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Exercício 1 Prove que as funções dadas abaixo são soluções das equações diferenciais:

  • {y''+y=x}, {y(0)=0}; onde {y=e^{-x}+x-1}.
  • {(y')^{3}=y}, {y(0)=0}; onde {8x^{3}+27y^{2}=0}.
  • {y''+25y=0}; onde {y=c_{1}\cos 5x}.
  • {y'=2xy+1}; onde {y=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}.
  • {xy'=y+x\sin x}; onde {y=x\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt}
Exercício 2 Achar os valores de {m} para os quais {y=e^{mx}} é uma solução das equações diferenciais abaixo:

  • {2y'''+y''-5y'+2y=0}.
  • {y'-2y=0}.
Exercício 3 Se {y'-xy^{\frac{1}{2}}=0}. Demonstrar que:

  • {y=(\frac{x^{2}}{4}+C)^{2}} é solução geral da equação acima.
  • Se {C=0}, mostrar que {y=\frac{x^{4}}{16}} é uma solução particular.
  • Explicar porque {y=0} é uma solução singular.
Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto {(x,y)} do plano {xy} está dada por {4-2x}.

  • Estabeleça a equação diferencial da familia.
  • Determinar uma equação para aquela linha particular que passa pela origem.
  • Desenhe alguns membros da familia achada anteriormente.
Exercício 5 Se {y=Y_{1}(x)} e {y=Y_{2}(x)} são duas soluções de {y''+3y'-4y=0}. Mostre que:

  • {C_{1}Y_{1}(x)+C_{2}Y_{2}(x)} também é uma solução da equação, onde {C_{1}} e {C_{2}} são constantes arbitrárias.
  • Use os resultados anteriores para achar uma solução de uma equação diferencial que satisfaça as condições {y(0)=3}, {y'(0)=0}.

— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —

Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.

Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem {y'=f(x,y)}, se {f(x,y)} satisfaz as seguintes condições:

  • {f(x,y)} é real, finita, simples valorada e continua em todos os pontos de uma região {\omega} do plano {xy} (podendo conter todos os pontos).
  • {\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}} é real, finita, simples valorada e continua em {\omega}.

Então, existe uma e só uma solução {y=g(x)} em {\omega} tal que {y=y_{0}}, quando {x=x_{0}}, isto é, {y(x_{0})=y_{0}}.

Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional. \Box

Uma interpretação gráfica deste teorema é que se {\omega} é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto {(x_{0},y_{0})} em {\sigma} passará uma e só uma curva {C} cuja tangente em qualquer ponto de {\sigma} está dada por {y'=f(x,y)}. A solução {y=g(x)} representa a equação desta curva em {\sigma}.

Exemplo 10 Este exemplo foi retirado do livro Murray Spiegel (Equações Diferenciais Aplicadas). Determine se existe uma solução única para o problema de valor inicial

\displaystyle y'=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})},\text{ }y(1)=2.

Demonstração: Temos {f(x,y)=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}, {\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}}. Podemos observar então que o conjunto solução se encontra no interior do círculo {x^{2}+y^{2}=9} e inclui o ponto {(1,2)}, então pelo teorema de existÊncia e unicidade ela é única.

\Box

— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —

Consideremos a equação diferencial

\displaystyle  y'=f(x,y) \ \ \ \ \ (4)

onde a função à direita depende tanto de {x} quanto de {y}, e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a {x} e {y}, i.e., { y(x)=\int f(x,y)dx+C}, infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar {y(x)}.

Exemplo 11 A equação {y'=x+y} não pode ser solucionada de modo directo.

Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada {y'=f(x,y)}.

Em cada ponto {(x_{0},y_{0})} da região {\sigma} podemos construir uma linha com tangente igual a {f(x_{0},y_{0})}, ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.

Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.

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Análise Funcional -Aula 3

— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.

5.(solução) Basta tomarmos {x=(x_{1},\cdots,x_{n},0,0,\cdots)} e {y=(1,0,0,\cdots)} e substituirmos na desigualdade de Cauchy.

6.(solução) Podemos tomar {x_{n}=(\frac{1}{\ln 2},\frac{1}{\ln 3},\frac{1}{\ln 4},\cdots)=\{\frac{1}{\ln n}\}_{n=2}^{\infty}} e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.

7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia {x_{n}=\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}}.

8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que {\delta(A)} é uma cota superior do conjunto {\{d(x,y): x,y\in A\}} e usarmos a propriedade {A\subset B \Longrightarrow \sup A\leq \sup B}.

b)A primeira implicação é facíl, já que se {\sup \{d(x,y): x,y\in A\}=0\Longrightarrow x=y}. A segunda implicação é trivial.

9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que {d_{1}(x,y)} satisfaz a desigualdade triângular.

Sejam {x,y, z\in X} temos:

\displaystyle d(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq \sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},z_{1})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},z_{2})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq d(x,z)+d(z,y)

no ultimo passo usamos a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}.

b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:

Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,

\displaystyle \max_{k=1,2}d_{k}(x_{k},y_{k})

\displaystyle \leq \max_{k=1,2}[d_{k}(x_{k},z_{k})+d_{k}(z_{k},y_{k})]

\displaystyle \leq \max_{i=1,2} d_{i}(x_{i},z_{i})+\max_{j=1,2}d_{j}(x_{j},y_{j})

10.(solução) Muito simples….

11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —

Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.

Definição 6 Dado {x \in (X,d)} e {r>0}, temos as seguintes definições:

  • (Bola aberta) {B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}.
  • (Bola fechada) {\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}
  • (Esfera){S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}
Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em {\mathbb{R}^{3}}. Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., {S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }, para isso, basta tomarmos {r\neq1}.
Exemplo 7 Em {\mathbb{R}}, as bolas abertas e fechadas são os intervalos abertos (resp. fechados), i.e., da forma: {B(x,r)=(x-r,x+r)}.

— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 2 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 3 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

Proposição 4 Sejam {B(x,r_{1})} e {B(y,r_{2})}, tais que {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}. Se {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então existe uma bola aberta de centro {a} contida na intersecção {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}.

Demonstração: Seja {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então pela Proposição anterior existe {B(a,r_{3})}, tal que {B(a,r_{3})\subset B(x,r_{1})} e {B(a,r_{3})\subset B(y,r_{2})}. Seja {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, então

\displaystyle B(a,r)\subset B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2}).

\Box

Proposição 5 Sejam {B(x_{1},r_{1})} e {B(x_{2},r_{2})} duas bolas abertas. Se {r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}, então

\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.

Demonstração: Suponhamos pelo contrário que {B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})\neq\emptyset}, então {\exists x\in B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})}, logo

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{1})+d(x_{2},x)\leq r_{1}+r_{2}.

\Box

Proposição 6 O diâmetro de uma bola {B(x,r)} satisfaz:

\displaystyle \delta(B(x,r))\leq 2r

Demonstração: Sejam {y,z\in B(x,r)\Longrightarrow d(x,y)<r} e {d(z,x)<r}, então

\displaystyle d(y,z)\leq d(z,x)+d(y,x)<2r

que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:

\displaystyle \delta(B(x,r))=\sup_{y,z\in B}d(x,y)\leq 2r.

\Box

Definição 7 Dado um conjunto {A\subset(X,d)}. Dizemos que {x} é um ponto interior de {A} se para todo {r>0} existe uma bola {B(x,r)} tal que:

\displaystyle B(x,r)\subset A

O conjunto de todos os pontos interiores de {A}, denotado por {int(A)} ou {A^{\circ}}, ou seja, {A^{\circ}=\{x\mid x \text{ é um ponto interior de }A\}}. Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto.

Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de {X} é uma topologia em {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., {\emptyset} e {X} são ao mesmo tempo abertos e fechados.

— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —

Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Ver a Proposição 1.3. \Box

Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração: Sejam {A_{1}} e {A_{2}} dois conjuntos abertos e {A_{3}=A_{1}\cap A_{2}}. Se {x\in A_{1}\cap A_{2}\Longrightarrow \exists B(x,r_{1}),B(x,r_{2})}, basta tomarmos {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, daí {B(x,r)\subset A_{1}\cap A_{2}=A_{3}}. \Box

Uma generalização da proposição acima é a seguinte:

Proposição 10 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto.

Demonstração: Seja {x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{k}} para todo {k}. Então existem {r_{k}>0} tais que {B(x,r_{k})\subseteq A_{k}}. Se {r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}} então {r>0} e {B(x,r)\subseteq\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto. \Box

Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em {\mathbb{R}} o conjunto {A_{n}=\{x\in \mathbb{R}:-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\}}.
Proposição 11 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cup_{i\in I}A_{i}} é um aberto, onde {I} é um conjunto enumerável.

Demonstração: Deixada como presente para o leitor. \Box

Definição 8 Sejam {(X,d)} e {(Y,\rho)} dois espaços métricos. Uma aplicação {f:X\longrightarrow Y} é contínua no ponto {x_{0}} se para todo {\epsilon >0} existe um {\delta >0} tal que {\rho(f(x),f(x_{0})<\epsilon} para todo {x} satisfazendo {d(x,x_{0})<\delta}, f é dita ser contínua se é contínua em cada ponto de {X}.
Teorema 12 Uma aplicação {f} de um espaço métrico {X} em um espaço métrico {Y} é contínua se e só se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de {Y} é um subconjunto aberto de {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Definição 9 Seja {E\subset X}. {x_{0}\in X} (pode ou não pertencer a {E}) é chamado ponto de acumulação ou ponto limite de {E} se em toda vizinhança de {x_{0}} existe pelo menos um ponto {y\in E} distinto de {x_{o}}. O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de {E} é chamado de fecho de {E} e é denotado por {\overline{E}}. Um subconjunto {E} de um espaço métrico {X} é denso em {X} se

\displaystyle  \overline{E}=X.

Um espaço métrico {X} é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.

1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

Séries Numéricas

— 1. Conceitos Fundamentais —

Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como {u_n}. como {u_2} designa o segundo termo da sucessão {u}.
Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.

  • a) {\{1,2,3,4,5,6,7...\}}
  • b) {\{ 1,4,9,16,25,36...\}} Estas sucessões têm uma regularidade bastante clara. A primeira é a sucessão de números naturais, a Segunda é a Sucessão dos Quadrados Perfeitos.

Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão {a_n}, quando {n \rightarrow } {\infty}.

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = L

onde {L} é um número.

Exemplo 2

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2^n} = 0

avaliando para {x=1},

{{ 1, 1^2, 1^3, 1^4,..}} { = 1^n , n = 1, 2, 3,...}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1

. Portanto, para {x=1} é convergente. avaliando para {x=2}, {{2, 2^2, 2^3, 2^4,...}} { = {2,4,8,16,...} = 2^n}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 2^n = \infty

. Portanto, para {x=2} é divergente.

Definição 2 Seja {a} uma sucessão chama-se sucessão das somas parciais de {a} à sucessão {S_a} tal que

\displaystyle S(a)_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n+... = \sum_{i = 0 }^n a_i

chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de {a},

\displaystyle \sum_{n = 0 }^\infty a_n

e se {\lim S(a)_n}, existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.

Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas

Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo {\epsilon>0}, exista {N=N_\epsilon}, tal que para todos os n>1 e p=1,2,…, cumpra-se a desigualdade { \mid S_{n+p} - S_n\mid = \mid u_{n+1} + u_{n+2} + u_{n+3}+...+u_{n+p}\mid<\epsilon} critério necessário de convergência: se a série converge, então

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = 0

. Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.

Exemplo 3 Mostre que a série

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

converge e ache sua soma. repare que a fracção {\frac{1}{x(x+1)}} pode-se representar também como {\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}}, dai que { S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}},

  • { S_2 =\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}},
  • { S_3 = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}}, e assim por diante. esta propriedadeda da série

    \displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

    chama-se de telescópica. daí que { S_n=1-\frac{1}{n+1}}. portanto,

    \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1

    ; ou seja , a série é convergente e sua soma é igual a 1. Repare-se que neste caso, conferimos que a série é convergente, como consequência de ter determinado sua soma. Como provamos que a série tem soma, então a série é convergente.

Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série

\displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.

 

Análise Funcional – aula 2

— 1.2. Solução dos Problemas Propostos da aula 1 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça.

1.(solução)

Os dois primeiros axiomas são de facíl verificação, passemos agora para a demonstração da desigualdade triângular,i.e., devemos mostrar que:

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

Se tomarmos {a=x-z, b=z-y}, temos que {a+b=x-y}, então fazendo uso da desigualdade triângular nos reais {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid} e da desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}, temos:

\displaystyle \sqrt{\mid x-y\mid}=\sqrt{\mid (x-z)+(z-y)\mid}\leq \sqrt{\mid x-z \mid +\mid z-y\mid }=\sqrt{a+b}

\displaystyle \Longleftrightarrow \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\mid x-z\mid}+\sqrt{\mid z-y\mid}

Assim provamos que a aplicação definida por {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} é uma métrica sobre {\mathbb{R}}.

2.(solução)

a) À primeira vista a aplicação {d_{1}(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid} parece ser uma métrica,mas é facil notar que ela não satisfaz a segunda parte do primeiro axioma da definição de métrica, {d_{1}(x,y)=0\Longleftrightarrow \mid x^{2}-y^{2}\mid=0\Longleftrightarrow x=y} ou {x=-y} daí concluimos que a aplicação não é uma métrica em {\mathbb{R}}, mas é facíl verificar que é uma métrica se tomarmos os subconjuntos {\mathbb{R^{+}}\cup \{0\}} ou {\mathbb{R^{-}}\cup \{0\}}.

b)Seja {x=y=1} então {d_{2}(1,1)=1\neq0} logo não é uma métrica.

c)É facíl verificar que os primeiros axiomas são satisfeitos. Para demonstrarmos a desigualdade triângular consideremos primeiramente a função {f(a)=\frac{a}{1+a}}, é de facil verificação que a função {f} é crescente (usando Cálculo elementar), logo se {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid \Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid +\mid b\mid)}, então

\displaystyle \frac{\mid a+b\mid}{1+\mid a+b\mid}\leq\frac{\mid a\mid +\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}= \frac{\mid a\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}+\frac{\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}

Tomando {a=x-z} e {b=z-y}, temos o que queremos.

3.(solução)

(i) Se tomarmos {\rho(x,y)=kd(x,y)}, é facíl vermos que:

\displaystyle \rho(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow k> 0

e que as restantes propriedades são facilmente satisfeitas.

(ii)Do mesmo modo é simples verificar que {\rho(x,y)=d(x,y)+k} é uma métrica sse {k=0}.

4.(solução) Podemos escrever a desigualdade triângular do seguinte modo:

\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \Longleftrightarrow d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)

e a desigualdade contrária segue de

\displaystyle d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)

— 1.3. Outros Exemplos de Espaços Métricos —

Bem-vindos a segunda aula de análise funcional, hoje vamos explorar com um pouco mais de profundidade alguns espaços métricos que são de etrema importância para a análise funcional. Para começarmos introduziremos algumas desigualdades famosas e muito úteis, que não serão demonstradas.

Definição 2 Dois expoentes {p} e {q} são dito conjugados sse:

\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.

Sejam {p} e {q} dois expoentes conjugados têm-se a seguinte desigualdade de Holder:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{q})^{\frac{1}{q}} \ \ \ \ \ (2)

Se tomarmos {p=q=2} na desigualdade (2) teremos a chamada desigualdade de Cauchy-Buniakovsky-Schwarz:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}} \ \ \ \ \ (3)

A desigualdade de Holder (2) é geralmente obtida da desigualdade de Young:

\displaystyle  xy\leq \frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{q}}{q} \ \ \ \ \ (4)

onde {p} e {q} são conjugados.

Comentário 5 Um corolário trivial da desigualdade acima é o facto de que a média geometrica entre dois números não excede sua média aritmética, para mostrarmos esse facto basta tomarmos {p=q=2}.

E por último temos a desigualdade de Minkovsky:

\displaystyle  (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}+y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}\leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}+(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}} \ \ \ \ \ (5)

Comentário 6 É importante notarmos que a desigualdade de Mimkovsky não é verdadeira para {p<1}, e que quando {p=1} temos uma simples desigualdade que exprime o facto de que o modulo da soma não excede a soma dos modulos.
Exemplo 4 Retomaremos um exemplo da aula anterior, relacionado à métrica { d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}} em {\mathbb{R}^{n}}, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n})=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n})=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}}. Demonstração: O objectivo é provarmos que o par {(\mathbb{R}^{n},d_{n})} é um espaço métrico. De facto, os dois primeiros axiomas são de facil verificação e são deixados ao leitor como exercícios, passemos então a demonstração da desigualdade triângular, para tal faremos uso da desigualdade (3). Sejam {x,y,z\in \mathbb{R}^{n}} então {\exists \{x_{k}\}_{k=1}^{n}, \{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {\{z_{k}\}_{k=1}^{n}} tais que {x=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}, y=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {z=\{z_{k}\}_{k=1}^{n}}, fazendo então a substituição {a_{k}=x-z, b_{k}=z-y} temos:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{2}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}

\displaystyle \Longleftrightarrow\leq\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}.\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}=(\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}})^{2}

\Box

Consideremos agora o espaço {l^{p}(p\geq 1)} ou espaço das sequências {p}-somaveis definido da seguinte forma:

\displaystyle l^{p}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{p}<\infty\}

Reparem que os elementos do espaço {l^{p}} são sequências com infinitos pontos, fazendo desse espaço um espaço discreto. É facil verificarmos que a aplicação

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{p} )^{\frac{1}{p}}

é de facto uma métrica, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n},\cdots)} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n},\cdots)}. A demonstração desse facto é deixada ao leitor, para a desigualdade triângular basta aplicar a desigualdade (5).

Quando {p=2} o espaço resultante, {l^{2}}, é geralmente conhecido por espaço de Hilbert ou espaço da sequências de quadrado somaveis. Definido da seguinte maneira:

\displaystyle l^{2}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{2}<\infty\}

com a métrica definida da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{2} )^{\frac{1}{2}}

Além das mencionadas acima, existem muitas outras métricas de extrema importância, até podemos formar metricas de métricas, por exemplo, no primeiro exercício dos problemas propostos na aula passada, nós podemos generalizar, obtendo assim o facto de que se {d(x,y)} é uma métrica sobre {X} então a aplicação

\displaystyle \rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

também é uma métrica sobre {X}.

Exemplo 5 Consideremos a métrica definida por

\displaystyle \rho(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\frac{\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}{1+\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}

sobre o espaço das funções continuas em {(-\infty,\infty)} torna esse conjunto um espaço métrico. Deixamos para o leitor a demonstração desse facto, como sugestão, lembre-se das suas aulas de Cálculo e as propriedades das funções continuas e séries (mostrar antes que a métrica estábem definida, em caso de duvidas contacte-nos atráves do blog deixando sua questão).

Mostraremos agora que o produto cartesiano {X_{1}\times X_{2}} de dois espaços métricos {(X_{1},d_{1})} e {(X_{2},d_{2})}, também pode ser transformado em um espaço métrico.

Exemplo 6 Consideremos o conjunto {X=X_{1}\times X_{2}} onde {X_{1}} e {X_{2}} são espaços métricos, definimos nele a métrica

\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})

vamos mostrar que o par {(X,d)} é um espaço métrico, onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. Demonstração:

(i) É evidente que {d(x,y)\geq } já que é a soma de duas metricas não negativas. Se {d(x,y)=0 \Longleftrightarrow d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})=0} como as métricas são não negativas então para a soma ser zero ambas tem de ser zero,i.e., {d_{1}(x_{1},y_{1})=0\Longrightarrow x_{1}=y_{1}} e {d_{2}(x_{2},y_{2})=0\Longrightarrow x_{2}=y_{2}}, o inverso é facil de mostrar assim como o axioma (ii).

(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triângular,tomemos {d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})\leq d_{1}(x_{1},z_{1})+d_{1}(z_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},z_{2})+d_{2}(z_{2},y_{2}) } reagrupando a desigualdade obtemos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

\Box

Como verificamos pelos exemplos acima, a partir de uma métrica podemos formar ou construir outras métricas, passemos agora para novos conceitos.

Definição 3 Seja {(X,d)} um espaço e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}). Dizemos que o conjunto {A} é limitado se {\exists k>0} tal que

\displaystyle d(x,y)\leq k \text{ , } \forall x,y \in A

Se {A} é limitado, denotamos o diâmetro de {A} por {\delta(A)} onde

\displaystyle  \delta(A)=\sup_{x,y \in A}d(x,y)

Da definição acima segue-se imediatamente que um conjunto {A} é limitado sse {\delta(A)<\infty}.

Definição 4 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}) e {x\in X}. Chama-se distância de {x} ao conjunto {A} o número

\displaystyle d(x,A)=\inf_{y\in A}d(x,y).

A ideia de se calcular a distância de um ponto aum conjunto pode ser tornado mais intuitivo ao lembrarmos um pouco de Geometria Análitica, onde calculamos a distância de um ponto a uma recta, que nada mais é que um conjunto infinito de pontos.

Podemos verificar ainda que:

  • A definição 1.3 está bem definida, pois o ínfimo existe pois {d(x,y)\geq 0}, {\forall y\in A}.
  • Se {x\in A}, então {d(x,A)=0} (porque aí bastaria toar {x=y}).
Proposição 1 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X (A\neq \emptyset)}. Então para todo {x,y \in X} temos

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Como {d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)} é uma cota inferior então para todo {z\in A} temos:

\displaystyle d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)

assim {d(x,A)-d(x,y)\leq d(y,z)} é uma cota inferior do conjunto {\{d(y,z)\mid z\in A\}}, logo:

\displaystyle d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)

a segunda desigualdade segue multiplicando-se a expressão acima por {-1} e fazendo {x=y}. \Box

Definição 5 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B\subset X}, {A\neq \emptyset} e {B\neq \emptyset}. A distância entre {A} e {B} é definida do seguinte modo:

\displaystyle d(A,B)=\sup\{d(x,y)\mid x\in A, y\in B\}.

Da definição podemos notar que:

  • Se {A\cap B\neq \emptyset}, então {d(A,B)=0}.
  • Se {A\cap B= \emptyset}, não implica {d(A,B)>0}.

Por hoje ficaremos por aqui,não se esqueçam de resolver os problemas propostos e em cao de duvida nos contactem, como sempre no inicio da proxima aula resolveremos os problemas propostos.

Problemas Propostos

Exercício 5 Mostre que a desigualdade de Cauchy (3) implica

\displaystyle (\mid x_{1}\mid+\cdots+\mid x_{n}\mid)^{2}\leq n(\mid x_{1}\mid ^{2}+\cdots+\mid x_{n}\mid ^{2}).

Exercício 6 Encontre uma sequência que converge para {0}, mas que não esteja em nenhum espaço {l^{p}}, onde {1\leq p<\infty}.
Exercício 7 Encontre uma sequência que esteja em {l^{p}(p>1)} mas não esteja em {l^{1}}.
Exercício 8 Mostre que:

  1. Se {A\subset B},então {\delta(A)\leq \delta(B)}.
  2. {\delta(A)=0} se e somente se {A} consiste em um único ponto.
Exercício 9 Sejam {X=X_{1}\times X_{2}} onde {(X_{1},d_{1})}, {(X_{2},d_{2})} são espaços métricos. Mostre que as seguintes aplicações são métricas em {X}:

  • {d_{1}(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}}
  • {d_{2}(x,y)=\max\{d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\}}
Exercício 10 Seja {B(A)} o conjunto das funções limitadas em {A}, com a aplicação

\displaystyle d(x,y)=\sup_{t\in A}\mid x(t)-y(t)\mid

Mostre que {(B(A),d)} é um espaço métrico se {A=[a,b]}.

Exercício 11 Mostre que se {(X,d)} é um espaço métrico, então

\displaystyle \rho(x,y)=\sqrt{d(x,y)}

também o é.

Equações Diferenciais Ordinárias – aula 1

Equações Diferenciais Ordinárias

Com a descoberta do cálculo de forma independente no século 17 por Newton e Leibniz, seguiu-se uma nova abordagem a certos problemas que anteriormente pareciam insoluveis. Notou-se que estes problemas levavam a certos de equações em que as taxas de variação das grandezas a determinar dependiam de outras (geralmente do tempo), assim surgiram as primeiras equações diferenciais ordinárias.

Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas de uma função desconhecida de uma ou mais variáveis. As equações diferencias ordinárias (EDOs) são equações diferencias que dependem de uma única variável. Elas são enormemente útilizadas em Modelagem na industria, principalmente nas áreas de Engenharia, Física, Ciências da Computação, Biologia, Medicina, Ciências Ambientais, Química, Economia e em outros campos que traduzem uma determinada situação física ou um conjunto de observações para um “modelo matemático”.

Existem numerosos exemplos da Engenharia (e.g. problemas de mistura), Física (e.g. lei de resfriamento de Newton, equação de Darcy para meios porosos), Biologia (e.g. sistemas predador-presa ou modelo de Lotka-Volterra) etc..

— 1. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem —

— 1.1. Definição e Conceitos Iniciais —

Definição 1 Uma EDO é uma equação com uma ou mais derivadas de uma função desconhecida {y=y(x)} até a ordem {n}, i.e.,

\displaystyle  F(x,y,y^{'},\cdots,y^{n})=0 \ \ \ \ \ (1)

onde {F} é continua definida num aberto {X} de {\mathbb{R}^{n+2}}.

O termo ordinária significa que todas as derivadas são tomadas em relação a uma única variável independente “{x}“.

Exemplo 1 {y^{''}+5y=x^{6}}, {y^{(IV)}+y^{'''}+2xy^{'}=0}.
Comentário 1 É conhecida do cálculo a notação {y^{'}=\frac{dy}{dx}}, que será muito utilizada nestas notas.

Ao contrário das EDOs, as EDPs (Equações Diferenciais Parciais) são equações onde ocorrem as derivadas de uma função desconhecida de uma ou mais variáveis.

Exemplo 2 A equação do calor

\displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=c^{2}\frac{\partial u}{\partial t}

onde {u=u(x,t)} representa a distribuição do calor numa barra ao longo do tempo.

Uma EDO é dita ser de ordem {n} se a {n}-ésima derivada da função a determinar {y} é de ordem {n}.

Exemplo 3

  • {\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+2\frac{dy}{dx}=x} é uma EDO de ordem 3 porque a maior derivada na equação é de terceira ordem.
  • {y^{'}+y+x=0}, a equação é de ordem 1 ou primeira ordem.
Comentário 2 Em geral, uma EDO estabelece a relação entre duas grandezas, mas existem casos em que para relacionarmos estas duas grandezas existe uma terceira, nestes casos a identidade a seguir é bastante útil

\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}.\frac{dx}{dt}

onde {y=y(x)} e {x=x(t)}.

Muitas vezes, uma EDO como a (Equação 1) pode ser apresentada da seguinte forma, chamada de forma normal:

\displaystyle  y^{n}=f(x,y,...,y^{n-1}). \ \ \ \ \ (2)

Exemplo 4 A équação {y^{''}=y^{'}+2x} está na forma normal.
Definição 2 Uma EDO é dita ser linear se pode ser escrita na forma

\displaystyle  c_{0}(x)y^{n}+c_{1}(x)y^{n-1}+\cdots+c_{n}(x)y=G(x) \ \ \ \ \ (3)

onde {c_{0}(x)\neq 0}. Se a equação não poder ser reduzida a forma (3), então ela é dita ser não-linear.

Exemplo 5 {y^{''}+2xy^{'}=0}.
Definição 3 Uma solução de uma EDO de ordem {n}, é qualquer função {n} vezes derivável que satisfaça a equação, i.e., lhe reduza a uma identidade.
Exemplo 6 Verifique que {y=Ce^{x}}, onde {c\neq 0}, é uma solução da equação {y'=y}. Demonstração: Para solucionarmos este problema basta lembrarmo-nos das nossas aulas de Cálculo Diferencial, mais precisamente da regra de derivação do produto de uma constante por uma função, obtemos assim {y'=Ce^{x}} já que a derivada de {e^{x}} é igual a ela mesma, logo substituindo na equação verificamos que ela se transforma numa identidade, assim {y=Ce^{x}} é uma solução da equação {y'=y}. \Box

Comentário 3 A curva (ou gráfico) da solução de uma EDO é geralmente chamada de curva solução.
Exemplo 7 Seja a equação {y'=\sin x}, a solução pode ser obtida directamente integrando ambos lados, ou seja, {y'=\frac{dy}{dx}=\sin x \Longrightarrow \int dy=\int \sin x dx \Longrightarrow y=-\cos x+c}. Obtemos desse modo uma solução dependendo de uma constante {c}, a este tipo de solução denominamos familia de soluções, a Fígura 1 a seguir mostra algumas curvas solução para essa equação para diferentes valores de {c}.

Normalmente uma EDO possui infinitas soluções aparecendo geralmente como uma função dependente de uma constante, a qual chamamos de solução geral. Mas em problemas prácticos nós estamos interessados simplesmente em soluções que satisfaçam certas condições iniciais, chamadas de soluções particulares.

Definição 4 Um Problema de Valor Inicial, ou condições iniciais, é um problema que busca determinar uma solução de uma EDO sujeita a condições sobre a função desconhecida e suas derivadas especificadas em um valor da variável independente.
Exemplo 8 A equação diferencial do exemplo anterior pode ser simplificada se nós buscarmos apenas as soluções que satisfaçam determinada condição (dita condição inicial), e.g., {y(\pi)=1}, isto pode ser interpretado geometricamente como, encontrar a curva solução que passa pelo ponto {A(\pi,1)}. No exemplo anterior fica portanto, {y=-\cos x+c \Longrightarrow y(0)=1=-\cos \pi +c \Longrightarrow c=0}, a Fígura 2 mostra a solução final {y=\cos x}.

Cada vez que se formula um PVI, existem três perguntas em relação a este que devem ser feitas:

  1. Existência.Existe uma solução da equação diferencial que satisfaça as condições dadas?
  2. Unicidade.Se existe uma solução que satisfaça a equação, ela é única?
  3. Estabilidade. A solução depende continuamente dos dados?

As condições acima são chamadas de condições de Hadamard, qualquer PVI que satisfaça as três condições acima é dito ser um problema bem proposto.

Exemplo 9 Consideremos o famoso PVI

\displaystyle y'=3y^{\frac{2}{3}},\text{ } y(2)=0

temos que a solução geral é {y=(x+c)^3}. Da condição inicial {y(2)=0} obtemos {c=-2}, assim obtemos uma solução dada por {y=(x-2)^3}.

Podemos observar que {y=0} é também uma solução da equação acima e que ela não pode ser obtida da a partir da solução geral {y=(x+c)^3} para qualquer valor da constante {c}, de modo que não é uma solução particular. Mostramos assim que a solução da equação acima não é única.

Comentário 4 As soluções que não podem ser obtidas mediante uma escolha qualquer de {c} designam-se soluções singulares. Estas soluções aparecem normalmente em certas aplicações que envolvem equações extremamente não lineares.

Por hoje nós ficamos por aqui, a partir da proxima aula vamos analisar algumas consequências derivadas do exemplo acima e também o método das isoclinas e outras interpretações geométricas, lista de problemas para esta aula vem a seguir a este post, qualquer duvida ou comentário contacte-nos.

Análise Funcional – Aula I

Introdução à Análise Funcional

A Análise Funcional é um ramo da Matemática abstracta que é basicamente uma junção de Teória da Medida e Integração, Topologia e Álgebra Linear em espaços de dimensão infinita. Ela originou-se a partir de trabalhos em equacções diferenciais Parciais, Equações Integrais e da necessidade de se dar um tratamento mais rigoroso ao estudo dos espaços de funções no século XX.

Ela oferece-nos uma generalização de muitos conceitos de análise em {\mathbb{R}} e de outros espaços topológicos e têm servido de base para muitas outras áreas da Matemática Moderna. Durante o século XX matemáticos observaram que problemas de diferentes áreas muitas vezes exibiam propriedades comuns, este facto foi usado para a criação de uma abordagem unificada abstendo-se de uma análise local para a obtenção de resultados gerais dos quais os resultados particulares seguiriam.

Uma das maiores descobertas (ou criação de preferirem) do século XX foi a noção de espaço abstracto em Matemática, devido principalmente a M. Fréchet e F. Hausdorff, que pode ser visto como o culminar de uma onda crescente de abstracção que invadira a Matemática já algum tempo e que teve o seu climax, com justeza, na criação das maiores joias da Matemática.

— 1. Espaços Métricos —

Desde os pimordios da civilização moderna, o homem vem se aperfeiçoando na criação de instrumentos de medida como meios de ajuda na execução de tarefas as quais se propõe realizar. Dentre estes, o cálculo de distâncias sempre foi um dos principais objectivos. Hoje, nós geralmente usamos uma fita métrica para medirmos a distância entre dois objectos, ou podemos fazer uso do teorema de Pitágoras que basicamente nos permite medir a distância entre dois pontos num plano Cartesiano com eixos {x} e {y}, ou ainda generalizarmos ao introduzirmos uma componente {z}, passando a ser uma fórmula para medirmos distâncias no espaço (pelo menos o nosso espaço!).

Mas nós nos perguntamos, afinal o que é o espaço? Muitas pessoas normalmente confudem o espaço sideral, isto é, a zona onde se encontram as estrelas e outros corpos celestes com a noção de espaço em si, uma definição simples e um pouco baseada no senso comum é a de que o espaço é o local onde se encontram os objectos, ele é tomado essencialmente como algo no qual estamos imersos, é uma estrutura invisivel que nos engloba não somente a nós, como também todo o universo, uma imagem mental seria a de uma esfera na qual tudo está contido, até porque o universo seria a propria esfera.

No século XX, em Física, com a teoria da geral da relatividade de A. Einstein surge a noção de espaço-tempo, i.e., uma entidade quadridimensional, mostrando assim que as noções de espaço e tempo são essencialmente as mesmas, elas são inseparáveis, conceito esse que é muitas vezes mal compreendido pelas pessoas.

Para um Matemático, o espaço é um conjunto de pontos, é importante notarmos que, embora nós olhemos para o vazio, aparentemente sem nada, na verdade ele está prenchido por pontos, esta noção embora primitiva pode nos ajudar a ganharmos uma pequena intuição para uma generalização.

De uma forma mais rigorosa, em Matemática, um espaço é um conjunto arbitrário {X\neq \emptyset} munido de uma estrutura. De maneira mais informal, é um conjunto de objectos de qualquer natureza no qual definimos uma estrutura. É importante notarmos que não importa a natureza dos objectos que constituam o conjunto, desde que definamos nele uma estrutura, ele passará a ser um “espaço”.

Exemplo 1 É bem conhecida a noção em Álgebra Linear de Espaço Vectorial, i.e., um conjunto {V\neq \emptyset} com duas operações definidas nele, a adição {+:V\times V\rightarrow V} e a multiplicação por um escalar {\cdot:V\times \mathbb{K}\rightarrow V}, onde {\mathbb{K}} é um corpo. Não importa qual seja a natureza do conjunto {V}, desde que satisfaça os 8 axiomas da definição chamaremos ele de “espaço vectorial”, e aos seus elementos chamaremos pontos desse espaço ou vectores (isto mesmo, vectores), portanto do ponto de vista da Álgebra Linear, uma função como {f(x)=x^{2}} pertencente ao espaço vectorial das funções continuas em {C_{[a,b]}} é um vector, pois ele é um ponto ou elemento desse espaço.

É importante notarmos bem os conceitos acima, em Matemática conceitos que nos parecem muito corriqueiros muitas vezes não são o que parecem! Desta forma podemos passar ao passo seguinte que é a introdução da noção de espaço métrico.

Definição 1 Um espaço métrico {(X,d)} é um conjunto {X\neq \emptyset} juntamente com uma função distância {d:X\times X\rightarrow\mathbb{R^+}} que obedece as seguintes propriedades ou axiomas:

  1. (Não-degeneramento) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)\geq 0}, com igualdade se e somente se {x=y}.
  2. (Simétria) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)=d(y,x)}.
  3. (Desigualdade Triângular) Para todo {x,y,z \in X}, temos {d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}.
Comentário 1 Muitas vezes com um abuso de notação obvio, se diz que {X} é um espaço métrico ao invés do par {(X,d)} supondo-se que a distância ou métrica é conhecida.

É importante o leitor notar que um espaço métrico não é um conjunto, mas é uma “estrutura”, de tal maneira que em um mesmo conjunto podemos definir métricas diferentes, i.e., { d\neq \rho \Rightarrow (X,d)\neq (X,\rho)}. Aos elementos de um espaço métrico chamaremos pontos, independentemente da natureza destes ojectos, sejam eles objectos do nosso mundo físico ou abstractos.

O axioma 1 na definição estabelece o facto evidente que a distância entre dois objectos nunca é negativa, e se ela é igual a zero é porque estes dois objectos são iguais. O axioma 2 também é intuitivo, quer dizer, a distância entre dois objectos {A} e {B} é a mesma que a distância entre {B} e {A}.

Já o axioma 3 é bastante conhecido desde a Geométria elementar e dos três é o menos intuitivo.

Do axioma 3 obtemos por indução a desigualdade triângular generalizada:

\displaystyle  d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\cdots+d(x_{n-1},x_{n}) \ \ \ \ \ (1)

Um subespaço {(Y,\rho)} de um espaço métrico {(X,d)} é obtido se tomarmos o subconjunto {Y\subset X} e restringirmos {d} a {Y\times Y}, assim a métrica em {Y} é a restrição

\displaystyle \rho=d\mid _{Y\times Y}

Comentário 2 A partir de agora, quando não houver perigo de confusão designaremos o espaço métrico pela letra {X}.

— 1.1. Exemplos de Espaços Métricos —

Consideremos alguns exemplos de espaços métricos.

Exemplo 2 1. O conjunto dos Números Reais {\mathbb{R}}. Munido com a distância:

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid

Esta é com certeza a distância mais famosa em matemática, pois quase toda a análise elementar é feita usando esta métrica e é também bastante intuitiva, vamos provar que os números reais com essa distância é de facto um espaço métrico. Demonstração: (i) Vamos verificar o primeiro axioma, {d(x,y)\geq 0} e {x=y \Longleftrightarrow d(x,y)=0}. Então temos,

\displaystyle d(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow d(x,y)=\mid x-y\mid \geq 0

o que é evidente pela definição de módulo. Resta demosntrar a segunda parte do axioma 1, temos então

\displaystyle d(x,y)= 0 \Longleftrightarrow \mid x-y \mid =0

\displaystyle \Longleftrightarrow x-y=0

\displaystyle \Longleftrightarrow x=y

a reciproca é evidentemente verdadeira, se tomarmos {x=y} então {d(x,x)=0}.

(ii)O segundo axioma também é simples de demontrar,

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid =\mid (-1).(y-x)\mid = \mid (-1)\mid \mid y-x\mid =\mid y-x\mid = d(y,x)

(iii)Para demosntrarmos a desigualdade triângular vamos precisar da desigualdade triângular nos reais, i.e.,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid

Fazendo uso de um pequeno artifício temos,

\displaystyle (x-y)=(x-z)+(z-y)

Então,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid (x-z)+(z-y)\mid \leq \mid x-z\mid +\mid z-y\mid

assim demosntramos que o par {(\mathbb{R},d)} é um espaço métrico. \Box

Por exemplo se tomarmos dois números quaisquer na recta real, {x=1} {y=2.5} a distância entre eles é de {d(1,2.5)=\mid 1-2.5\mid =1.5}, esta métrica tabém pode ser chamada de métrica da régua, pois ela nos permite calcular a distância entre dois pontos numa régua.

2. O espaço métrico discreto {X}. Ao tomarmos qualquer conjunto {X\neq \emptyset} podemos definir nele a seguinte métrica,

\displaystyle  \rho(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.

Vamos mostrar que {\rho} é de facto uma métrica. Demonstração: De facto, os axiomas (i) e (ii) da definição de espaço métrico são evidentemente satisfeitos pela maneira como {\rho} está definida.Resta-nos apenas provar o axioma 3 da definição. Dados {x, y \in X} temos duas alternativas:

  • Se {x=y}\, então\, {\rho(x,y)=0}. Substituindo este resultado no axioma 3 da definição devemos provar que

    \displaystyle 0\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    como por definição {\rho(x,z)\geq 0} e {\rho(z,y)\geq 0} temos que a desigualdade é satisfeita trivialmente.

  • Se {x\neq y} então ou {x\neq z} ou {z\neq y} (caso contrário, i.e., se {x=y} e {z=y} então {x=y}, contrariando a hipótese); Sendo assim temos {\rho(x,y)=1} e ou {\rho(x,z)=1} ou {\rho(z,y)=1}.Em qualquer situação a desigualdade

    \displaystyle \rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    \displaystyle 1\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    estará satisfeita

\Box

Comentário 3 É importante tomarmos nota de que a métrica discreta se definida em qualquer conjunto, independentemente da natureza de seus objectos, torna-o num espaço métrico, e.g., se tomarmos {Y=\{y\mid y\text{ é uma banana}\}} o conjunto formado por todas as bananas existentes em todos os universos possiveis, então o par {(Y,\rho)} é um espaço métrico.

3. Métricas sobre o {\mathbb{R}^2}. Como haviamos dito mais acima, sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas, vamos agora construir três métricas muito famosas em {\mathbb{R}^2} mas a demonstração de que elas de facto são métricas deixamos para o leitor (em caso de duvida podes nos contactar).

  • Consideremos a aplicação {d_{1}: \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+} onde {d_{1}} está definida da seguinte forma:

    \displaystyle d_{1}(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 +(x_{2}-y_{2})^2}

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A fórmula acima nada mais é que a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no plano, reparem que {x,y \in \mathbb{R}^2} e por isso eles são pares ordenados, isto é, têm duas componentes, já que {\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x\in \mathbb{R} \text{ e } y \in \mathbb{R} \}}. Deixamos ao leitor a tarefa de provar que o par {(\mathbb{R}^2,d_{1})} é um espaço métrico.

  • Consideremos agora a aplicação {d_{2}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definida por

    \displaystyle d_{2}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A métrica {d_{2}} é conhecida como métrica do taxi.

  • Em último lugar a aplicação {d_{3}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definimos a métrica do máximo da seguinte forma:

    \displaystyle d_{3}(x,y)=max \{\mid x_{1}-y_{1}\mid, \mid x_{2}-y_{2}\mid\}

4. O espaço {\mathbb{R}^n}. A métrica {d_{1}} é uma generalização da métrica em {\mathbb{R}}, já a métrica em {\mathbb{R}^n} é uma generalização para qualquer {n\geq 1} natural, e é formado pelas sequências de {n} números reais {x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})} munidos da distância:

\displaystyle  d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}

O par {(\mathbb{R}^n,d_{n})} denomina-se espaço euclidiano de dimensão {n}. A demonstração desse facto será feita na proxíma aula.

5. O espaço das sequências limitadas {l^{\infty}}. Seja {X} o conjunto de todas sequências limitadas de números complexos {\mathbb{C}}; Isto é cada elemento de {X} é uma sequência

\displaystyle  x=(x_{1},x_{2},\cdots)\text{ ou } x=\{x_{i}\}_{i=1}^\infty

tal que {\forall i} temos,

\displaystyle \mid x_{i}\mid \leq k_{x}

onde {k_{x}} é um número real que depende de {x} mas não de {i}. Definimos a métrica da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=\sup_{i\in \mathbb{N}}\mid x_{i}-y_{i}\mid

onde {y=\{y_{i}\}_{i=1}^\infty} e {\sup} denota o supremo. O espaço {l^\infty} é um espaço de sequências e portanto discreto, este facto será muito importante quando falarmos da noção de separabilidade.

6. O espaço {C[a,b]}. No conjunto {X} tomamos o conjunto de todas as funções com valores reais {x,y,z,\cdots} de uma variável independente {t} definidas num intervalo fechado {[a,b]}. Escolhemos a métrica definida por

\displaystyle  d(x,y)=\max_{t\in [a,b]}\mid x(t)-y(t)\mid

onde {\max} denota o máximo do modulo da diferença. Este é um espaço de funções já que os pontos desse espaço são funções.

É claro que existem muitos espaços métricos, e como já sabemos sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas. Temos também exemplos de como provar se uma aplicação é ou não uma métrica, resta-nos emfim mostrar uma maneira simples de mostrarmos que uma dada aplicação não é uma métrica.

Comentário 4 Em geral, ao tentarmos provar que uma dada aplicação não é uma métrica sobre um conjunto, devemos tentar dar um contraexemplo que demonstre que pelo menos um dos axiomas da (Definição 1.1) não é satisfeita.
Exemplo 3 Demonstrar que a aplicação {d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^+} definida por

\displaystyle d(x,y)=(x-y)^2

não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. Demonstração: À primeira vista a aplicação acima parece-nos estranha, e é evidente fazendo simples cálculos que ela satisfaz os dois primeiros axiomas da definição de espaços métricos,mas ao chegarmos na desigualdade triângular é facíl notarmos que não parece existir uma maneira dela ser satisfeita, desta forma devemos brincar um pouco com os números, basta encotrarmos três números reais (já que nesse caso {X=\mathbb{R}}) e mostrarmos que a desigualdade triângular não é satisfeita. Dessa forma, sejam {x=1}, {y=4} e {z=3}, logo {d(1,4)=(1-4)^2=9}, {d(1,3)=4} e {d(3,4)=1}, substituindo na desigualdade triângular temos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\Longleftrightarrow 9\leq 4+1=5

o que é obviamente falso, logo {d} não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. \Box

Assim chegamos ao fim de nossa primeira aula de Introdução à Análise Funcional, não se esqueçam de resolver os problemas abaixo e em caso de dúvidas nos contactar a partir do blog deixando um comentário, antes da próxima aula postaremos a solução dos problemas.

Problemas Propostos

Exercício 1 Mostre que a aplicação {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} define uma métrica sobre {\mathbb{R}}.(Sugestão: use a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}})
Exercício 2 Das aplicações definidas abaixo, demonstre quais delas define uma métrica e para as que não definem dê um contraexemplo:

  • {d_{1}(x,y)=\mid x^2 - y^2\mid}.
  • {d_{2}(x,y)=\mid 3x^2 -2y\mid }.
  • {d_{3}(x,y)=\frac{\mid x-y\mid}{1-\mid x-y\mid}}.
Exercício 3 Seja {d} uma métrica em {X}. Determine todas as constantes {k} tais que (i){kd}, (ii){d+k} sejam métricas em {X}.
Exercício 4 Usando a desigualdade triângular mostre que

\displaystyle \mid d(x,z)-d(y,z)\mid \leq d(x,y)

Exercícios Resolvidos

— 1. Introdução —

A pedido de um dos nossos leitores vamos publicar alguns exercícios resolvidos para ajudá-lo a ele e aos seus colegas na compreensão da matéria de Cálculo I para o curso de Gestão e Economia.

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Considera a sucessão {U_n} definida por: {U_n=\frac{n+1}{n}}.

  1. Calcule os 4 primeiro termos de {U_n}

    {U_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}

    {U_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}}

    {U_3=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}}

    {U_4=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{4}}

  2. Verifica se {\frac{6}{5}} é um termo da sucessão

    Para que {\frac{6}{5}} seja um termo da sucessão {U_n} tem que existir um {n} pertencente a {\mathbb{N}} tal que {U_n=\frac{6}{5}}.

    {\begin{aligned} \displaystyle \frac{6}{5}&= \frac{n+1}{n} \\ 6n &= 5n+5\\ 6n-5n &= 5\\ n &= 5 \end{aligned}}

    Como {n=5} é uma afirmação válida podemos concluir que {\frac{6}{5}} é um termo da sucessão.

  3. {\exists N \in \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}

    {\begin{aligned} \displaystyle \frac{7}{8}&= \frac{n+1}{n} \\ 7n &= 8n+8\\ 7n-8n &= 8\\ -n &= 5 \\ n &= -8 \end{aligned}}

    Como {n=-8} é uma afirmação que não é válida podemos que concluir que {n \nexists \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}

  4. Mostre que {a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{(n+1)n}}. Que monotonia se trata?

    {\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{(n+2)n-(n+1)^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{n^2-2n-n^2-2n-1^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{-1}{(n+1)n} \\ &= -\frac{1}{(n+1)n} \end{aligned}}

    Uma vez que a diferença entre termos sucessivos da sucessão {U_n} é negativa temos a seguinte relação:

    \displaystyle  a_{n+1}-a_n < 0

    Ora isto implica que

    \displaystyle  a_{n+1} < a_n

    Assim sendo vemos que os termos sucessivos são sempre menores que os termos anteriores, logo a sucessão {U_n} tem uma monotonia decrescente.

Exercício 2 Prove que a sucessão de termo geral

\displaystyle  a_n=\frac{3n-4}{2n-1}

é uma sucessão crescente.

Tal como vimos no exercício anterior para calcularmos a monotonia de uma função temos que calcular o termo

\displaystyle  a_{n+1}-a_n

{\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{3(n+1)-4}{2(n+1)-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n+3-4}{2n+2-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n-1}{2n+1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{(3n-1)(2n-1)-(3n-4)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-(6n^2+3n-8n-4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-6n^2-3n+8n+4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{5}{4n^2-1} \end{aligned}}

Uma vez que

\displaystyle  a_{n+1}-a_n=\frac{5}{4n^2-1}

E que

\displaystyle \frac{5}{4n^2-1}>0

Temos que

\displaystyle  a_{n+1}-a_n>0

E assim é

\displaystyle  a_{n+1}> a_n

Logo {a_n} é uma sucessão crescente.

Exercício 3

Dada a sequência do exemplo anterior, justifique que são limitadas as seguintes sucessões

  • {a_n=10+\frac{1}{n}}

    Ora {a_1=10+\frac{1}{1}=10+1=11}

    Por outro lado vamos calcular o limite da sucessão.

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim a_n &= \lim 10+\frac{1}{n}\\ &= 10+0\\ =10 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  10 \leq a_n \leq 11

    A sucessão diz-se limitada.

  • {u_n=\frac{n+1}{n}}

    {u_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim u_n &= \lim \frac{n+1}{n}\\ &= 1 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  1 \leq u_n \leq 2

    A sucessão diz-se limitada.

  • {d_n=\frac{3-n}{n+1}}

    {d_0=\frac{3-0}{0+1}=\frac{3}{1}=3}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= \lim \frac{3-n}{n+1}\\ &= \lim \frac{-n}{n}\\ &= -1 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  -1 \leq u_n \leq 3

    A sucessão diz-se limitada.

  • {d_n=n+\frac{1}{n}}

    {d_1=1+\frac{1}{1}=1+1=2}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= n+\frac{1}{n}\\ &=\lim n+0\\ &= +\infty \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  \lim d_n=+\infty

    A sucessão diz-se não limitada.

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