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Mecânica Quântica – Revisões VI

07/25/2015 6:53 pm / 1 comentário em Mecânica Quântica – Revisões VI

— 19. Resolução de Exercícios —

Exercício 2 Escolha o conjunto de coordenadas generalizadas que especifica totalmente o estado mecânico de cada um dos sistemas:

Uma partícula de massa ${m}$ que se move ao longo de uma elipse.
Seja ${ {x=a\cos\theta}}$ e ${ {y=b\sin\theta}}$ . Então a coordenada generalizada é ${ {\theta}}$ . Para o caso do leitor ter ficado surpreso com o facto de só precisarmos de uma coordenada para descrevermos um sistema que aparentemente é bidimensional lembre-se que a nossa partícula está restringida a mover-se ao longo de uma linha que ainda que seja curva não deixa de ser unidimensional. Outra maneira de ver é pensando que temos ${2}$ coordenadas originais e ${1}$ equação de ligação. Assim pelo que vimos em Mecânica Quântica Revisões IV isto quer dizer que temos ${2-1=1}$ graus de liberdade, logo só precisamos de uma coordenada generalizada para descrever os estado mecânico do sistema.
Um cilindro que se move num plano inclinado.
Se o cilindro descreve um movimento de rotação precisamos de ${ {x}}$ a distância percorrida e ${ {\theta}}$ que é o ângulo de rotação. Se o cilindro não tem um movimento de rotação só precisamos de ${ {x}}$ .
Duas massas num pêndulo duplo

As coordenadas generalizadas são ${ {\theta_1}}$ e ${ {\theta_2}}$ .

Exercício 3 Derive as transformações de equações para um pêndulo duplo.

Temos:

${ {x_1=l_1\cos\theta_1}}$
${ {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}$
${ {y_1=l_1\sin\theta_1}}$
${ {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}$

Exercício 4 Mostre que é:

$\displaystyle {\dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial \dot{q}_\alpha}=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}$

Temos

${ {\begin{aligned} \vec{r}_\nu&=\vec{r}_\nu(q_1,q_2,\cdots,q_n,t)\Rightarrow \\ \dot{\vec{r}_\nu}&=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_1}\dot{q}_1+\cdots+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_n}\dot{q}_n+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial t} \Rightarrow \\ \dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial\dot{q}_\alpha}&=\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \end{aligned}}}$

Que é o resultado pretendido

Exercício 5 Considere um conjunto de partículas que descrevem um incremento ${ {dq_j}}$ nas suas coordenadas generalizadas. Derive a seguinte expressão ${ {dW=\displaystyle \sum_\alpha \Phi_\alpha dq_\alpha}}$ para o trabalho total realizado pela força que actua no sistema e interprete fisicamente o factor ${ {\Phi_\alpha}}$ .

Primeiro vamos notar que é

$\displaystyle \displaystyle d\vec{r}_\nu =\sum_{\alpha=1}^n \dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}dq_\alpha$

Para ${ {dW}}$ é

${ {\begin{aligned} dW &=\sum_{\nu=1}^N\vec{F}_\nu\cdot d\vec{r}_\nu\\ &=\sum_{\nu=1}^N\left( \sum_{\alpha=1}^n \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \right) dq_\alpha\\ &= \sum_{\alpha=1}^n \Phi_\alpha dq_\alpha \end{aligned}}}$

e ${ {\displaystyle \Phi_\alpha=\sum_{\nu=1}^N \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}}$ é a força generalizada.

Exercício 6 Mostre que ${ {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}$ .

Temos

$\displaystyle {\displaystyle dW=\sum_\alpha\frac{\partial W}{\partial q_\alpha}dq_\alpha}$

$\displaystyle {\displaystyle dW=\sum_\alpha\Phi_\alpha dq_\alpha}$

Logo

$\displaystyle {\displaystyle \sum_\alpha\left( \Phi_\alpha- \frac{\partial W}{\partial q_\alpha}\right)dq_\alpha=0}$

Uma vez que ${ {dq_\alpha}}$ são linearmente independentes (ou se preferir, são arbitrários) vem que ${ {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}$ .

Exercício 7 Derive o lagrangiano de um pêndulo simples e obtenha as equações de movimento

A coordenada generalizada para o pêndulo simples é ${ {\theta}}$ e as equações de transformação de coordenadas são ${ {x=l\sin\theta}}$ and ${ {y=-l\cos\theta}}$ .

A energia cinética é ${ {K=1/2mv^2=1/2m(l\dot{\theta})^2=1/2ml^2\dot{\theta}^2}}$ .

A energia potencial é ${ {V=mgl(1-\cos\theta)}}$ .

Assim o lagrangiano é

$\displaystyle {L=K-V=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos\theta)}$

Uma vez que temos

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=-mgl\sin\theta}$

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=ml^2\dot{\theta}}$

E a equação de Euler-Lagrange fica

${ {\begin{aligned} \frac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\dfrac{\partial L}{\partial \theta}&=0\Rightarrow\\ ml^2\dot{\theta}+mgl\sin\theta&=0\Rightarrow\\ \ddot{\theta}+g/l\sin\theta &=0 \end{aligned}}}$

Exercício 8

Duas partículas de massa ${ {m}}$ estão ligadas entre si e a duas paredes por molas de constante ${ {k}}$ . As partículas deslocam-se ao longo de uma direcção. Use as equações de Euler-Lagrange para descrever o movimento das massas.

A energia cinética é ${ {K=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2}}$ .

A energia potencial é ${ {V=1/2kx^2_1+1/2k(x_2-x_1)^2+1/2kx^2_2}}$ .

Logo o lagrangiano é ${ {L=K-V=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2-1/2kx^2_1-1/2k(x_2-x_1)^2-1/2kx^2_2}}$ .

As derivadas parciais do lagrangiano são:

${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_1}=k(x_2-x_1)}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_2}=k(x_1-x_2)}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}=m\dot{x}_1}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_2}}=m\dot{x}_2}}$

E as equações de Euler-Lagrange ficam:

${ {m\ddot{x}_1=k(x_2-x_1)}}$
${ {m\ddot{x}_2=k(x_1-2x_2)}}$

Exercício 9

Uma partícula de massa ${ {m}}$ move-se sob a acção de um campo central e conservativo. Use coordenadas cilíndricas para derivar:

O lagrangiano A energia cinética é ${ {K=1/2m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})}}$ . A energia potencial é ${ {V=V(\rho,\phi,z)}}$ . Logo o lagrangiano é
$\displaystyle L=\frac{1}{2}m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})-V(\rho,\phi,z)$
As equações de movimento
- ${ {m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^2)=-\dfrac{\partial v}{\partial \rho}}}$
- ${ {m\dfrac{d}{dt}\left(\rho^2\dot{\phi}\right)=-\dfrac{\partial V}{\partial \phi}}}$
- ${ {m\ddot{z}=-\dfrac{\partial V}{\partial z}}}$

Exercício 10 Para um duplo pêndulo calcule:

O lagrangiano
As equações para as transformações de coordenadas são
- ${ {x_1=l_1\cos\theta_1}}$
- ${ {y_1=l_1\sin\theta_1}}$
- ${ {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}$
- ${ {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}$
Aplicando ${ {\dfrac{d}{dt}}}$ às equações anteriores
- ${ {\dot{x}_1=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1}}$
- ${ {\dot{y}_1=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1}}$
- ${ {\dot{x}_2=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1-l_2\dot{\theta}_2\sin\theta_2}}$
- ${ {\dot{y}_2=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1+l_2\dot{\theta}_2\cos\theta_2}}$
Logo a energia cinética é

$\displaystyle K=1/2m_1l^2_1\theta^2_1+1/2m\left[ l^2_1\dot{\theta}^2_1+l^2_2\dot{\theta}^2_2+2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) \right]$

E a energia potencial é

$\displaystyle V=m_1g(l_1+l_2-l_1\cos\theta_1)+m_2g\left[l_1+l_2-(l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2)\right]$

Como sempre o lagrangiano é ${ {L=K-V=\cdots}}$
As equações de movimento
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_1}=-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_1gl_1\sin\theta_1-m_2gl_1\sin\theta_1}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}}=m_1 l_1^2\dot{\theta}_1^2+m_2l_1^2\dot{\theta}_1+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_2}=m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2gl_2\sin\theta_2}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}}=m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)}}$
Assim é

$\displaystyle {(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)=-(m_1+m_2)gl\sin\theta_1}$

e

$\displaystyle {m_2l_2\ddot{\theta}_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2gl_2\sin\theta_2}$
Faça ${ {m_1=m_2=m}}$ e ${ {l_1=l_2=l}}$ e escreva as equações de movimento.
Fica como um exercício para o leitor.
Escreva as equações anteriores no limite das pequenas oscilações.
Se ${ {\theta\ll 1}}$ sabemos que ${ {\sin \theta\approx\theta}}$ e ${ {\cos \theta\approx1}}$ .

E as equações de movimento ficam

${ {2l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-2g\theta_1}}$

${ {l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-g\theta_2}}$

Exercício 11 Uma partícula move-se no plano ${ {xy}}$ sujeita a uma força central que é uma função da distância entre a partícula e a origem.

Calcule o Hamiltoniano do sistema.
As coordenadas generalizadas são ${ {r}}$ e ${ {\theta}}$ .

A energia potencial é da forma ${ {V=V(r)}}$ .

O lagrangiano é ${ {L=1/2m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)}}$ .

Os momentos conjugados são:

$\displaystyle {p_r=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}}$

$\displaystyle {p_\theta=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}}$

O Hamiltoniano fica

${ {\begin{aligned} H&=\displaystyle \sum_{\alpha=n}^np_\alpha\dot{q}_\alpha\\ &=p_r\dot{r}+p_\theta\dot{\theta}-(1/2m(\dot{r^2}+r^2\dot{\theta}^2)-V(r))\\ &=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_theta^2}{2mr^2}+V(r) \end{aligned}}}$
Escreva as equações de movimento:
- ${ {\dot{r}=\dfrac{\partial H}{\partial p_r}=\dfrac{p_r}{m}}}$
- ${ {\dot{\theta}=\dfrac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dfrac{p_\theta}{mr^2}}}$
- ${ {\dot{p}_r=-\dfrac{\partial H}{\partial r}=\dfrac{p_\theta}{mr^3}-V'(r)}}$
- ${ {\dot{p}_\theta=-\dfrac{\partial H}{\partial \theta}=0)}}$

Exercício 12

Uma partícula descreve um movimento unidimensional sujeita a uma força da forma

$\displaystyle F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}$

Onde ${ {k}}$ e ${ {\tau}}$ são constantes positivas. Calcule o lagrangiano e hamiltoniano. Compare o hamiltoniano com a energia total e discuta se existe conservação de energia para este sistema.

Uma vez que ${ {F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}}}$ vem que ${ {U=\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}}$ .

Para a energia cinética é ${ {K=1/2m\dot{x}^2}}$ . Assim o lagrangiano é

$\displaystyle L=1/2m\dot{x}^2-\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}$

Ora ${ {p_x=m\dot{x}\Rightarrow\dot{x}=\dfrac{p_x}{m}}}$ .

E o hamiltoniano é

$\displaystyle {H=p_x\dot{x}-L=\dfrac{p_x^2}{2m}+\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}$

Uma vez que ${ {\dfrac{\partial L}{\partial t}\neq 0}}$ o sistema não é conservativo.

Uma vez que ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0}}$ sabemos que é ${ {H=E}}$ .

Exercício 13

Considere duas funções das coordenadas generalizadas e os momentos generalizados, ${ {g(q_k,p_k)}}$ e ${ {h(q_k,p_k)}}$ . O parênteses de Poisson é definido como:

$\displaystyle [g,h]=\sum_k \left(\frac{\partial g}{\partial q_k}\frac{\partial h}{\partial p_k}-\frac{\partial g}{\partial p_k}\frac{\partial h}{\partial q_k}\right)$

Mostre que as seguintes propriedades do parênteses de Poisson são válidas:

${ {\dfrac{dg}{dt}=[g,H]+\dfrac{\partial g}{\partial t}}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {\dot{q}_j=[q_j,H]}}$ e ${ {\dot{p}_j=[p_j,H]}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {[p_k,p_j]=0}}$ e ${ {[q_k,q_j]=0}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {[q_k,p_j]=\delta_{ij}}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
Mostre que se uma função ${ {f}}$ não depende explicitamente de ${t}$ então ${ {[f,H]=0}}$ . ${f}$ diz-se uma constante de movimento.
Fica como um exercício para o leitor.

Se o parênteses de Poisson entre duas funções é nulo então dizemos que as duas funções comutam.

Mecânica Quântica – Revisões V

07/24/2015 10:19 pm / Deixe um comentário

— 16. Formalismo newtoniano e Equações de Euler-Lagrange —

Como vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões IV ao utilizar as equações de Euler-Lagrange que descrevem um sistema mecânico chegamos às mesmas equações do formalismo newtoniao.

O objectivo deste secção é demonstrar de uma forma mais rigorosa que ambas as formulações da mecânica clássica são de facto equivalentes (ou dizendo de forma mais exacta: quais são as condições que tornam o formalismo newtoniano e o formalismo lagrangiano equivalentes para a mecânica clássica).

Já sabemos que é ${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 }}$ para ${ {i=1,2,3}}$ . Usando a definição de ${L}$ podemos reescrever a equação do lagrangiano:

$\dfrac{\partial (K-U)}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial (K-U)}{\partial \dot{x}_i}=0$

Uma vez que a nossa análise não depende do conjunto de coordenadas utilizado vamos escolher trabalhar com coordenadas rectangulares pois são matematicamente mais cómodas. Assim temos ${ {K=K(\dot{x}_i}}$ e ${ {U=U(x)}}$ . Uma vez que é ${ {\dfrac{\partial T}{\partial x_i}=0}}$ e ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}}}$ vem que ${ {-\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}}}$ . Para um sistema conservativo temos ${ {-\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}=F_i}}$ .

Logo para ${ {F_i=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}}}$ é válido

${ {\begin{aligned} \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i} &= \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial \sum_j(1/2m\dot{x}_j^2)}{\partial \dot{x}_i} \\ &= \dfrac{d}{dt}(m\dot{x}_i) \\ &= \dot{P}_i \end{aligned}}}$

Assim é ${ {F_i=\dot{P}_i}}$ que é a Segunda Lei de Newton (Segundo Axioma ou Segundo Postulado de Newton seriam nomes mais correctos…). No formalismo newtoniano da Mecânica Clássica o que dita a dinâmica de uma partícula é a segunda Lei de Newton, assim sendo acabámos de demonstrar que ambas as formulações são equivalentes.

— 17. Introdução à Simetria —

O leitor certamente notou no último exemplo que a ausência de uma coordenada generalizada no lagrangiano de um sistema implicaca a conservação de um momento (seja ele linear ou angular). Estas coordenadas que não aparecem no lagrangiano recebem o nome de coordenadas cíclicas.

Obviamente que a presença ou ausência de coordenadas cíclicas num lagrangiano depende da escolha de coordenadas. No entanto o facto de um momento ser conservado ou não, não pode depender da escolha do conjunto de coordenadas que se faz. Uma vez que a escolha acertada do conjunto de coordenadas nos permite revelar a simetria que os sistema exibe podemos concluir que que simetria e quantidades conservadas estão intimamente ligadas.

Nesta secção vamos entender por que motivo considerações de simetria são tão importantes na Física contemporânea e qual é a relação entre simetria e as leis de conservação.

Se um sistema exibe um qualquer tipo de simetria contínua então esta simetria irá sempre manifestar-se na forma de uma quantidade que se conserva. A demonstração matemática deste teorema (e as suas múltiplas generalizações) é o Teorema de Noether, mas não nos vamos debruçar sobre a demonstração neste texto. Ao invés vamos somente entender as consequências de três tipos de simetria contínua e o estudante interessado pode consultar os seguintes links para aprofundar o seu conhecimento mais teórico sobre este teorema:

— 17.1. Simetria contínua para translações no tempo —

Como sabemos da Mecânica Clássica um referencial diz-se inercial se o tempo é homogéneo. Quando dizemos que o tempo é homogéneo estamos a dizer que podemos fazer uma translação contínua ( formalmente dizemos ${ {t \rightarrow t+\delta t}}$ ) no tempo e que as características mecânicas não sofrerão alterações.

Seja ${ {L}}$ o lagrangiano de um sistema isolado. Uma vez que o sistema é isolado sabemos que as suas características mecânicas deverão permanecer invariantes no tempo. Isto é equivalente a dizermos que o seu lagrangiano não depende do tempo

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial t}=0}$

Assim a derivada total é

$\displaystyle \displaystyle \frac{dL}{dt}= \sum_j \frac{\partial L}{\partial q_j}\dot{q}_j+ \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j$

Usando a equação de Euler-Lagrange 18 para coordenadas generalizadas fica:

${ {\begin{aligned} \frac{dL}{dt} &= \sum_j \dot{q}_j\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}+ \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j \Rightarrow \\ &\Rightarrow \frac{dL}{dt}-\sum_j\frac{d}{dt}\left( \dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right)= 0 \\ &\Rightarrow \frac{d}{dt} \left( L-\sum_j\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)=0 \end{aligned}}}$

Ou seja

$\displaystyle \displaystyle L-\sum_j\dot{q}_j\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=-H \ \ \ \ \ (19)$

Onde ${ {-H}}$ (o porquê de termos um sinal ${ {-}}$ será evidente dentro de momentos) é uma constante.

Vamos admitir que ${ {U=U(x_{\alpha,i})}}$ e ${ {x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_j)}}$ . Então é ${ {U=U(q_j)}}$ e ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}=0}}$ . Logo ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=\dfrac{\partial (K-U)}{\partial \dot{q}_j}=\dfrac{\partial K}{\partial \dot{q}_j}}}$

Então podemos escrever a equação 19 na forma

$\displaystyle {\displaystyle (K-U)-\sum_j\dot{q}_j\dfrac{\partial K}{\partial \dot{q}_j}=-H}$

Donde vem que ${ {K+U=H}}$ .

A função ${ {H}}$ é o Hamiltoniano do sistema e a sua definição é dada pela equação 19.

Para além disso podemos identificar o Hamiltoniano com a energia total de um sistema quando as seguintes condições são respeitadas:

As equações para as transformações de coordenadas são independentes do tempo. Isto implica que a energia cinética é uma função quadrática homogénea em ${ {\dot{q}_j}}$
A energia potencial não depende da velocidade. Desse modo os termos ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}}}$ podem ser eliminados

— 17.2. Simetria contínua para translações no espaço —

Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é homogéneo. Quer isto dizer que todos os pontos do espaço são equivalentes e como tal o lagrangiano é invariante para translações no espaço. Formalmente escrevemos ${ {\delta L=0}}$ para ${ {\vec{r}_\alpha \rightarrow \vec{r}_\alpha+\delta\vec{r}}}$ .

Sem perda de generalidade vamos somente considerar uma partícula. Neste caso é ${ {L=L(x_i),\dot{x_i}}}$ e ${ {\displaystyle \delta \vec{r} = \sum_i\delta x_i \vec{e}_i}}$ . Calculando a variação em ${ {L}}$ devido a ${ {\delta \vec{r}}}$ é

$\displaystyle \displaystyle \delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i=0$

Ora ${ {\delta x_i=\delta\dfrac{dx_i}{dt}=\frac{d}{dt}\delta x_i=0}}$ e a expressão para a variação fica

$\displaystyle \displaystyle \delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i=0$

Para a expressão anterior ser identicamente nula temos que ter ${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=0}}$ , uma vez que ${ {\delta x_i}}$ são variações arbitrárias.

De acordo com a Equação de Euler-Lagrange 18 temos ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=c}}$ .

Logo é

${ {\begin{aligned} \frac{\partial (K-U)}{\partial \dot{x}_i} &= \frac{\partial K}{\partial\dot{x}_i}\\ &= \frac{\partial}{\partial \dot{x}_i}\left( 1/2m\sum_j\dot{x}_j^2 \right) \\ &= m\dot{x}_i \\ &= P_i \end{aligned}}}$

Assim a homogeneidade do espaço para translações implica a conservação do momento linear para um sistema isolado.

— 17.3. Simetria contínua para rotações no espaço —

Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é isotrópico. Quando dizemos que o espaço é isotrópico estamos a dizer que não existem direcções privilegiadas. Ora isto quer dizer que o lagrangiano é invariante para rotações no espaço: ${ {\delta L=0}}$ para ${ {\vec{r}_\alpha \rightarrow \vec{r}_\alpha+\delta\vec{r}}}$ onde ${ {\delta\vec{r}=\delta \vec{\theta} \times \vec{r}}}$ .

Considerando novamente uma só partícula sabemos que é ${ {\delta\vec{\dot{r}}=\delta \vec{\theta} \times \vec{\dot{r}}}}$

Para além disso também é

$\delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i=0$

De ${ {p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}}}$ e ${ {\dot{p}_i=\dfrac{\partial L}{\partial x_i}}}$ segue que

${ {\begin{aligned} \delta L &= \sum_i\dot{p}_i\delta x_i+ \sum_i p_i\delta\dot{x}_i\\ &= \dot{\vec{p}}\cdot\delta\vec{r}+ \vec{p}\cdot\delta\dot{\vec{r}} \\ &= \dot{\vec{p}}\cdot(\delta \vec{\theta} \times \vec{r})+ \vec{p}\cdot(\delta \vec{\theta} \times \dot{\vec{r}}) \\ &= \delta\vec{\theta}\cdot(\vec{r}\times\dot{\vec{p}}) + \delta\vec{\theta}\cdot(\dot{\vec{r}}\times\vec{p})\\ &= \delta\vec{\theta}\cdot (\vec{r}\times\dot{\vec{p}} + \dot{\vec{r}}\times\vec{p}) \end{aligned}}}$

Uma vez que

$\displaystyle {\delta\vec{\theta}\cdot (\vec{r}\times\dot{\vec{p}} + \dot{\vec{r}}\times\vec{p})=\delta\vec{\theta}\cdot\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})}$

e ${ {\delta L=0}}$ , segue ${ {\delta\vec{\theta}\cdot\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=0}}$ .

Uma vez que ${ {\delta\vec{\theta}}}$ é um vector arbitrário segue que ${ {\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=0}}$ . Logo ${ {\vec{r}\times\vec{p}}}$ é constante.

Em conclusão podemos dizer que a isotropia do espaço implica a conservação do momento angular. Outro resultado importante é que sempre que um sistema mecânico exibe um eixo de simetria o momento angular em torno desse eixo é uma quantidade conservada.

— 18. Dinâmica Hamiltoniana —

Como já vimos, se a energia potencial de um sistema não depende da velocidade então ${ {p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}}}$ . Consequentemente podemos definir

Definição 7

Num sistema descrito por coordenadas generalizadas ${ {q_j}}$ o momento generalizado é definido pela seguinte expressão:

$\displaystyle p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \ \ \ \ \ (20)$

Como consequência da definição anterior temos ${ {\dot{p}_j=\frac{\partial L}{\partial q_j}}}$ .

E podemos escrever o Hamiltoniano como uma transformada de Legendre do Lagrangiano

$\displaystyle H=\sum_j p_j\dot{q}_j-L \ \ \ \ \ (21)$

Uma vez que ${ {\dot{q}_j=\dot{q}_j(q_k,p_k,t)}}$ a equação 21 pode ser escrita na forma

$\displaystyle H(q_k,p_k,t)=\sum_j p_j\dot{q}_j-L(q_k,\dot{q}_k,t) \ \ \ \ \ (22)$

Assim temos ${ {H=H(q_k,p_k,t)}}$ e ${ {L=L(q_k,\dot{q}_k,t)}}$ . O diferencial de ${ {H}}$ é

$\displaystyle dH=\sum_k\left( \frac{\partial H}{\partial q_k}dq_k+\frac{\partial H}{\partial p_k}dp_k \right) + \frac{\partial H}{\partial t}dt \ \ \ \ \ (23)$

Calculando ${ {\dfrac{\partial H}{\partial q_k}}}$ e ${ {\dfrac{\partial H}{\partial p_k}}}$ via 22 e substituindo em 23 é

$\displaystyle dH=\sum_k (\dot{q}_kdp_k-\dot{p}_kdq_k)-\frac{\partial L}{\partial t}dt \ \ \ \ \ (24)$

Igualando os coeficientes de ${ {dq_k}}$ , ${ {dt_k}}$ e ${ {dt}}$ vem:

$\displaystyle \dot{q}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k} \ \ \ \ \ (25)$

$\displaystyle -\dot{p}=\frac{\partial H}{\partial q_k} \ \ \ \ \ (26)$

Que são as equações canónicas de movimento. Quando usamos estas equações para estudar a evolução temporal de um sistema estamos a usar a Mecânica Hamiltoniana.

Temos ${ {-\dfrac{\partial L}{\partial t}=\dfrac{\partial H}{\partial t}}}$ . Para além disso temos também ${ {\dfrac{dH}{dt}=\dfrac{\partial H}{\partial t}}}$ o que implica que a função hamiltoniana não depende explicitamente de ${ {t}}$ . Logo ${ {H}}$ é uma quantidade conservada.

Exemplo 7

Uma partícula de massa ${ {m}}$ move-se na superfície de um cilindro sujeita a uma força que aponta para o centro do cilindro (a origem do nosso referencial) e é proporcional à distância entre a partícula e a origem. Faça um estudo da Dinâmica Hamiltoniana deste sistema.

De ${ {\vec{F}=-k\vec{r}}}$ vem que ${ {U=1/2kr^2=1/2k(R^2+z^2)}}$ .

Para a velocidade temos ${ {v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2}}$ . Uma vez que ${ {r=R}}$ é constante vem ${ {K=1/2m(R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)}}$

Assim o lagrangiano é ${ {L=1/2m(R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-1/2k(R^2+z^2)}}$ . As coordenadas generalizadas são ${ {\theta}}$ e ${ {z}}$ . Os momentos generalizados são:

$\displaystyle p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mR^2\dot{\theta}$

and

$\displaystyle p_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z}$

Uma vez que este sistema é conservativo e as equações de transformações de coordenadas não dependem do tempo ${ {H}}$ é a energia total do sistema e é uma função de ${ {\theta}}$ , ${ {p_\theta}}$ , ${ {z}}$ e ${ {p_z}}$ . Mas ${ {\theta}}$ não aparece no lagrangiano (é uma coordenada cíclica).

$\displaystyle H(z,p_\theta,p_z)=K+U= \frac{p_\theta^2}{2mR^2}+\frac{p_z^2}{2m} +1/2kz^2$

As equações de movimento são:

$\dot{p}_\theta=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=0$
$\dot{p}_z=-\frac{\partial H}{\partial z}=-kz$
$\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\frac{p_\theta}{mR^2}$
$\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p_z}=\frac{p_z}{m}$

Das relações anteriores vemos que o momento angular em torno de ${ {z}}$ é constante: ${ {p_\theta=mR^2\dot{\theta}}}$ . O que é equivalente a dizermos que ${ {z}}$ é um eixo de simetria do sistema.

Também temos ${ {m\ddot{z}=-kz\Rightarrow m \ddot{z}+kz=0\Rightarrow \ddot{z}+k/mz=0\Rightarrow\ddot{z}+\omega_0^2}}$ com ${ {\omega_0^2=k/m}}$ . O que quer dizer que a partícula tem um movimento harmónico ao longo do eixo ${ {z}}$ .

Para finalizar o nosso tratamento da Mecânica Clássica vamos só fazer um breve sumário da Dinâmica Lagrangiana e da Dinâmica Hamiltoniana:

As coordenadas generalizadas e os respectivos momentos generalizados dizem-se coordenadas canónicas.
Coordenadas que não aparecem explicitamente em ${ {K}}$ e ${ {U}}$ dizem-se coordenadas cíclicas.
Uma coordenada que é cíclica implica sempre a existência de um momento generalizado conservado assim como um eixo de simetria.
Simetrias de uma sistema estão sempre ligadas a uma lei de conservação

Mecânica Quântica – Revisões IV

07/19/2015 11:03 am / 2 comentários em Mecânica Quântica – Revisões IV

— 13. Princípio de Hamilton —

Os princípios de minimização têm uma longa história de utilização em Ciência, e abaixo vemos alguns exemplos:

Heron explicou a reflexão da luz usando um princípio de distância mínima.
Fermat corrigiu o Princípio de Heron dizendo que a luz propaga-se entre dois pontos pelo trajecto que minimiza o tempo.
Maupertuis postulou que a dinâmica de uma partícula é sempre aquela que minimiza acção
Gauss postulou o princípio da ligação mínima
Hertz postulou o princípio da curvatura mínima

Na física moderna usamos um princípio mais geral onde tentamos encontrar extremos de uma quantidade a que chamamos acção e é o objectivo desta secção enunciar este princípio e deduzir as suas consequências.

Definição 2 O Lagrangiano (também chamado de função lagrangiana) de uma partícula é dado pela diferença entre a energia cinética, ${K}$ , e a sua energia potencial, ${U}$ .

$\displaystyle L=K-U \ \ \ \ \ (4)$

Definição 3 A Acção, ${S}$ , do movimento de uma partícula é dado pela expressão

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt \ \ \ \ \ (5)$

Axioma 1 Dado um conjunto de caminhos que uma partícula pode tomar entre os pontos ${x_1}$ e ${x_2}$ no intervalo de tempo ${\Delta t= t_2-t_1}$ ela toma sempre o caminho que torna a acção estacionária.

$\displaystyle \displaystyle \delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt=0 \ \ \ \ \ (6)$

Para coordenadas rectangulares temos ${K=K(x_i)}$ , ${U=U(x_i)}$ , assim ${L=K-U=L(x_i,\dot{x}_i)}$ (onde ${\dot{x}_i=\dfrac{dx_i}{dt}}$ é a notação de Newton para representarmos derivadas em ordem ao tempo).

A função ${L}$ pode ser identificada com a função ${f}$ que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes substituições:

${x \rightarrow t}$
${y_i(x) \rightarrow x_i(t)}$
${y\prime_i(x) \rightarrow x\prime_i(t)}$
${f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(x_i,\dot{x}_i,t)}$

Neste caso as equações de Euler passam a chamar-se de equações de Euler-Lagrange e temos:

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0$

Exemplo 3 Vamos estudar o Oscilador Harmónico usando o formalismo Lagrangiano:

$\displaystyle L=K-U=1/2m\dot{x}^2-1/2kx^2 \ \ \ \ \ (7)$

Em primeiro lugar temos ${\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=-kx}$ .

Também temos ${\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}m\dot{x}=m\ddot{x}}$ .

Assim fica

$\displaystyle \dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 \Rightarrow m\ddot{x}+kx=0 \Rightarrow m\ddot{x}=-kx$

que é a conhecida equação que descreve a dinâmica de um oscilador harmónico.

Exemplo 4 Considere um pêndulo plano, escreva o seu lagrangiano e derive as equações de movimento.

O Lagrangiano para o pêndulo plano é

$\displaystyle L=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos \theta) \ \ \ \ \ (8)$

Se considerarmos ${\theta}$ como sendo uma coordenada rectangular (e nós sabemos que não é!) segue que a equação de movimento é

$\displaystyle \displaystyle \ddot{\theta}+g/l\sin \theta=0$

Esta equação é exactamente a equação de movimento de um pêndulo plano e este resultado é admirável porque até agora só analisamos o lagrangiano para coordenadas rectangulares e ainda assim ele foi capaz de dar o resultado correcto de um sistema expresso em coordenadas não rectangulares.

— 14. Coordenadas generalizadas —

Considere um sistema mecânico constituído por ${n}$ partículas. Neste caso temos ${3n}$ quantidades para descrever a posição de todas as partículas (uma vez que temos três graus de liberdade).

Se por acaso também tivermos algum tipo de ligações que restringem o movimento das partículas a quantidade necessária para descrever o movimento das partículas é menor do que ${3n}$ . Vamos admitir que temos ${m}$ ligações, nesse caso os graus de liberdade são ${3n-m}$ .

Seja ${s=3n-m}$ os graus de liberdade deste sistema. Estes graus de liberdade correspondem então a ${s}$ coordenadas, e estas coordenadas não precisam de ser rectangulares, polares, cilíndricas nem esféricas. A única coisa que devem fazer é descrever de forma total o estado mecânico do sistema.

Definição 4

As ${s}$ coordenadas que especificam totalmente o estado mecânico de um sistema de ${n}$ partículas têm o nome de coordenadas generalizadas.

As coordenadas generalizadas são representadas por

$\displaystyle q_1,q_2,\cdots,q_s \ \ \ \ \ (9)$

Uma vez que definimos o conjunto de coordenadas generalizadas de um sistema de partículas podemos também definir as suas velocidades generalizadas.

Definição 5

As ${s}$ velocidades de um sistema de ${n}$ partículas descrito por coordenadas generalizadas têm o nome de velocidades generalizadas.

As velocidades generalizadas são representadas por

$\displaystyle \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_s} \ \ \ \ \ (10)$

Seja ${\alpha}$ uma variável que denota uma partícula, ${\alpha=1,2,\cdots,n}$ ; ${i}$ representa o número de graus de liberdade ${i}$ , ${i=1,2,3}$ ; e ${j}$ o número de coordenadas generalizadas ${j=1,2,\cdots,s}$ .

$\displaystyle x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_1,q_2,\cdots,q_s,t)=x_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (11)$

Para as velocidades generalizadas é

$\displaystyle \dot{x}_{\alpha,i}=\dot{x}_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (12)$

E as transformações inversas são

$\displaystyle q_j=q_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (13)$

$\displaystyle \dot{q_j}=\dot{q}_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (14)$

Finalmente vamos também dizer que precisamos de ${m=3n-s}$ equações de ligação

$\displaystyle f_k=f_k(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (15)$

com ${k=1,2,\cdots,m}$ .

Exemplo 5 Considere uma partícula pontual que se move na superfície de uma semi-esfera de raio ${R}$ cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas.

As equações relevantes são ${x^2+y^2+z^2-R^2\geq 0}$ e ${z\geq 0}$ .

Vamos tomar ${q_1=x/R}$ , ${q_2=y/R}$ e ${q_3=z/R}$ como as coordenadas generalizadas.

Para além disso também temos a ligação ${q_1^2+q_2^2+q_3^2=1}$ . Assim ${q_3=\sqrt{1-(q_1^2+q_2^2)}}$

Definição 6

O Espaço de Configuração é o espaço vetorial definido pelo conjunto das coordenadas generalizadas.

A evolução no tempo de um sistema mecânico pode ser representado como uma curva no espaço de configuração.

— 15. As equações de Euler-Lagrange em coordenadas generalizadas —

Uma vez que ${K}$ e ${U}$ são funções escalares, ${L}$ também é uma função escalar. Logo ${L}$ é um invariante para transformações de coordenadas.

Assim é

$\displaystyle L=K(\dot{x}_{\alpha,i})- U(x_{\alpha,i})=K(q_j,\dot{q}_j,t)-U(q_j,t) \ \ \ \ \ (16)$

e ${L=L(q_j,\dot{q}_j,t)}$ .

Logo, podemos escrever o Princípio de Hamilton (secção 13) na seguinte forma:

$\displaystyle \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_j,\dot{q}_j,t) dt=0 \ \ \ \ \ (17)$

E agora temos que fazer as seguintes substituições

${x \rightarrow t}$
${y_i(x) \rightarrow q_j(t)}$
${y\prime_i(x) \rightarrow q\prime_j(t)}$
${f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(q_j,\dot{q}_j,t)}$

E as equações de Euler-Lagrange ficam

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=0 \ \ \ \ \ (18)$

Para ${j=1,2,\cdots,s}$

Para finalizar esta secção vamos apontar as condições de aplicabilidade das equações de Euler-Lagrange:

O sistema é conservativo.
As ligações são funções das coordenadas das partículas e também podem ser funções do tempo.

Exemplo 6 Considere o movimento de uma partícula de massa ${m}$ ao longo de uma superfície de um cone sob a acção da gravidade.

Calcule o seu lagrangiano e as equações de movimento.

As equações para as coordenadas generalizadas são ${z=r\cot\alpha}$ e ${v^2=\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2}$ .

Para a energia potencial ${U=mgz=mgr\cot\alpha}$ . E assim o lagrangiano é

$\displaystyle \displaystyle L=1/2m(\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2)-mgr\cot\alpha$

Uma vez que ${\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=0}$ vem que ${\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=0}$ . Assim é ${\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}=\mathrm{const}}$ .

O momento angular em torno do eixo ${z}$ é ${mr^2\dot{\theta}=mr^2\omega}$ . Assim ${mr^2\omega=\mathrm{const}}$ expressa a conservação do momento angular em torno de um eixo de simetria do sistema.