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Análise Matemática – Limites e Continuidade VII

08/23/2015 2:48 pm / 1 comentário em Análise Matemática – Limites e Continuidade VII

— 6. Propriedades globais de funções contínuas —

Teorema 51 {Teorema do valor intermédio} Seja { {I=[a,b] \in \mathbb{R}}} e { {f: I \rightarrow \mathbb{R}}} contínua. Seja { {u \in \mathbb{R}}} tal que { {\inf(I)<u<\sup(I)}}, então existe { {c \in I}} tal que { {f(c)=u}}.

Demonstração: Omitida. \Box

De uma forma intuitiva podemos dizer que o teorema anterior mostra que se o gráfico de uma função contínua não tem buracos se o domínio dessa função também não tem buracos.

Corolário 52 Seja { {[a,b]}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Vamos admitir que { {f(a)f(b)<0}}. Então { {\exists c \in ]a,b[}} tal que { {f(c)=0}}.

Demonstração: O contradomínio de { {f}} contém valores maiores que { {0}} e valores menores que { {0}}. Logo { {\sup f(I)>0}} e { {\inf f(I)<0}}. Assim { {0}} está estritamente compreendido entre o ínfimo e o supremo do contradomínio de { {f}}. Por hipótese a função não se anula nas extremidades do intervalo, logo o valor { {0}} tem que ocorrer dentro do intervalo. \Box

Corolário 53 Seja { {I\in\mathbb{R}}}, { {f:I\rightarrow\mathbb{\mathbb R}}} uma função contínua. Então { {f(I)}} também é um intervalo.

Demonstração: Seja { {\alpha=\inf(I)}} e { {\beta=\sup(I)}}. Por definição de ínfimo e supremo é { {f(I)\subset [\alpha , \beta]}}. Usando o Teorema 51 vem que { {]a,b[\subset f(I)}}. Assim temos quatro possibilidades para { {f(I)}}:

{f(I)=\begin{cases}{\alpha , \beta} \\ ]\alpha , \beta] \\ [\alpha , \beta[ \\ ]\alpha , \beta[ \end{cases}} \Box

Como uma aplicação dos resultados anteriores vamos olhar para { {P(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0}} com { {n}} ímpar e { {a_n > 0}}. Sabemos que é { {P(x)\sim a_nx^n}} para grandes valores (sejam eles positivos ou negativos) de { {x}}. Temos { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} P(x)=+\infty}} e { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} P(x)=-\infty}}.

Uma vez que

  • { {P(x)}} é uma função contínua.
  • O domínio, { {D}} de { {P(x)}} é { {\mathbb{R}}} que é um intervalo.
  • { {\sup(D)=+\infty}} e { {\inf(D)=-\infty}}, o que implica que { {P[\mathbb{R}]=]-\infty, +\infty[}}

Pelo Corolário 52 é { {0\in P[\mathbb{R}]}}. O que implica que todos os polinómios ímpares têm pelo menos um { {0}}.

Teorema 54 {Continuidade da função inversa} Seja { {I}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} uma função contínua e monótona. Então { {f^{-1}}} também é contínua e monótona.

Demonstração: Omitida. \Box

Este teorema tem muitas aplicações importantes e vamos utiliza-lo para definir as funções inversas das funções trigonométricas.

— Arco seno —

No intervalo { {[-\pi/2,\pi/2]}} a função { {\sin x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função seno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função seno por {\arcsin}:

\displaystyle y=\sin x\quad\mathrm{com}\quad x\in [\pi/2,\pi/2]\Leftrightarrow x=\arcsin x

Uma vez que temos { {\sin x:[-\pi/2,\pi/2]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arcsin x:[-1,1]\rightarrow [-\pi/2,\pi/2]}}. Usando o Teorema 54 { {\arcsin}} é contínua.

A representação gráfica de { {\arcsin x}} é

É evidente pelo gráfico que { {\arcsin x}} é uma função ímpar.

— Arco tangente —

No intervalo { {]-\pi/2,\pi/2[}} a função { {\tan x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função tangente neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função tangente por {\arctan}:

\displaystyle y=\tan x\quad\mathrm{com}\quad x\in ]\pi/2,\pi/2[\Leftrightarrow x=\arctan x

Uma vez que { {\tan x:]-\pi/2,\pi/2[\rightarrow]-\infty,+\infty[}} vem que { {\arctan x:]-\infty,+\infty[\rightarrow ]-\pi/2,\pi/2[}}. Usando o Teorema 54 {\arctan} é contínua.

A representação gráfica de {\arctan} é

É evidente pelo gráfico que {\arctan} é uma função ímpar.

— Arco coseno —

No intervalo { {[0,\pi]}} a função { {\cos x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função coseno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função coseno por {\arccos}:

\displaystyle y=\cos x\quad\mathrm{com}\quad x\in [0,\pi]\Leftrightarrow x=\arccos x

Uma vez que { {\cos x:[0,\pi]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arccos x:[-1,1]\rightarrow [0,\pi]}}. Usando o Teorema 54 {\arccos} é contínua.

A representação gráfica de {\arccos} é

Podemos ainda representar a função arco coseno usando a seguinte equação

\displaystyle \cos=\sin(\pi/2-x)

para escrever

\displaystyle \arccos y=\frac{\pi}{2}-\arcsin y

— 6.4. Funções contínuas e intervalos —

Teorema 55 Seja { {[a,b]\subset \mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}}. Então { {f}} tem um máximo e um mínimo.

Demonstração: Seja { {E}} o contradomínio de { {f}} e { {s=\sup E}}. Pelo Teorema 17 no artigo Análise Matemática – Sucessões II existe uma sucessão { {y_n}} de pontos em { {E}} tal que { {\lim y_n=s}}.

Uma vez que os termos de { {y_n}} são pontos de { {f}}, para cada { {n}} existe { {x_n\in [a,b]}} tal que { {y_=f(x_n)}}.

Uma vez que { {x_n}} é uma sucessão cujo domínio é um intervalo compacto { {[a,b]}}, pelo Corolário 27 sabemos que existe uma subsucessão { {x_{\alpha n}}} de { {x_n}} que converge para um ponto de { {[a,b]}}.

Seja { {c\in [a,b]}}tal que { {x_n\rightarrow c}}.

Uma vez que { {f}} é contínua em { {c}} vem, pela definição de continuidade, que { {\lim f(x_{\alpha n})=f(c)}}. mas { {f(x_{\alpha n})=y_{\alpha n}}}, que é uma subsucessão de { {y_n}}. Visto que { {y_n\rightarrow s}} também é { {y_{\alpha n}\rightarrow s}}.

Mas { {y_{\alpha n}=f(x_{\alpha n})\rightarrow f(c)}}.

Concluindo vem que { {s=f(c)}}, logo { {s\in E}}. Ou seja { {s=\max E}}.

Para o mínimo podemos construir uma prova análoga que fica como um exercício para o leitor. \Box

Uma mnemónica útil para recordamos o teorema anterior é

Funções contínuas têm um máximo e um mínimo num intervalo compacto.

Teorema 56 Seja { {I}} um intervalo compacto de { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Então { {f(I)}} é um intervalo compacto.

Demonstração: Pelo Corolário 53 { {f(I)}} é um intervalo. Pelo Teorema 55 { {f(I)}} tem um máximo e um mínimo.

Assim { {f(I)}} é da forma { {[\alpha , \beta]}}.

Logo { {f(I)}} é um intervalo limitado e fechado, que é a definição de um intervalo compacto. \Box

O corolário anterior pode ser expressado da seguinte forma (mais uma mnemónica útil):

Uma função contínua transforma intervalos compactos em intervalos compactos.

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