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Porquê o peixe parece maior? Refração em superfície esférica.

— 2.7.16. Refração em superfície esférica —

Já analisamos a refração sobre um dióptro plano, onde vimos que, dependendo da relação entre os índices de refração, poderemos ver a imagem mais longe ou mais perto do que ela realmente está. Mas, o dióptro plano não produz a sensação de que o objecto é transversalmente maior ou menor, ou seja, quando a superfície de separação é plana, não temos ampliação transversal. Um exemplo disto é observarmos um peixe num lago, ou observarmos um peixe a partir da face plana de um aquário de faces planas.

Já, se observamos a imagem de um peixe que está num aquário esférico, em certas posições, notamos uma ampliação transversal da imagem, ou seja, o peixe parece maior do que ele realmente é. As razões desta aparente ampliação são explicadas pela refração em superfícies esféricas.

Figura 58: Refração em superfície esférica. [5] Adaptado

Consideremos a situação da figura 58, onde os raios incidentes que convergem no ponto {P}, refratam-se pela superfície esférica, convergindo no ponto {P'}. Neste caso, {P} é o objecto real e {P'} é a imagem real. A superfície esférica tem centro em {C} e raio {R}. Os índices de refração dos dois meios são {n_a} e {n_b} com {n_a<n_b}. Um raio que incide no ponto {P} pela direcção normal à superfície, ao refratar-se não sofre nenhum desvio, e passa pelo centro {C} (de acordo com a lei de Snell-Descartes) e pelo ponto {P'} (que é imagem de {P}). Um raio vindo do ponto {P} que incida num ponto {B} da superficial, ao refrata-se, vai necessariamente passar pelo ponto {P'}, visto que este é imagem de {P}. A recta que passa sobre o segmente {BC} é a normal à superfície no ponto {B}. Logo, podemos definir {\theta_a} como ângulo de incidência em {B} e {\theta_b} como ângulo de refração. Então:

\displaystyle n_a \cdot \sin\theta_a = n_b \cdot \sin \theta_b \ \ \ \ \ (51)

 

Sendo {d} a distância do objecto e {d'} a distância da imagem, e dado {\delta=VQ}, nos triângulos rectângulos {PBQ}, {CBQ} e {P'BQ} podemos obter:

\displaystyle \tan \alpha=\frac{h}{ d +\delta } \qquad \tan \beta=\frac{h}{ d' - \delta } \qquad \tan \phi=\frac{h}{ R- \delta } \ \ \ \ \ (52)

 

Note que {VC=R}.

Para raios paraxiais, todos os ângulos serão muito pequenos, então, será válida a aproximação {\tan \alpha \approx \sin\alpha\approx \alpha}. Logo, as equações 51 e 52 ficam:

\displaystyle n_a \cdot \theta_a = n_b \cdot \theta_b \ \ \ \ \ (53)

 

\displaystyle \alpha=\frac{h}{ d +\delta } \qquad \beta=\frac{h}{ d' - \delta } \qquad \phi=\frac{h}{ R- \delta } \ \ \ \ \ (54)

 

Analisando o triângulo rectângulo {PBC}, considerando que o ângulo interno sobre o vértice {B} deve ser {180^0-\alpha-\phi} (do teorema de ângulos internos de um triângulo) e também deve ser igual á {180^0-\theta_a} (por ser suplementar deste); e analisando o triângulo {P'BC} onde, no vértice {C}, o ângulo interno deve ser {180^0-\theta_b - \beta} e também deve ser {180^0-\phi}, obtemos então:

\displaystyle \theta_a=\alpha+\phi \qquad \phi =\theta_b + \beta \Rightarrow \theta_b =\phi - \beta \ \ \ \ \ (55)

 

Substituindo os valores de {\theta_a} e {\theta_b} da equação 55 na equação 53, obtemos { n_a\cdot(\alpha+\phi)=n_b\cdot(\phi - \beta)}. Organizando a expressão, obtemos:

\displaystyle n_a\cdot\alpha+n_b \cdot \beta =(n_b-n_a)\cdot\phi \ \ \ \ \ (56)

 

Substituindo {\alpha}, {\beta} e {\phi} pelos valores da equação 54 na equação 56 e simplificando {h}, obtemos:

\displaystyle \frac{n_a}{ d +\delta } + \frac{n_b}{ d' - \delta } =\frac{n_b-n_a}{ R- \delta } \ \ \ \ \ (57)

 

Lembrando que para raios paraxiais, {\delta} tende para zero, logo, obtemos:

\displaystyle \frac{n_a}{ d } + \frac{n_b}{ d' } =\frac{n_b-n_a}{ R } \ \ \ \ \ (58)

 

Esta é a equação que relaciona a distância entre o objecto e a imagem na refração sobre uma superfície esférica.

Figura 59: Ampliação na refração em superfície esférica. [59] Adaptado

A figura 2 representa um sistema com um objecto {PQ} de altura {y} e a sua imagem {P'Q'} de altura {y'}. A ampliação transversal da imagem é a relação entre as alturas (medidas transversalmente ao eixo principal) da imagem e do objecto.

\displaystyle k=-\frac{y'}{y} \ \ \ \ \ (59)

 

Para este caso, é válida a relação:

\displaystyle n_a \cdot \sin\theta_a = n_b \cdot \sin \theta_b \ \ \ \ \ (60)

 

Analisando os triângulos {PQV} e {P'Q'V}, obtemos as relações:

\displaystyle \tan \theta_a = \frac{y}{d} \qquad \tan \theta_b = \frac{y'}{d'} \ \ \ \ \ (61)

 

Como os raios são paraxiais, é válida a aproximação {\tan \alpha \approx \sin\alpha\approx \alpha}. Logo, as equações 61 e 60 ficam:

\displaystyle n_a \cdot \theta_a = n_b \cdot \theta_b \ \ \ \ \ (62)

 

\displaystyle \theta_a = \frac{y}{d} \qquad \theta_b = \frac{y'}{d'} \ \ \ \ \ (63)

 

Substituindo os resultados da equação 63 na equação 62, obtemos {n_a \cdot \frac{y}{d} = n_b \cdot \frac{y'}{d'}}. Isolando a fracção {\frac{y'}{y}}, obtemos:

\displaystyle k=-\frac{y'}{y}=-\frac{n_a \cdot d'}{n_b \cdot d} \ \ \ \ \ (64)

 

Está é a ampliação transversal na refração numa superfície esférica.

Podemos ver assim que, quando observamos um corpo qualquer sobre uma superfície de separação esférica, além de uma sensação de proximidade ou afastamento, podemos também ter a ilusão de que o objecto tem um tamanho transversal maior ou menor do que o real. É o caso do peixe no aquário. a ampliação da imagem vai depender da posição do objecto e do observador, bem como dos índices de refração dos meios onde estes se encontram.

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

Entenda matematicamente a ampliação de imagem do espelho. Espelhos esféricos 2.

— 2.7.9. Fórmula do espelho esférico e convenção de sinais —

Quando um objecto está diante de um espelho, definimos {d}, a distancia entre o objecto e o espelho e {d'} a distância entre a imagem e o espelho. A fórmula do espelho esférico (ou equação de Gauss) permite determinar de forma analítica as características da imagem. Esta fórmula relaciona entre si as grandezas {d}, {d'} e {f} do espelho esférico. Escolhemos sobre o eixo principal do espelho, o sentido da luz incidente como sentido positivo e sobre o eixo perpendicular ao eixo principal, o sentido apresentado para cima como sentido positivo.

Figura 41: Dedução da Equação de Gauss. [5]

Vamos imaginar que o objecto está sobre o eixo principal, a uma distancia superior ao raio, num ponto {P} (Ver fig. 41). O Ponto {P} é o objecto e o Ponto {P'} será a imagem. Podemos ver então que qualquer raio que incidir sobre o espelho passando pelo ponto {P}, quando for refletido, irá passar pelo ponto {P'}. Vamos analisar o caso de um raio incidente que seja refletido no ponto {B} do espelho.

No triângulo {PCB}, o ângulo interno no vértice {C} é {180^0-\phi}. A soma dos ângulos interno deste triângulo deve ser {180^0}, então {\alpha+180^0-\phi+\theta=180^0 }, o que nos dá :

\displaystyle \alpha+\theta=\phi. \ \ \ \ \ (28)

 

De modo análogo, no triângulo {CP'B}, o ângulo interno no vértice {P'} é {180^0-\beta}. A soma dos ângulos internos deve ser {180^0}, então {\phi+180^-\beta+\theta=180^0}, o que nos dá:

\displaystyle \theta=\beta-\phi. \ \ \ \ \ (29)

 

Substituindo 29 em 28, obtemos:

\displaystyle \alpha+\beta=2.\phi. \ \ \ \ \ (30)

 

Analisando os triângulos rectângulos, temos {tg\alpha=\frac{h}{d-\delta} }, {tg\beta=\frac{h}{d'-\delta} } e {tg\phi=\frac{h}{R-\delta} }. Para ângulos {\alpha} muitos pequenos, os ângulos {\beta} e {\phi} também o serão. Nestas circunstâncias, serão válidas as aproximações {sen\alpha\approx tg\alpha \approx \alpha} e {\delta\approx 0}. O mesmo será válido para {\beta} e para {\phi}.

Logo, as relações no triângulo reduzir-se-ão para:

\displaystyle \alpha=\frac{h}{d} \ \ \ \ \ (31)

 

\displaystyle \beta=\frac{h}{d'} \ \ \ \ \ (32)

 

\displaystyle \phi=\frac{h}{R} \ \ \ \ \ (33)

 

Combinando as equações 31, 32 e 33 com a equação 30, e eliminando {h}, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{R} \ \ \ \ \ (34)

 

Como {f=R/2\Rightarrow R=2f}, então podemos escrever:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} \ \ \ \ \ (35)

 

Esta é a equação do espelho.

Nota: quando se aplica esta equação, é preciso recordar as seguintes convenções de sinais:

  • Se o objecto é real: {d > 0}.
  • Se o objecto é virtual: {d <0}.
  • Se a imagem é real: {d' > 0}.
  • Se a imagem é virtual: {d' <0}.
  • Se o espelho é côncavo: {f > 0}.
  • Se o espelho é convexo: {f <0}.

Podemos também deduzir a relação entre {R} e {f} a partir desta equação. Raios paralelos ao eixo principal são obtidos quando o objecto está no infinito, ou seja, {d=\infty} e a imagem será formada no foco, ou seja, {d'=f}. Substituindo isso na equação 35, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{\infty}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R} \Rightarrow f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (36)

 

Podemos ainda deduzir a relação entre distâncias num espelho plano. Um espelho plano pode ser entendido como um espelho esférico com raio {\infty}, logo:{ \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{\infty} \Rightarrow d=-d'}. Num espelho plano, a imagem está sempre situada no lado oposto ao objecto. Se o objecto é real, a imagem é virtual e se o objecto é virtual, então a imagem é real. A distância é igual em módulo… Mas tudo isso já foi demonstrado graficamente.

— 2.7.10. Ampliação linear do objecto —

Por definição, a ampliação linear do objecto é a razão entre o tamanho da imagem [medido transversalmente ao eixo principal) e o tamanho do objecto(também transversalmente). Se chamarmos de {h} para a altura do objecto e {h'} para a altura da imagem, então a ampliação será:

\displaystyle K=\frac{h '}{h} \ \ \ \ \ (37)

O termo ampliação poder gerar alguma confusão se associamo-lo a ideia de aumento. Em Óptica Geométrica, a ampliação refere-se apenas a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objecto, não importando se houve aumento ou diminuição. A ampliação também pode ser relacionada com outros parâmetros. Usando a congruência dos triângulos {ABV} e {A'B'V} da figura 2, temos:

\displaystyle K=-\frac{d '}{d} \ \ \ \ \ (38)

O sinal deve ser respeitado de acordo com a convenção de sinais. Se {h>0} então o objecto é directo (para cima) e se {h<0} então é invertido. o mesmo se passa com a imagem.

Nota:

  • Se {K} é positiva, a imagem {A'B'} tem o mesmo sentido que o objecto {AB}.
  • Se {K} é negativa, a imagem {A'B'} tem sentido contrário ao do objecto {AB}.
  • Se {\mid K \mid >1} a imagem é maior que o objecto.
  • Se {\mid K \mid <1} a imagem é menor que o objecto.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

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