R}}. Dizemos que {c \in \overline{\mathbb{R}}} é um ponto limite de {E} se existe uma sucessão {x_n} de pontos em {E \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tal que {\lim x_n = c}.
  • O conjunto dos pontos limites de {E} é {E^\prime}.
  • Os pontos pertencentes a {E} que não são pontos limites dizem-se pontos isolados.

Como já vem sendo nosso hábito após introduzirmos algumas definições vamos fornecer alguns exemplos para tornar a nossa exposição mais concreta:

\displaystyle  E = \left] 0,1\right[ \cup \left\lbrace 2 \right\rbrace

É fácil ver que (e não vamos dar uma demonstração rigorosa dessa asserção) que {E^\prime= \left[ 0,1 \right] } e que {2} é o único ponto isolado de {E}.

Definição 28

  • {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^+}} denota o limite para {c} por números reais maiores que {c}.
  • {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^-}} denota o limite para {c} por números reais menores que {c}.
  • Definimos {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^+} f(x) = a} se para todas sucessões {x_n \in D} tais que {x_n \rightarrow c^+} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.

Definição 29

O símbolo {D_{c^+}} é utilizado para denotar {D \cap \left] c, \infty \right[ } e o símbolo {D_{c^-}} para denotar {D \cap \left] - \infty , c \right[ }

Como exemplo vamos calcular

\displaystyle  \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}

Neste caso é {D_{0^+} = \left] 0, \infty \right[ } e {0^+ \in D^\prime_{c^+}} pelo que o limite que vamos calcular não é despropositado.

Se {x_n} é uma sucessão de pontos em {D^\prime_{c^+}} tal que {x_n \rightarrow 0^+} então

\displaystyle \lim f(x_n)=\lim \dfrac{1}{x_n}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty

Teorema 28

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime}. Vamos admitir que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}. Então, se {c \in D^\prime_{c^+}} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a }. Se {c \in D^\prime_{c^-}} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = a }.

Demonstração:

Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D_{c^+}} tal que {x_n \rightarrow c}. Uma vez que {x_n} é uma sucessão de pontos em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } (pela nossa escolha de {x_n}) e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a} (por hipótese do teorema) vem, pela definição de limite que { \lim f(x_n)= a}.

Mas isto é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} = a} por definição.

O caso {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}} é demonstrado com um raciocínio semelhante.

\Box

Como aplicação do teorema 28 vamos calcular

\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}

É fácil ver que este limite não existe. Seja {f(x)=\dfrac{1}{x}}. Então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = -\infty}.

Uma vez que os limites laterais são diferentes podemos concluir que o limite {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}} não existe.

Definição 30

{ +\infty } é um ponto limite de {E} se {E} não é majorado em { \mathbb{R} }.

{ -\infty } é um ponto limite de {E} se {E} não é minorado em {\mathbb{R}}.

Se as definições anteriores o deixam confuso lembre-se que se {E} não é majorado, então tem-se necessariamente { \exists x_n \in E: \quad \lim x_n = +\infty } o que é a definição de ponto limite.

Definição 31

{c} diz-se ponto limite de {E} se

\displaystyle   \forall \delta > 0 \; V(c,\delta) \cap E \setminus \left\lbrace c \right\rbrace \neq \emptyset \ \ \ \ \ (46)

Definição 32

Seja {D \subset \mathbb{R} }, {f : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e { a \in \mathbb{R} }.

{f} tem limite {a} no ponto {c} se para todas sucessões {x_n \in D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tais que {\lim x_n = c} vem que {\lim f(x_n) = a}.

— 4.3. Limites e Topologia —

Só definimos o limite de uma função em pontos limite do seu domínio. De notar que com esta definição podemos também definir o limite de uma função em pontos que não pertencem ao domínio da função.

Vamos agora utilizar alguns exemplos para testar os nossos conhecimentos:

  • Calcule {\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x} }.

    { D = \mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace } e { + \infty \in D^\prime } uma vez que {D} não é majorado em { \mathbb{R} }.

    Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D} tal que { x_n \rightarrow + \infty } e {f(x)=\dfrac{1}{x}}. Então {f(x_n)=\dfrac{1}{x_n}} e temos {\lim f(x_n)=0}.

  • Calcule {\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \sin x }

    O domínio de {f(x)= \sin x} é {D = \mathbb{R}}. Logo {+\infty \in D^\prime}

    Seja {x_n = n \pi}. Assim {x_n \rightarrow +\infty } e {f(x_n)=\sin x_n = 0}.

    Neste caso é trivial que {\lim f(x_n)=0}.

    No entanto escolhendo {y_n=\pi/2 + 2n\pi} também é {y_n \rightarrow + \infty}, mas {f(y_n)= \sin (\pi/2+2n\pi)=1} e assim {\lim f(y_n)=1}.

    Uma vez que temos {x_n}, {y_n} tais que {\lim x_n = \lim y_n = + \infty}, mas {\lim f(x_n) \neq \lim f(y_n)}. Logo {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin x } não existe.

Vamos agora introduzir os conceitos de limites laterais. Vamos usar os símbolos {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}} para denotar a aproximação a {c} por números reais maiores que {c}. A definição de {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}} segue um caminho análogo.

Formalizando:

Definição 33

  • Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x)=a} se para todas {x_n \in D} tais que { x_n \rightarrow c^+} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.
  • {D_{c^+}} é {D \cap \left] c, +\infty \right[ } e {D_{c^-}} é {D \cup \left] -\infty, c \right[ }.
  • Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x)=a} se para todas {x_n \in D} tais que { x_n \rightarrow c^-} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.

Análise Matemática – Exercícios II

1.

a) Para a sequência { \dfrac{n^2+1}{2n^2-1}} mostre que existe uma ordem { k} onde { \left | u_n - \dfrac{1}{2} \right |<10^{-3}} é válido.

{ \begin{aligned} \left | \dfrac{n^2+1}{2n^2-1} - \dfrac{1}{2} \right | &< 10^{-3} \\ \left | \dfrac{2n^2+2-2n^2+1}{2(2n^2-1)} \right | &< 10^{-3} \\ \left | \dfrac{3}{2(2n^2-1)} \right | &< 10^{-3} \\ \dfrac{|3|}{|2(2n^2-1)|} &< 10^{-3} \end{aligned}}

Uma vez que { 2(2n^2-1)>0} vem que

{ \begin{aligned} \dfrac{3}{2(2n^2-1)} &< 10^{-3} \\ 3/2 \times 10^3 &< 2n^2-1 \\ 3/4\times 10^3+1/2 &< n^2 \\ \sqrt{3/4\times 10^3 + 1/2} &< n \end{aligned}}

Tomando { k > \left \lfloor \sqrt{3/4\times 10^3 + 1/2}\right \rfloor +1} Temos o resultado pretendido.

b) Mostre por definição que { u_n \rightarrow 1/2}

Pela definição de limite e usando a), temos

\displaystyle  n > \sqrt{\dfrac{3}{4 \delta}+1/2}

Fazendo

\displaystyle  k= \left \lfloor \sqrt{\dfrac{3}{4 \delta}+1/2} \right\rfloor+1

a diferença entre { u_n} e { 1/2} é sempre menor do que { \delta}.

2. Mostre que { \lim u_n = 0 \Leftrightarrow \lim |u_n| = 0}

Na maior parte dos casos é mais fácil mostrar que o módulo da sequência tende para {0}. Com esta proposição podemos ver que as proposições são equivalentes e como tal podemos evitar cálculos longos e aborrecidos.

Diz-se que { u_n \rightarrow a} sse { \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}: \quad n>k \Rightarrow |u_n - a| < \delta}

Assim { \lim |u_n - a| = 0} sse

{\forall \delta > 0\,\exists k\in\mathbb{N}:\; n > k\Rightarrow||u_n-a|-0| < \delta}

{\Leftrightarrow \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}:\; n > k \Rightarrow |u_n - a| < \delta}

Com { a=0} as proposições { \lim u_n = 0} e { \lim |u_n| = 0} são de facto equivalentes.

3. Calcule { \lim \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}

Este limite que estamos interessados em calcular pode ser visto como { \lim u_n - v_n} onde { u_n = \sqrt{n+1}} e { v_n = \sqrt{n}}.

Sabemos que { \lim u_n = \lim \sqrt{n+1} = +\infty} e { \lim v_n = \lim \sqrt{n} = +\infty}.

O que estamos a tentar determinar é quão rápido estas sucessões divergem. Se o valor do limite é { a \in \mathbb{R}^+} então { u_n} diverge ligeiramente mais depressa, se for { a \in \mathbb{R}^-} então é { v_n} que diverge ligeiramente mais depressa.

No caso de { \pm \infty} vemos que uma das sequências diverge muito mais rápido que a outra.

Vamos então calcular:

{\begin{aligned} \lim \sqrt{n+1}-\sqrt{n} &= \lim \dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n(1+1/n)}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1+1/n}+1 \right)} \\ &= \lim\dfrac{1}{\left( \sqrt{1+1/n}+1 \right) } \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} \\ &= \lim\dfrac{1}{2 \sqrt{n}} \\ &= 0 \end{aligned}}

O que quer dizer que as sucessões divergem com essencialmente a mesma velocidade.

4. Calcule { \lim \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2+1} \right)}

{\begin{aligned} \lim \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2+1} \right)&=\lim \dfrac{n^2+n-n^2-1}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2+1}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)} + \sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{n \sqrt{1+\frac{1}{n}} + n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{n\left( \sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right)} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{2n} \\ &=\dfrac{1}{2} \end{aligned}}

5. Calcule { \lim \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2}}.

Vamos escrever alguns termos desta soma para podermos ganhar alguma intuição sobre o que está a acontecer:

{ \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} = \dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \dfrac{1}{(2n)^2}}

Ou seja, fazendo { n \rightarrow \infty} o que nós obtemos é cada vez mais termos para somar, mas os valores destes termos tornam-se cada vez menores.

O valor deste limite dir-nos-á qual destes efeitos contraditórios é mais forte.

Uma vez que estamos a somar { n} cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \leq \dfrac{n}{(n+1)^2}

Mas também é

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \geq \dfrac{n}{4n^2}

Assim

\displaystyle  \dfrac{n}{4n^2} \leq \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \leq \dfrac{n}{(n+1)^2}

com { \lim \dfrac{n}{4n^2} = \lim \dfrac{n}{(n+1)^2} = 0}

Logo { \lim \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} = 0}.

Em conclusão o facto dos valores dos termos serem sucessivamente menores é mais importante para o valor do limite do que o facto do número de termos aumentar indefinidamente.

6. Calcule { \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}}

Uma situação semelhante à encontrada no exercício anterior

Uma vez que estamos a somar { n} cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \geq \dfrac{n}{\sqrt{2n}}

Mas também é

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \leq \dfrac{n}{\sqrt{n+1}}

Logo { \dfrac{n}{\sqrt{2n}} \leq \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \leq \dfrac{n}{\sqrt{n+1}}}.

Uma vez que

\displaystyle  \lim \dfrac{n}{\sqrt{2n}} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{n}{\sqrt{n}}= \lim \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{n} = + \infty

e

\displaystyle  \lim \dfrac{n}{\sqrt{n+1}} = \lim \dfrac{n}{\sqrt{n}}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = \lim \sqrt{n}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = +\infty

vem que

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} = + \infty

Desta vez o facto de termos um número infinito de termos para adicionar é mais relevante para o valor do limite do que o facto das fracções estarem a tender para {0}. Tal resultado advém desta vez termos raízes quadradas no denominador das fracções.

7. Calcule { \lim \dfrac{n^n}{n!}}

Visualmente:

\displaystyle  n^{n-1} = n \times n \times n \ldots \times n

com { n-1} termos.

\displaystyle  n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n = 2 \times 3 \times \ldots \times n

com { n-1} termos.

Então

\displaystyle  \lim \dfrac{n^n}{n!} \geq \lim \dfrac{n^n}{n^{n-1}} = + \infty

então também é

\displaystyle  \lim \dfrac{n^n}{n!} = +\infty

De onde podemos concluir que { n^n} tende para infinito mais rápido do que { n!}

8. Dê exemplo de sucessões que

a) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=0}

{ u_n = n} e { v_n = -n}

b) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=10}

{ u_n = n+10} e { v_n = -n}

c) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=+\infty}

{ u_n = 2n} e { v_n = -n}

d) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n} não existe.

{ u_n = n+(-1)^n} e { v_n = -n}

e) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = a \in \mathbb{R}}

{ u_n = \dfrac{a}{n}} e { v_n = n}

f) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = 0}

{ u_n = \dfrac{1}{n^2}} e { v_n = n}

g) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = +\infty}

{ u_n = \dfrac{1}{n}} e { v_n = n^2}

h) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n} não existe.

{ u_n = \dfrac{\sin n}{n}} e { v_n = n}

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