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Análise Matemática – Exercícios I

— 1. Introdução —

No meu livro de Mecânica Quântica de Sakurai num determinado momento no prefácio, é dito algo como: “O aluno que tenha lido o livro, mas não consegue fazer os exercícios não aprendeu nada!”.

Quantas vezes eu ouvi pessoas dizerem: “Eu entendo a teoria, mas simplesmente não consigo fazer os exercícios …” Esse tipo de pensamento é errado e contraproducente.

Errado, porque se a pessoa de facto entendeu a teoria então seria capaz de resolver mais exercícios do que apenas os triviais, e contraproducente, porque ao esconder-se nessa defesa o aluno nunca irá evoluir na sua aprendizagem.

A matéria actual depende (quase) sempre da matéria anterior e esta é uma bola de neve de: “Eu entendo a teoria só não consigo fazer os exercícios” que continua a crescer.

Em vez disso as pessoas têm que entender que não tem que perceber tudo imediatamente, e na maioria das vezes temos que trabalhar duro para entender o que levou muitos anos das melhores mentes para se produzir.

Bem, chega de sermões moralistas e vamos começar com uma parte integrante deste blog: Exercícios!

De agora em diante exercícios das mais variadas disciplinas serão presença regular nos nossos artigos e no final de terminarmos a escrita de artigos referentes a uma disciplina iremos também disponibilizar um conjunto de exames resolvidos.

Como pensamento final peço ao leitor para não ler imediatamente a minha solução dos exercícios, antes de tentar resolver os exercícios por si próprio, visto que mesmo que não consiga resolver os exercícios, o esforço despendido naquele primeiro momento vai ajudá-lo a melhor entender o que eu fiz.

Também tenha em mente que as soluções publicadas não são de forma alguma únicas ou sequer as melhores soluções e, em alguns casos, podem até estar erradas (embora eu espere que isso não aconteça regularmente…).

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Utilizando os 5 primeiro Axiomas demonstre as seguintes proposições:

  1. {-0=0}

    {0+(-0)=-0} pelo Axioma 4 e {0+(-0)=0} pelo Axioma 5.

    Uma vez que os lados esquerdos de ambas equações são iguais os lados direitos também devem sê-lo. Assim {-0=0}.

  2. {1^{-1}=1}

    {1\cdot 1^{-1}=1^{-1}} pelo Axioma 4 and {1\cdot 1^{-1}=1} pelo Axioma 5.

    Uma vez que os lados esquerdos de ambas equações são iguais os lados direitos também devem sê-lo. Assim {1^{-1}=1}.

  3. {-(-x)=x}

    O simétrico de {(-x)} é {-(-x)}, e pelo Axioma 5 {-(-x)+(-x)=0}.

    Mas sabemos que {x+(-x)=0} e assim {x} é o simétrico de {-x}.

    Uma vez que o simétrico de {-x} é único temos que ter {-(-x)=x}.

  4. {(x^{-1})^{-1}=x}

    {(x^{-1})^{-1}\cdot x^{-1}=1}. Mas também é {x\cdot x^{-1}=1}.

    O inverso de qualquer número real (diferente de {0}) é único por isso podemos concluir {(x^{-1})^{-1}=x}.

  5. {x\cdot y=x\cdot z \Rightarrow y=z} se {x\neq 0}.

    No caso {x=0} a igualdade é trivialmente válida ({0=0}). Assumindo que temos {x\neq 0} vem

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} x\cdot y &=& x\cdot z \\ x^{-1}\cdot (x\cdot y) &=& x^{-1}\cdot (x\cdot z) \\ (x^{-1}\cdot x)\cdot y &=& (x^{-1}\cdot x)\cdot z \\ 1\cdot y &=& 1\cdot z \\ y &=& z \end{array} }

  6. {\dfrac{u}{v}\cdot \dfrac{x}{y}=\dfrac{u\cdot x}{v\cdot y}}.

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} \dfrac{u}{v}\cdot \dfrac{x}{y} &=& (u\cdot v^{-1})(x\cdot y^{-1}) \\ &=& u\cdot (v^{-1}x)\cdot y^{-1} \\ &=& u\cdot (x\cdot v^{-1})\cdot y^{-1} \\ &=& (u\cdot x)(v^{-1}\cdot y^{-1}) \\ &=& (u\cdot x)(vy)^{-1} \\ &=& \dfrac{u\cdot x}{v\cdot y} \end{array} }

    Para os leitores mais atentos ao rigor matemático uma passagem na demonstração anterior foi rápida demais: {v^{-1}y^{-1}=(vy)^{-1}}.

    No interesse de sermos auto-contidos vamos demonstrar a igualdade anterior.

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} (vy)(v^{-1}y^{-1})&=& v(yv^{-1})y^{-1} \\ &=& v(v^{-1}y)y^{-1} \\ &=& (vv^{-1})(yy^{-1}) \\ &=& 1\times 1 \\ &=& 1 \end{array} }

    {(vy)(vy)^{-1}=1} por definição de recíproco. Assim {(vy)(v^{-1}y^{-1})=1} e {(vy)(vy)^{-1}=1}. Logo {v^{-1}y^{-1}=(vy)^{-1}}.

Exercício 2

  1. {x > 0 \Leftrightarrow x^{-1} > 0}.

    Vamos demonstrar a proposição anterior recorrendo ao método da demonstração por absurdo. Ou seja vamos mostrar {x > 0 \land x^{-1} < 0} leva a uma contradição.

    Primeiro demonstramos a condição necessária: {x > 0}, e {x^{-1} < 0}. Multiplicando ambos os membros da primeira desigualdade por {x^{-1}} vem {x\cdot x^{-1} < 0\cdot x^{-1} \Leftrightarrow 1 < 0} o que sabemos ser uma proposição falsa.

    A prova para a condição suficiente pode ser feita de igual modo e assim a veracidade de {x > 0 \Leftrightarrow x^{-1} > 0} está estabelecida.

    Note que se trata de uma relação de equivalência, portanto, ou nós usamos relações de equivalência ou usamos, como fizemos, relações de implicação para ambos os sentidos da proposição.

    Neste caso eu acho que a maioria das pessoas vai entender o que quero dizer, se expressá-lo simbolicamente. Imagine que nós queríamos provar que {A \Leftrightarrow B} é válido. Uma maneira de fazê-lo seria mostrar que {A \Leftrightarrow A' \Leftrightarrow A'' \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow A^{(n)} \Leftrightarrow B}. Dessa forma passaríamos por {n} relações de equivalência entre {A} e {B} e uma vez que as relações de equivalência são transitivas teríamos {A \Leftrightarrow B}.

    Outra forma de fazê-lo é mostrar que nós podemos passar de {A} para {B} e de {B} para {A}. Simbolicamente

    \displaystyle A \Rightarrow P_1 \Rightarrow P_2 \Rightarrow \cdots \Rightarrow P_n \Rightarrow B

    e

    \displaystyle B \Rightarrow Q_1 \Rightarrow Q_2 \Rightarrow \cdots \Rightarrow Q_n \Rightarrow A

    Para terminar vou repetir o melhor exemplo que me foi dado, a fim de explicar o que é uma condição necessária e o que é uma condição suficiente. Vamos supor que está fazendo um exame cuja avaliação vai de { 0} a { 20 }, sendo { 10 } a nota mínima para passar.

    Para que possa passar no exame é suficiente ter uma nota maior do que { 15 }, mas felizmente não é necessário!

    E se você passou, a nota é necessariamente maior do que {5}, mas, infelizmente, ter uma nota superior a { 5 } não é suficiente para ser aprovado.

  2. {x > 1 \Leftrightarrow x^{-1}\in \rbrack 0,1\lbrack}

    Se {x > 1} então {x > 0} e pelo exercício anterior {x^{-1} > 0}. Assim

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} x &>& 1 \\ x\cdot x^{-1} &>& 1\cdot x^{-1} \\ 1 &>& x^{-1} \end{array} }

    Logo {x^{-1} > 0} e {x^{-1} <1 }.

    que podemos escrever mais sinteticamente

    \displaystyle 0 < x^{-1} < 1 \Leftrightarrow x^{-1} \in \rbrack 0,1 \lbrack

Exercício 3

    O factorial de um número natural {n} pode ser definido através das seguintes relações recursivas: {0!=1} and {(n+1)!=n!\times(n+1)}. {\dbinom{n}{k}=\displaystyle\dfrac{n!}{k!(n-k)!}} denota o coeficiente binomial cujo resultado é o número de maneiras distintas se escolher {k} elementos de um conjunto com {n} elementos.

  1. Mostre que {\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}}

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1} &=& \dfrac{n!}{k!(n-k)!}+\dfrac{n!}{(k+1)!(n-k+1)!} \\ &=& \dfrac{k!(n-k-1)!n!(k+1+n-k)!}{k!(n-k-1)!(n-k)!(k+1)!} \\ &=& \dfrac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!} \\ &=& \dbinom{n+1}{k+1} \end{array} }

  2. Mostre que {(x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}} por indução.

    Para {n=0} é

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} (x+y)^0 &=& \displaystyle \sum_{k=0}^0 \binom{0}{k} x^k y^{0-k} \\ 1 &=& 1 \end{array} }

    que é uma afirmação verdadeira.

    Vamos agora admitir por hipótese de indução {n \in \mathbb{N}} {(x+y)^n= \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}}

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} (x+y)^{n+1} &=& (x+y)^n (x+y) \\ &=& x(x+y)^n+y(x+y)^n \\ &=& x\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} x^k y^{n-k}+y\displaystyle\sum_{l=0}^n \dbinom{n}{l} x^l y^{n-l} \\ &=& \displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k}+ \displaystyle\sum_{l=0}^n \dbinom{n}{l} x^l y^{n+1-l} \end{array} }

    Fazendo a mudança de variáveis {l=k+1} no primeiro somatório:

    {\displaystyle \sum_{l=1}^{n+1} \dbinom{n}{l-1}x^l y^{n-l+1}=\displaystyle \sum_{l=1}^{n} \dbinom{n}{l-1}x^l y^{n-l+1}+x^{n+1} }

    E notando que

    \displaystyle  {\displaystyle\sum_{l=0}^n \dbinom{n}{l} x^l y^{n+1-l}=y^{n+1}+\displaystyle\sum_{l=1}^n \dbinom{n}{l} x^l y^{n+1-l}}

    podemos escrever

    { \displaystyle \begin{array}{rcl} (x+y)^{n+1} &=& \displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k}+ \displaystyle\sum_{l=0}^n \dbinom{n}{l} x^l y^{n+1-l} \\ &=& \displaystyle \sum_{l=1}^{n} \dbinom{n+1}{l}x^l y^{n-l+1}+x^{n+1}+y^{n+1} \end{array} }

    Agora {x^{n+1}} é {\dbinom{n+1}{l}x^l y^{n-l+1}} com {l=n+1} e {y^{n+1}} é {\dbinom{n+1}{l}x^l y^{n-l+1}} com {l=0}.

    Assim podemos escrever

    \displaystyle  {(x+y)^{n+1}= \displaystyle\sum_{l=0}^{n+1} \binom{n+1}{l}x^l y^{n-l+1}}

    O que termina a nossa demonstração.

Exercício 4 Mostre por indução que {\displaystyle\sum_{n=1}^{n}\dfrac{1}{r^2}\leq 2-\dfrac{1}{n}}.

Para {n=1} é

\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{1}\dfrac{1}{r^2}\leq 2-\dfrac{1}{1} \Leftrightarrow 1\leq 1

que é uma afirmação verdadeira.

Agora queremos mostrar que a veracidade de

\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{n+1}\dfrac{1}{r^2}\leq 2-\dfrac{1}{n+1}

segue da veracidade de

\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{n}\dfrac{1}{r^2}\leq 2-\dfrac{1}{n}

que é a nossa hipótese de indução.

{ \displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\sum_{r=1}^{n+1}\dfrac{1}{r^2} &=& \sum_{r=1}^{n}\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2} \\ &\leq& 2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^2} \\ &=& 2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \\ &=& 2-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{-(n+1)^2+n+n(n+1)}{n(n+1)^2} \\ &=& 2-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{-n^2-2n-1+n+n^2+n}{n(n+1)^2} \\ &=& 2-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n(n+1)^2}\leq 2-\dfrac{1}{n+1} \end{array} }

Ou seja

\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{n}\dfrac{1}{r^2}\leq 2-\dfrac{1}{n}\,\forall n \in \mathbb{N}: n > 1

Exercício 5 Mostre por indução em {n} que

\displaystyle \displaystyle\sum_{r=1}^{n}r(r+1)\cdots(r+k-1)=\dfrac{n(n+1)\cdots(n+k)}{k+1}

Para {n=1} é

{ \displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{r=1}^1 r(r+1)(r+2)\cdots(r+k-1) &=& \dfrac{1.2.3\cdots (1+k)}{k+1} \\ \displaystyle 1\times 2\times 3\times\cdots\times k &=& \dfrac{(k+1)!}{k+1} \\ k! &=& k! \end{array} }

Agora a nossa hipótese de indução é

\displaystyle  {\displaystyle\sum_{r=1}^{n}r(r+1)\cdots(r+k-1)=\displaystyle\dfrac{n(n+1)\cdots(n+k)}{k+1}}

E queremos mostrar que

{\displaystyle\sum_{r=1}^{n+1}r(r+1)\cdots(r+k-1)=\displaystyle\dfrac{(n+1)(n+2)\cdots(n+1+k)}{k+1}}

É

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{r=1}^{n+1}r(r+1)\cdots(r+k-1)&= \sum_{r=1}^{n}r(r+1)\cdots (r+k-1)+(n+1)\cdots(n+k)\\ &=\dfrac{n(n+1)\cdots(n+k)}{k+1}+(n+1)\cdots(n+k)\\ &=(n+1)(n+2)\cdots(n+k)\left\lbrack \dfrac{n}{k+1}+1 \right\rbrack\\ &=(n+1)(n+2)\cdots(n+k)\left\lbrack \dfrac{n+k+1}{k+1}\right\rbrack\\ &=\dfrac{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)(n+k+1)}{k+1} \end{aligned}}

Análise Matemática – Fundamentos I

Para se conhecer e compreender Física temos de conhecer e compreender alguma Matemática. Nesse sentido vamos iniciar o nosso estudo de Matemática com o que se pode chamar de Cálculo Diferencial e Cálculo Integral porque são a pedra angular da Física.

Por favor consultem a seguinte página porque símbolos matemáticos serão usados frequentemente neste blog. A princípio uma abordagem mais verbal será utilizada para os leitores se acostumarem, mas gradualmente passaremos a utilizar mais a estenografia matemática.

— 1. Axiomas dos Números Reais —

Primeiro de tudo vamos admitir a existência de um conjunto de números reais, que vamos denotar pelo símbolo {\mathbb{R}} no qual são definidas duas operações. Estas operações são a operação de adição, e a operação de multiplicação.

Vamos supor também que existe um subconjunto de {\mathbb{R}} que vamos chamar o conjunto dos números positivos e que denotamos por {\mathbb{R}^+}.

Esses quatro termos serão tomados como conceitos primitivos (também chamados termos indefinidos).

— 1.1. Axiomas —

Axioma 1 A operação de adição e multiplicação são comutativas

Ou seja, para cada { x } e { y } pertencentes a { \mathbb{R} } é válido:

  • { x + y = y+x }
  • { x\cdot y = y\cdot x }

Onde {+} denota a operação de adição e {\cdot} denota a operação de multiplicação.

Axioma 2

Adição e multiplicação são associativas

Ou seja, para cada { x }, { y } e { z } pertencente a { \mathbb{R} } é { \left(x + y \right) + z = x + \left(y + z \right) } e { \left(x\cdot y \right)\cdot z = x\cdot\left(y\cdot z \right) }

Axioma 3

A multiplicação é distributiva em relação à adição

Para cada { x }, { y } e { z } pertencente a { \mathbb{R} } é válido { x\cdot \left( y + z \right) = x\cdot y + x\cdot z }

Axioma 4

Tanto a operação de adição e a operação de multiplicação têm um elemento neutro, e os elementos neutros para cada operação são distintos um do outro.

Mais formalmente, para a operação de adição, existe um elemento, { a }, que para cada elemento { x \in \mathbb{R} } nós temos { x + a = a + x = x }.

Para a operação de multiplicação existe um elemento { b }, que para cada elemento { x \in \mathbb{R} } é válido { x\cdot b = b\cdot x = x }.

E é ainda {a\neq b}

Recorrendo ao Axioma 1 podemos mostrar que cada um desses elementos neutros é único em { \mathbb{R} }.

Vamos fazê-lo no caso da multiplicação (para o elemento neutro da adição a demonstração é perfeitamente análoga).

A estratégia da nossa demonstração é a seguinte:

  1. assumimos que temos dois elementos neutros, { b } e { c } para a operação de multiplicação
  2. concluimos que os dois elementos neutros são iguais

Sabemos que {x\cdot b = x\quad \forall x \in \mathbb{R} }. Em particular a equação é válida para { x = c } e assim fica { c\cdot b = c }.

É também válido { x\cdot c = x \quad \forall x \in \mathbb{R}}. Em particular, esta equação é válida para { x = b } e assim fica { b\cdot c = b }).

Portanto, temos { c\cdot b = c } e {b\cdot c = b}. Considerando o Axioma 1 sabemos que multiplicação é comutativa e assim é { c\cdot b = b\cdot c } e por isso podemos concluir que { c = b }. O que prova que os dois elementos neutros são de facto apenas um.

Por favor, notem o papel crucial que o Axioma 1 tem nesta demonstração. Pensando um bocado mais podemos ver que um corpo tem um elemento neutro único sempre que a adição e a multiplicação são comutativas. Para grupos não comutativos os elementos neutros não têm necessariamente que ser únicos.

Depois de provar a unicidade de ambos os elementos neutros e tendo em conta o Axioma 4 podemos fazer algumas novas definições e estabelecer alguns resultados.

Definição 1 O elemento neutro da adição será chamado de zero e representada pelo símbolo { 0 }. O elemento neutro da multiplicação tem o nome de um e denotamos pelo símbolo { 1 }.

Vamos agora introduzir um novo axioma e demonstrar alguns resultados recorrendo aos axiomas e aos resultados demonstrados até agora.

Axioma 5

  1. { \forall x \in \mathbb{R} \, \exists! y \in \mathbb{R}: x + y = 0 }
  2. { \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \, \exists! y \in \mathbb{R}: x\cdot y = 1 }

Do axioma anterior vem que para cada número real { x } existe outro número real { y } cuja soma com o primeiro número real é {0}.

O elemento { y } é chamado o inverso aditivo, elemento simétrico, ou mais simplesmente simétrico de { x } e é fácil de provar a sua unicidade:

Suponhamos que temos { y } e { y'} para o qual { x + y = 0 } e { x + y' = 0 } são igualdades válidas. No entanto:

{\begin{aligned} y' &= y' + 0\\ &= y '+ (x + y)\\ &= (y' + x) + y\\ &= 0 + y\\ &= y \end{aligned}}

Onde os Axiomas 4, propriedade 1, 2, 1, 4, propriedade 2, 2 e 4 foram utilizados, respectivamente.

Assim, podemos concluir que quaisquer dois opostos que supostamente existem são de facto o mesmo. De um modo mais inteligível: existe um e apenas um simétrico para cada número real.

Depois de provar a unicidade do elemento simétrico na operação de adição é possível denotar o simétrico de { x } pelo símbolo {-x} para que tenhamos { x + (- x) = 0 }

Para a segunda parte do Axioma 5 {y} é chamado de multiplicativo inverso, ou o inverso, de { x }. Tal como provamos que o simétrico é único para a adição podemos também provar que o inverso é único para a multiplicação e essa prova fica como um exercício para os nossos leitores. Assim, faz sentido definirmos o inverso de {x} como sendo { x^{- 1} } ou { \frac{1}{x} }

Em Matemática um corpo é definido como sendo um conjunto onde {. } E {+ } são operações bem definidas e todos os cinco axiomas anteriores são verificadas.

Agora vamos afirmar (e, em alguns casos provar) alguns resultados conhecidos utilizando os resultados que demonstrámos até agora.

Teorema 1

\displaystyle   \forall x, y, z \in \mathbb{R} \, x + y = x + z \Rightarrow y = z \ \ \ \ \ (1)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Este resultado é muito familiar, mas mais uma vez o que queremos salientar é o facto deste resultado poder ser provado de uma forma rigorosa.

Teorema 2 Existe uma operação inversa à operação de adição denominada de subtracção, e essa operação é única.

\displaystyle   \forall x, y \in \mathbb{R} \exists! z: x = y + z \ \ \ \ \ (2)

Demonstração: Em primeiro lugar, vamos demonstrar que tal operação realmente existe

{\begin{aligned} y + [x + (- y)] &= (y + x) + (- y)\\ &= (x + y) + (- y)\\ &= x + (y-y)\\ &= x + 0\\ &= x \end{aligned}}

Assim definindo { z = x + (- y) } temos { x = y + z }

Vamos agora demonstrar a unicidade da operação de subtracção.

\displaystyle  y + z = x

e

\displaystyle  y + z '= x

Pelo Teorema 1 é { z = z' }. \Box

{ z } é a diferença entre { x } e { y } e é denotada pelo {x-y }

Teorema 3 Existe uma operação inversa à operação de multiplicação denominada de divisão, e essa operação é única.

\displaystyle   \forall x, y \in \mathbb{R} \setminus \{0 \} \, \exists! z \in \mathbb{R}: x = y\cdot z \ \ \ \ \ (3)

Demonstração: A demonstração é análoga à demonstração do Teorema 2 \Box

{ z } é chamado o quociente entre { x } e { y } e é denotado por { \frac{x}{y} } ou { xy^{- 1} }

Vamos agora demonstrar um resultado elementar e de conhecimento geral, mas cuja ideia de demonstração é difícil de conceber para leitores não acostumados.

Teorema 4 A multiplicação entre um número real e {0} é igual a {0}.

\displaystyle   \forall x \in \mathbb{R} \quad x\cdot 0 = 0 \ \ \ \ \ (4)

Demonstração:

O resultado anterior pode ser demonstrado da seguinte forma:

{\begin{aligned} 0 + 0 &= 0\\ x (0 + 0) &= x\cdot 0 \\ x\cdot 0 + x\cdot 0 &= x\cdot 0 \\ x\cdot 0 &= 0 \end{aligned}}

\Box

Teorema 5 Quando o produto entre dois factores é nulo, pelo menos um dos factores é nulo.

\displaystyle   \forall x, y \in \mathbb{R} \quad x\cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 \vee y = 0 \ \ \ \ \ (5)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

A prova deste exercício fica como um exercício para o leitor e por favor não se esqueçam de partilhar as vossas proposta de resolução nos comentários.

Tudo isso pode parecer tautológico para as pessoas que não estão acostumadas ao raciocínio matemático, mas não é. O ponto de todas estas definições, axiomas e teoremas é construirmos uma teoria matemática a partir do zero e sempre com rigor máximo de modo a que não hajam dúvidas sobre os resultados afirmados.

Para além disso também pensamos que o facto de podermos demonstrar todos estes resultados tem uma beleza própria e queremos partilhar essa beleza com os nossos leitores.

Assim concluímos a primeira parte da construção dos números reais. No próximo artigo, vamos estudar os Axiomas de Ordem e obter alguns mais resultados conhecidos para continuar a construir a nossa familiaridade/admiração para com o raciocínio matemático.

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