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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas (Parte 4)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 10 Um conjunto de 4 cargas iguais, de {5 \ \mu C} estão dispostas da base de uma pirâmide de base quadrada, dada na figura.

{a= \ h= \ 20 \ mm}.

Qual deverá ser a massa da carga de prova (de valor igual) para que ela flutue em equilíbrio dinâmico?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 10 .

O exercício nos apresenta uma carga de prova {(q_{o})} que está acima de um arranjo quadrado de cargas, formando assim uma pirâmide. As cargas se encontram nos vértices da pirâmide.

A carga flutua por interacção electrostática. Sendo que todas as cargas são positivas, existem forças repulsivas constantes entre as cargas.Dados

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{H= \ a= \ 20 \ mm= \ 20 \cdot 10^{-3} m}

{q_0=q_1=q_2=q_3=q_4= \ 5 \ \mu C= \ 5 \cdot 10^{-6} \ C}

{m-?}

.

Sendo que a figura geométrica é regular e simétrica, a distancia entre a carga {q_0} com as outras cargas é igual. Chamamos a esta distancia de {d}.

Veja a figura abaixo.

Considerando o triângulo rectângulo formado entre as cargas {q_1}, {q_2} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow \cdot b^2=\dfrac{a^2}{2}

Isolando {b}, teremos:

\displaystyle b=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}

Analisando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+h^2=d^2

Ou:

\displaystyle d^2=b^2+h^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{a^2}{2}+a^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{3a^2}{2}

Na carga {q_0} actuam ao todo 4 forças repulsivas, da sua interacção com as outras cargas (1, 2, 3 e 4).

Chamamos a estas forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}.

Então:

\displaystyle F_{01}=F_{02}=F_{03}=F_{04}

O facto de as distâncias serem todas iguais e de as cargas terem o mesmo valor absoluto, pela lei de Coulomb, nos leva a concluir que as forças electrostáticas de repulsão entre {q_0} e as outras cargas (1, 2, 3 e 4) são todas iguais.

Os seus módulos serão:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{d^{2}}

Substituindo {d^2}, teremos:

\displaystyle F_{01} = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{3a^{2}/2}

Calculando:

\displaystyle F_{01} = \ 9 \cdot 10^9 \dfrac{5 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{3(20 \cdot 10^{-3}) ^{2}/2}

\displaystyle \longleftrightarrow F_{01} = 375 \ N

Lembre que:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04}

\displaystyle \Rightarrow F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = 375 \ N

As forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}, além de terem o mesmo modulo, são todas respectivamente paralelas a diagonal formada pelo segmento que une as cargas que as originam. Neste caso, pela simetria do problema, todas estas diagonais formam o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Neste caso, todas estas forças formarão também o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Se inserirmos um sistema de coordenadas cartesiano em {q_0} e projectarmos as forças, as projecções destas forças no plano {xOy} vão anular-se mutuamente.

Na figura, só representamos as projecções para {F_{03}} e para {F_{04}}. Pela simetria do problema, poderemos deduzir as outras.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_1} e {q_3}.

O eixo {y} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_4} e {q_2}.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a vertical que contem o ponto O e {q_0}.

Neste caso:

  • {F_{01}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{02}} pertence ao plano {yOz},,
  • {F_{03}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{04}} pertence ao plano {zOz}.

As componentes horizontais (no plano {xOy}) anulam-se:

  • {F_{01x}} anula {F_{03x}},
  • {F_{02y}} anula {F_{04y}}.

Sobram apenas as componentes verticais. As projecçõpes verticais das forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}} podem ser calculadas pelas seguintes relação:

\displaystyle F_{01z}=F_{01z} \sin \theta

Temos de obter o ângulo {\theta}. Considerando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle tg \theta = \dfrac{h}{b} \Rightarrow \theta = arctg \dfrac{h}{b}

Substituindo {h} e {b} pelos seus valores, obtemos:

\displaystyle \theta = arctg \dfrac{a}{a/\sqrt{2}}

\displaystyle \Rightarrow \theta = arctg \sqrt{2}

\displaystyle \Rightarrow \theta = 54,7^o

Sabemos que, pela simetria do problema {F_{01z}=F_{02z}=F_{03z}=F_{04z}}. Então:

\displaystyle F_{01z}=F_{01} \sin \theta = 375 cos 54,7^o

\displaystyle F_{01z}=216,7 \ N

As resultante das componentes verticais será igual a força eléctrica resultante em {q_0}, que chamamos de {F_{el}}.

Neste caso:

\displaystyle F_{el}=F_{01z} + F_{02z} +F_{03z} + F_{04z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot F_{01z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot 216,7

\displaystyle F_{el}=866,8 \ N

Para quê a carga de prova flutue em equilíbrio dinâmico é necessário que a força eletrostática resultante que atua nela seja igual a força de gravidade:

\displaystyle F_{el} \ = \ F_{g}

Então:

\displaystyle F_{el} \ = \ m \ . \ g

Ou:

\displaystyle \ m \ . \ g = F_{el}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{F_{el}}{g}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{866,8}{9,8}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \ 88,44 \ kg

Exercício 11 Uma carga de prova {q_0= \ 10 \ \mu C} de massa depressível, esta presa numa mola também de massa depressível, com constante {K'= \ 10 \ N/m}, conforme a figura abaixo.

Uma outra carga {q_1 \ =50 \ \mu C} é fixada abaixo desta. qual devera ser a distância entre as cargas para que a mola seja comprimida em 3 cm.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 11 .

O sistema apresenta um arranjo de cargas, onde a carga {q_0} está presa a uma mola. Actuam nela a força eléctrica {F_{01}} e a força elástica {(F_k)}.

A mola está comprimida devido a força de repulsão. A massa da mola é depressível. {K'}-constante elástica e {K}– constante electrostática. O uso de {K'} em vez do habitual {K} para a constante elástica da mola é para distingui-lo da constante electrostática do meio {K}.

As duas cargas são positivas, logo a força de interacção entre elas é de repulsão. Esta força tenderá a comprimir a mola. A compressão termina quando se atinge o equilíbrio entre a força deformadora (força eléctrica) e a força restauradora (força elástica).

Aplicaremos a condição de equilíbrio, substituiremos a força eléctrica pela relação obtida da lei de Coulomb, e isolaremos a distância d.

Dados

{K'= \ 10 \ N/m}

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{x= \ 3 \ cm= \ 3 \cdot 10^{-2}}

{q_0= \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}

{q_1= \ 50 \ \mu C= \ 50 \cdot 10^{-6} \ C}

{d-?}

Sabemos que, pela lei de Hook:

\displaystyle F_{k}=K' \cdot x (

Sabemos também, pela Lei de Coulomb, que:

\displaystyle F_{01}=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

.

Considerando que na carga {q_0} as duas forças estão em equilíbrio, temos:

\displaystyle \vec{F_{k}}+\vec{F_{01}}=0

Em módulo, teremos:

\displaystyle F_{k}-F_{01}=0

\displaystyle \Rightarrow F_{k}=F_{01}

Substituindo as forças pelas suas relações, temos:

\displaystyle K' \cdot x=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

Passando o {d^2} no membro esquerdo e a {K' \cdot x} para o membro direito, obtemos:

\displaystyle d^2=\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}}

Substituindo os valores:

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 50 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot (3 \cdot 10^{-2})}}

\displaystyle d= \ 3, 87 \ m

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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas e Campo Eléctrico(Parte 3)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 7 .

O sistema abaixo mostra três cargas { q_1= \ -1,5 \ \mu C }; { q_2= \ 5 \ \mu C } e { q_3= \ 10 \ \mu C }.

Qual é a força resultante sobre {q_2}.

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 7

.

Dados .

{ q_1= \ -1,5 \ \mu C = \ -1,5 \cdot 10 ^{-6} \ C } .

{ q_2= \ 5 \ \mu C = \ 5 \cdot 10^6 \ C } .

{ q_3= \ 10 \ \mu C = \ 10 \cdot 10 ^{-6} \ C }

O exercícios nós pede para calcular a força resultante { q_2}.

O sistema apresenta um conjunto de 3 cargas. Neste caso, as forças na carga em questão surgem devido a interacção com as outras duas cargas.

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre { q_2} e { q_1} é de atracção, pois ambas têm sinais opostos. A interacção entre { q_2} e { q_3} é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por {\vec{F_{12}}} e {\vec{F_{21}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_1}.

Denotamos por {\vec{F_{32}}} e {\vec{F_{23}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_3}.

Veja a figura.

neste caso calculamos em cada caso:

Então, observamos que em { q_2} actua duas forças: {\vec{F_{21}}} e {\vec{F_{23}}}.

Para calcular o valor dos módulos destas forças vamos usar a formula obtida pela lei de Coulomb.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_3} temos:

\displaystyle F_{23}= K \dfrac{| q_2 | | q_3 |}{r_{23}^2}= \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(3 \cdot 10 ^{-3} )^2}

\displaystyle F_{23}= \ 5 \cdot 10^4 \ N

A distancia {r_{23}} foi obtida pela diferença das coordenadas de cada carga: {r_{23}= \ |x_3-x_2|= \ 7-4= \ 3 m}.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_1} temos:

\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{r_{12}^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 1,5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 5 \cdot 10 ^{-6}}{(6 \cdot 10 ^{-3} )^2}

\displaystyle F_{21}= 0,1875 \cdot 10^{-4} \ N

Como tem duas forças que interagem em {q_2} podemos calcular a força resultante em {q_1}.

No caso, as duas forças têm mesmo sentido e mesma direcção. Então, não existe necessidade de projectarmos ou usarmos a lei dos cossenos. A força resultante será obtida pela soma dos módulos dos vectores obtidos:

\displaystyle F_{r2}=F_{23} + F_{21}=50.000+1.875=51.184 \ N

Exercício 8 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. Sendo: {q_1=q_2=q_3= \ 10 \ \mu C}, qual será:

  1. O campo eléctrico no outro vértice?
  2. A força na carga {q_2}?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 8

O problema nos pede para determinar o Campo eléctrico no ponto O e a força eléctrica resultante na carga {q_2}.

Para obter o campo eléctrico no ponto {O}, devemos ter em conta que o campo eléctrico obedece ao principio de super posição. Neste caso, o campo eléctrico provocado por um sistemas de cargas é igual á soma (vectorial, visto que o campo eléctrico é uma grandeza vectorial dos campos produzidos por cada carga. (Nota: aqui, quando nos referimos ao campo eléctrico, estamos a falar da sua intensidade).
Para o efeito, temos de achar o campo eléctrico produzidos por cada carga no ponto {O}, para termos o campo resultante neste ponto.

No caso de forças, temos de analisar todas as interacções de {q_2}. Neste caso, são duas: A interacção entre { q_2} e { q_1}, e a interacção entre { q_2} e { q_3}.

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre { q_2} e { q_1} é de repulsão, pois ambas têm mesmo sinal. A interacção entre { q_2} e { q_3} também é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por {\vec{F_{12}}} e {\vec{F_{21}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_1}.

Denotamos por {\vec{F_{32}}} e {\vec{F_{23}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_3}.

Dados

{a = 0,02 \ mm = 0,02 \cdot 10^{-3} }

{q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C}

{ K=8,99 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{ E_{R}-? }

{F_{q_{2}}-? }

.

  1. Para calcularmos o campo eléctrico resultante no ponto {O}, vamos calcular o campo produzido por cada carga e fazer a soma vectorial deles. Como as direcções e sentidos têm importância na soma vectorial, devemos, além de calcular os módulos, representar e determinar geometricamente os ângulos entre estes vectores. Traçando os campos eléctricos no ponto {O}, todos apontando para o sentido oposto as cargas que os origina (visto que as cargas são positivas), observamos que teremos neste 3 campos eléctricos: {\vec{E_1}}, {\vec{E_2}} e {\vec{E_3}}, sendo que o primeiro é vertical e apontando para baixo, o segundo é oblíquo, dirigido paralelamente a diagonal do quadrado e o terceiro é horizontal apontando para a direita. Veja figura.

    A diagonal de um quadrado faz um ângulo de {45^o} com as suas arestas.

    Pela relação do campo criado por uma carga pontual temos:

    \displaystyle E= K \dfrac{q}{r^2}

    Então para o caso da carga {q_1}, temos:

    \displaystyle E_1=K \dfrac{q_1}{r_1^2}=K \dfrac{q_1}{a^2}

    \displaystyle \Rightarrow E_1 =9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3})^2}= 2,25 \cdot 10^{14} \ N/C

    Para o caso da carga {q_3}, não precisamos fazer o cálculo, pois { E_3 = E_1 }, por ter mesmo valor de carga e mesmas distâncias.

    Para o caso da carga {q_2}, temos:

    \displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{r_2^2} = K \cdot \dfrac{q_2}{b^2}

    Para tal, temos de obter uma relação para {b}.

    Usando o teorema de Pitágoras,temos:

    \displaystyle b^2=a^2 + a^2

    \displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}

    \displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a

    Logo, voltando a {E_2}, temos:

    \displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{(\sqrt{2} a)^2}

    \displaystyle \Rightarrow E_2=9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{2})^2}=1,125 \cdot 10^{14} \ N/C

    Para calcularmos o campo resultante, trabalharemos com o método de projecções. Como s campo eléctrico {E_2}, vamos obter as suas projecções em {Ox} e em {Oy}.

    \displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2x}

    \displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2y}

    Substituindo as projecções pelos seus equivalentes, obtemos:

    \displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o

    \displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o

    Neste caso, o módulo do vector resultante será:

    \displaystyle E_R=\sqrt{ E_{Rx}^{2} + E_{Ry}^{2}}

    \displaystyle \Rightarrow E_R=\sqrt{(E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o)^2 + (E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o)^2}

    Substituindo os valores obtidos anteriormente, obtemos:

    \displaystyle E_{R}=\sqrt{( 2,25 \cdot 10^{14}+1,125 \cdot 10^{14} \cdot \cos 45^o)^2 + ( 2,25 \cdot 10^{14} + 1,125 \cdot 10^{14} \cdot \sin 45^o)^2}

    \displaystyle E_{R}= \ 4,31 \cdot 10^{14} \ N/C

  2. Para determinamos a Forças resultante na carga {q_2}, devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.
    De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_1} temos:

    \displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}

    \displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

    Para interacção da carga {q_2} em {q_3}, não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

    \displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

    Para achar a força resultante, visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

    \displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}

    Como {F_{23}= F_{21}}, então:

    \displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ F_{23}

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=3,18 \cdot 10^9

Exercício 9 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. As cargas são: {q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C}.

Qual carga(módulo e sinal) deve ser colocado no vértice do quadrado para que a força eléctrica resultante em {q_2} seja igual a zero?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 9 .

Dados

{q_1 =q_2 =q_3 = \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}

{q_4-? }

{F_{q_{2}}=0}
A resolução deste problema possui dois caminhos e dois modos:

Modo 1: Calcular a força eléctrica que as cargas actuais exercem no na carga {q_2}. Em seguida calcular, pela lei de Coulomb, qual carga provocaria uma força tal que anulasse esta força.

Modo 1: Representar o sistema de 4 cargas e representar as 3 forças na carga {q_2}. Aplicar a resultante na carga {q_2}, através das componentes e com a condição de que a força deve ser nula, calcular essa carga desconhecida.

Além dos dois modos, há ainda duas variantes de parâmetros: Podemos resolver considerando a Força eléctrica ou considerando o campo eléctrico.

Vamos resolver este problema considerando o 1º modo e usando a força eléctrica.

Primeiro, vamos calcular a força eléctrica resultante na carga {q_2} no sistema, antes da adição da carga {q_4}

Para determinamos a força resultante na carga {q_2} dos efeitos de {q_1} e {q_3} ({F_{2,13}}), devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_1} temos:

\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}

\displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

Para interacção da carga {q_2} em {q_3}, não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

\displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

Para achar a força resultante dos efeitos de {q_1} e {q_3}, visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}

Como {F_{23}= F_{21}}, então:

\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ F_{23}

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=3,18 \cdot 10^9

Portanto, {F_{2,13}} é a força resultante dos efeitos de {q_1} e {q_3} sobre {q_2}.

Para que a resultante em {q_2} seja zero, é necessário adicionar no vértice {O} uma carga {q_4} que produza em {q_2} uma força ({F_{24}}) de igual módulo, mas de sentido oposto.

Neste caso, já concluímos que a carga {q_4} deve ser negativa.

O seu módulo dever ser:

\displaystyle F_{24} = F_{2,13}

\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{b^2} = F_{2,13}

A diagonal do quadrado {b} é obtida da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo que ele forma com as duas arestas do quadrado.

\displaystyle b^2=a^2 + a^2

\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}

\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a

Então:

\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{(\sqrt{2} a )^2} = F_{2,13}

Então, isolando o modulo de {q_4}, obtemos:

\displaystyle | q_4| = \dfrac{ F_{2,13}(\sqrt{2} a )^2}{K \cdot| q_2 | }

\displaystyle \Rightarrow | q_4| = \dfrac{ 3,18 \cdot 10^9 (\sqrt{2} 0,02 \ \ \cdot 10^{-3} )^2}{ 9 \cdot 10^{9}\cdot 10 \cdot 10^{-6} }

\displaystyle \Rightarrow | q_4| = 2,83 \cdot 10^{-5} \ C

Então:

\displaystyle q_4 = \ - 2,83 \cdot 10^{-5} \ C

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1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas (Parte 2)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 4 .

A soma de duas cargas é igual 0. Quando colocadas afastadas em {1 \ mm } a força electrostático entre elas fica igual a {100 \ mN}.

Determine o valor destas cargas .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .

Dados

{ q_1+q_2=0 } .

{F=100 \ mN = 0,1 \ N } .

{ K= 9 \cdot 10^9 \dfrac{Nm^2}{C^2} } .

{ d=1 \ mm = \ 1 \cdot 10 ^{-3} \ m } .

{ q_1 \rightarrow ? } .

{ q_2 \rightarrow ? }

Este problema apresenta uma situação de aplicação directa da Lei de Coulomb.

São dadas duas cargas de valores desconhecidos, e definidas duas condições: soma algébrica das cargas e força electrostática.

Uma vez que não temos os valores das duas cargas eléctricas, mais temos a força é essa distância podemos criar um sistema de equação para encontrarmos as duas cargas.

O facto de a soma ser igual a zero, já implica que as cargas têm sinais opostos. Vamos pressupor que a carga {q_1} é positiva e que {q_2} é negativa. Este procedimento será relevante na eliminação do módulo na formula afecta a Lei de Coulomb.

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ k\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(r)^2}=0,1\\ \end{array}\right.

Nota que, a primeira equação deriva da condição de que a soma seja zero. A segundo equação provém da igualdade entre a relação da força pela Lei de Coulomb e o valor da força dado no enunciado.

Substituindo valores para as constantes e dos dados, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(1 \cdot 10 ^{-3})^2}=0,1 \\ \\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{1 \cdot 10 ^{-6}}=0,1\\ \end{array}\right.

Resolvendo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^{15} | q_1 | | q_2 | =0,1\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{0,1}{9 \cdot 10^{15}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{1 \cdot 10 ^{-1}}{9 \cdot 10^15}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1= -q_2 \\ \\ | q_1 \cdot q_2 | ==\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Substituindo {q_1} da primeira equação na segunda, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q_2 \cdot q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q^2_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Eliminando o módulo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q^2_2 = =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| = \sqrt{\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| \approx 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Eliminando o modulo de {q_2}, obtemos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q_2 = - 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Como {q_1= -q_2}, então:

\displaystyle q_1=3,33 \cdot 10^{-3} \ C

Exercício 5 Um conjunto de cargas colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de {50 \ \mu m} de aresta, tem todas {10 \ \mu C}. Qual é a força resultante em qualquer carga dos vértices?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .

Dados

{q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C }

{a=50 \ \mu m=50 \cdot 10^{-6} \ m }

{F_{r_{q3}}-? }

{K=9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2 }

O problema apresenta um sistema de 3 cargas (num plano). A disposição das cargas é tal que forma um Triângulo Equilátero.

Da geometria plana, sabemos que o triângulo equilátero tem todos os lados e ângulos internos iguais. O valor dos ângulos internos é sempre de {60^o}.

Devemos fazer a figura, inserir um sistema de coordenadas. escolher uma das cargas e indicar as interacções das forças nesta carga.

Como as cargas são todas do mesmo sinal a força entre elas é sempre de repulsão. Escolhemos a carga {q_3} para análise.

A partir da figura, observamos que actuam na carga {q_3} duas forças: {F_{13}} (Força de interacção entre as cargas 1 e 3) e {F_{23}} (força de interacção entre as cargas 2 e 3.

Essas forças estão na direcção da linha que une as cargas em questão e representamo-las como setas que saem da carga naquelas direcções. Como as forças são de repulsão, o sentido escolhido é o sentido que tende a afastar as cargas.

Como temos adição de dois vectores, podemos optar por um dos dois métodos: lei dos cossenos ou decomposição em projecções.

Neste exercício, faremos a decomposição em projecções (por livre escolha).

A força {\vec{F_{23}}} é um vector paralelo ao eixo {Ox}. Não precisa ser projectado.

A força {\vec{F_{13}}} , por não ser paralela ao eixo {Ox} nem ao eixo {Oy}, vamos projecta-la. Dá origem então as projecções {\vec{F_{13x}}} e {\vec{F_{13y}}}.

A partir da figura temos:

Sabemos que {F_{23}=F_{13}=F}, porque tem as mesma cargas e a mesmas distâncias. Então, pela lei de Coulomb, temos:

\displaystyle \Rightarrow F_{23}=\dfrac{K \cdot |q_2| \cdot |q_3|}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^{9} (10 \cdot 10^{-6})^2}{(50 \cdot 10^{-6})^2}

Resolvendo, temos:

\displaystyle F_{23}=36 \cdot 10^{10} \ N =F_{13}=F

Os ângulos da força {\vec{F_{13}}} se obtêm por análise gráfica. Considerando o axioma de rectas concorrentes, concluímos que o ângulo entre {\vec{F_{13}}} e o eixo {Ox} é {60^o}. O ângulo de {\vec{F_{13}}} com o eixo {Oy} é o complementar de {60^o}, portanto, {30^o}. Neste método, o vector resultante é obtido pelas resultantes em cada eixo.

Neste caso, a projecções resultantes são:

\displaystyle F_{Rx}=F_{23} + F_{13} \cdot \sin 30^o=F + F \cdot \cos 60^o

\displaystyle F_{Ry}=F_{13} \cdot \cos 30^o= \ F \cdot \sin 60^o

Neste caso, usando o teorema de Pitágoras, teremos:

\displaystyle F_{r_{q3}}=\sqrt{(F_{Rx} )^2 + (F_{Ry} )^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{(F + F \cdot \cos 60^o)^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[F(1 + \cos 60^o)]^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[36 \cdot 10^{10}(1 + \cos 60^o)]^2 + (36 \cdot 10^{10} \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle F_{r_{q3}}=62,35\cdot 10^{10} \ N

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