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Algarismos Significativos, Ordem de Grandeza e introdução aos vectores

1.4. Algarismos Significativos e Ordem de Grandeza

Quando medimos ou calculamos um determinado valor, o resultado obtido em geral pode ser um número racional com muitas casas decimais ou mesmo um número irracional (com infinitas casas decimais). Porém, estes números em ciência são, portanto conhecidos apenas dentro de um certo grau de incerteza experimental. Ou seja, não temos certeza de todos os algarismo que aparecem neste número.
Chama-se algarismo significativo um algarismo confiável conhecido.

Os resultados finais dos cálculos são frequentemente arredondados para se obter o mesmo número de algarismos significativos que o dado com menor número de algarismos significativos. Entretanto, algumas vezes um algarismo significativo a mais é mantido.

Quando o primeiro dígito à direita as ser descartado é maior ou igual a 5, o último dígito mantido é acrescido de uma unidade, caso contrário, ele permanece assim. Este processo é denominado arredondamento.

Por exemplo, {12,4517} arredondando para três algarismos significativos fica é igual a {12,5}, enquanto que, {12,4387} é igual a {12,4}.

O número {3,10 \ m} tem três algarismos significativos; e {3,102 \ m} tem quatro. Atenção que os algarismos significativos são contados a partir do primeiro não nulo, e inclui todos, incluindo o zero. Assim, o número {0,000310 \ km} tem três algarismos significativos(os primeiros zeros não são algarismos significativos, mas apenas marcadores para localizar a vírgula decimal).

O número {3100,0 \ km } tem cinco algarismos significativos (o número de algarismos significativos em números com uma sucessão de zeros à direita e sem vírgula decimal é ambíguo ou seja, pode causar várias interpretações).

OBS: Não confundir algarismos significativos com casas decimais. Considere os comprimentos {65,3 \ m}; {6,53 \ m} e {0,00653 \ m}, todos têm três algarismo significativo mais possuem uma,duas e cinco casas decimais respectivamente.

Para determinar o número apropriado de algarismo significativos em cálculos envolvendo multiplicação e divisão, usamos as regras descritas a seguir.

Quando multiplicamos ou dividimos quantidades, o número de algarismos significativos da resposta final não deve ser maior que aquele da quantidade com o menor número de algarismos significativos.

Exemplo 6

\displaystyle 0,512 \times 2,131= \ 1,091072 \approx \ 1,09

(nº de algarismos é igual á 3)

Exemplo 7

\displaystyle 0,512 \div 2,131=0,2402627874... \approx \ 0,240

Quando adicionarmos ou subtrairmos quantidades o número de casas decimais da resposta deve coincidir com o do termo com o menor número de casas decimais.

Ex:

\displaystyle 1,21342-1,030=0,18342 \approx \ 0,183

1.4.1 Notação Científica

Quando trabalhamos com números grandes ou muito pequenos, podemos mostrar os algarismos significativos mais facilmente utilizando a notação científica.

Nesta notação,o número é escrito como o produto de um número decimal (cuja a parte inteira possui um algarismo diferente de zero) e uma potência de base 10 como {10^2= \ 100} ou {10^3= \ 1000}.

Há uma regra simples para mover a virgula num número decimal: Quando se move a virgula para a direita, o expoente da potência de base 10 aumenta 1 unidade em cada casa de avanço e quando movemos para a esquerda, reduz-se em 1 unidade por cada casa.

Exemplo 8 Escrever os números em notação científica:

  • {15.000.000= \ 1,5 \cdot 10^7}
  • {120.000.000.000= \ 1,2 \cdot 10^{11}}
  • {0,000361= \ 3,61 \cdot 10^{-4}}
  • {12,5 \cdot 10^{-3}+0,621 \cdot 10^{-1}= \ 1,25 \cdot 10^{-2}+6,21 \cdot 10^{-2}= \ (1,25+6,21) \cdot 10^{-2}=7,46 \cdot10^{-2}}

1.4.2 Ordem de Grandeza

A ordem de grandeza de um número é o expoente da potência de base 10 que aparece quando o número é expresso em notação científica. Assim, por exemplo se {A=1,23 \cdot 10^4} e {B=3,8 \cdot 10^4}, a ordem de grandeza de A e B é 4. Frequentemente, engenheiro e cientistas estimam resultado de um cálculo a ordem de grandeza mais próxima.

É comum fazer esse tipo de estimativa quando os dados necessários para executar um certo calculo não são conhecidos com precisão.

1.5. Escalares e vectores

Várias grandezas em física tais como comprimento, massa e tempo requerem, para sua especificação um simples número real (além das unidades de medidas de que já falou-se antes).

Tais grandezas denominam-se grandezas escalares e o número real é chamado de magnitude. Um escalar é representado analiticamente por uma letra simples, tal como t, m, f, v, etc.

Porém, existem algumas grandezas físicas tal como deslocamento, força, velocidade, etc., que requerem, para sua especificação e compreensão uma direcção e um sentido, além do número real(magnitude). Tais grandezas, chamam-se grandezas vectoriais.

Um vector (ou vetor) é um segmento de recta orientado, que possui uma origem num ponto A e uma extremidade num outro ponto B. Geralmente um vector é representado por uma letra em uma recta por cima: {({\vec{a}} \ \ ou \ \ {\vec{f}})}. Algumas bibliografias de matemática e de física representam também os vectores por letras simples (sem a seta por cima, mas negritadas ( ex: a).

A magnitude do vector é, então, representado por {\vert {\vec{AB}} \vert = \vert {\vec{a}} \vert = \ AB}.

Um vector consiste de três elementos principais, que, dependo do tipo de análise podem ser:

  • Modulo (valor numérico), Direcção e sentido (Definidas por um ângulo).
  • Componentes nos eixos adequados ao sistema de coordenadas usados (usualmente representadas como projecções nos vectores unitários {\vec{i}}, {\vec{j}} e {\vec{k}}).

Exemplo 9

    • .

  • Vector A com direcção horizontal, modulo igual a {6 \ m} e sentido da esquerda para a direita (ATT: poder-se-ia resumir a direcção e o sentido escolhendo um eixo horizontal para a direita e definindo o ângulo de 0º para a direcção e sentido, em simultâneo).

  • Vector a com direcção obliqua (impossível de definir exactamente, por não sabermos o ângulo), modulo igual a {5 \ } (não sabemos a unidade, pois não foi definida: neste caso podemos usar apenas {a=5} ou {a=5 \ unidades}), e sentido da esquerda para a direita (também seria aceite de baixo para cima).

 

1.5.1 Generalidades sobre Vectores

  • Vector unitário: é todo vector cujo módulo é igual a unidade.
    Se { \vert {\vec{a} \vert }=1}, Logo {\vec{a}} é um vector unitário.

     

    Nem todo vector é unitário, mas é possível transformarmos um vector qualquer em um vector unitário, aplicado o unitário de um vector.

    \displaystyle u_{\vec{a}}= \frac{\vec{a}}{\vert {\vec{a} \vert}}

  • Vector Nulo: é todo vector em que origem e a extremidade coincidem, reduzindo-se assim num ponto.\
    Normalmente é representado por {\vec{0}}.
  • Vector Livre: é todo vector que se encontra no espaço, não importando onde esteja fixado a sua origem. Em termos gerais, chama-se vector livre ao conjunto de todos os vectores de um plano ou do espaço que têm em comum a direcção, o sentido e o magnitude .
    Um vector livre pode ser projectado em um ou mais eixos.

     

    Exemplo 10 .

    • Vector a e sua projecção no eixo {\theta}.

      Neste caso a sua projecção no eixo é:

      \displaystyle a_{\theta}= \theta - \theta_{0}

    • Vector a e sua projecções nos eixos {Ox} e {Oy}.

    • Vector b e suas projecções nos eixos {Ox}, {Oy} e {Oz}

    • Dois vectores são iguais se e somente se eles tiverem a mesma magnitude, direcção e sentido.
  • Vector deslizante é aquele em que conhecemos além da sua direcção, do seu módulo e do seu sentido, também a recta suporte, sobre a qual ele pode deslizar.


Ainda há a clássica regra de “3 simples”, conhecida pela maioria.

Está a gostar da Abordagem? Veja também:

Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Mecânica (Física 1);
Exercícios e Problemas resolvidos e explicados de Termodinâmica (Física 2);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Gravitação (Física 2);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Oscilações e Ondas (Física 2);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Fluidos (Física 2);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Electromagnetismo (Física 3);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Luz e Óptica (Física 4);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Física Moderna e Mecânica Quântica (Física 4);
Exercícios e problemas resolvidos e explicados de Equações diferenciais ordinárias;
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