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Análise Matemática – Limites e Continuidade VII
— 6. Propriedades globais de funções contínuas —
Teorema 51 {Teorema do valor intermédio} Seja
Demonstração: Omitida. |
De uma forma intuitiva podemos dizer que o teorema anterior mostra que se o gráfico de uma função contínua não tem buracos se o domínio dessa função também não tem buracos.
Corolário 53 Seja
Demonstração: Seja
|
Como uma aplicação dos resultados anteriores vamos olhar para com
ímpar e
. Sabemos que é
para grandes valores (sejam eles positivos ou negativos) de
. Temos
e
.
Uma vez que
-
é uma função contínua.
- O domínio,
de
é
que é um intervalo.
-
e
, o que implica que
Pelo Corolário 52 é . O que implica que todos os polinómios ímpares têm pelo menos um
.
Teorema 54 {Continuidade da função inversa} Seja
Demonstração: Omitida. |
Este teorema tem muitas aplicações importantes e vamos utiliza-lo para definir as funções inversas das funções trigonométricas.
— Arco seno —
No intervalo a função
é injectiva:
Deste modo podemos definir o inverso da função seno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função seno por :
Uma vez que temos vem que
. Usando o Teorema 54
é contínua.
A representação gráfica de é
É evidente pelo gráfico que é uma função ímpar.
— Arco tangente —
No intervalo a função
é injectiva:
Deste modo podemos definir o inverso da função tangente neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função tangente por :
Uma vez que vem que
. Usando o Teorema 54
é contínua.
A representação gráfica de é
É evidente pelo gráfico que é uma função ímpar.
— Arco coseno —
No intervalo a função
é injectiva:
Deste modo podemos definir o inverso da função coseno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função coseno por :
Uma vez que vem que
. Usando o Teorema 54
é contínua.
A representação gráfica de é
Podemos ainda representar a função arco coseno usando a seguinte equação
para escrever
— 6.4. Funções contínuas e intervalos —
Teorema 55 Seja
Demonstração: Seja
Uma vez que os termos de
Uma vez que
Seja
Uma vez que
Mas
Concluindo vem que
Para o mínimo podemos construir uma prova análoga que fica como um exercício para o leitor. |
Uma mnemónica útil para recordamos o teorema anterior é
Funções contínuas têm um máximo e um mínimo num intervalo compacto.
Teorema 56 Seja
Demonstração: Pelo Corolário 53
Assim
Logo |
O corolário anterior pode ser expressado da seguinte forma (mais uma mnemónica útil):
Uma função contínua transforma intervalos compactos em intervalos compactos.
Análise Matemática – Limites e Continuidade V
A condição , por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição
para limites e a definição
para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.
De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição .
— 4.7. para continuidade —
Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.
Seja (que é uma função obviamente contínua!).
O ponto de utilizarmos o argumento para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do
escolhido conseguimos sempre encontrar um
que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.
Voltando à nossa função vem que
. Neste caso temos
. Assim
Que é trivialmente válido, uma vez que por hipótese. Assim qualquer valor positivo de
satisfaz o critério de Heine para a continuidade e
é contínua em
.
Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a para além de que
podemos concluir que
é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Vamos agora analisar e novamente vamos estudar a continuidade no ponto
(
):
A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma (a primeira parte do critério
).
Se tomarmos fica então
o que completa a nossa demonstração que
é contínua em
.
Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de para além de que
e como tal concluímos que
é contínua no seu domínio.
Vamos agora olhar para funções da forma e estudar a continuidade de
em
.
Se tomarmos vem que
e
é contínua em
.
Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função .
Uma vez que queremos algo da forma a última expressão não nos é útil.
Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.
Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.
Uma vez que sabemos que em algum momento
vai estar no primeiro quadrante. Assim
Onde a última desigualdade é válida por hipótese.
Quer isto dizer que se tomarmos fica
que é a condição
para a continuidade.
— 4.8. para limites —
Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.
Seja . Queremos mostrar que
.
Que é trivialmente válido para qualquer valor de , assim
pode ser um número positivo qualquer.
Seja . Queremos mostrar que
.
Com satisfazemos a condição
para limites.
Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.
Nesse artigo demonstrámos que para o limite
não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que
usando a condição
:
Uma vez que ou
vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.
No primeiro caso é que é trivialmente válido e assim
pode ser um número positivo qualquer.
No segundo caso é . Tomando
faz com que se respeite o critério de Heine.
Uma vez que mostramos que a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em
.