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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge e {\alpha \in \mathbb{R}}, então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} converge e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)

Demonstração: Temos efectivamente

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}

\Box

Corolário 74

Se {\alpha \neq 0} as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} têm a mesma natureza.

Demonstração: Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n} também é convergente. Ou seja, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente \Box

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo {\leftrightarrow } como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} queremos dizer que as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n} são ambas convergentes então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)} é convergente e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)

Demonstração: {\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}} \Box

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}} têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n

Onde temos que {|r|<1}.

Temos então

{\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}

Assim fica

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1

Teorema 77 Dada uma série {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}, um índice {k>p}, as séries {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\sum_{n=k}^{+\infty} u_n} têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

\displaystyle  \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n

e tomar o limite {m \rightarrow +\infty} \Box

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Análise Matemática – Cálculo Diferencial I

— 7. Cálculo Diferencial —

Definição 37

Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. { {f}} diz-se diferenciável no ponto { {c}} se o seguinte limite existe

\displaystyle   \displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (53)

Este limite é representado por { {f'(x)}} e diz-se que é a derivada de { {f}} em { {c}}.

Geometricamente podemos interpretar o valor da derivada no ponto {c} como sendo igual ao declive da recta tangente à curva que passa pelo ponto {c}.

Pensando em termos cinemáticos sabemos que podemos representar a evolução da posição de uma partícula pela função { {x=f(t)}}. Deste modo podemos definir a velocidade média da partícula no intervalo { {[t_0,t]}} por

\displaystyle  v_m(t_0,t)=\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}

Se quisermos determinar a velocidade da partícula num dado instante de tempo temos que partir da definição anterior e fazer com que o intervalo de tempo seja o mais pequeno e próximo possível do instante para o qual queremos saber a velocidade. Se { {f}} é uma função bem comportada o limite existe e podemos defini-lo como sendo o valor da velocidade no instante (velocidade instantânea):

\displaystyle  v(t_0)=\lim_{t\rightarrow t_0}v_a(t_0,t)=\lim_{t\rightarrow t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=f'(t_0)

Assim o conceito de derivada serve para unificar dois conceitos que à partida eram distintos:

  • O conceito de recta tangente a uma curva, que é um conceito puramente geométrico.
  • O conceito de velocidade instantânea, que é um conceito puramente cinemático.

O facto de dois conceitos aparentemente díspares serem unificados por um objecto matemático é uma indicação da importância e profundidade do conceito de derivação.

Definição 38

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {c\in D\cap D_{c^+}'}}, podemos definir a derivada à direita de {f} em { {c}} por

\displaystyle   f_+'(c)=\lim_{x\rightarrow c^+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (54)

Definição 39

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {c\in D\cap D_{c^-}'}}, podemos definir a derivada à esquerda de {f} em { {c}} por

\displaystyle   f_-'(c)=\lim_{x\rightarrow c^-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (55)

Definição 40

Se { {c\in D_{c^+}\cap D_{c^-}}}, dizemos que { {f'(c)}} existe sse { {f_+'(c)}} e { {f_-'(c)}} existem e são iguais.

Definição 41

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} diferenciável em { {D}}. A função { {x \in D \rightarrow f'(x)\in\mathbb{R}}} é chamada de função derivada de { {f}} e é representada por { {f'}}.

Definição 42

Fazendo a mudança de variável { {h=x-c}} na Definição 37 podemos definir a derivada de uma função num ponto através da expressão:

\displaystyle   f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ \ \ \ \ (56)

Finalmente vamos introduzir a notação de Leibniz para denotar a derivada de {f}:

  • { {\Delta x}} representa o incremento em { {x}}.
  • { {\Delta f = f(x+h)-f(x)}} representa o incremento em { {y}}.

Se os incremento são infinitamente pequenos, ou seja, se os incrementos são infinitesimais podemos representa-los por

  • { {dx}} é o acréscimo infinitesimal em { {x}}.
  • { {df}} é o acréscimo infinitesimal em { {y}}.

Assim podemos escrever a derivada como

\displaystyle  f'(x)=\frac{df}{dx}

Como exemplo vamos calcular a derivada da função { {f(x)=e^x}}.

{ {\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=e^x\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^h-1}{h}\\ &=e^x \end{aligned}}}

Para { {x\in\mathbb{R}}}.

Como outro exemplo vamos agora calcular a derivada de { {f(x)=\log x}}

{ {\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log (x+h)-\log x}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log \left(x(1+h/x)\right)-\log x}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log (1+h/x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{h/x}{h}\\ &=1/x \end{aligned}}}

Para { {x\in\mathbb{R}}}.

Fica como um exercício para o leitor demonstrar as seguintes igualdades:

  • { {(\sin x)'=\cos x}}.
  • { {(\cos x)'=-\sin x}}.
Teorema 57 Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. Se { {f}} é diferenciável em { {c}}, existe uma função contínua { {\varphi:D\rightarrow\mathbb{R}}} com um zero em { {c}} tal que:

\displaystyle   f(x)=f(c)+\left( \left( f'(c)+\varphi(x) \right) (x-c) \right)\quad x\in D \ \ \ \ \ (57)

Demonstração:

Definindo { {\varphi (x)}} por:

{ \displaystyle f(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c) \quad \mathrm{se}\quad x \in D\setminus \{c\}\\ 0 \quad \mathrm{se}\quad x =c \end{cases}}

Uma vez que { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\varphi (x)=\lim_{x\rightarrow c} \left(\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c)\right)=(f'(c)-f'(c)=0 }}, vem que { {\varphi}} é contínua em { {c}}.

Para completar a nossa demonstração o leitor terá que mostrar que a nossa construção de { {\varphi}} faz com que a igualdade do teorema seja válida. \Box

Corolário 58

Seja { {f=D\rightarrow\mathbb{R}}} diferenciável em { {c}}. Então é { {f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+o(x-c)}} quando { {x\rightarrow c}}

Demonstração:

Seja { {r(x)=\varphi (x)(x-c)}}. Utilizando o Teorema 57 vem que

\displaystyle  f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+r(x)

Uma vez que { {\lim_{x\to c}\varphi (x)=\varphi (c)=0}} vem que { {r(x)=o(x-c)}} quando { {x\rightarrow c}}. \Box

Corolário 59

Seja { {f}} diferenciável em { {c}}. Então { {f}} é contínua em { {c}}

Demonstração:

Do Teorema 57 é

{ {\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow c} f(x)&=\lim_{x\rightarrow c}(f(c)+(f'(c)+\varphi (x))(x-c))\\ &=f(c) \end{aligned}}} \Box

Do Corolário 59 segue que todas as funções diferenciáveis são necessariamente contínuas. Será que o recíproco deste Corolário também é uma proposição válida?

A resposta a esta questão é: Não! Como um simples contraexemplo temos a função módulo.

Que é uma função contínua mas não é diferenciável pois no ponto {0} a derivada não existe. Uma maneira simples de ver que a derivada em {0} não existe é notar {f'_+=1} enquanto que {f'_-=-1}.

Dito de uma forma informal vemos que a derivada de uma função num dado ponto não existe sempre que a função tenha forma de um bico nesse ponto.

Um exemplo mais extremo de uma função que é contínua mas não é diferenciável é a função de Weierstrass:

\displaystyle  \sum_{n=0}^\infty a^n\cos\left( b^n\pi x \right)

com { {0<a<1}}, { {b}} um número ímpar positivo, e { {ab>1+3/2\pi}}.

Esta função é contínua em todos os pontos do seu domínio e no entanto não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio. Na nossa linguagem informal, que corresponde a uma intuição geométrica ingénua, podemos dizer que a função de Weierstrass tem bicos em todos os pontos do seu domínio, algo que não é fácil de visualizar.

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