Luso Academia

Protótipo Hyliokeni

Protótipo hyliokyni é um sensor remoto controlador de voltagem, uma tecnologia espacial ainda em pesquisa desenvolvida por Santo Calvino em 2016, para poder obter todas informações da energia elétrica de um satélite espacial.
Com ela é possível controlarmos a voltagem recebida dos painéis solares de um satélite espacial, por meio de um radio controlador.
O protótipo Hyliokeni está constituído por 5 instrumentos eléctricos:

Válvulas eletroquímicas;

Interruptores automático;

Descodificador;

Temporalizador;

Antena.

As válvulas eletroquímicas, é a primeira parte do protótipo, que controla a passagem da corrente elétrica dos painéis do satélite. A corrente elétrica preveniente dos painéis solares primeiro passa por essas válvulas para dar uma voltagem desejada remotamente a partir da Terra.
A válvulas eletroquímicas é o dispositivo que controla a passagem da corrente eléctrica, através de sulfatos contidos nos recipientes de vidro. Cada recipiente representa a sua voltagem que ela vai deixar entrar para o satélite espacial.

Por meio do controlo remoto é possível ligarmos e desligar energia eléctrica. Cada interruptor nela contém sensores capazes de transformar sinais electromagnéticos em energia eléctrica que possibilita então mover os interruptores em longa distância da Terra até ao espaço.

Existe um pequeno descodificador no protótipo que tem a função de descodificar o sinal enviado a patir da Terra.
Essa tecnologia é apenas uma ideia de como serão controlados os painéis solares dos satélites angolanos nos próximos anos.
O protótipo funciona perfeitamente, mas ainda nunca não foi testado em órbita terrestre. Mas em 2019 este protótipo será lançado para o espaço em miniatura dentro de um nanossatelite para poder se realizar os testes.

Estados Estacionários III

Prove que para soluções normalizáveis a constante de separação {E} deve ser real .

Vamos escrever {E} Como

\displaystyle E=E_0+i\Gamma

Então a equação de onda fica

\displaystyle  \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}

{\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2\, dx \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x,t)^*\psi(x,t)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}\, dx \\ &= e^{\frac{2\Gamma}{\hbar}t}\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x,t)|^2\, dx \end{aligned}}

A expressão final tem que ser igual a {1} para todos os valores de {t} . A única maneira de isso acontecer é tendo {\Gamma=0}. Portanto {E} é real.

Mostre que a função de onda independente do tempo pode ser sempre considerada como uma função de valor real.

Sabemos que {\psi(x)} é uma solução de

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V\psi=E\psi

Tomando o complexo conjugado da equação anterior

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi^*}{d x^2}+V\psi^*=E\psi^*

Assim {\psi^*} é também uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo.

A seguir vamos mostrar que se {\psi_1} e {\psi_2} são soluções da equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}, então sua combinação linear também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}.

Seja

\displaystyle  \psi_3=c_1\psi_1+c_2\psi_2

a combinação linear.

{\begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi_3}{d x^2}+V\psi_3 &= -\frac{\hbar^2}{2m}\left( c_1\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+c_2\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2} \right)+ V(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= c_1\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+V\psi_1 \right)+c_2\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2}+V\psi_2 \right)\\ &= c_1E\psi_1 + c_2E\psi_2\\ &= E(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= E\psi_3 \end{aligned}}

Depois de mostrar este resultado, é óbvio que {\psi+\psi^*} e que {i(\psi-\psi^*)} são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo. Além de serem soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo, também é evidente, a partir de sua construção, que essas funções são funções reais. Uma vez que eles têm o mesmo valor {E} como {\psi} podemos usar qualquer um deles como uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo

Mostre que se {V(x)} é uma função par então {\psi(x)} pode ser escrita na forma de uma função par ou uma função ímpar .

Uma vez que {V(x)} é par sabemos que {V(-x)=V(x)}. Agora precisamos provar que se {\psi(x)} é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo {\psi(-x)} também é uma solução.

Fazendo a mudança de variável {x} para {-x} na equação de Schroedinger independente do tempo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d (-x)^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Para percebermos a equação anterior vamos simplificar

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}

Vamos introduzir a variável {u} e defini-la como {u=-x}. Então

\displaystyle \frac{d}{du}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=-\frac{d}{dx}

E para a segunda derivada é

\displaystyle  \frac{d^2}{du^2}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=\left(-\frac{d}{dx}\right)\left(-\frac{d}{dx}\right)=\frac{d^2}{dx^2}

Na última expressão {u} é uma variável muda e, portanto, pode ser substituída por qualquer outro símbolo.

Por conveniência, vamos fazer a mudança de variável {u=x}:

(veja também este artigo Derivadas Parciais e Física Estatística )

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}=\dfrac{d^2}{d x^2}

Pelo que a nossa expressão inicial fica:

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Sabemos que {V(x)} é par. Logo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Assim {\psi(-x)} também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo.

Uma vez que {\psi(x)} e {\psi(-x)} são soluções para a equação Schroedinger independente do tempo sempre que {V(x)} é uma função par, podemos construir funções pares e ímpares que são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo.

As funções pares são construídas como

\displaystyle  h(x)=\psi(x)+\psi(-x)

e as funções ímpares são construídas como

\displaystyle  g(x)=\psi(x)-\psi(-x)

Uma vez que podemos escrever

\displaystyle  \psi(x)=\frac{1}{2}(h(x)+g(x))

mostramos que qualquer solução para a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser expressa como uma combinação linear de funções pares e ímpares quando a função potencial é uma função par.

Estados Estacionários II

Agora, vamos apresentar algumas características das soluções separáveis, para melhor compreender a sua importância:

— Estados estacionários —

A função de onda é

\displaystyle \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}

e é óbvio que depende de {t}. Por outro lado, a densidade de probabilidade não depende de {t}. Esse resultado pode ser facilmente comprovado com a suposição implícita de que {E} é real (num exercício posterior veremos porque {E} tem que ser real).

\displaystyle \Psi(x,t)^*\Psi(x,t)=\psi^*(x)e^{i\frac{E}{\hbar}t}\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}=|\psi(x)|^2

Se estivéssemos interessados em calcular o valor médio de qualquer variável dinâmica, veríamos que esses valores são constantes no tempo.

\displaystyle  <Q(x,p)>=\int\Psi^*Q\left( x,\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right)\Psi\, dx

Em particular {<x>} é constante no tempo e como consequência {<p>=0}.

— Energia total definida —

Como vimos na mecânica clássica, o Hamiltoniano de uma partícula é

\displaystyle  H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x)

Fazendo as substituições apropriadas, o operador da mecânica quântica correspondente é (na mecânica quântica os operadores são denotados por um chapéu):

\displaystyle \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V

Portanto, a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser escrita da seguinte forma:

\displaystyle  \hat{H}\psi=E\psi

O valor médio do Hamiltoniano é

\displaystyle <\hat{H}>=\int\psi ^*\hat{H}\psi\, dx=E\int|\psi|^2\, dx=E

Também temos

\displaystyle \hat{H}^2\psi=\hat{H}(\hat{H}\psi)=\hat{H}(E\psi)=E\hat{H}\psi=EE\psi=E^2\psi

Logo

\displaystyle  <\hat{H}^2>=\int\psi ^*\hat{H}^2\psi\, dx=E^2\int|\psi|^2\, dx=E^2

E a variância é

\displaystyle \sigma_{\hat{H}}^2=<\hat{H}^2>-<\hat{H}>^2=E^2-E^2=0

Em conclusão, para um estado estacionário, toda medição de energia tem o valor {E} uma vez que a distribuição de energia tem valor {E}.

— Combinações lineares —

A solução geral da equação de Schroedinger é uma combinação linear de soluções separáveis.

Veremos em exemplos e exercícios futuros que a equação de Schroedinger independente do tempo contém um número infinito de soluções. Cada uma dessas diferentes funções de onda está associada a uma constante de separação diferente. O que quer dizer que para cada nível de energia permitido existe uma função de onda diferente.

Para a equação de Schroedinger dependente do tempo, qualquer combinação linear de uma solução é também uma solução. Depois de encontrar as soluções separáveis, a tarefa é construir uma solução mais geral da forma

\displaystyle \Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\psi_n(x)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\Psi_n(x,t)

Todas as soluções da equação de Schroedinger dependente do tempo podem ser escritas desta forma, sendo que as condições iniciais do problema sendo estudado fixando os valores das constantes {c_n}.

Tudo isto pode ser um bocado abstrato e como tal vamos resolver alguns exercícios.

Como exemplo, vamos calcular a evolução temporal de uma partícula que começa numa combinação linear de dois estados estacionários:

\displaystyle  \Psi(x,0)=c_1\psi_1(x)+c_2\psi_2(x)

Para a nossa discussão, vamos assumir que {c_n} e {\psi_n} são reais.

Assim a evolução temporal da partícula é:

\displaystyle \Psi(x,t)=c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}

Para a densidade de probabilidade é

{\begin{aligned} |\Psi(x,t)|^2 &= \left( c_1\psi_1(x)e^{i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{i\frac{E_2}{\hbar}t} \right) \left( c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t} \right)\\ &= c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2+2c_1c_2\psi_1\psi_2\cos\left[ \dfrac{E_2-E_1}{\hbar}t \right] \end{aligned}}

Como podemos ver, embora {\psi_1} e {\psi_2} sejam estados estacionários e, portanto,a sua densidade de probabilidade é constante, a densidade de probabilidade da função de onda final oscila sinusoidalmente com frequência angular {(E_2-E_1)/t}.

Estados Estacionários

— 23.6. Estados estacionários —

Nos artigos anteriores nós normalizamos as funções de onda, calculamos valores médios para o momento e posição de uma partícula, mas nunca, em momento algum, fizemos uma pergunta bastante lógica:

Como se calcula a função de onda em primeiro lugar?

A resposta para essa pergunta é obviamente:

Resolvendo a equação de Schroedinger.

A equação de Schroedinger é

\displaystyle  i\hbar\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V\Psi(x,t)

Que é a equação a derivadas parciais de segunda ordem. Equações a derivadas parciais são muito difíceis de resolver, enquanto que as equações diferenciais ordinárias são fáceis de resolver.

Temos então que transformar esta equação em derivadas parciais numa equação diferencial ordinária.

Para fazer isso, usamos a técnica de separação de variáveis.

Vamos supor que {\Psi(x,t)} pode ser escrito como o produto de duas funções. Uma das funções é uma função da posição, enquanto a outra função é apenas uma função de {t}.

\displaystyle  \Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t)

Essa restrição pode parecer excessiva para a classe de soluções das Equações de Schroedinger, mas neste caso as aparências iludem. Como veremos mais adiante, soluções mais generalizadas da Equação Schroedinger podem ser construídas com soluções separáveis.

Calculando os derivados apropriados para {\Psi(x,t)} temos:

\displaystyle  \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\psi\frac{d\varphi}{dt}

e

\displaystyle  \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{d^2 \psi}{d x^2}\varphi

Substituindo as equações anteriores naa equação de Schroedinger vem:

\displaystyle  i\hbar\psi\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d \psi^2}{d x^2}\varphi+V\psi\varphi

Dividindo a igualdade anterior por {\psi\varphi}

\displaystyle  i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d \psi^2}{d x^2}+V

Na igualdade anterior, o lado esquerdo é uma função de {t} enquanto o lado direito é uma função de {x} (por hipótese {V} não é uma função de {t}).

Esses dois factos fazem com que a igualdade expressa na última equação exija um equilíbrio forte. Por exemplo, se {x} variasse sem variar {t} então o lado direito mudaria enquanto o lado esquerdo continuaria o mesmo desfazendo a nossa igualdade.

Evidentemente, tal coisa não pode acontecer. A única forma de manter a igualdade sempre válida é obrigar a ambos os lados da equação a serem constantes.

Por razões que se tornarão óbvias adiante, denotaremos essa constante (a chamada constante de separação) por {E}.

\displaystyle  i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=E \Leftrightarrow \frac{d\varphi}{dt}=-\frac{i E}{\hbar}\varphi

e para a segunda equação

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V=E \Leftrightarrow -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V\psi=E\psi

A primeira equação pode ser facilmente resolvida e uma solução é

\displaystyle  \varphi=e^{-i\frac{E}{\hbar}t}

A segunda equação, a chamada equação de Schroedinger independente do tempo, só pode ser resolvida quando um potencial é especificado.

Como podemos ver, o método das soluções separáveis cumpriu com à minha promessa. Com isso, conseguimos produzir duas equações diferenciais ordinárias que podem, em princípio, ser resolvidas.

Na verdade, uma das equações já está resolvida mas falaremos mais sobre isso no artigo seguinte.

O Princípio da Incerteza

— 23.5. O Princípio da Incerteza —

Imagine que tem uma corda na mão. Essa a corda está amarrada a uma parede de tijolos. Se alguém puxar a corda repentinamente, causaria a formação de um pulso de onda que percorreria a corda até atingir a parede. A cada instante de tempo, poderíamos atribuir uma posição a esse pulso de onda, mas, por outro lado, se lhe pedissem para calcular seu comprimento de onda, não saberia como fazê-lo, pois esse fenómeno não é periódico.

Imagine agora que, em vez de apenas produzir um empurrão, movimenta continuamente a corda para que produzir uma onda estacionária . Neste caso, o comprimento de onda é perfeitamente definido, já que este é um fenómeno que é periódico, mas a posição da onda perde seu significado.

A mecânica quântica, como veremos em artigos posteriores, pede uma descrição de partículas que é dada em termos de pacotes de ondas. De modo geral, um pacote de ondas é o resultado da soma de um número infinito de ondas (com diferentes comprimentos de onda e fases) que exibem interferência construtiva em apenas uma pequena região do espaço. Um número infinito de ondas com diferentes momentos é necessário para garantir uma interferência construtiva e destrutiva nas regiões apropriadas do espaço.

Assim, vemos que, somando mais e mais ondas, somos capazes de tornar a posição da partícula cada vez mais definida, ao mesmo tempo que tornamos seu momento cada vez menos definido (lembre-se de que as ondas que estamos a somar têm momentos diferentes).

Em uma linguagem mais formal, alguém diria que estamos a trabalhar em dois espaços diferentes. O espaço de {x} e o espaço de {p}.

Assim sendo, no formalismo de pacotes de ondas é impossível ter um fenómeno que esteja perfeitamente localizado em ambos os espaços ao mesmo tempo.

Fisicamente falando, isso significa que, para uma partícula, a sua posição e momento têm uma distribuição inerente. Podemos, teoricamente, fazer com que a dispersão de uma das quantidades seja tão pequena quanto se deseja, mas isso faria com que a dispersão na outra quantidade fosse maior e maior. Isso quer dizer que quanto mais localizada uma partícula é, mais seu momento é disperso e quanto mais preciso for o momento de uma partícula, mais difusa será sua posição.

Este resultado é conhecido como o Princípio da Incerteza de Heisenberg e podemos torná-lo matematicamente rigoroso, mas por enquanto este argumento é suficiente.

Com isso, já podemos ver que a Mecânica Quântica precisa de um novo modo radical de confrontar a realidade.

Por enquanto, vamos apenas colocar este resultado em uma base quantitativa e deixar a sua demonstração para um artigo posterior.

\displaystyle \sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (54)

 

Podemos interpretar o princípio da incerteza na linguagem das medições feitas em um conjunto de sistemas preparados de forma idêntica. Imagine que preparamos um ensemble cujas medidas de posição são muito definidas. Isso quer dizer que sempre que medimos a posição de uma partícula, os resultados são muito parecidos. Neste caso, caso fizéssemos medições do momento de cada partícula, veríamos que os valores de momento seriam muito diferentes.

Por outro lado, podíamos obter um conjunto de partículas cujas medições de momento tivessem pequenas diferenças entre eles. Nesse caso, o preço a pagar seria que as posições das partículas ficassem totalmente espalhadas.

Evidentemente, entre esses dois extremos, há uma infinidade de possíveis resultados. A única limitação que o princípio da incerteza estipula é que o produto das dispersões das duas quantidades tem que ser maior do que {\dfrac{\hbar}{2}}.

Exercício 5 Uma partícula de massa {m} está no estado

\displaystyle \Psi(x,t)=Ae^{-a\left[\dfrac{mx^2}{\hbar}+it\right]} \ \ \ \ \ (55)

 

Onde {A} e {a} são constantes positivas.

Determine o valor de {A}

Para calcular o valor de {A} é preciso normalizar a função de onda

{\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx\\ &= |A|^2\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2a\dfrac{mx^2}{\hbar}}\, dx\\ &= |A|^2 \sqrt{\dfrac{\hbar\pi}{2am}} \end{aligned}}

portanto

\displaystyle A=\sqrt[4]{\frac{2am}{\hbar\pi}}

Qual função de energia potencial {V(x)} faz {\Psi} satisfazer a equação de Schroedinger?

A equação de Schroedinger é

\displaystyle i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi

Para o primeiro termo segue

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-ia\Psi

A primeira derivada de {x} é

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial x}=-\frac{2amx}{\hbar}\Psi

A segunda derivada de {x} é

{\begin{aligned} \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} &= -\frac{2am}{\hbar}\Psi+ \dfrac{4a^2m^2x^2}{\hbar ^2}\Psi\\ &= -\dfrac{2am}{\hbar}\left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \end{aligned}}

Substituindo essas expressões na equação de Schroedinger

{\begin{aligned} V\Psi &= i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}+\dfrac{\hbar ^2}{2m}\dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\\ &= a\hbar\Psi+\dfrac{\hbar ^2}{2m}\left[ -\dfrac{2am}{\hbar} \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \right]\\ &= a\hbar\Psi-a\hbar\Psi+\hbar a\dfrac{2amx^2}{\hbar}\Psi\\ &= 2ma^2x^2\Psi \end{aligned}}

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\displaystyle V=2ma^2x^2

Calcular os valores médios de {x} , {x^2} , {p} e {p^2}.

O valor médio de {x}

\displaystyle <x>=|A|^2\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-2ax\frac{x^2}{\hbar}}\, dx=0

O valor médio de {p}

\displaystyle <p>=m\frac{d<x>}{dt}=0

O valor médio de {x^2}

{\begin{aligned} <x^2> &= |A|^2\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-2ax\frac{x^2}{\hbar}}\, dx\\ &= 2|A|^2\dfrac{1}{4(2m/\hbar)}\sqrt{\dfrac{\pi\hbar}{2am}}\\ &= \dfrac{\hbar}{4am} \end{aligned}}

O valor médio de {p^2}

{\begin{aligned} <p^2> &= \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left( \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial }{\partial x} \right)^2\Psi\, dx\\ &= -\hbar ^2\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \dfrac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}\, dx\\ &= -\hbar ^2\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left[ -\dfrac{2am}{\hbar} \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \right]\, dx\\ &= 2am\hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi\, dx\\ &= 2am\hbar\left[ \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^*\Psi\, dx -\dfrac{2am}{\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* x^2 \Psi\, dx\right]\\ &= 2am\hbar\left[ 1-\dfrac{2am}{\hbar}<x^2> \right]\\ &= 2am\hbar\left[ 1-\dfrac{2am}{\hbar}\dfrac{\hbar}{4am}\right]\\ &=2am\hbar\left( 1-1/2 \right)\\ &=am\hbar \end{aligned}}

Calcule {\sigma_x} e {\sigma_p}. O seu produto é consistente com o princípio da incerteza ?

\displaystyle \sigma_x=\sqrt{<x^2>-<x>^2}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{4am}}

\displaystyle \sigma_p=\sqrt{<p^2>-<p>^2}=\sqrt{am\hbar}

E o produto das duas quantidades anteriores é

\displaystyle \sigma_x \sigma_p=\sqrt{\dfrac{\hbar}{4am}}\sqrt{am\hbar}=\frac{\hbar}{2}

O produto é consistente com o princípio da incerteza.

Como calcular quantidades dinâmicas utilizando a função de onda II

Exercício 3 Por que não podemos fazer a integração por partes diretamente em

\displaystyle \frac{d<x>}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 \, dx

puxando a derivada em ordem ao tempo para {x} e notando que {\partial x/\partial t=0} para concluir que {d<x>/dt=0} ?

Porque integração por partes só pode ser usada quando a diferenciação e integração são feitas com a mesma variável.

Exercício 4 Calcular

\displaystyle  \frac{d<p>}{dt}

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schroedinger:

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\hbar}V\Psi

E seu complexo conjugado

\displaystyle  \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^*

para a evolução do tempo do valor médio de momento é

{\begin{aligned} \dfrac{d<p>}{dt} &= \dfrac{d}{dt}\int\Psi ^* \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\, dx\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int \dfrac{\partial}{\partial t}\left( \Psi ^* \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\, dx\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int\left( \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial t}\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}+\Psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} \right) \, dx\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int \left[ \left( -\dfrac{i\hbar}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}+\dfrac{i}{\hbar}V\Psi^* \right)\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} + \Psi^*\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{i\hbar}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\dfrac{i}{\hbar}V\Psi \right)\right]\, dx\\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int \left[ -\dfrac{i\hbar}{2m}\left(\dfrac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3} \right)+\dfrac{i}{\hbar}\left( V\Psi ^*\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi ^*\dfrac{\partial (V\Psi)}{\partial x}\right)\right]\, dx \end{aligned}}

Primeiro vamos calcular o primeiro termo da integral (ignorando os fatores constantes) fazendo a integração por partes (lembre-se que os pontos fronteira são nulos) duas vezes

{\begin{aligned} \int \left(\dfrac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\right)\, dx &= \left[ \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x^2} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right]-\int\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\dfrac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}\, dx- \int \Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\, dx \\ &=-\left[ \Psi ^*\dfrac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} \right]+\int \Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\, dx - \int \Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\, dx \\ &= 0 \end{aligned}}

Depois vamos calcular o segundo termo do integral

{\begin{aligned} \int \left( V\Psi ^*\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi ^*\dfrac{\partial (V\Psi)}{\partial x} \right)\, dx &= \int \left( V\Psi ^*\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi ^* \dfrac{\partial V}{\partial x}\Psi-\Psi ^*V\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} \right)\, dx\\ &= -\int\Psi ^* \dfrac{\partial V}{\partial x}\Psi\, dx\\ &=<-\dfrac{\partial V}{\partial x}> \end{aligned}}

Em conclusão, é

\displaystyle  \frac{d<p>}{dt}=<-\dfrac{\partial V}{\partial x}>

Portanto, o valor médio do operador momento obedece ao Segundo Axioma de Newton .

O resultado anterior pode ser generalizado e sua generalização é conhecida na literatura da Mecânica Quântica como o Teorema de Ehrenfest

Como calcular quantidades dinâmicas utilizando a função de onda

— 23.4. Momento e Outras Quantidades Dinâmicas —

Vamos supor que temos uma partícula descrita pela função de onda {\Psi} então o valor médio da sua posição é (como vimos em Normalização da Função de Onda ? Exercícios):

\displaystyle <x>=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\, dx

Os neófitos interpretam a equação anterior como se estivesse dizendo que o valor médio coincide com a média de várias medições da posição de uma partícula descrita por {\Psi}.

Esta interpretação está errada, pois a primeira medição fará com que a função de onda colapse para o valor que é realmente obtido. Assim, as medidas da posição feitas imediatamente a seguir terão todas o mesmo valor que primeira medição.

Na realidade {<x>} é a média de medições de posição de partículas que são todas descritas pelo estado {\Psi}.

Isso quer dizer que temos duas maneiras de realmente realizar o que está implícito na interpretação anterior de {<x>}:

  1. Temos uma única partícula. Então, depois que uma medição de posição é feita, temos que ser capazes de fazer com que a partícula retorne ao seu estado inicial, {\Psi}, antes de fazermos uma nova medição.
  2. Temos uma coleção – um ensemble estatístico é um nome mais respeitável – de um grande número de partículas (para que seja estatisticamente significante) e preparamos todas elas para estarem no estado {\Psi}. Se realizarmos a medição da posição de todas essas partículas, então a média das medições deve ser {<x>}.

Para ser mais sucinto:

O valor médio resulta da média de medições repetidas em um conjunto de sistemas preparados de forma idêntica.

Uma vez que {\Psi} é um objeto matemático dependente do tempo, é óbvio que {<x>} também é uma quantidade dependente do tempo:

{\begin{aligned} \dfrac{d<x>}{dt}&= \int_{-\infty}^{+\infty}x\dfrac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\, dx \\ &= \dfrac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}x\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}-\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi \right)\, dx \\ &= -\dfrac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}-\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi \right)\,dx \\ &= -\dfrac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{+\infty}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\,dx \end{aligned}}

onde usamos a integração por partes e o facto de que o quadrado da função de onda tem que ser integrável, o que significa dizer que a função é infinitamente pequena em {x} quando este tende para infinito.

(Rigorosamente falando o espaço de Hilbert não é o melhor espaço matemático para construir o formalismo matemático da mecânica quântica. O problema com a abordagem dos espaços de Hilbert para a mecânica quântica é tem duas vertentes:

  1. as funções que estão no espaço de Hilbert têm necessariamente o seu quadrado integrável. O problema é que muitas vezes precisamos calcular quantidades que não dependem de uma dada função, mas de sua derivada (por exemplo), mas apenas porque uma função tem o seu quadrado integrável não significa que sua derivada também seja. Portanto, não temos nenhuma garantia matemática de que a maioria das integrais que estamos calculando realmente convergem.
  2. O segundo problema é que quando estamos lidando com espectros contínuos (mais tarde veremos o que isso significa) e as funções próprias (também vamos definir isto mais tarde) são divergentes.

A equação anterior não expressa a velocidade média de uma partícula quântica. Na nossa construção da mecânica quântica, nada nos permite falar sobre a velocidade da partícula. Na verdade, nem sequer sabemos qual é o significado de

velocidade de uma partícula.

em mecânica quântica!

Como uma partícula não tem uma posição definida antes da medição, ela também não pode ter uma velocidade bem definida.

Mais adiante veremos como construir a densidade de probabilidade para velocidade no estado {\Psi}.

Para os propósitos da presente secção, apenas postularemos que o valor médio da velocidade é igual à derivada de tempo do valor médio da posição.

\displaystyle <v>=\dfrac{d<x>}{dt} \ \ \ \ \ (50)

 

Como vimos no formalismo lagrangeano e formalismo hamiltoniano do nosso blog, é mais usual (já que é mais poderoso) trabalhar com o momento em vez da velocidade.

Uma vez que {p=mv} a equação relevante para o momento é:

\displaystyle <p>=m\dfrac{d<x>}{dt}=-i\hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\left( \Psi^*\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\,dx \ \ \ \ \ (51)

 

Uma vez que {x} representa o operador posição, podemos dizer, de uma forma análoga, que

\displaystyle \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}

representa o operador momentuo. Uma maneira de entender por que essa definição faz sentido é reescrever a definição do valor médio da posição

\displaystyle <x>=\int \Psi^* x \Psi \, dx

e reescrever a equação 51 de uma forma mais conveniente

\displaystyle <p> = \int \Psi^*\left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi \, dx

Depois de saber como calcular o valor médio dessas duas grandezas dinâmicas, a questão agora é como calcular o valor médio de outras quantidades dinâmicas?

Sabemos que todas as grandezas dinâmicas podem ser expressas como funções de {x} e {p}. Levando isso em conta, basta escrever a função apropriada da grandeza em termos de {p} e {x} e, em seguida, calcule o valor médio.

De uma forma mais formal a equação para o valor médio de uma quantidade dinâmica {Q=Q(x,p)} é

\displaystyle <Q(x,p)>=\int\Psi^*Q\left( x,\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right)\Psi\, dx \ \ \ \ \ (52)

 

Como exemplo, vamos ver qual seria a expressão relevante para a energia cinética.

Daqui em diante usaremos {T} para denotar a energia cinética em vez de {K}.

\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}

Portanto, o valor médio

\displaystyle <T>=-\frac{\hbar ^2}{2m}\int\Psi^*\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}\, dx \ \ \ \ \ (53)

 

 

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