Início » Posts tagged 'Lagrangiano'
Tag Archives: Lagrangiano
Mecânica Quântica – Revisões VI
— 19. Resolução de Exercícios —
Exercício 2 Escolha o conjunto de coordenadas generalizadas que especifica totalmente o estado mecânico de cada um dos sistemas:
|
Exercício 3 Derive as transformações de equações para um pêndulo duplo.
Temos: |
Exercício 4 Mostre que é:
Temos
Que é o resultado pretendido |
Exercício 5 Considere um conjunto de partículas que descrevem um incremento Primeiro vamos notar que é
Para
e |
Exercício 6 Mostre que Temos e Logo
Uma vez que |
Exercício 7 Derive o lagrangiano de um pêndulo simples e obtenha as equações de movimento
A coordenada generalizada para o pêndulo simples é
A energia cinética é
A energia potencial é Assim o lagrangiano é Uma vez que temos e E a equação de Euler-Lagrange fica
|
Exercício 8
Duas partículas de massa
A energia cinética é
A energia potencial é
Logo o lagrangiano é As derivadas parciais do lagrangiano são: E as equações de Euler-Lagrange ficam: |
Exercício 9
Uma partícula de massa
|
Exercício 10 Para um duplo pêndulo calcule:
|
Exercício 11 Uma partícula move-se no plano
|
Exercício 12
Uma partícula descreve um movimento unidimensional sujeita a uma força da forma
Onde
Uma vez que
Para a energia cinética é
Ora E o hamiltoniano é
Uma vez que
Uma vez que |
Exercício 13
Considere duas funções das coordenadas generalizadas e os momentos generalizados, Mostre que as seguintes propriedades do parênteses de Poisson são válidas:
Se o parênteses de Poisson entre duas funções é nulo então dizemos que as duas funções comutam. |
Mecânica Quântica – Revisões V
— 16. Formalismo newtoniano e Equações de Euler-Lagrange —
Como vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões IV ao utilizar as equações de Euler-Lagrange que descrevem um sistema mecânico chegamos às mesmas equações do formalismo newtoniao.
O objectivo deste secção é demonstrar de uma forma mais rigorosa que ambas as formulações da mecânica clássica são de facto equivalentes (ou dizendo de forma mais exacta: quais são as condições que tornam o formalismo newtoniano e o formalismo lagrangiano equivalentes para a mecânica clássica).
Já sabemos que é para
. Usando a definição de
podemos reescrever a equação do lagrangiano:
Uma vez que a nossa análise não depende do conjunto de coordenadas utilizado vamos escolher trabalhar com coordenadas rectangulares pois são matematicamente mais cómodas. Assim temos e
. Uma vez que é
e
vem que
. Para um sistema conservativo temos
.
Logo para é válido
Assim é que é a Segunda Lei de Newton (Segundo Axioma ou Segundo Postulado de Newton seriam nomes mais correctos…). No formalismo newtoniano da Mecânica Clássica o que dita a dinâmica de uma partícula é a segunda Lei de Newton, assim sendo acabámos de demonstrar que ambas as formulações são equivalentes.
— 17. Introdução à Simetria —
O leitor certamente notou no último exemplo que a ausência de uma coordenada generalizada no lagrangiano de um sistema implicaca a conservação de um momento (seja ele linear ou angular). Estas coordenadas que não aparecem no lagrangiano recebem o nome de coordenadas cíclicas.
Obviamente que a presença ou ausência de coordenadas cíclicas num lagrangiano depende da escolha de coordenadas. No entanto o facto de um momento ser conservado ou não, não pode depender da escolha do conjunto de coordenadas que se faz. Uma vez que a escolha acertada do conjunto de coordenadas nos permite revelar a simetria que os sistema exibe podemos concluir que que simetria e quantidades conservadas estão intimamente ligadas.
Nesta secção vamos entender por que motivo considerações de simetria são tão importantes na Física contemporânea e qual é a relação entre simetria e as leis de conservação.
Se um sistema exibe um qualquer tipo de simetria contínua então esta simetria irá sempre manifestar-se na forma de uma quantidade que se conserva. A demonstração matemática deste teorema (e as suas múltiplas generalizações) é o Teorema de Noether, mas não nos vamos debruçar sobre a demonstração neste texto. Ao invés vamos somente entender as consequências de três tipos de simetria contínua e o estudante interessado pode consultar os seguintes links para aprofundar o seu conhecimento mais teórico sobre este teorema:
— 17.1. Simetria contínua para translações no tempo —
Como sabemos da Mecânica Clássica um referencial diz-se inercial se o tempo é homogéneo. Quando dizemos que o tempo é homogéneo estamos a dizer que podemos fazer uma translação contínua ( formalmente dizemos ) no tempo e que as características mecânicas não sofrerão alterações.
Seja o lagrangiano de um sistema isolado. Uma vez que o sistema é isolado sabemos que as suas características mecânicas deverão permanecer invariantes no tempo. Isto é equivalente a dizermos que o seu lagrangiano não depende do tempo
Assim a derivada total é
Usando a equação de Euler-Lagrange 18 para coordenadas generalizadas fica:
Ou seja
Onde (o porquê de termos um sinal
será evidente dentro de momentos) é uma constante.
Vamos admitir que e
. Então é
e
. Logo
Então podemos escrever a equação 19 na forma
Donde vem que .
A função é o Hamiltoniano do sistema e a sua definição é dada pela equação 19.
Para além disso podemos identificar o Hamiltoniano com a energia total de um sistema quando as seguintes condições são respeitadas:
- As equações para as transformações de coordenadas são independentes do tempo. Isto implica que a energia cinética é uma função quadrática homogénea em
- A energia potencial não depende da velocidade. Desse modo os termos
podem ser eliminados
— 17.2. Simetria contínua para translações no espaço —
Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é homogéneo. Quer isto dizer que todos os pontos do espaço são equivalentes e como tal o lagrangiano é invariante para translações no espaço. Formalmente escrevemos para
.
Sem perda de generalidade vamos somente considerar uma partícula. Neste caso é e
. Calculando a variação em
devido a
é
Ora e a expressão para a variação fica
Para a expressão anterior ser identicamente nula temos que ter , uma vez que
são variações arbitrárias.
De acordo com a Equação de Euler-Lagrange 18 temos .
Logo é
Assim a homogeneidade do espaço para translações implica a conservação do momento linear para um sistema isolado.
— 17.3. Simetria contínua para rotações no espaço —
Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é isotrópico. Quando dizemos que o espaço é isotrópico estamos a dizer que não existem direcções privilegiadas. Ora isto quer dizer que o lagrangiano é invariante para rotações no espaço: para
onde
.
Considerando novamente uma só partícula sabemos que é
Para além disso também é
De e
segue que
Uma vez que
e , segue
.
Uma vez que é um vector arbitrário segue que
. Logo
é constante.
Em conclusão podemos dizer que a isotropia do espaço implica a conservação do momento angular. Outro resultado importante é que sempre que um sistema mecânico exibe um eixo de simetria o momento angular em torno desse eixo é uma quantidade conservada.
— 18. Dinâmica Hamiltoniana —
Como já vimos, se a energia potencial de um sistema não depende da velocidade então . Consequentemente podemos definir
Definição 7
Num sistema descrito por coordenadas generalizadas
|
Como consequência da definição anterior temos .
E podemos escrever o Hamiltoniano como uma transformada de Legendre do Lagrangiano
Uma vez que a equação 21 pode ser escrita na forma
Assim temos e
. O diferencial de
é
Calculando e
via 22 e substituindo em 23 é
Igualando os coeficientes de ,
e
vem:
e
Que são as equações canónicas de movimento. Quando usamos estas equações para estudar a evolução temporal de um sistema estamos a usar a Mecânica Hamiltoniana.
Temos . Para além disso temos também
o que implica que a função hamiltoniana não depende explicitamente de
. Logo
é uma quantidade conservada.
Exemplo 7
Uma partícula de massa
De
Para a velocidade temos
Assim o lagrangiano é and
Uma vez que este sistema é conservativo e as equações de transformações de coordenadas não dependem do tempo As equações de movimento são:
Das relações anteriores vemos que o momento angular em torno de
Também temos |
Para finalizar o nosso tratamento da Mecânica Clássica vamos só fazer um breve sumário da Dinâmica Lagrangiana e da Dinâmica Hamiltoniana:
- As coordenadas generalizadas e os respectivos momentos generalizados dizem-se coordenadas canónicas.
- Coordenadas que não aparecem explicitamente em
e
dizem-se coordenadas cíclicas.
- Uma coordenada que é cíclica implica sempre a existência de um momento generalizado conservado assim como um eixo de simetria.
- Simetrias de uma sistema estão sempre ligadas a uma lei de conservação
Mecânica Quântica – Revisões IV
— 13. Princípio de Hamilton —
Os princípios de minimização têm uma longa história de utilização em Ciência, e abaixo vemos alguns exemplos:
- Heron explicou a reflexão da luz usando um princípio de distância mínima.
- Fermat corrigiu o Princípio de Heron dizendo que a luz propaga-se entre dois pontos pelo trajecto que minimiza o tempo.
- Maupertuis postulou que a dinâmica de uma partícula é sempre aquela que minimiza acção
- Gauss postulou o princípio da ligação mínima
- Hertz postulou o princípio da curvatura mínima
Na física moderna usamos um princípio mais geral onde tentamos encontrar extremos de uma quantidade a que chamamos acção e é o objectivo desta secção enunciar este princípio e deduzir as suas consequências.
Definição 2 O Lagrangiano (também chamado de função lagrangiana) de uma partícula é dado pela diferença entre a energia cinética, |
Definição 3 A Acção, |
Axioma 1 Dado um conjunto de caminhos que uma partícula pode tomar entre os pontos |
Para coordenadas rectangulares temos ,
, assim
(onde
é a notação de Newton para representarmos derivadas em ordem ao tempo).
A função pode ser identificada com a função
que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes substituições:
Neste caso as equações de Euler passam a chamar-se de equações de Euler-Lagrange e temos:
— 14. Coordenadas generalizadas —
Considere um sistema mecânico constituído por partículas. Neste caso temos
quantidades para descrever a posição de todas as partículas (uma vez que temos três graus de liberdade).
Se por acaso também tivermos algum tipo de ligações que restringem o movimento das partículas a quantidade necessária para descrever o movimento das partículas é menor do que . Vamos admitir que temos
ligações, nesse caso os graus de liberdade são
.
Seja os graus de liberdade deste sistema. Estes graus de liberdade correspondem então a
coordenadas, e estas coordenadas não precisam de ser rectangulares, polares, cilíndricas nem esféricas. A única coisa que devem fazer é descrever de forma total o estado mecânico do sistema.
Definição 4
As As coordenadas generalizadas são representadas por |
Uma vez que definimos o conjunto de coordenadas generalizadas de um sistema de partículas podemos também definir as suas velocidades generalizadas.
Definição 5
As As velocidades generalizadas são representadas por |
Seja uma variável que denota uma partícula,
;
representa o número de graus de liberdade
,
; e
o número de coordenadas generalizadas
.
Para as velocidades generalizadas é
E as transformações inversas são
e
Finalmente vamos também dizer que precisamos de equações de ligação
com .
Definição 6
O Espaço de Configuração é o espaço vetorial definido pelo conjunto das coordenadas generalizadas. |
A evolução no tempo de um sistema mecânico pode ser representado como uma curva no espaço de configuração.
— 15. As equações de Euler-Lagrange em coordenadas generalizadas —
Uma vez que e
são funções escalares,
também é uma função escalar. Logo
é um invariante para transformações de coordenadas.
Assim é
e .
Logo, podemos escrever o Princípio de Hamilton (secção 13) na seguinte forma:
E agora temos que fazer as seguintes substituições
E as equações de Euler-Lagrange ficam
Para
Para finalizar esta secção vamos apontar as condições de aplicabilidade das equações de Euler-Lagrange:
- O sistema é conservativo.
- As ligações são funções das coordenadas das partículas e também podem ser funções do tempo.