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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas (Parte 4)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 10 Um conjunto de 4 cargas iguais, de {5 \ \mu C} estão dispostas da base de uma pirâmide de base quadrada, dada na figura.

{a= \ h= \ 20 \ mm}.

Qual deverá ser a massa da carga de prova (de valor igual) para que ela flutue em equilíbrio dinâmico?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 10 .

O exercício nos apresenta uma carga de prova {(q_{o})} que está acima de um arranjo quadrado de cargas, formando assim uma pirâmide. As cargas se encontram nos vértices da pirâmide.

A carga flutua por interacção electrostática. Sendo que todas as cargas são positivas, existem forças repulsivas constantes entre as cargas.Dados

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{H= \ a= \ 20 \ mm= \ 20 \cdot 10^{-3} m}

{q_0=q_1=q_2=q_3=q_4= \ 5 \ \mu C= \ 5 \cdot 10^{-6} \ C}

{m-?}

.

Sendo que a figura geométrica é regular e simétrica, a distancia entre a carga {q_0} com as outras cargas é igual. Chamamos a esta distancia de {d}.

Veja a figura abaixo.

Considerando o triângulo rectângulo formado entre as cargas {q_1}, {q_2} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot b^2=a^2

\displaystyle \Rightarrow \cdot b^2=\dfrac{a^2}{2}

Isolando {b}, teremos:

\displaystyle b=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}

Analisando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle b^2+h^2=d^2

Ou:

\displaystyle d^2=b^2+h^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{a^2}{2}+a^2

\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{3a^2}{2}

Na carga {q_0} actuam ao todo 4 forças repulsivas, da sua interacção com as outras cargas (1, 2, 3 e 4).

Chamamos a estas forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}.

Então:

\displaystyle F_{01}=F_{02}=F_{03}=F_{04}

O facto de as distâncias serem todas iguais e de as cargas terem o mesmo valor absoluto, pela lei de Coulomb, nos leva a concluir que as forças electrostáticas de repulsão entre {q_0} e as outras cargas (1, 2, 3 e 4) são todas iguais.

Os seus módulos serão:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{d^{2}}

Substituindo {d^2}, teremos:

\displaystyle F_{01} = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{3a^{2}/2}

Calculando:

\displaystyle F_{01} = \ 9 \cdot 10^9 \dfrac{5 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{3(20 \cdot 10^{-3}) ^{2}/2}

\displaystyle \longleftrightarrow F_{01} = 375 \ N

Lembre que:

\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04}

\displaystyle \Rightarrow F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = 375 \ N

As forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}}, além de terem o mesmo modulo, são todas respectivamente paralelas a diagonal formada pelo segmento que une as cargas que as originam. Neste caso, pela simetria do problema, todas estas diagonais formam o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Neste caso, todas estas forças formarão também o mesmo ângulo {\theta} com o plano horizontal {xOy}.

Se inserirmos um sistema de coordenadas cartesiano em {q_0} e projectarmos as forças, as projecções destas forças no plano {xOy} vão anular-se mutuamente.

Na figura, só representamos as projecções para {F_{03}} e para {F_{04}}. Pela simetria do problema, poderemos deduzir as outras.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_1} e {q_3}.

O eixo {y} foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem {q_4} e {q_2}.

O eixo {x} foi traçado de modo a ser paralelo a vertical que contem o ponto O e {q_0}.

Neste caso:

  • {F_{01}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{02}} pertence ao plano {yOz},,
  • {F_{03}} pertence ao plano {xOz},
  • {F_{04}} pertence ao plano {zOz}.

As componentes horizontais (no plano {xOy}) anulam-se:

  • {F_{01x}} anula {F_{03x}},
  • {F_{02y}} anula {F_{04y}}.

Sobram apenas as componentes verticais. As projecçõpes verticais das forças {F_{01}}, {F_{02}}, {F_{03}} e {F_{04}} podem ser calculadas pelas seguintes relação:

\displaystyle F_{01z}=F_{01z} \sin \theta

Temos de obter o ângulo {\theta}. Considerando o triângulo rectângulo formado pelas cargas {q_1}, {q_0} e o centro do quadrado da base {O}, teremos:

\displaystyle tg \theta = \dfrac{h}{b} \Rightarrow \theta = arctg \dfrac{h}{b}

Substituindo {h} e {b} pelos seus valores, obtemos:

\displaystyle \theta = arctg \dfrac{a}{a/\sqrt{2}}

\displaystyle \Rightarrow \theta = arctg \sqrt{2}

\displaystyle \Rightarrow \theta = 54,7^o

Sabemos que, pela simetria do problema {F_{01z}=F_{02z}=F_{03z}=F_{04z}}. Então:

\displaystyle F_{01z}=F_{01} \sin \theta = 375 cos 54,7^o

\displaystyle F_{01z}=216,7 \ N

As resultante das componentes verticais será igual a força eléctrica resultante em {q_0}, que chamamos de {F_{el}}.

Neste caso:

\displaystyle F_{el}=F_{01z} + F_{02z} +F_{03z} + F_{04z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot F_{01z}

\displaystyle F_{el}=4 \cdot 216,7

\displaystyle F_{el}=866,8 \ N

Para quê a carga de prova flutue em equilíbrio dinâmico é necessário que a força eletrostática resultante que atua nela seja igual a força de gravidade:

\displaystyle F_{el} \ = \ F_{g}

Então:

\displaystyle F_{el} \ = \ m \ . \ g

Ou:

\displaystyle \ m \ . \ g = F_{el}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{F_{el}}{g}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{866,8}{9,8}

\displaystyle \Rightarrow m \ = \ 88,44 \ kg

Exercício 11 Uma carga de prova {q_0= \ 10 \ \mu C} de massa depressível, esta presa numa mola também de massa depressível, com constante {K'= \ 10 \ N/m}, conforme a figura abaixo.

Uma outra carga {q_1 \ =50 \ \mu C} é fixada abaixo desta. qual devera ser a distância entre as cargas para que a mola seja comprimida em 3 cm.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 11 .

O sistema apresenta um arranjo de cargas, onde a carga {q_0} está presa a uma mola. Actuam nela a força eléctrica {F_{01}} e a força elástica {(F_k)}.

A mola está comprimida devido a força de repulsão. A massa da mola é depressível. {K'}-constante elástica e {K}– constante electrostática. O uso de {K'} em vez do habitual {K} para a constante elástica da mola é para distingui-lo da constante electrostática do meio {K}.

As duas cargas são positivas, logo a força de interacção entre elas é de repulsão. Esta força tenderá a comprimir a mola. A compressão termina quando se atinge o equilíbrio entre a força deformadora (força eléctrica) e a força restauradora (força elástica).

Aplicaremos a condição de equilíbrio, substituiremos a força eléctrica pela relação obtida da lei de Coulomb, e isolaremos a distância d.

Dados

{K'= \ 10 \ N/m}

{K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{x= \ 3 \ cm= \ 3 \cdot 10^{-2}}

{q_0= \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}

{q_1= \ 50 \ \mu C= \ 50 \cdot 10^{-6} \ C}

{d-?}

Sabemos que, pela lei de Hook:

\displaystyle F_{k}=K' \cdot x (

Sabemos também, pela Lei de Coulomb, que:

\displaystyle F_{01}=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

.

Considerando que na carga {q_0} as duas forças estão em equilíbrio, temos:

\displaystyle \vec{F_{k}}+\vec{F_{01}}=0

Em módulo, teremos:

\displaystyle F_{k}-F_{01}=0

\displaystyle \Rightarrow F_{k}=F_{01}

Substituindo as forças pelas suas relações, temos:

\displaystyle K' \cdot x=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}

Passando o {d^2} no membro esquerdo e a {K' \cdot x} para o membro direito, obtemos:

\displaystyle d^2=\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}}

Substituindo os valores:

\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 50 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot (3 \cdot 10^{-2})}}

\displaystyle d= \ 3, 87 \ m

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas e Campo Eléctrico(Parte 3)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 7 .

O sistema abaixo mostra três cargas { q_1= \ -1,5 \ \mu C }; { q_2= \ 5 \ \mu C } e { q_3= \ 10 \ \mu C }.

Qual é a força resultante sobre {q_2}.

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 7

.

Dados .

{ q_1= \ -1,5 \ \mu C = \ -1,5 \cdot 10 ^{-6} \ C } .

{ q_2= \ 5 \ \mu C = \ 5 \cdot 10^6 \ C } .

{ q_3= \ 10 \ \mu C = \ 10 \cdot 10 ^{-6} \ C }

O exercícios nós pede para calcular a força resultante { q_2}.

O sistema apresenta um conjunto de 3 cargas. Neste caso, as forças na carga em questão surgem devido a interacção com as outras duas cargas.

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre { q_2} e { q_1} é de atracção, pois ambas têm sinais opostos. A interacção entre { q_2} e { q_3} é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por {\vec{F_{12}}} e {\vec{F_{21}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_1}.

Denotamos por {\vec{F_{32}}} e {\vec{F_{23}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_3}.

Veja a figura.

neste caso calculamos em cada caso:

Então, observamos que em { q_2} actua duas forças: {\vec{F_{21}}} e {\vec{F_{23}}}.

Para calcular o valor dos módulos destas forças vamos usar a formula obtida pela lei de Coulomb.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_3} temos:

\displaystyle F_{23}= K \dfrac{| q_2 | | q_3 |}{r_{23}^2}= \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(3 \cdot 10 ^{-3} )^2}

\displaystyle F_{23}= \ 5 \cdot 10^4 \ N

A distancia {r_{23}} foi obtida pela diferença das coordenadas de cada carga: {r_{23}= \ |x_3-x_2|= \ 7-4= \ 3 m}.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_1} temos:

\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{r_{12}^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 1,5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 5 \cdot 10 ^{-6}}{(6 \cdot 10 ^{-3} )^2}

\displaystyle F_{21}= 0,1875 \cdot 10^{-4} \ N

Como tem duas forças que interagem em {q_2} podemos calcular a força resultante em {q_1}.

No caso, as duas forças têm mesmo sentido e mesma direcção. Então, não existe necessidade de projectarmos ou usarmos a lei dos cossenos. A força resultante será obtida pela soma dos módulos dos vectores obtidos:

\displaystyle F_{r2}=F_{23} + F_{21}=50.000+1.875=51.184 \ N

Exercício 8 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. Sendo: {q_1=q_2=q_3= \ 10 \ \mu C}, qual será:

  1. O campo eléctrico no outro vértice?
  2. A força na carga {q_2}?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 8

O problema nos pede para determinar o Campo eléctrico no ponto O e a força eléctrica resultante na carga {q_2}.

Para obter o campo eléctrico no ponto {O}, devemos ter em conta que o campo eléctrico obedece ao principio de super posição. Neste caso, o campo eléctrico provocado por um sistemas de cargas é igual á soma (vectorial, visto que o campo eléctrico é uma grandeza vectorial dos campos produzidos por cada carga. (Nota: aqui, quando nos referimos ao campo eléctrico, estamos a falar da sua intensidade).
Para o efeito, temos de achar o campo eléctrico produzidos por cada carga no ponto {O}, para termos o campo resultante neste ponto.

No caso de forças, temos de analisar todas as interacções de {q_2}. Neste caso, são duas: A interacção entre { q_2} e { q_1}, e a interacção entre { q_2} e { q_3}.

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre { q_2} e { q_1} é de repulsão, pois ambas têm mesmo sinal. A interacção entre { q_2} e { q_3} também é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por {\vec{F_{12}}} e {\vec{F_{21}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_1}.

Denotamos por {\vec{F_{32}}} e {\vec{F_{23}}} as forças de interacção entre { q_2} e { q_3}.

Dados

{a = 0,02 \ mm = 0,02 \cdot 10^{-3} }

{q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C}

{ K=8,99 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}

{ E_{R}-? }

{F_{q_{2}}-? }

.

  1. Para calcularmos o campo eléctrico resultante no ponto {O}, vamos calcular o campo produzido por cada carga e fazer a soma vectorial deles. Como as direcções e sentidos têm importância na soma vectorial, devemos, além de calcular os módulos, representar e determinar geometricamente os ângulos entre estes vectores. Traçando os campos eléctricos no ponto {O}, todos apontando para o sentido oposto as cargas que os origina (visto que as cargas são positivas), observamos que teremos neste 3 campos eléctricos: {\vec{E_1}}, {\vec{E_2}} e {\vec{E_3}}, sendo que o primeiro é vertical e apontando para baixo, o segundo é oblíquo, dirigido paralelamente a diagonal do quadrado e o terceiro é horizontal apontando para a direita. Veja figura.

    A diagonal de um quadrado faz um ângulo de {45^o} com as suas arestas.

    Pela relação do campo criado por uma carga pontual temos:

    \displaystyle E= K \dfrac{q}{r^2}

    Então para o caso da carga {q_1}, temos:

    \displaystyle E_1=K \dfrac{q_1}{r_1^2}=K \dfrac{q_1}{a^2}

    \displaystyle \Rightarrow E_1 =9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3})^2}= 2,25 \cdot 10^{14} \ N/C

    Para o caso da carga {q_3}, não precisamos fazer o cálculo, pois { E_3 = E_1 }, por ter mesmo valor de carga e mesmas distâncias.

    Para o caso da carga {q_2}, temos:

    \displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{r_2^2} = K \cdot \dfrac{q_2}{b^2}

    Para tal, temos de obter uma relação para {b}.

    Usando o teorema de Pitágoras,temos:

    \displaystyle b^2=a^2 + a^2

    \displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}

    \displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a

    Logo, voltando a {E_2}, temos:

    \displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{(\sqrt{2} a)^2}

    \displaystyle \Rightarrow E_2=9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{2})^2}=1,125 \cdot 10^{14} \ N/C

    Para calcularmos o campo resultante, trabalharemos com o método de projecções. Como s campo eléctrico {E_2}, vamos obter as suas projecções em {Ox} e em {Oy}.

    \displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2x}

    \displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2y}

    Substituindo as projecções pelos seus equivalentes, obtemos:

    \displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o

    \displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o

    Neste caso, o módulo do vector resultante será:

    \displaystyle E_R=\sqrt{ E_{Rx}^{2} + E_{Ry}^{2}}

    \displaystyle \Rightarrow E_R=\sqrt{(E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o)^2 + (E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o)^2}

    Substituindo os valores obtidos anteriormente, obtemos:

    \displaystyle E_{R}=\sqrt{( 2,25 \cdot 10^{14}+1,125 \cdot 10^{14} \cdot \cos 45^o)^2 + ( 2,25 \cdot 10^{14} + 1,125 \cdot 10^{14} \cdot \sin 45^o)^2}

    \displaystyle E_{R}= \ 4,31 \cdot 10^{14} \ N/C

  2. Para determinamos a Forças resultante na carga {q_2}, devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.

    De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_1} temos:

    \displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}

    \displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

    Para interacção da carga {q_2} em {q_3}, não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

    \displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

    Para achar a força resultante, visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

    \displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}

    Como {F_{23}= F_{21}}, então:

    \displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ F_{23}

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9

    \displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=3,18 \cdot 10^9

Exercício 9 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. As cargas são: {q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C}.

Qual carga(módulo e sinal) deve ser colocado no vértice do quadrado para que a força eléctrica resultante em {q_2} seja igual a zero?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 9 .

Dados

{q_1 =q_2 =q_3 = \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}

{q_4-? }

{F_{q_{2}}=0}
A resolução deste problema possui dois caminhos e dois modos:

Modo 1: Calcular a força eléctrica que as cargas actuais exercem no na carga {q_2}. Em seguida calcular, pela lei de Coulomb, qual carga provocaria uma força tal que anulasse esta força.

Modo 1: Representar o sistema de 4 cargas e representar as 3 forças na carga {q_2}. Aplicar a resultante na carga {q_2}, através das componentes e com a condição de que a força deve ser nula, calcular essa carga desconhecida.

Além dos dois modos, há ainda duas variantes de parâmetros: Podemos resolver considerando a Força eléctrica ou considerando o campo eléctrico.

Vamos resolver este problema considerando o 1º modo e usando a força eléctrica.

Primeiro, vamos calcular a força eléctrica resultante na carga {q_2} no sistema, antes da adição da carga {q_4}

Para determinamos a força resultante na carga {q_2} dos efeitos de {q_1} e {q_3} ({F_{2,13}}), devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga {q_2} em {q_1} temos:

\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}

\displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

Para interacção da carga {q_2} em {q_3}, não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

\displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N

Para achar a força resultante dos efeitos de {q_1} e {q_3}, visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}

Como {F_{23}= F_{21}}, então:

\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ F_{23}

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9

\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=3,18 \cdot 10^9

Portanto, {F_{2,13}} é a força resultante dos efeitos de {q_1} e {q_3} sobre {q_2}.

Para que a resultante em {q_2} seja zero, é necessário adicionar no vértice {O} uma carga {q_4} que produza em {q_2} uma força ({F_{24}}) de igual módulo, mas de sentido oposto.

Neste caso, já concluímos que a carga {q_4} deve ser negativa.

O seu módulo dever ser:

\displaystyle F_{24} = F_{2,13}

\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{b^2} = F_{2,13}

A diagonal do quadrado {b} é obtida da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo que ele forma com as duas arestas do quadrado.

\displaystyle b^2=a^2 + a^2

\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}

\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a

Então:

\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{(\sqrt{2} a )^2} = F_{2,13}

Então, isolando o modulo de {q_4}, obtemos:

\displaystyle | q_4| = \dfrac{ F_{2,13}(\sqrt{2} a )^2}{K \cdot| q_2 | }

\displaystyle \Rightarrow | q_4| = \dfrac{ 3,18 \cdot 10^9 (\sqrt{2} 0,02 \ \ \cdot 10^{-3} )^2}{ 9 \cdot 10^{9}\cdot 10 \cdot 10^{-6} }

\displaystyle \Rightarrow | q_4| = 2,83 \cdot 10^{-5} \ C

Então:

\displaystyle q_4 = \ - 2,83 \cdot 10^{-5} \ C

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas (Parte 1)

— 1. Exercícios sobre Electrostática —

 

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 1 .

Uma esfera metálica carregada negativamente tem { -25 \ \mu C } quantos eletrões em excesso foram adicionados a esta esfera? ({ q_e=-1,6 \cdot 10 ^{19} \ C }).
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

Dados .

{ q= -25 \ \mu5=-25 \cdot 10 ^{-6} \ 6 } .

{ q_e=-1,6 \cdot 10 ^{-19} \ 6 } .

{ n \rightarrow ? } .

. A carga total é dada por:

\displaystyle q=n \cdot q_c

Onde:

{q-} é a carga eléctrica total.

{n-} é o numero de electrões em excesso ou defeito.

{q_e}= é a carga eléctrica elementar

Neste caso, isolando {n}, obtemos:

\displaystyle q= n \cdot q_c \Rightarrow n= \frac{q}{q_c}= \frac{-25 \cdot 10 ^{-6} \ 6}{-1,6 \cdot 10 ^{-19} \ 6}

\displaystyle n= \frac{25 \cdot 10 ^{-6}}{1,6 \cdot 10 ^{-19}}

\displaystyle n=1562,5 \cdot 10^{11}

.

Neste caso a esfera tem {1562,5 \cdot 10^{11}} electrões.

Exercício 2 .

Qual é a força da interação entre o núcleo e o electrão de um átomo de Hidrogénio, se o raio atómico é de { 53 \ pm}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 2 .

Dados .
{ q_p= 1,6 \cdot 10 ^{-19} \ C } .

{ q_e= -1,6 \cdot 10 ^{-19} \ C } .

{ r= 53 \ pm = 53 \cdot 10 ^{-12} \ C} .

{ k \approx \ 9 \cdot 10 ^{9} \ N \cdot m^2/C^2 }

De acordo com a lei do coulomb temos:

\displaystyle \overrightarrow{F}=k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \overrightarrow{u_r}

Em módulo:

\displaystyle F=k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}

O átomo de Hidrogénio, no estado fundamental, tem contem duas cargas (um electrão e um protão) e a distância entre elas é igual ao raio da orbita. Então:

\displaystyle F=k\frac{ | q_e| \cdot |q_p | }{ r^2}= 9 \cdot 10 ^{9} \frac{( 1,6 \cdot 10 ^{-19} )^2}{( 53 \cdot 10 ^{-12})^2}

\displaystyle F= 8,2 \cdot 10 ^{-8} \ N

A força de interação é de { 8,2 \cdot 10 ^{-8} \ N }.

Exercício 3 Quando duas esferas(A e B), carregadas e condutoras, com respectivamente {10 \ nC } e {-5 \ nC} e inicialmente num,a distância d, uma da outra, apresentam uma força de {50 \ m N}. Se colocadas em contacto e separadas novamente à distância inicial, qual será a força e a natureza da mesma (actração ou repulsão)?

NÍVEL DE DIFICULDADE: regular.

Resolução 3 .

Dados .

{q_{dA}=10 \ nC= \ 10 \cdot 10^{-9} \ C }

{q_{dB}=-5 \ nC= \-5 \cdot 10^{-9} \ C}

{d=d_0=d_1}

{F_0=50 \ nN= \ 50 \cdot 10^{-3} \ N}

{F_{1}-?}

Natureza{-?} .

.
Se trata de duas situações, onde a distância inicial {(d_0) } é igual a distância final {(d_1)} logo: {d=d_0=d_1}.

.

Ao colocar as esferas juntas, a carga total será a soma das cargas de cada um deles. Como ambas são condutoras, ocorre tranferencia de electrões de um material para outro. Esta transferência cessa quando as cargas dos dois ficam, iguais. Ao separa-los, cada uma fica com a carga obtida do equilíbrio, que no caso, é igual a metade da carga resultante. Logo:

\displaystyle q_{1A}=q_{1B}=\frac{q_{A} + q_{B}}{2}=\frac{10 \ nC \ + \ (-5 \ nC)}{2}=\frac{5 \ nC)}{2}= \ 2,5 \ nC = \ 2,5 \cdot 10^{-9} \ C

.

No inicio (situação 0), a força de que actua entre as cargas é:

\displaystyle F_0=k \frac{|q_A| \cdot |q_B|}{d^2} \Rightarrow k=\frac{d^2 \cdot F_0}{2 \cdot |q_A| \cdot |q_B|} \ \ \ \ \ (1)

Após contacto, os valores das cargas mudam e consequentemente, a força muda. A força de que actua entre as cargas nesta situação 1 é:

\displaystyle F_{1}=k \frac{(|q_{0A}| \cdot |q_{0B}|}{d^2}= k\frac{|q_{0A}| \cdot |q_{0B}|}{d^2} \ \ \ \ \ (2)

Substituindo {k} da equação 1 na equação 2, temos:

\displaystyle F_{1}=\frac{d^2 \cdot F_0}{|q_A| \cdot |q_B|} \cdot \frac{|q_{0A}| \cdot |q_{0B}|}{d^2}

\displaystyle F_{1}=\frac{50 \cdot 10^{-3}}{|10 \cdot 10^{-9}| \cdot |-5 \cdot 10^{-9}|} \cdot \frac{ (2,5 \cdot 10^{-9} )^2}{1}

Nota: Simplificamos as distâncias, pois são iguais.

\displaystyle F_{1}=6,25 \cdot 10^{-3} \ N

\displaystyle F_{1}=6,25 \ mN

Sendo que as cargas são iguais, a natureza da Força será de Repulsão.

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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