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Topologia – Distância entre conjuntos e diâmetro

— 1.1.6. Distância entre conjuntos e diâmetro —

Definição 8 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {x\in X}. Se {A\subset X} não vazio, o conjunto das distâncias {x} e os elementos de {A} é definido por

\displaystyle d(x,A):=\inf\{d(x,y):y\in A\}.

Ao número real {d(x,A)\geq 0} chama-se distância de {x} ao conjunto {A}.

Comentário 5 É óbvio que se {x\in A}, então {d(x,A)=0}, mas o recíproco, em geral, nem sempre é verdadeiro.
Exemplo 8 Se {X=\mathbb{R}} e {A=(a,b)}, então {d_{1}(a,A)=0} e {a\not\in A}. Temos também, {d_{1}(0,[1,2])=d_{1}(0,(1,2])=1}.

É evidente que {d(A,x)=d(x,A)}.

Proposição 17 Seja {A\subset X} e {x,y\in X}. Então:

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Sejam {x,y\in X}, então {\forall a\in A}:

\displaystyle d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)

,i.e.,

\displaystyle d(x,A)\leq d(y,A)+d(x,y)

de modo análogo,

\displaystyle d(y,A)\leq d(x,A)+d(x,y).

Assim,

\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).

\Box

Para cada conjunto {A} de {X} e {\epsilon\geq 0}, denotaremos o conjunto {A_{\epsilon}:=\{x:d(x,A)<\epsilon\}}, onde pode se dar o caso de {\epsilon=\infty}.

Proposição 18 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {x\in X}. Então, para cada {A,B} e {\{B_{j}\}_{j\in J}} subconjuntos de {X},as seguintes afirmações são verdadeiras:

  1. {d(x,\emptyset)=\infty} e {d(x,A)<\infty} se {A\neq\emptyset}.
  2. {d(x,\{x\})=0}.
  3. Se {A\subseteq B}, então {d(x,A)\leq d(x,B)}.
  4. {\forall \epsilon>0},{0\leq\epsilon\leq\infty}, {d(x,A)\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon}.
  5. {d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{j\in J}d(x,B_{j})}
  6. {d(x,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(x,B_{j})}

Demonstração:

  1. {d(x,\emptyset)=\inf\emptyset=\infty} (pela definição do ínfimo de um conjunto).
  2. Basta tomar {A=\{x\}\longrightarrow d(x,A)=0}.
  3. Deixada ao leitor.
  4. Seja {a\in A_{\epsilon}},existe {a'\in A}, {d(a,a')<\epsilon}. Portanto,

    \displaystyle d(x,A)\leq d(x,a)+d(a,a')\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon.

  5. {d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{b\in \cup_{j\in J}B_{j}}d(x,b)=\inf_{j\in J}(\inf_{b\in B_{j}}d(x,b))=\inf_{j\in J}d(x,B_{j}).}
  6. Sugestão: {d(x,A)\geq d(x,B)} se {A\subseteq B}.

\Box

Definição 9 Sejam {A,B} subconjuntos de {X}, onde {(X,d)} é um espaço métrico. A distância entre {A} e {B} é o número

\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\}.

É evidente que se {A\cap B\neq\emptyset}, então {d(A,B)=0}, em geral o recíproco não é verdadeiro e, obviamente {d(A,B)=d(B,A)}.

Proposição 19 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B,C} e {D} subconjuntos de {X}, e famílias {\{A_{i}\}_{i\in I}}, {\{B_{j}\}_{j\in J}} de subconjuntos de {X}. Então:

  1. {d(A,B)<\infty} se e só se {A} e {B} são não vazios.
  2. {d(A,B)=0} se {A\cap B\neq\emptyset}.
  3. Se {A\subseteq B} e {C\subseteq D}, então {d(A,C)\leq d(B,D)}.
  4. Para todo {\epsilon,\epsilon'}, {0\leq\epsilon,\epsilon'\leq\infty}, {d(A,B)\leq d(A_{\epsilon},B_{\epsilon})+\epsilon+\epsilon'}.
  5. {d(\cup_{i\in I}A_{i},\cup_{j\in J}B_{j})=\inf_{i\in I,j\in J}d(A_{i},B_{j})}.
  6. {d(A,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(A,B_{j})}.

Demonstração: Deixadas ao leitor. \Box

Definição 10 Seja {A\subseteq X}, onde {(X,d)} é um espaço métrico. O diâmetro de {A} é definido como

\displaystyle \delta(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}.

Exemplo 9 {\delta(\emptyset)=\sup \emptyset=-\infty}.
Proposição 20 Sejam {A,B\subseteq X}. Então:

  1. Se {A\subseteq B}, então {\delta(A)\leq\delta(B)}.
  2. {\delta(A_{\epsilon})\leq 2\epsilon+\delta(A)}, {\forall\epsilon>0}.
  3. {\delta(A\cup B)\leq \delta(A)+\delta(B)+d(A,B)}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Topologia dos Espaços Métricos

— 1.1.5. Topologia dos Espaços Métricos —

Definição 4 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subseteq X}. Diz-se que {A} é um conjunto aberto se para todo {x\in A} existe {r>0}: {B(x,r)\subseteq A}. Um subconjunto {F} de {X} é fechado se seu complementar {X\setminus F} é aberto.
Comentário 4 É importante notarmos que o facto de um conjunto não ser aberto, não implica que ele seja fechado.
Exemplo 6 Observamos que {X} e {\emptyset} são ambos conjuntos aberto e fechado. É claro que a condição acima é satisfeita para ambos, i.e., {X} e {\emptyset} são abertos, logo, novamente pela definição acima, seus complementares são fechados.
Proposição 9 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Esta proposição é uma consequência imediata da proposição 1.3. \Box

Proposição 10 A união arbitrária de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja {\{A_{i}\}_{i\in I}} uma família de abertos, e {A=\cup_{i\in I}A_{i}}. Temos de mostrar que {A} é aberto.

Seja {x\in \cup_{i\in I}A_{i}}, então existe {i_{0}\in I} tal que {x\in A_{i_{0}}}, pela definição 1.4 existe uma bola aberta {B(x,r)\subseteq A_{i_{0}}}, como {A_{i_{0}}\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}, concluímos que {B(x,r)\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}. \Box

Proposição 11 A intersecção finita de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja {\{A_{i}\}_{i}^{n}} uma família de abertos e {A=\cap_{i=1}^{n}A_{i}}. Temos de mostrar que {A} é fechado.

Seja {x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{i}} para todo {i}. Então existem {r_{k}>0} tais que {B(x,r_{k})\subseteq A_{i}}. Se {r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}} então {r>0} e {B(x,r)\subseteq\cap_{i=1}^{n}A_{i}} é

\Box

Proposição 12

  1. Toda bola fechada num espaço métrico é um conjunto fechado.
  2. A intersecção enumerável de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
  3. A união finita de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
  4. Todo conjunto finito é fechado.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Definição 5 O interior de {A} é o maior conjunto aberto contido em {A}, i.e.,

\displaystyle int A=\cup\{U:U\subseteq A\text{ onde }U \text{ é aberto }\}.

O fecho de {A}, {\overline{A}}, é o menor conjunto fechado em {X} contendo {A}, i.e.,

\displaystyle \overline{A}=\cap\{K: A\subseteq K, K\text{ fechado }\}.

Exemplo 7 Da definição anterior podemos imediatamente verificar que {\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}, é tal que {int(\mathbb{Q})=\emptyset} (muito importante !!!) e {\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}. Para provarmos isto, suponha que {U\subset\mathbb{R}} é aberto. Então, como as bolas abertas em {\mathbb{R}} são intervalos, existe um intervalo {(a,b)\subset U\subset\mathbb{R}}, onde {a<b}. Como entre dois números reais sempre existe um número irracional, segue-se que {(a,b)\cap \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\neq \emptyset}, {U\nsubseteqq\mathbb{Q}} e por isso {int(\mathbb{Q})=\emptyset}. Se {\mathbb{Q}\subset K} é um subespaço fechado de {\mathbb{R}}, então {\mathbb{R}\setminus K} é aberto e não contém racionais. Segue-se que não contêm nenhum intervalo por que qualquer intervalo não vazio de números reais contém um número racional. Assim, {\mathbb{R}\setminus K=\emptyset} e {\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}.
Proposição 13 Seja {A\subseteq X}. Então:

  1. {x\in int A} se e só se existe {r>0} tal que {B(x,r)\subseteq A}.
  2. {x\in \overline{A}} se e só se para todo {r>0}, {B(x,r)\cap A\neq\emptyset}.

Demonstração: 1. Seja {x\in intA}, pela Definição 1.5 significa que existe um aberto {U} tal que {x\in U\subseteq A}. Como {U} é aberto, então existe {r>0} e uma bola {B(x;r)\subseteq U\subseteq A}. A implicação inversa é simples, basta notarmos que se {B(x,r)\subseteq A} e {B(x,r)} é um conjunto aberto, então {B(x,r)\subseteq intA}.

2.Deixada ao leitor.

\Box

Proposição 14 Seja {A} um subconjunto de {X}.

  1. {A} é fechado se e só se {A=\overline{A}}.
  2. {A} é aberto se e só se {A=int A}.
  3. Seja {\{A_{i}\}_{i=1}^{n}} uma família de subconjuntos de {X}, então {\overline{\cup_{i=1}^{n}A_{i}}= \cup_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}}.
  4. Seja {\{A_{i}\}_{i=1}^{n}} uma família de subconjuntos de {X}, então {int(\cap_{i=1}^{n}A_{i})=\cap_{i=1}^{n}int(A_{i})}.

Demonstração: deixada ao leitor. \Box

Definição 6 Um subconjunto {A} de um espaço métrico {X} é denso se {\overline{A}=X}. Um espaço métrico {X} é separável se contém um subconjunto denso enumerável.
Proposição 15 Um conjunto {A} é denso em {(X,d)} se e só se para todo {x\in X} e todo {r>0}, {B(x,r)\cap A\neq\emptyset}.

Demonstração: É uma aplicação trivial da proposição 1.13. \Box

Definição 7 Seja {A\subseteq X}, então um ponto {x\in X} é chamado de ponto limite de {A} se para todo {\epsilon >0} existe um ponto {y} em {B(x,\epsilon)\cap A} com {y\neq x}.
Proposição 16 Seja {A\subset X}, onde {X} é um espaço métrico, então {\overline{A}=A\cup A'}, onde {A'} representa o conjunto dos pontos limites de {A} ou derivado de {A}.

Demonstração: Por definição, o fecho de {A}, {\overline{A}}, é fechado e por isso {A\subset\overline{A}}. Segue que se {x\in \overline{A}}, então existe um conjunto aberto {U} contendo {x} com {U\cap A=\emptyset} e daí {x\not\in A} e {x\not\in A'}. Isto mostra que {A\cup A' \subset \overline{A}}.

Por outro lado, suponhamos {x\in\overline{A}} e {V} um aberto contendo {x}. Se {V\cap A=\emptyset}, então {A\subset(X\setminus V)} é um conjunto fechado e {\overline{A}\subset(X\setminus V)}. Mas, {x\not\in \overline{A}}, contradição. Se {x\in \overline{A}} e {x\not\in A}, então, para qualquer aberto {V} com {x\in V}, temos {V\cap A\neq\emptyset}. Logo, {x} é um ponto limite de {A}. Assim, {\overline{A}\subset A\cup A'}. \Box

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