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Análise Matemática – Limites e Continuidade V
A condição , por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição para limites e a definição para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.
De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição .
— 4.7. para continuidade —
Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.
Seja (que é uma função obviamente contínua!).
O ponto de utilizarmos o argumento para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do escolhido conseguimos sempre encontrar um que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.
Voltando à nossa função vem que . Neste caso temos . Assim
Que é trivialmente válido, uma vez que por hipótese. Assim qualquer valor positivo de satisfaz o critério de Heine para a continuidade e é contínua em .
Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a para além de que podemos concluir que é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Vamos agora analisar e novamente vamos estudar a continuidade no ponto ():
A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma (a primeira parte do critério ).
Se tomarmos fica então o que completa a nossa demonstração que é contínua em .
Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de para além de que e como tal concluímos que é contínua no seu domínio.
Vamos agora olhar para funções da forma e estudar a continuidade de em .
Se tomarmos vem que e é contínua em .
Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função .
Uma vez que queremos algo da forma a última expressão não nos é útil.
Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.
Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.
Uma vez que sabemos que em algum momento vai estar no primeiro quadrante. Assim
Onde a última desigualdade é válida por hipótese.
Quer isto dizer que se tomarmos fica que é a condição para a continuidade.
— 4.8. para limites —
Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.
Seja . Queremos mostrar que .
Que é trivialmente válido para qualquer valor de , assim pode ser um número positivo qualquer.
Seja . Queremos mostrar que .
Com satisfazemos a condição para limites.
Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.
Nesse artigo demonstrámos que para o limite não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que usando a condição :
Uma vez que ou vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.
No primeiro caso é que é trivialmente válido e assim pode ser um número positivo qualquer.
No segundo caso é . Tomando faz com que se respeite o critério de Heine.
Uma vez que mostramos que a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em .