Luso Academia

Início » Posts tagged 'Equação de Gauss'

Tag Archives: Equação de Gauss

Como saber a distância focal de uma lente?

— 2.7.18. Equação da Lente —

Quando fabricamos uma lente, o índice de refração do material e os parâmetros da superfície que limitam a lente devem ser escolhidos adequadamente para que a lente tenha uma distância focal apropriada. Para entendermos isto, temos de perceber como estão relacionados estes parâmetros.

Vamos considerar uma lente côncavo-convexa (veja figura 62).

Figura 62: Dedução da fórmula da lente. [5] Adaptado

Considere o objecto {PQ} que está a uma distância {d_1} da lente. A refração dos seus raios na superfície convexa com centro {C_1} formará a imagem {P'Q'}. Como os índices de refração dos meios são {n_a} e {n_b}, pela formula 58 da refração numa superfície esférica, a relação entre os parâmetros de {PQ} e {P'Q'} será:

\displaystyle \frac{n_a}{ d_1 } + \frac{n_b}{ d_1' } =\frac{n_b-n_a}{ R_1 } \ \ \ \ \ (69)

 

A imagem {P'Q'} é o objecto virtual para a refracção na segunda superfície, com centro em {C_2} e raio {R_2}. Portanto, de acordo com a formação da imagem na refração numa superfície esférica, obteremos:

\displaystyle \frac{n_b}{ d_2 } + \frac{n_c}{ d_2' } =\frac{n_c-n_b}{ R_2 } \ \ \ \ \ (70)

 

Como o meio exterior é o ar, então {n_a=n_c=1} e como o meio {b} é a lente então {n_b=n}. A distância {d_2} é igual, em modulo, a {d_1'}, mas com sinais opostos, visto que a imagem {P'Q'} é real ({d_1'}>0), e esta mesma imagem é o objecto virtual para a segunda superfície ({d_2<0}). Neste caso, {d_2=-d_1'}, logo, as relações 69 e 70 ficam :

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{n}{ d_1' } =\frac{n-1}{ R_1 } \ \ \ \ \ (71)

 

\displaystyle -\frac{n}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =\frac{1-n}{ R_2 } \ \ \ \ \ (72)

 

Se somarmos as equações 71 e 72, obteremos:

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =\frac{n-1}{ R_1 }+\frac{1-n}{ R_2 } \ \ \ \ \ (73)

 

Organizando melhor a equação, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (74)

 

Considerando a lente delgada, então {t\rightarrow 0}, logo {d_1} representa a distância entre o objecto e a lente, chamada de distância do objecto ({d}) e {d_2'} representa a distância entre a imagem e a lente, chamada de distância da imagem ({d'}). A relação 74 pode então ser escrita por:

\displaystyle \frac{1}{ d } + \frac{1}{ d' } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (75)

 

Se substituirmos os valores da equação de pontos conjugado (equação 67) nesta equação, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{ f } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (76)

 

A equação 76 foi deduzida para o caso de uma lente em particular, sendo a superfície de raio {R_1} convexa e a superfície de raio {R_2} côncava. Mas, de modo geral, adoptando a convenção de sinais apropriada, podemos escrever uma formula válida para qualquer situação:

\displaystyle \frac{1}{ f } =(n_{21}-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }+\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (77)

 

Onde: {n_{21}} é o índice de refração relativo do material de que é feito a lente em relação ao material que constitui o exterior (geralmente, o ar).

A convenção de sinais válida, continua sendo :

  • Se o objecto é real, {d>0}.
  • Se o objecto é virtual, {d<0}.
  • Se a imagem é real, {d'>0}.
  • Se a imagem é virtual, {d'<0}.
  • Se a superfície é convexa, então {R>0}.
  • Se a superfície é côncava, então {R<0}.
  • Se a lente é convergente, então {f>0}.
  • Se a lente é divergente, então {f<0}.

A dedução desta fórmula baseou-se na utilização de raios paraxiais, ou seja, raios que incidem quase que paralelamente ao eixo óptico da lente, formando com este ângulos muito pequenos. Porém, para raios que não seja paraxiais, isto é, para imagens que não estejam perto do eixo óptico da lente, o foco pode ficar numa posição diferente da calculada pela relação 77, observando-se nestes casos muitas aberrações cromáticas.

Para o caso é que o meio exterior seja mais denso do que o material de que é feito a lente, as lentes apresentam um comportamento muito curioso: A lente aparentemente convergente (que a espessura diminui do centro aos bordos) comporta-se como divergente e as lentes aparentemente divergentes (que a espessura aumenta do centro aos bordos) comportam-se como convergente. Isto pode ser explicado pela relação 77, mas deixaremos esta análise para que você a faça.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

Entenda matematicamente a ampliação de imagem do espelho. Espelhos esféricos 2.

— 2.7.9. Fórmula do espelho esférico e convenção de sinais —

Quando um objecto está diante de um espelho, definimos {d}, a distancia entre o objecto e o espelho e {d'} a distância entre a imagem e o espelho. A fórmula do espelho esférico (ou equação de Gauss) permite determinar de forma analítica as características da imagem. Esta fórmula relaciona entre si as grandezas {d}, {d'} e {f} do espelho esférico. Escolhemos sobre o eixo principal do espelho, o sentido da luz incidente como sentido positivo e sobre o eixo perpendicular ao eixo principal, o sentido apresentado para cima como sentido positivo.

Figura 41: Dedução da Equação de Gauss. [5]

Vamos imaginar que o objecto está sobre o eixo principal, a uma distancia superior ao raio, num ponto {P} (Ver fig. 41). O Ponto {P} é o objecto e o Ponto {P'} será a imagem. Podemos ver então que qualquer raio que incidir sobre o espelho passando pelo ponto {P}, quando for refletido, irá passar pelo ponto {P'}. Vamos analisar o caso de um raio incidente que seja refletido no ponto {B} do espelho.

No triângulo {PCB}, o ângulo interno no vértice {C} é {180^0-\phi}. A soma dos ângulos interno deste triângulo deve ser {180^0}, então {\alpha+180^0-\phi+\theta=180^0 }, o que nos dá :

\displaystyle \alpha+\theta=\phi. \ \ \ \ \ (28)

 

De modo análogo, no triângulo {CP'B}, o ângulo interno no vértice {P'} é {180^0-\beta}. A soma dos ângulos internos deve ser {180^0}, então {\phi+180^-\beta+\theta=180^0}, o que nos dá:

\displaystyle \theta=\beta-\phi. \ \ \ \ \ (29)

 

Substituindo 29 em 28, obtemos:

\displaystyle \alpha+\beta=2.\phi. \ \ \ \ \ (30)

 

Analisando os triângulos rectângulos, temos {tg\alpha=\frac{h}{d-\delta} }, {tg\beta=\frac{h}{d'-\delta} } e {tg\phi=\frac{h}{R-\delta} }. Para ângulos {\alpha} muitos pequenos, os ângulos {\beta} e {\phi} também o serão. Nestas circunstâncias, serão válidas as aproximações {sen\alpha\approx tg\alpha \approx \alpha} e {\delta\approx 0}. O mesmo será válido para {\beta} e para {\phi}.

Logo, as relações no triângulo reduzir-se-ão para:

\displaystyle \alpha=\frac{h}{d} \ \ \ \ \ (31)

 

\displaystyle \beta=\frac{h}{d'} \ \ \ \ \ (32)

 

\displaystyle \phi=\frac{h}{R} \ \ \ \ \ (33)

 

Combinando as equações 31, 32 e 33 com a equação 30, e eliminando {h}, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{R} \ \ \ \ \ (34)

 

Como {f=R/2\Rightarrow R=2f}, então podemos escrever:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} \ \ \ \ \ (35)

 

Esta é a equação do espelho.

Nota: quando se aplica esta equação, é preciso recordar as seguintes convenções de sinais:

  • Se o objecto é real: {d > 0}.
  • Se o objecto é virtual: {d <0}.
  • Se a imagem é real: {d' > 0}.
  • Se a imagem é virtual: {d' <0}.
  • Se o espelho é côncavo: {f > 0}.
  • Se o espelho é convexo: {f <0}.

Podemos também deduzir a relação entre {R} e {f} a partir desta equação. Raios paralelos ao eixo principal são obtidos quando o objecto está no infinito, ou seja, {d=\infty} e a imagem será formada no foco, ou seja, {d'=f}. Substituindo isso na equação 35, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{\infty}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R} \Rightarrow f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (36)

 

Podemos ainda deduzir a relação entre distâncias num espelho plano. Um espelho plano pode ser entendido como um espelho esférico com raio {\infty}, logo:{ \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{\infty} \Rightarrow d=-d'}. Num espelho plano, a imagem está sempre situada no lado oposto ao objecto. Se o objecto é real, a imagem é virtual e se o objecto é virtual, então a imagem é real. A distância é igual em módulo… Mas tudo isso já foi demonstrado graficamente.

— 2.7.10. Ampliação linear do objecto —

Por definição, a ampliação linear do objecto é a razão entre o tamanho da imagem [medido transversalmente ao eixo principal) e o tamanho do objecto(também transversalmente). Se chamarmos de {h} para a altura do objecto e {h'} para a altura da imagem, então a ampliação será:

\displaystyle K=\frac{h '}{h} \ \ \ \ \ (37)

O termo ampliação poder gerar alguma confusão se associamo-lo a ideia de aumento. Em Óptica Geométrica, a ampliação refere-se apenas a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objecto, não importando se houve aumento ou diminuição. A ampliação também pode ser relacionada com outros parâmetros. Usando a congruência dos triângulos {ABV} e {A'B'V} da figura 2, temos:

\displaystyle K=-\frac{d '}{d} \ \ \ \ \ (38)

O sinal deve ser respeitado de acordo com a convenção de sinais. Se {h>0} então o objecto é directo (para cima) e se {h<0} então é invertido. o mesmo se passa com a imagem.

Nota:

  • Se {K} é positiva, a imagem {A'B'} tem o mesmo sentido que o objecto {AB}.
  • Se {K} é negativa, a imagem {A'B'} tem sentido contrário ao do objecto {AB}.
  • Se {\mid K \mid >1} a imagem é maior que o objecto.
  • Se {\mid K \mid <1} a imagem é menor que o objecto.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

%d bloggers like this: