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1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas (Parte 2)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 4 .

A soma de duas cargas é igual 0. Quando colocadas afastadas em {1 \ mm } a força electrostático entre elas fica igual a {100 \ mN}.

Determine o valor destas cargas .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .

Dados

{ q_1+q_2=0 } .

{F=100 \ mN = 0,1 \ N } .

{ K= 9 \cdot 10^9 \dfrac{Nm^2}{C^2} } .

{ d=1 \ mm = \ 1 \cdot 10 ^{-3} \ m } .

{ q_1 \rightarrow ? } .

{ q_2 \rightarrow ? }

Este problema apresenta uma situação de aplicação directa da Lei de Coulomb.

São dadas duas cargas de valores desconhecidos, e definidas duas condições: soma algébrica das cargas e força electrostática.

Uma vez que não temos os valores das duas cargas eléctricas, mais temos a força é essa distância podemos criar um sistema de equação para encontrarmos as duas cargas.

O facto de a soma ser igual a zero, já implica que as cargas têm sinais opostos. Vamos pressupor que a carga {q_1} é positiva e que {q_2} é negativa. Este procedimento será relevante na eliminação do módulo na formula afecta a Lei de Coulomb.

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ k\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(r)^2}=0,1\\ \end{array}\right.

Nota que, a primeira equação deriva da condição de que a soma seja zero. A segundo equação provém da igualdade entre a relação da força pela Lei de Coulomb e o valor da força dado no enunciado.

Substituindo valores para as constantes e dos dados, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(1 \cdot 10 ^{-3})^2}=0,1 \\ \\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{1 \cdot 10 ^{-6}}=0,1\\ \end{array}\right.

Resolvendo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^{15} | q_1 | | q_2 | =0,1\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{0,1}{9 \cdot 10^{15}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{1 \cdot 10 ^{-1}}{9 \cdot 10^15}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1= -q_2 \\ \\ | q_1 \cdot q_2 | ==\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Substituindo {q_1} da primeira equação na segunda, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q_2 \cdot q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q^2_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Eliminando o módulo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q^2_2 = =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| = \sqrt{\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| \approx 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Eliminando o modulo de {q_2}, obtemos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q_2 = - 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Como {q_1= -q_2}, então:

\displaystyle q_1=3,33 \cdot 10^{-3} \ C

Exercício 5 Um conjunto de cargas colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de {50 \ \mu m} de aresta, tem todas {10 \ \mu C}. Qual é a força resultante em qualquer carga dos vértices?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .

Dados

{q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C }

{a=50 \ \mu m=50 \cdot 10^{-6} \ m }

{F_{r_{q3}}-? }

{K=9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2 }

O problema apresenta um sistema de 3 cargas (num plano). A disposição das cargas é tal que forma um Triângulo Equilátero.

Da geometria plana, sabemos que o triângulo equilátero tem todos os lados e ângulos internos iguais. O valor dos ângulos internos é sempre de {60^o}.

Devemos fazer a figura, inserir um sistema de coordenadas. escolher uma das cargas e indicar as interacções das forças nesta carga.

Como as cargas são todas do mesmo sinal a força entre elas é sempre de repulsão. Escolhemos a carga {q_3} para análise.

A partir da figura, observamos que actuam na carga {q_3} duas forças: {F_{13}} (Força de interacção entre as cargas 1 e 3) e {F_{23}} (força de interacção entre as cargas 2 e 3.

Essas forças estão na direcção da linha que une as cargas em questão e representamo-las como setas que saem da carga naquelas direcções. Como as forças são de repulsão, o sentido escolhido é o sentido que tende a afastar as cargas.

Como temos adição de dois vectores, podemos optar por um dos dois métodos: lei dos cossenos ou decomposição em projecções.

Neste exercício, faremos a decomposição em projecções (por livre escolha).

A força {\vec{F_{23}}} é um vector paralelo ao eixo {Ox}. Não precisa ser projectado.

A força {\vec{F_{13}}} , por não ser paralela ao eixo {Ox} nem ao eixo {Oy}, vamos projecta-la. Dá origem então as projecções {\vec{F_{13x}}} e {\vec{F_{13y}}}.

A partir da figura temos:

Sabemos que {F_{23}=F_{13}=F}, porque tem as mesma cargas e a mesmas distâncias. Então, pela lei de Coulomb, temos:

\displaystyle \Rightarrow F_{23}=\dfrac{K \cdot |q_2| \cdot |q_3|}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^{9} (10 \cdot 10^{-6})^2}{(50 \cdot 10^{-6})^2}

Resolvendo, temos:

\displaystyle F_{23}=36 \cdot 10^{10} \ N =F_{13}=F

Os ângulos da força {\vec{F_{13}}} se obtêm por análise gráfica. Considerando o axioma de rectas concorrentes, concluímos que o ângulo entre {\vec{F_{13}}} e o eixo {Ox} é {60^o}. O ângulo de {\vec{F_{13}}} com o eixo {Oy} é o complementar de {60^o}, portanto, {30^o}. Neste método, o vector resultante é obtido pelas resultantes em cada eixo.

Neste caso, a projecções resultantes são:

\displaystyle F_{Rx}=F_{23} + F_{13} \cdot \sin 30^o=F + F \cdot \cos 60^o

\displaystyle F_{Ry}=F_{13} \cdot \cos 30^o= \ F \cdot \sin 60^o

Neste caso, usando o teorema de Pitágoras, teremos:

\displaystyle F_{r_{q3}}=\sqrt{(F_{Rx} )^2 + (F_{Ry} )^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{(F + F \cdot \cos 60^o)^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[F(1 + \cos 60^o)]^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[36 \cdot 10^{10}(1 + \cos 60^o)]^2 + (36 \cdot 10^{10} \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle F_{r_{q3}}=62,35\cdot 10^{10} \ N

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