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Análise Matemática – Limites e Continuidade VII

— 6. Propriedades globais de funções contínuas —

Teorema 51 {Teorema do valor intermédio} Seja { {I=[a,b] \in \mathbb{R}}} e { {f: I \rightarrow \mathbb{R}}} contínua. Seja { {u \in \mathbb{R}}} tal que { {\inf(I)<u<\sup(I)}}, então existe { {c \in I}} tal que { {f(c)=u}}.

Demonstração: Omitida. \Box

De uma forma intuitiva podemos dizer que o teorema anterior mostra que se o gráfico de uma função contínua não tem buracos se o domínio dessa função também não tem buracos.

Corolário 52 Seja { {[a,b]}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Vamos admitir que { {f(a)f(b)<0}}. Então { {\exists c \in ]a,b[}} tal que { {f(c)=0}}.

Demonstração: O contradomínio de { {f}} contém valores maiores que { {0}} e valores menores que { {0}}. Logo { {\sup f(I)>0}} e { {\inf f(I)<0}}. Assim { {0}} está estritamente compreendido entre o ínfimo e o supremo do contradomínio de { {f}}. Por hipótese a função não se anula nas extremidades do intervalo, logo o valor { {0}} tem que ocorrer dentro do intervalo. \Box

Corolário 53 Seja { {I\in\mathbb{R}}}, { {f:I\rightarrow\mathbb{\mathbb R}}} uma função contínua. Então { {f(I)}} também é um intervalo.

Demonstração: Seja { {\alpha=\inf(I)}} e { {\beta=\sup(I)}}. Por definição de ínfimo e supremo é { {f(I)\subset [\alpha , \beta]}}. Usando o Teorema 51 vem que { {]a,b[\subset f(I)}}. Assim temos quatro possibilidades para { {f(I)}}:

{f(I)=\begin{cases}{\alpha , \beta} \\ ]\alpha , \beta] \\ [\alpha , \beta[ \\ ]\alpha , \beta[ \end{cases}} \Box

Como uma aplicação dos resultados anteriores vamos olhar para { {P(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0}} com { {n}} ímpar e { {a_n > 0}}. Sabemos que é { {P(x)\sim a_nx^n}} para grandes valores (sejam eles positivos ou negativos) de { {x}}. Temos { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} P(x)=+\infty}} e { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} P(x)=-\infty}}.

Uma vez que

  • { {P(x)}} é uma função contínua.
  • O domínio, { {D}} de { {P(x)}} é { {\mathbb{R}}} que é um intervalo.
  • { {\sup(D)=+\infty}} e { {\inf(D)=-\infty}}, o que implica que { {P[\mathbb{R}]=]-\infty, +\infty[}}

Pelo Corolário 52 é { {0\in P[\mathbb{R}]}}. O que implica que todos os polinómios ímpares têm pelo menos um { {0}}.

Teorema 54 {Continuidade da função inversa} Seja { {I}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} uma função contínua e monótona. Então { {f^{-1}}} também é contínua e monótona.

Demonstração: Omitida. \Box

Este teorema tem muitas aplicações importantes e vamos utiliza-lo para definir as funções inversas das funções trigonométricas.

— Arco seno —

No intervalo { {[-\pi/2,\pi/2]}} a função { {\sin x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função seno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função seno por {\arcsin}:

\displaystyle y=\sin x\quad\mathrm{com}\quad x\in [\pi/2,\pi/2]\Leftrightarrow x=\arcsin x

Uma vez que temos { {\sin x:[-\pi/2,\pi/2]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arcsin x:[-1,1]\rightarrow [-\pi/2,\pi/2]}}. Usando o Teorema 54 { {\arcsin}} é contínua.

A representação gráfica de { {\arcsin x}} é

É evidente pelo gráfico que { {\arcsin x}} é uma função ímpar.

— Arco tangente —

No intervalo { {]-\pi/2,\pi/2[}} a função { {\tan x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função tangente neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função tangente por {\arctan}:

\displaystyle y=\tan x\quad\mathrm{com}\quad x\in ]\pi/2,\pi/2[\Leftrightarrow x=\arctan x

Uma vez que { {\tan x:]-\pi/2,\pi/2[\rightarrow]-\infty,+\infty[}} vem que { {\arctan x:]-\infty,+\infty[\rightarrow ]-\pi/2,\pi/2[}}. Usando o Teorema 54 {\arctan} é contínua.

A representação gráfica de {\arctan} é

É evidente pelo gráfico que {\arctan} é uma função ímpar.

— Arco coseno —

No intervalo { {[0,\pi]}} a função { {\cos x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função coseno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função coseno por {\arccos}:

\displaystyle y=\cos x\quad\mathrm{com}\quad x\in [0,\pi]\Leftrightarrow x=\arccos x

Uma vez que { {\cos x:[0,\pi]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arccos x:[-1,1]\rightarrow [0,\pi]}}. Usando o Teorema 54 {\arccos} é contínua.

A representação gráfica de {\arccos} é

Podemos ainda representar a função arco coseno usando a seguinte equação

\displaystyle \cos=\sin(\pi/2-x)

para escrever

\displaystyle \arccos y=\frac{\pi}{2}-\arcsin y

— 6.4. Funções contínuas e intervalos —

Teorema 55 Seja { {[a,b]\subset \mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}}. Então { {f}} tem um máximo e um mínimo.

Demonstração: Seja { {E}} o contradomínio de { {f}} e { {s=\sup E}}. Pelo Teorema 17 no artigo Análise Matemática – Sucessões II existe uma sucessão { {y_n}} de pontos em { {E}} tal que { {\lim y_n=s}}.

Uma vez que os termos de { {y_n}} são pontos de { {f}}, para cada { {n}} existe { {x_n\in [a,b]}} tal que { {y_=f(x_n)}}.

Uma vez que { {x_n}} é uma sucessão cujo domínio é um intervalo compacto { {[a,b]}}, pelo Corolário 27 sabemos que existe uma subsucessão { {x_{\alpha n}}} de { {x_n}} que converge para um ponto de { {[a,b]}}.

Seja { {c\in [a,b]}}tal que { {x_n\rightarrow c}}.

Uma vez que { {f}} é contínua em { {c}} vem, pela definição de continuidade, que { {\lim f(x_{\alpha n})=f(c)}}. mas { {f(x_{\alpha n})=y_{\alpha n}}}, que é uma subsucessão de { {y_n}}. Visto que { {y_n\rightarrow s}} também é { {y_{\alpha n}\rightarrow s}}.

Mas { {y_{\alpha n}=f(x_{\alpha n})\rightarrow f(c)}}.

Concluindo vem que { {s=f(c)}}, logo { {s\in E}}. Ou seja { {s=\max E}}.

Para o mínimo podemos construir uma prova análoga que fica como um exercício para o leitor. \Box

Uma mnemónica útil para recordamos o teorema anterior é

Funções contínuas têm um máximo e um mínimo num intervalo compacto.

Teorema 56 Seja { {I}} um intervalo compacto de { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Então { {f(I)}} é um intervalo compacto.

Demonstração: Pelo Corolário 53 { {f(I)}} é um intervalo. Pelo Teorema 55 { {f(I)}} tem um máximo e um mínimo.

Assim { {f(I)}} é da forma { {[\alpha , \beta]}}.

Logo { {f(I)}} é um intervalo limitado e fechado, que é a definição de um intervalo compacto. \Box

O corolário anterior pode ser expressado da seguinte forma (mais uma mnemónica útil):

Uma função contínua transforma intervalos compactos em intervalos compactos.

Análise Matemática – Limites e Continuidade V

A condição {\epsilon\delta}, por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição {\epsilon\delta} para limites e a definição {\epsilon\delta} para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.

De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição {\epsilon\delta}.

— 4.7. {\epsilon\delta} para continuidade —

Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.

Seja {f(x)=\alpha} (que é uma função obviamente contínua!).

O ponto de utilizarmos o argumento {\epsilon\delta} para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do {\delta} escolhido conseguimos sempre encontrar um {\epsilon} que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.

Voltando à nossa função {f(x)=\alpha} vem que {|f(x)-f(c)| < \delta}. Neste caso temos {f(x)=f(c)=\alpha}. Assim

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha-\alpha| &< \delta \\ |0| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}

Que é trivialmente válido, uma vez que {\delta > 0} por hipótese. Assim qualquer valor positivo de {\epsilon} satisfaz o critério de Heine para a continuidade e {f(x)=\alpha} é contínua em {c}.

Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a {c} para além de que {c \in {\mathbb R}} podemos concluir que {f(x)=\alpha} é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Vamos agora analisar {f(x)=x} e novamente vamos estudar a continuidade no ponto {c} ({f(c)=c}):

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |x-c| &< \delta \end{aligned}}

A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma {x-c} (a primeira parte do critério {\epsilon\delta}).

Se tomarmos {\epsilon=\delta} fica então {|x-c| < \epsilon} o que completa a nossa demonstração que {f(x)=x} é contínua em {c}.

Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de {c} para além de que {c \in {\mathbb R}} e como tal concluímos que {f(x)=x} é contínua no seu domínio.

Vamos agora olhar para funções da forma {f(x)=\alpha x + \beta} e estudar a continuidade de {f(x)} em {c}.

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha x + \beta-(\alpha c + \beta)| &< \delta \\ |\alpha x -\alpha c| &< \delta \\ |\alpha||x-c| &< \delta \\ |x-c| &< \dfrac{\delta}{|\alpha|} \end{aligned}}

Se tomarmos {\epsilon=|\delta|/ |\alpha|} vem que {|x-c|< \epsilon} e {f(x)=\alpha x + \beta} é contínua em {c}.

Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função {f(x)=\sin x}.

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\sin x-\sin c| &< \delta \end{aligned}}

Uma vez que queremos algo da forma {|x-c| < g(\delta)} a última expressão não nos é útil.

Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.

Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.

{\begin{aligned} |\sin x-\sin c| &= 2\left| \cos\left( \dfrac{x+c}{2}\right)\right| \left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right|\\ &< 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| \end{aligned}}

Uma vez que {x \rightarrow c} sabemos que em algum momento {\dfrac{x-c}{2}} vai estar no primeiro quadrante. Assim

{\begin{aligned} 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| &< 2\left|\dfrac{x-c}{2}\right| \\ &= |x-c|\\ &< \epsilon \end{aligned}}

Onde a última desigualdade é válida por hipótese.

Quer isto dizer que se tomarmos {\epsilon=\delta} fica {|x-c|<\epsilon \Rightarrow | \sin x - \sin x | < \delta} que é a condição {\epsilon\delta} para a continuidade.

— 4.8. {\epsilon\delta} para limites —

Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.

Seja {f(x)=2}. Queremos mostrar que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=2}.

{\begin{aligned} |f(x)-2| &< \delta \\ |2-2| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}

Que é trivialmente válido para qualquer valor de {\delta}, assim {\epsilon} pode ser um número positivo qualquer.

Seja {f(x)=2x+3}. Queremos mostrar que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=5}.

{\begin{aligned} |f(x)-5| &< \delta \\ |2x+3-5| &< \delta \\ |2x-2| &< \delta \\ 2|x-1| &< \delta \\ |x-1| &< \dfrac{\delta}{2} \end{aligned}}

Com {\epsilon=\delta/2} satisfazemos a condição {\epsilon\delta} para limites.

Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.

\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}

Nesse artigo demonstrámos que para {a \neq 0} o limite {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)} não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0} usando a condição {\epsilon\delta}:

{\begin{aligned} |f(x)-f(0)| &< \delta \\ |f(x)-0| &< \delta \end{aligned}}

Uma vez que {f(x)=0} ou {f(x)=x} vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.

No primeiro caso é {|0-0|<\delta} que é trivialmente válido e assim {\epsilon} pode ser um número positivo qualquer.

No segundo caso é {|x-0|<\delta}. Tomando {\epsilon=\delta} faz com que se respeite o critério de Heine.

Uma vez que mostramos que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0=f(0)} a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em {x=0}.

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