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Como saber a distância focal de uma lente?

— 2.7.18. Equação da Lente —

Quando fabricamos uma lente, o índice de refração do material e os parâmetros da superfície que limitam a lente devem ser escolhidos adequadamente para que a lente tenha uma distância focal apropriada. Para entendermos isto, temos de perceber como estão relacionados estes parâmetros.

Vamos considerar uma lente côncavo-convexa (veja figura 62).

Figura 62: Dedução da fórmula da lente. [5] Adaptado

Considere o objecto {PQ} que está a uma distância {d_1} da lente. A refração dos seus raios na superfície convexa com centro {C_1} formará a imagem {P'Q'}. Como os índices de refração dos meios são {n_a} e {n_b}, pela formula 58 da refração numa superfície esférica, a relação entre os parâmetros de {PQ} e {P'Q'} será:

\displaystyle \frac{n_a}{ d_1 } + \frac{n_b}{ d_1' } =\frac{n_b-n_a}{ R_1 } \ \ \ \ \ (69)

 

A imagem {P'Q'} é o objecto virtual para a refracção na segunda superfície, com centro em {C_2} e raio {R_2}. Portanto, de acordo com a formação da imagem na refração numa superfície esférica, obteremos:

\displaystyle \frac{n_b}{ d_2 } + \frac{n_c}{ d_2' } =\frac{n_c-n_b}{ R_2 } \ \ \ \ \ (70)

 

Como o meio exterior é o ar, então {n_a=n_c=1} e como o meio {b} é a lente então {n_b=n}. A distância {d_2} é igual, em modulo, a {d_1'}, mas com sinais opostos, visto que a imagem {P'Q'} é real ({d_1'}>0), e esta mesma imagem é o objecto virtual para a segunda superfície ({d_2<0}). Neste caso, {d_2=-d_1'}, logo, as relações 69 e 70 ficam :

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{n}{ d_1' } =\frac{n-1}{ R_1 } \ \ \ \ \ (71)

 

\displaystyle -\frac{n}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =\frac{1-n}{ R_2 } \ \ \ \ \ (72)

 

Se somarmos as equações 71 e 72, obteremos:

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =\frac{n-1}{ R_1 }+\frac{1-n}{ R_2 } \ \ \ \ \ (73)

 

Organizando melhor a equação, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (74)

 

Considerando a lente delgada, então {t\rightarrow 0}, logo {d_1} representa a distância entre o objecto e a lente, chamada de distância do objecto ({d}) e {d_2'} representa a distância entre a imagem e a lente, chamada de distância da imagem ({d'}). A relação 74 pode então ser escrita por:

\displaystyle \frac{1}{ d } + \frac{1}{ d' } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (75)

 

Se substituirmos os valores da equação de pontos conjugado (equação 67) nesta equação, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{ f } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (76)

 

A equação 76 foi deduzida para o caso de uma lente em particular, sendo a superfície de raio {R_1} convexa e a superfície de raio {R_2} côncava. Mas, de modo geral, adoptando a convenção de sinais apropriada, podemos escrever uma formula válida para qualquer situação:

\displaystyle \frac{1}{ f } =(n_{21}-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }+\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (77)

 

Onde: {n_{21}} é o índice de refração relativo do material de que é feito a lente em relação ao material que constitui o exterior (geralmente, o ar).

A convenção de sinais válida, continua sendo :

  • Se o objecto é real, {d>0}.
  • Se o objecto é virtual, {d<0}.
  • Se a imagem é real, {d'>0}.
  • Se a imagem é virtual, {d'<0}.
  • Se a superfície é convexa, então {R>0}.
  • Se a superfície é côncava, então {R<0}.
  • Se a lente é convergente, então {f>0}.
  • Se a lente é divergente, então {f<0}.

A dedução desta fórmula baseou-se na utilização de raios paraxiais, ou seja, raios que incidem quase que paralelamente ao eixo óptico da lente, formando com este ângulos muito pequenos. Porém, para raios que não seja paraxiais, isto é, para imagens que não estejam perto do eixo óptico da lente, o foco pode ficar numa posição diferente da calculada pela relação 77, observando-se nestes casos muitas aberrações cromáticas.

Para o caso é que o meio exterior seja mais denso do que o material de que é feito a lente, as lentes apresentam um comportamento muito curioso: A lente aparentemente convergente (que a espessura diminui do centro aos bordos) comporta-se como divergente e as lentes aparentemente divergentes (que a espessura aumenta do centro aos bordos) comportam-se como convergente. Isto pode ser explicado pela relação 77, mas deixaremos esta análise para que você a faça.

 

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— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

Conheça a física dos óculos. Lentes. Características principais.

— 2.7.10. Lentes —

A possibilidade de observar a imagem dos objectos em um tamanho muitas vezes maior que o próprio objecto acabou por marcar um grande passo no desenvolvimento do mundo. A invenção do microscópio óptico e dos telescópios, permitiu ao mundo conhecer outras dimensões microscópicas (células, bactérias, vírus, etc) como astronómicas (galáxias, sistemas solares, etc).

Há certos dispositivos que são usados para aumentar, diminuir ou tornar mais nítida uma imagem. São exemplos destes dispositivos as lupas, microscópios, telescópios, as objectivas (lentes objectivas), etc. Estes dispositivos são, em geral, lentes, ou são constituídos principalmente por lentes.

As lentes acabam assim por ser uma invenção importantíssima para a humanidade. Além das aplicações anteriormente citadas, são ferramenta importante para a maioria dos humanos com deficiência de visão. Uma lente é um dispositivo óptico formado por uma substância transparente, homogénea, limitada por duas superfícies esféricas ou cilíndricas, ou por uma superfície esférica ou cilíndrica e outra plana. Por incrível que pareça, até o fundo de certos copos e garrafões enquadra-se no conceito de lente.

As lentes que aqui vamos estudar são as lentes delgadas, isto é, lentes de espessura muito pequena. Para a nomenclatura das lentes, o critério mais adotado é nomear as faces voltadas para o meio exterior, assinalando em primeiro lugar a face de maior raio de curvatura.

Figura 52 : (a) Lentes convergentes: Lente bi-convexa, lente plano-convexa, lente côncavo-convexa. (b) Lentes divergentes: Lente bi-côncava, lente plano-côncava, lente convexo-côncava.

Uma recta que seja simultaneamente perpendicular a ambas superfícies que limitam a lente é denominada eixo principal da lente. Essa recta passa necessariamente no centro das duas superfícies (no caso em que ambas sejam esféricas ou cilíndricas). O ponto de interceção desta recta (eixo principal) com a lente é denominado centro óptico da lente.

Figura 53: Eixo principal e Centro da Lente.

De acordo com as características das faces, as lentes classificam-se em dois grupos. Consideremos, inicialmente, lentes de vidro (n = 1,5) colocadas no ar (n = 1). Nestes casos, que são os mais comuns, temos:

  • Lentes cuja espessura vai diminuindo gradualmente do centro para o bordo são chamadas lentes convergentes;
  • Lentes cuja espessura vai aumentando gradualmente do centro para o bordo são chamadas lentes divergentes.

Figura 54: Representação simbólica da lente: a) Lente divergente. b) Lente convergente. [7]

Para simplificar a representação das lentes na resolução de exercícios e problemas, usaremos a representação simbólica da figura 54 .

Quando os raios luminosos incidem paralelamente ao eixo principal de uma lente convergente, refratam-se no interior da lente e emergem passando por um ponto {F'} a que se dá o nome de foco imagem da lente.

Numa lente divergente, os raios paralelos ao eixo principal refratam-se no interior e saem para fora da lente (emergem) de modo a que os seus prolongamentos passam por um ponto {F'}, denominado foco imagem da lente. O foco imagem de uma lente convergente é real e o de uma lente divergente é virtual.

Figura 55: Foco imagem: a) Lente convergente. b) Lente divergente. [4] Adaptado

Tanto nas lentes convergentes como nas lentes divergentes, há, sobre o eixo principal um ponto simétrico {F} do foco imagem {F'} em relação ao centro óptico {0} da lente. Este ponto {F} chama-se foco objecto. Os raios que passam pelo foco objecto e atingem a lente convergente, emergem paralelamente ao eixo principal. No caso de uma lente divergente, os raios incidentes cujos prolongamentos passam pelo foco objecto {F} refratam-se no interior e saem da lente paralelamente ao seu eixo principal.

Figura 56: Foco objecto: a) Lente convergente. b) Lente divergente. [4] Adaptado.

 

Se considerarmos um conjunto de raios incidentes paralelos a um eixo suplementar {S0} da lente convergente (que é um eixo constituído por uma recta que passa pelo centro óptico {0} inclinada em relação ao eixo principal da lente), eles passam pelo foco secundário {S'}. O conjunto desses focos secundários constituem o plano focal imagem.

Figura 57: Plano focal: a) Lente convergente. b) Lente divergente. [4] Adaptado

Um parâmetro muito importante para uma lente é a distância focal. A distância focal {f} de uma lente delgada é a distância entre o centro óptico {0} da lente e o seu foco imagem {F'} ou foco objecto {F}. Vale lembrar que, para lentes delgadas, a distância entre o centro e o foco objecto é igual a distância entre o centro e o foco imagem. Mais adiante, demonstraremos a seguinte fórmula:

\displaystyle \frac{1}{f}=(n_{21}-1)\cdot(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})\ \ \ \ \ (49)

 

Em que:

  • {n_{21}}– Índice de refracção relativo do meio de que é feita a lente com respeito ao meio circundante.
  • {R_1} e {R_2} são respectivamente os raios de curvatura das faces anterior e posterior da lente.

A convenção de sinal para {R_1} e {R_2} é:

  • Se a face é convexa: {R>0}
  • Se a face é côncava: {R<0}
  • Se a face é plana: {R=\infty}

Se o valor da distância focal obtido no cálculo for positivo ({f > 0}), a lente é convergente. Se o valor da distância focal for negativo ({f <0}) a lente é divergente.

A convergência de uma lente ou potência focal é ao inverso da distância focal da lente.

\displaystyle D= \frac{1}{f} \ \ \ \ \ (50)

No sistema internacional de unidades (SI) a distância focal é expressa em metros, então, a convergência da lente é expressa em dioptrias ({D} ou {dp}).

A convergência de uma lente pode ser positiva ou negativa.

Convencionalmente:

  • Para as lentes convergentes, a convergência é positiva: {f >0}
  • Para as lentes divergentes, a convergência é negativa: {f<0}

É claro que quanto menor for a distância focal, mais acentuadamente a lente refrata os raios incidentes reunindo-os ou dispersando-os, e maior é o valor absoluto da convergência.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

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