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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 1)

— 2. Exercícios sobre Geométrica —

— 2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos —

Exercício 7 Supondo que o objecto B,no instante inicial está em movimento com a velocidade de {1 \ m/s},na direcção indicada. Após quanto tempo será visível pelo espelho de vidro,pelo observador no ponto A?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

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Resolução 7 .

O problema a seguir trata de um problema de Campo de Visão. Pretendemos determinar após quanto tempo o corpo B é visível ao observador do ponto A, pelo espelho na parede.

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Considerando as dimensões indicadas pelos quadriculados, e a posição do ponto A, podemos traçar os raios luminosos que partem do ponto A e se reflectem no espelho. Os raios que vão definir o campo de visão serão os raios que incidem nas extremidades do espelho. No caso os raios (1) e (2).

Traçamos os seus raios reflectidos pelo espelho, obedecendo a lei da reflexão, de modos que formem os mesmos ângulos. Neste caso, traçamos os raios (1′) e (2′) respeitando a simetria do problema. Veja a figura a seguir:

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Neste caso, o campo de visão do observador A é a região compreendida entre os raios (1′) e (2′).

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O Corpo B será visível pelo observador A no momento em que entra no campo de visão de A. Considerando que o corpo B se move e direcção horizontal, ele entrará no campo de visão de A, quando atingir o ponto P, que é o ponto de intercessão entre a linha da sua trajectória e o raio reflectido (1′).

Para calcularmos o tempo, devemos achar primeiramente a distancia percorrida por ele (corpo B) até chegar ao ponto P. No gráfico, podemos observar que esta distancia igual a 2 metros. Então:

{\Delta x = \ 2 m.}

Então, como estamos a avaliar o movimento como um todo, usamos as equações do MRU. Logo:

\displaystyle v = \ \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow \Delta t = \ \dfrac{\Delta x}{v} = \

\displaystyle \Rightarrow \Delta t = \dfrac{2 \ m}{1 \ m/s} \Rightarrow \Delta t = \ \ 2 s

Exercício 8 Dois espelhos planos estão dispostos de modo a formar um ângulo de {30^o} entre eles, conforme a figura abaixo. Um raio luminoso incide sobre um dos espelhos, formando um ângulo de {70^o} com a superfície. Este raio reflecte-se neste espelho e depois se reflecte no outro espelho, e cruza o raio incidente formando um ângulo {\alpha}. Qual é o valor deste ângulo{\alpha}?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8

Em primeiro lugar, devemos devemos dar nome aos pontos de referência:

  • O raio incidente identificamo-lo por 1;
  • O raio reflectido do primeiro espelho, que vai para o segundo espelho, identificamo-lo por 2;
  • O raio que sai do segundo espelho e cruza novamente com raio 1, identificamo-lo por 3;
  • O ponto de intersecção do raio 1 com o primeiro espelho, identificamo-lo por A;
  • O ponto intersecção do raio 2 com o segundo espelho, identificamo-lo por B;
  • O ponto de intersecção do raio 3 com raio 1, identificamo-lo por D;
  • O ponto de cruzamento dos dois espelhos, identificamo-lo por C.
  • O ângulo formado entre o raio 1 e o raio 2, identificamo-lo por {\beta};
  • O ângulo formado entre o raio 2 2 o espelho 1, identificamo-lo por {\varphi};
  • O ângulo formado entre o raio 2 e o segundo espelhos, identificamo-lo por {\gamma};
  • o ângulo formado entre o raio 2 e o raio 3, identificamo-lo por {\delta};
  • o ângulo formado entre o raio 3 e o espelho 2, identificamo-lo por {\gamma '}.

Queremos determinar {\alpha}, pela geometria sabemos que rectas concorrentes(rectas que se cruzam) formam dois ângulos iguais e opostos, então:

\displaystyle \alpha = \ \alpha'

Podemos determinar {\alpha'} pelo triângulo ABD. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual à {180^o}, então:

\displaystyle \alpha' + \beta + \delta = \ 180^o

O raio 1 forma um ângulo de {70^o} com o espelho {E_1} e pela lei da reflexão, por analogia, o raio 2 também forma um ângulo de {70^o} com o mesmo espelho( {\varphi = \ 70^o}).

A soma destes três ângulos {(\varphi, \ \beta \ e \ 70^o} dá um ângulo de {180^0}, então:

\displaystyle \varphi + \beta+ 70^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \beta = \ 180^o - 70^o - \varphi = \ 180^o - 70^o - 70^o \Rightarrow \beta = \ 40^o

No triângulo ABC, {\gamma} é um dos ângulos do mesmo triângulo e, como já sabemos, a soma dos três ângulos deste triângulo é igual a {180^o}. Assim podemos determinar {\gamma}:

\displaystyle \varphi + \gamma + 30^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \gamma = \ 180^o-30^o- \varphi = \ 180^o-30^o-70^o \Rightarrow \gamma = \ 80^o

Como {\gamma} é o ângulo formado pelo raio 2 e o espelho 2, pela lei de reflexão, por analogia, este ângulo é igual ao ângulo formado pelo raio 3 e o espelho 2 {\gamma'}. Desta forma podemos determinar {\delta};

\displaystyle \gamma + \delta + \gamma ' = \ 180^o \Rightarrow \delta = \ 180^o - \gamma -\gamma ' = \ 180^o - 80^o - 80^o \Rightarrow \delta = \ 20^o

Tendo já conhecido os valores de {\beta} e {\delta} podemos determinar {\alpha '} que consequentemente será igual à {\alpha}.

\displaystyle \alpha ' + \delta + \beta = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \alpha ' = \ 180^o - \delta - \beta = \ 180^o - 20^o - 40^o \Rightarrow \alpha ' = \ 120^o

\displaystyle \alpha ' = \ \alpha, \ logo: \ \alpha = \ 120^o

Exercício 9

Considere a figura baixo em que um ponto A está situado em frente de um espelho plano. Qual é a distância entre a imagem do ponto A e o ponto B, na figura, considerando as dimensões da escala indicada?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 9

E primeiro lugar, devemos localizar a imagem de A. Para esboçar a imagem, seguimos o seguinte raciocínio:

  1. Tracemos dois raios incidentes partindo do ponto A, que incidem no espelho 1 e 2;
  2. Sabemos que por ser um espelho plano os raios vão se reflectir sob o mesmo ângulo. Traçamos então os raios reflectidos 1′ e 2′;
  3. A partir da prolongação dos raios reflectidos pelo espelho podemos determinar a posição da imagem. Está imagem, de acordo com a formação da imagem me espelhos planos, estará à mesma distancia do espelho a que o objecto A se encontra. Neste caso a imagem estará a {1 m} de distância do espelho.

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A distância entre a imagem de A (A’) e o ponto B é o segmento:{\overline{A'B}}.

Considerando a escala em quadriculado, podemos considerar o triângulo rectângulo (A’BP). Neste caso, {\overline{A'B}} é a hipotenusa do triângulo rectângulo.

Então:

\displaystyle \overline{A'B}^2 = \ \overline{A'P}^2+\overline{PB}^2

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{8^2+3^2}

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{73}

\displaystyle \overline{A'B} = \ 8,544 m

Exercício 10 A distância entre A e o espelho plano {E_1} é de 20 cm. A distância entre o mesmo ponto e o outro espelho plano {E_2} é de 40 cm. Sendo o ângulo {\theta = \ 30^o}. Determine a distância entre a posição da imagem do ponto A formada pelo espelho {E_1} e a imagem do mesmo ponto formada pelo espelho {E_2}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10

Em primeiro lugar devemos encontrar as imagens formadas pelos espelhos {E_1} e {E_2}.

Sabemos que, nos espelhos planos, a imagem é formada no lado oposto ao espelho, na direcção da perpendicular ao espelho que passa pelo objecto em causa (A) e fica situada a uma distância igual a distância entre objecto e o espelho.

Usando isso, podemos encontrar uma imagem do objecto a ser formado pelo espelho {E_1} (que designamos de {4}) e pelo espelho {E_2} (que designamos {C}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem B (Segmento {\overline{AB}}) e o próprio espelho {E_1} identificamos por {B'}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem C (Segmento {\overline{AC}}) e o próprio espelho {E_2} identificamos por {C'}.

Então pela formação de imagens em espelhos planos sabemos que {\overline{AB'}=\overline{B'B}} e que {\overline{AC'}=\overline{C'C}}.

A distância que deseja determinar corresponde ao segmento {\overline{BC}}.

Consideremos {\overline{AB} = \ a}, distância entre o objecto e a imagem formada pelo espelho {E_1}, e {\overline{BC} = \ d}, distância entre as duas imagens.

As imagens são formadas pela prolongação dos raios incididos perpendicularmente aos espelhos. Neste caso o ângulo entre cada espelho e o seu respectivo raio incidido é igual à {90^o}.

Por se tratar de espelhos planos, a distância entre cada imagem e o espelho que forma esta imagem é igual à distância entre o objecto e o respectivo espelho. Então:

\displaystyle \overline{BB'} = \ \overline{AB'} = \ 20 \ cm \Rightarrow \overline{AB} = \ a = \ 2\overline{AB'} = \ 2 \cdot 20 \ cm = \ 40 \ cm

\displaystyle \overline{CC'} = \ \overline{AC'} = \ 40 \ cm \Rightarrow \overline{AC} = \ b = \ 2\overline{AC'} = \ 2 \cdot 40 \ cm = \ 80 \ cm

Podemos determinar {\overline{BC} = \ d} pela lei dos cossenos:

\displaystyle d^2 = \ a^2+b^2-2ab \cos \alpha

Mas precisamos antes determinar {\alpha}. {\alpha} é um dos ângulos internos do quadrilátero AB’C’D. Pela geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual à {360^o}. Então:

\displaystyle \theta + 90^o + \alpha + 90^o = \ 360^o \Rightarrow \alpha = \ 360^o - 180^o - \theta

Sabendo que {\theta = \ 30^o}, teremos:

\displaystyle \alpha = \ 360^o - 180^o -30^o \Rightarrow \alpha = \ 150^o

Assim, já podemos calcular o valor da distância entre as imagens formadas pelos dois espelhos:

\displaystyle d^2 = \ a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha\Rightarrow d = \ \sqrt{a^2+b^2-2ab \cos \alpha}

\displaystyle a = \ 40 \ cm, \ b = \ 80 \ cm , \ \alpha = \ 150^o

Então:

\displaystyle d = \ \sqrt{(40)^2 + (80)^2 - 2 \cdot 40 \cdot 80 \ \cdot (\cos 150^o)}= 116,37 \ cm

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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Entenda matematicamente a imagem do espelho. Espelhos planos.

— 2.7.6. Espelhos planos —

O espelho plano é uma superfície lisa e plana, bem polida, que reflete especularmente a luz (reflexão regular). Por exemplo, uma placa de vidro plana relativamente fina, cuja face traseira é prateada ou uma placa metálica niquelada são exemplos de um espelho plano. A visão humana ocorre devido aos raios de luz que chegam aos nossos olhos. Dependendo de como esses raios chegam, podem nos transmitir sensações diferentes sobre a forma dos objectos e a distância a que eles se encontram. Sensações sim, porque, por vezes pode não ser a realidade.

Vejamos o exemplo da figura 30. Quando um observador está situado em frente de um espelho, ele observa parte dos raios de luz reflectidos pelo espelho. Este feixe parece ter sido emitido do ponto {A'}, isto é, tudo se passa como se no ponto {A'} existisse um objecto emitindo aquele feixe. É por isso que o observador tem a sensação que o objecto (que na realidade está situado no ponto {A}) está no ponto {A'}. O ponto {A'} é chamado de imagem do objecto {A}.

A imagem {A'} está situada atrás do espelho, no ponto de encontro dos prolongamentos dos raios reflectidos.

A nível de Óptica Geométrica, definimos como ponto objecto como sendo o ponto de intersecção dos raios incidentes (ou, no caso em que estes não chegam a interceptar-se, o ponto de intersecção dos prolongamentos dos raios incidentes).

O ponto imagem é o ponto de intersecção dos raios emergentes (refletidos ou refratados do sistema óptico), ou, no caso em que estes não se interceptem, o ponto de intersecção dos prolongamentos dos raios emergentes. Consideramos, raios emergentes, aos raios que emergem (ou saem) do sistema.

Figura 30: Imagem de um espelho plano.[7]

Para se determinar a posição da imagem de um pequeno objecto pontual A, colocado em frente de um espelho plano, temos apenas de traçar raios luminosos que partem do objecto e se reflectem no espelho. Atenção á lei da reflexão. Pelo menos dois raios. Isto foi feito na figura 2 onde foram traçados os raios incidentes {1} e {2} e os raios refletidos {1'} e {2'}. A imagem seria o ponto de intersecção de {1'} e {2'}, mas como podemos ver na figura, eles são divergentes. A posições da imagem , {A'}, é encontrada prolongando-se os raios reflectidos {1'} e {2'}.

Quando o objecto (ou a imagem) é formado pela intercessão dos raios incidentes (ou emergentes), então é chamado de objecto (ou imagem) real. Quando os raios incidentes (ou emergentes) são divergentes, então o objecto (ou a imagem) será formado pela intercessão dos prolongamentos dos raios incidentes (ou emergentes), então será chamado de objecto (ou imagem) virtual.

O conceito de imagem real e virtual pode parecer abstrato, mas na realidade não. É um conceito muito prático e útil no dia -a-dia. Suponhamos que vamos usar um espelho para projectar uma imagem sobre um filme fotográfico a fim de ser revelada esta imagem. Neste caso, devemos colocar o filme no ponto onde se formará a imagem. Se nesse ponto se formar uma imagem real, após a revelação do filme, teremos a imagem do objecto estampada no filme. Mas se este ponto onde foi colocado o filme é um ponto onde se forma uma imagem virtual, ao revelarmos o filme não aparecerá nada além de ruídos… Porquê? Na imagem virtual, a luz nem chegara efectivamente naquele ponto. A luz é desviada antes de chegar naquele ponto, portanto, não chega a interagir com o filme fotográfico. Esse conceito é muito útil em projecções.

A imagem formada por um espelho plano está sempre situada a uma distância (em relação ao espelho) igual á distância entre o objecto e o espelho. Isso pode ser facilmente demonstrado pela figura 31.

Figura 31: Relação entre distâncias no espelho. [7] Adaptado

O objecto é {A} e a sua imagem é {A'}. O raio incidente é {AI} e o refletido é {AR}. A distancia entre o objecto e o espelho é {H} e a distância entre a imagem e o espelho é {D}. Podemos notar que o objecto e a imagem estão sob uma mesma linha perpendicularmente ao espelho. A lei da reflexão impõe que {i=i'}, e o teorema de ângulos opostos pelo vértice impõe que {x=90^0-i'}. Logo, os triângulos {API} e {A'PI} são congruentes. Como o cateto adjacente, em relação ao vértice I são iguais, isto implica que todos os ângulos equivalentes dos dois triângulos sejam iguais, logo, todos os lados também o são. Sendo assim, {H=D}.

Se enviarmos um feixe luminoso convergente sobre um espelho plano, mas de modos que o ponto de convergência fique por detrás do espelho, criamos um objecto virtual no ponto {A}. Neste caso, o feixe luminoso reflectido convergirá no ponto {A'} que fica em frente do espelho a uma mesma distância do objecto ao espelho. Este ponto luminoso {A'} pode ser recebido numa tela e é chamado imagem real do objecto virtual {A} (ver figura 32).

Figura 32: Objecto virtual – imagem real.[7] Adaptado

Imaginemos agora um objecto que não possa ser reduzido a um ponto, ou seja, um objecto extenso. Um objeto extenso pode ser considerado como um conjunto de pontos. A sua imagem será determinada determinando a imagem de cada um dos ponto que o constituem e ligando assim estes pontos imagem.

Figura 33: Imagem de um objecto extenso. [4]

A imagem de espelhos planos sempre é invertida, de mesmo tamanho e de natureza oposta ao objecto, ou seja, se o objecto é virtual então a imagem é real e vice-versa.

A imagem é invertida em que sentido? Quando estás em frente ao espelho a tua orelha direita fica ao teu lado esquerdo e a tua orelha esquerda fica do teu lado direito. Outra forma simples de verificar que a imagem de um espelho plano é invertida é colocarmos uma t-shirt com algum texto escrito na parte de frente e posicionarmos em frente a um espelho. Como aparece o texto na imagem?

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

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