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Natureza Jurídica do Direito Financeiro.

O Direito Financeiro é um Ramo do Direito Público, pois, e em primeira instância, o mesmo, visará   no seu propósito primordial, a realização de interesses de natureza colectiva ou interesses colectivos/da colectividade onde o  Estado é (ou será) o sujeito activo.

 

 

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Estilo Rouge

 

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Sismologia I

SISMOLOGIA

— 1. INTRODUÇÃO —

Apresentamos os conceitos de Sismologia, a ciência que estuda os sismos.

Sismologia é o ramo da geofísica que estuda os terremotos (ou sismo): suas causas e efeitos, a propagação das ondas de vibração emitidas pelos terremotos, e explosões. Por intermédio deles podemos estudar o interior da terra.

— 1.1. CONCEITOS BÁSICOS —

A sismologia utiliza as ondas sísmicas emitidas pelos terremotos, para estudar a estrutura interna da terra. Ondas Sísmicas são vibrações que se propagam por toda a terra, originadas de terremotos, explosões. São também chamadas de ondas elásticas.

— 2. ONDAS SÍSMICAS —

As deformações provocadas no meio durante a passagem das ondas elásticas são de dois tipos, variações do volume sem mudar a forma e variações da forma sem mudar o volume. O primeiro tipo de onda são as longitudinais que provoca sucessivas compressões e dilatações do meio, na direção em que se propaga a onda, sendo a onda sismica com a maior velocidade. É conhecida como onda dilatacional, compressional, longitudinal, ou primaria, ou simplesmente onda P (fig.1). O segundo tipo de onda provoca deformações de cisalhamento, com vibrações transversais à direção de propagação da onda, sua velocidade é menor que a da onda P, por isso é conhecida como onda cisalhante, transversal ou secundária, ou simplesmente onda S(fig.1). As ondas S podem ser polarizadas em vibrações verticais (Sv) ou horizontais(Sh), transversais àdireção de propagação da onda. Estas ondas contem a maior parte de energia a distâncias menores que 100km do epicentro.

— 3. Teoria da Elasticidade —

Quando uma força (F) é aplicada a um material, ele deforma. i.e. que as partículas do material são deslocadas de suas posições originais. Quando a força não excede um determinado valor crítico (tensão de escoamento = limite elástico), estes deslocamentos são reversíveis, i.e. as partículas do material voltam Às suas posições originais quando a força é removida. Quando isto acontece, podemos dizer que o material teve um comportamento elástico.

Comentário 1 Podemos ilustrar o comportamento elástico, através de uma barra de comprimento { L } cuja área da secção transversal é { A } (figura a). Se aplicarmos uma força (F) no sentido logintudinal da barra, a tensão produzida, definida como força por unidade de área (F/A, geralmente, expressa pela letra grega { \alpha } ), será proporcional a deformação elástica específica ( no caso da barra, estiramento por unidade de comprimento, { \Delta L/L} normalmente expressa pela letra grega {\epsilon} ) i.e.

F/A { \alpha } { \Delta L/L }

A constante de proporcionalidade é chamada de módulo de elasticidade e a variação linear entre deformação e tensão é chamada de Lei de Hooke.

Um terremoto acontece na crosta e no manto superior quando as tensões tectônicas excedem a resistência das rochas e uma falha (colapso) ocorre. Uma vez acontecido um terremoto, ondas sísmicas se propagam por deformação elástica das rochas por onde elas viajam.

Módulo Elástico As deformações nos materiais assumem diferentes formas, de acordo com a atuação das forças que agem no material. Durante uma deformação, um corpo, geralmente, experimenta nao somente deformações longitudinais. componentres de tensão de cisalhamento ({ \sigma_{xy} }, { \sigma_{yz} }, { \sigma_{zx} }) produzem deformações de cisalhamento, as quais se manifestam como mudanças angulares entre partes do corpo. Por outro lado, uma esfera sólida sujeita a uma tensão hidrostática uniforme provocada por um fluido reduz seu volume de uma quantidade { \Delta V }.

A figura 4 ilustra três tipos de deformações, conforme se aplica uma tensão de tração (associada a um estiramento de um abarra)

Exemplo 1

  1. Uma tensão de cisalhamento.
  2. Uma tensão hidrostática.
  3. Nos três casos a tensão aplicada é proporcional à deformação e a constante de proporcionalidade é chamada de Módulo elástico. Teremos então: tensão= módulo elástico x deformação específica

Módulo de Young (E) é relacionado à deformação extensional. Cada deformação longitudinal é proporcional a componente de tensão correspondente: { \sigma _{xx} } = { E \epsilon _{xx} } ; { \sigma_{yy} } = { E \epsilon_{yy} } : { \sigma_{zz} } = { E \epsilon_{zz} }, onde a constante de proporcionalidade E é o módulo de young. \image{width = 400}{https://lusoacademia.files.wordpress.com/2018/04/sis6.png} Módulo de Rigidez (ou Módulo de Cisalhamento) é definido em relação à deformação de cisalhamento. Como nas deformações longitudinais, cada deformação de cisalhamento é proporcional à correspondente componente de tensão: { \sigma_{xx} } = { \mu \epsilon_{xx} } ; { \sigma_{yy} } = { \mu \epsilon_{yy} } ; { \sigma_{zz} } = { \mu \epsilon_{zz} }, Módulo Volumétrico (ou incompressibilidade)(K) é definido pela variação volumétrica ({ \theta } = { \Delta V/V}) experimentada por um corpo sob pressão hidrostática. Para condições de pressão hidrostática as componentes da tensão de cisalhamento são nulas ({ \sigma_{xy} } = { \sigma_{yz} } = { \sigma_{zx} } = 0) e a pressão no sentido do corpo (negativo) é igual em todas as direções ({ \sigma_{xx} } = { \sigma _{yy} } = { \sigma_{zz} } = -p). O Módulo Volumétrico é a razão entre a pressão hidrostática e a variação volumétrica (deformação específica);

p= -K { \theta }

O inverso do Módulo volumetrico ({ K^-1 }) é a compressibilidade.

Comentário 2 Se um material não é perfeitamente elástico, uma onda sísmica passando por ela, perde energia para o material (fricção gerando calor) e a amplitude da onda gradualmente diminui. O decréscimo da amplitude é chmado de atenuação e ela é devido a amortecimento anelástico das vibrações das particulas dos minerais.
Exemplo 2 A passagem de uma onda sísmica através da astenofera é amortecida devido ao comportamento anelástico ao nível de grão dos minerais.

Aula 1: Estatística

 

Elementos de Estatística Matemática

Nesta Unidade, serão abordados temas relacionados ao método estatístico. Oferecer exemplos de tabelas e gráficos que podem representar de forma sintética, as informações obtidas através de processos de pesquisa, são objectivos específicos desta unidade que têm o propósito de: Demonstrar a importância da Estatística na vida diária; Mostrar como podemos utilizar de forma correcta;

Introdução à Estatística

A palavra Estatística lembra, a maioria das pessoas, recenseamento; Os censos existem a milhares de anos e constitui um esforço imenso e caro feito pelos governos, com objectivo de conhecer seus habitante, sua condição sócio económica, sua cultura, religião, etc.

Portanto, associar à estatística a censo é perfeitamente correto do ponto de vista histórico, sendo interessante salientar que as palavras ESTATÍSTICA e ESTADO têm a mesma origem latina; “STATUS”.

É possível distinguir duas concepções para a palavra Estatística ; No Plural (Estatísticas) indica qualquer coleção de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma actividade qualquer.

Assim, por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimento, falecimento, matrimónio, desquites, etc.

As estatísticas económicas consistem em dados numéricos relacionados com emprego, produção, e com outras actividades ligadas aos vários sectores de vida económica.

No singular (Estatística) indica a actividade humana, especializada, ou um corpo de técnicos ou ainda uma metodológica desenvolvida para a colecta, classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para tomada de decisões.

Importância da Estatística O mundo esta repleto de problemas. Para resolvermos a maioria deles, necessitamos de informações. Mas que tipo de informação {?} Que quantidade de informação {?} Após obtê-las, que fazer com elas {?}

A Estatística trabalha com essas informações, associando os dados ao trabalho, descobrindo como é, o que colectar, assim capacitando o pesquisador, a obter conclusões a partir dessas informações de tal forma que possam ser entendidas por outras pessoas.

vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1 Os Estatísticos do governo conduzem censos de população, morada, produtos, industriais, agricultura, e outros. São feitas compilações sobre vendas, produção, inventário, folha de pagamento e outros dados das industriais e empresas. Essas Estatísticas informam ao administrador como a sua empresa está crescendo, seu incremento em relação a outras empresas e fornece-lhe condições de planear ações futuras. A análise dos dados é muito importante para se fazer um planeamento adequado.
Exemplo 2 Na era da energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para organização de empresas e utilização dos recursos do mundo moderno.

Em, geral, as pessoas quando se referem ao termo estatística, desconhecem que o aspecto essencial, é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.

Próximo Capítulo: Grandes áreas da Estatística….

Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II

Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.

Definição 50 Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente. Para cada {m>p} a série {\displaystyle \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n} também converge. Podemos então definir:

\displaystyle   r_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (80)

como sendo o resto de ordem {m} da série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n}

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n

vem que

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + r_m

Assim é

\displaystyle  r_m =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n - \sum_{n=p}^m u_n

Fazendo {m \rightarrow +\infty} vem que {\displaystyle \lim r_m=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n- \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=0 }

Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem {m}.

\displaystyle  \zeta^-_m < r_m < \zeta^+_m

Fazendo

\displaystyle  r_m \approx \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

Podemos definir

\displaystyle  \varepsilon _m=r_m - \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

vem que

\displaystyle  \varepsilon _m < \zeta^+_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e

\displaystyle  \varepsilon _m > \zeta^-_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^-_m - \zeta^+_m}{2}=- \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Assim

\displaystyle  - \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} < \varepsilon _m < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Ou seja

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Temos assim

\displaystyle  r_m=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}+ \varepsilon _m

com

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e portanto

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^m u_n + \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} + \varepsilon _m

Teorema 78

Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada.

Demonstração:

Seja {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} onde {u_n \geq 0\, \forall n \geq p} e seja {S_m} a respectiva sucessão das somas parciais.

Por definição é

\displaystyle  S_m=\sum_{n=p}^m u_n

Logo

\displaystyle  S_{m+1}-S_m = \sum_{n=p}^{m+1} u_n - \sum_{n=p}^m u_n = u_{m+1} \geq 0

Assim {S_m} é crescente.Se {S_m} converge, {S_m} é limitada (Teorema 13), logo é majorada.

Reciprocamente, se {S_m} é majorada, como é crescente sabemos também que é minorada também é minorada. Logo é limitada.

Então {S_m} converge pelo Teorema da Sucessão Monótona (20).

Assim {S_m} converge sse {S_m} for majorada.

Mas {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} converge.

Assim {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} tem majorante.

\Box

Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.

Teorema 79 {Critério da Comparação}

Sejam {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} v_n} duas séries de termos gerais não negativos. Se {u_n = O(v_n)}

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (81)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (82)

Demonstração:

Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.

Suponha-se {v_n} convergente. Como {u_n= O(v_n)} existe uma sucessão {h_n} limitada e um índice {k} tais que {u_n=h_n v_n \quad \forall n\geq k}.

Sendo então {L} um majorante de {h_n} vem que

\displaystyle   u_n \leq L v_n \ \ \ \ \ (83)

Por outro lado como

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} v_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n

vem que {v_n} converge. Pelo Teorema 78 {v_n} tem as somas parciais majoradas. Assim {\exists n \geq 0 } tal que {\displaystyle\sum_{n=k}^m v_n \leq M\, \forall n \geq k} .

De 83 vem então

\displaystyle  \sum_{n=k}^m u_n \leq \sum_{n=k}^m L v_n= L\sum_{n=k}^m v_n \leq LM \quad \forall n \geq k

Assim a série {\displaystyle \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n } também as somas parciais majoradas, logo é convergente (Teorema 78).

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+ \infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n

(Teorema 76) vem que {\displaystyle\sum_{n=p}^{+ \infty} u_n} converge.

\Box

Corolário 80

Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem {k} tal que {u_n \leq v_n \quad \forall n \geq k} então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (84)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (85)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 81

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  \lim \frac{u_n}{v_n} \in ]0, + \infty[

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (86)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 82

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  u_n \sim v_n

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (87)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:

Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.

Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge e {\alpha \in \mathbb{R}}, então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} converge e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)

Demonstração: Temos efectivamente

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}

\Box

Corolário 74

Se {\alpha \neq 0} as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} têm a mesma natureza.

Demonstração: Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n} também é convergente. Ou seja, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente \Box

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo {\leftrightarrow } como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} queremos dizer que as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n} são ambas convergentes então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)} é convergente e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)

Demonstração: {\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}} \Box

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}} têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n

Onde temos que {|r|<1}.

Temos então

{\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}

Assim fica

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1

Teorema 77 Dada uma série {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}, um índice {k>p}, as séries {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\sum_{n=k}^{+\infty} u_n} têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

\displaystyle  \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n

e tomar o limite {m \rightarrow +\infty} \Box

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Topologia – Distância entre conjuntos e diâmetro

— 1.1.6. Distância entre conjuntos e diâmetro —

Definição 8 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {x\in X}. Se {A\subset X} não vazio, o conjunto das distâncias {x} e os elementos de {A} é definido por

\displaystyle d(x,A):=\inf\{d(x,y):y\in A\}.

Ao número real {d(x,A)\geq 0} chama-se distância de {x} ao conjunto {A}.

Comentário 5 É óbvio que se {x\in A}, então {d(x,A)=0}, mas o recíproco, em geral, nem sempre é verdadeiro.
Exemplo 8 Se {X=\mathbb{R}} e {A=(a,b)}, então {d_{1}(a,A)=0} e {a\not\in A}. Temos também, {d_{1}(0,[1,2])=d_{1}(0,(1,2])=1}.

É evidente que {d(A,x)=d(x,A)}.

Proposição 17 Seja {A\subset X} e {x,y\in X}. Então:

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Sejam {x,y\in X}, então {\forall a\in A}:

\displaystyle d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)

,i.e.,

\displaystyle d(x,A)\leq d(y,A)+d(x,y)

de modo análogo,

\displaystyle d(y,A)\leq d(x,A)+d(x,y).

Assim,

\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).

\Box

Para cada conjunto {A} de {X} e {\epsilon\geq 0}, denotaremos o conjunto {A_{\epsilon}:=\{x:d(x,A)<\epsilon\}}, onde pode se dar o caso de {\epsilon=\infty}.

Proposição 18 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {x\in X}. Então, para cada {A,B} e {\{B_{j}\}_{j\in J}} subconjuntos de {X},as seguintes afirmações são verdadeiras:

  1. {d(x,\emptyset)=\infty} e {d(x,A)<\infty} se {A\neq\emptyset}.
  2. {d(x,\{x\})=0}.
  3. Se {A\subseteq B}, então {d(x,A)\leq d(x,B)}.
  4. {\forall \epsilon>0},{0\leq\epsilon\leq\infty}, {d(x,A)\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon}.
  5. {d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{j\in J}d(x,B_{j})}
  6. {d(x,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(x,B_{j})}

Demonstração:

  1. {d(x,\emptyset)=\inf\emptyset=\infty} (pela definição do ínfimo de um conjunto).
  2. Basta tomar {A=\{x\}\longrightarrow d(x,A)=0}.
  3. Deixada ao leitor.
  4. Seja {a\in A_{\epsilon}},existe {a'\in A}, {d(a,a')<\epsilon}. Portanto,

    \displaystyle d(x,A)\leq d(x,a)+d(a,a')\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon.

  5. {d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{b\in \cup_{j\in J}B_{j}}d(x,b)=\inf_{j\in J}(\inf_{b\in B_{j}}d(x,b))=\inf_{j\in J}d(x,B_{j}).}
  6. Sugestão: {d(x,A)\geq d(x,B)} se {A\subseteq B}.

\Box

Definição 9 Sejam {A,B} subconjuntos de {X}, onde {(X,d)} é um espaço métrico. A distância entre {A} e {B} é o número

\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\}.

É evidente que se {A\cap B\neq\emptyset}, então {d(A,B)=0}, em geral o recíproco não é verdadeiro e, obviamente {d(A,B)=d(B,A)}.

Proposição 19 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B,C} e {D} subconjuntos de {X}, e famílias {\{A_{i}\}_{i\in I}}, {\{B_{j}\}_{j\in J}} de subconjuntos de {X}. Então:

  1. {d(A,B)<\infty} se e só se {A} e {B} são não vazios.
  2. {d(A,B)=0} se {A\cap B\neq\emptyset}.
  3. Se {A\subseteq B} e {C\subseteq D}, então {d(A,C)\leq d(B,D)}.
  4. Para todo {\epsilon,\epsilon'}, {0\leq\epsilon,\epsilon'\leq\infty}, {d(A,B)\leq d(A_{\epsilon},B_{\epsilon})+\epsilon+\epsilon'}.
  5. {d(\cup_{i\in I}A_{i},\cup_{j\in J}B_{j})=\inf_{i\in I,j\in J}d(A_{i},B_{j})}.
  6. {d(A,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(A,B_{j})}.

Demonstração: Deixadas ao leitor. \Box

Definição 10 Seja {A\subseteq X}, onde {(X,d)} é um espaço métrico. O diâmetro de {A} é definido como

\displaystyle \delta(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}.

Exemplo 9 {\delta(\emptyset)=\sup \emptyset=-\infty}.
Proposição 20 Sejam {A,B\subseteq X}. Então:

  1. Se {A\subseteq B}, então {\delta(A)\leq\delta(B)}.
  2. {\delta(A_{\epsilon})\leq 2\epsilon+\delta(A)}, {\forall\epsilon>0}.
  3. {\delta(A\cup B)\leq \delta(A)+\delta(B)+d(A,B)}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

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