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Análise Matemática – Cálculo Diferencial I

— 7. Cálculo Diferencial —

Definição 37

Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. { {f}} diz-se diferenciável no ponto { {c}} se o seguinte limite existe

\displaystyle   \displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (53)

Este limite é representado por { {f'(x)}} e diz-se que é a derivada de { {f}} em { {c}}.

Geometricamente podemos interpretar o valor da derivada no ponto {c} como sendo igual ao declive da recta tangente à curva que passa pelo ponto {c}.

Pensando em termos cinemáticos sabemos que podemos representar a evolução da posição de uma partícula pela função { {x=f(t)}}. Deste modo podemos definir a velocidade média da partícula no intervalo { {[t_0,t]}} por

\displaystyle  v_m(t_0,t)=\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}

Se quisermos determinar a velocidade da partícula num dado instante de tempo temos que partir da definição anterior e fazer com que o intervalo de tempo seja o mais pequeno e próximo possível do instante para o qual queremos saber a velocidade. Se { {f}} é uma função bem comportada o limite existe e podemos defini-lo como sendo o valor da velocidade no instante (velocidade instantânea):

\displaystyle  v(t_0)=\lim_{t\rightarrow t_0}v_a(t_0,t)=\lim_{t\rightarrow t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=f'(t_0)

Assim o conceito de derivada serve para unificar dois conceitos que à partida eram distintos:

  • O conceito de recta tangente a uma curva, que é um conceito puramente geométrico.
  • O conceito de velocidade instantânea, que é um conceito puramente cinemático.

O facto de dois conceitos aparentemente díspares serem unificados por um objecto matemático é uma indicação da importância e profundidade do conceito de derivação.

Definição 38

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {c\in D\cap D_{c^+}'}}, podemos definir a derivada à direita de {f} em { {c}} por

\displaystyle   f_+'(c)=\lim_{x\rightarrow c^+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (54)

Definição 39

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {c\in D\cap D_{c^-}'}}, podemos definir a derivada à esquerda de {f} em { {c}} por

\displaystyle   f_-'(c)=\lim_{x\rightarrow c^-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (55)

Definição 40

Se { {c\in D_{c^+}\cap D_{c^-}}}, dizemos que { {f'(c)}} existe sse { {f_+'(c)}} e { {f_-'(c)}} existem e são iguais.

Definição 41

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} diferenciável em { {D}}. A função { {x \in D \rightarrow f'(x)\in\mathbb{R}}} é chamada de função derivada de { {f}} e é representada por { {f'}}.

Definição 42

Fazendo a mudança de variável { {h=x-c}} na Definição 37 podemos definir a derivada de uma função num ponto através da expressão:

\displaystyle   f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ \ \ \ \ (56)

Finalmente vamos introduzir a notação de Leibniz para denotar a derivada de {f}:

  • { {\Delta x}} representa o incremento em { {x}}.
  • { {\Delta f = f(x+h)-f(x)}} representa o incremento em { {y}}.

Se os incremento são infinitamente pequenos, ou seja, se os incrementos são infinitesimais podemos representa-los por

  • { {dx}} é o acréscimo infinitesimal em { {x}}.
  • { {df}} é o acréscimo infinitesimal em { {y}}.

Assim podemos escrever a derivada como

\displaystyle  f'(x)=\frac{df}{dx}

Como exemplo vamos calcular a derivada da função { {f(x)=e^x}}.

{ {\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=e^x\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^h-1}{h}\\ &=e^x \end{aligned}}}

Para { {x\in\mathbb{R}}}.

Como outro exemplo vamos agora calcular a derivada de { {f(x)=\log x}}

{ {\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log (x+h)-\log x}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log \left(x(1+h/x)\right)-\log x}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log (1+h/x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{h/x}{h}\\ &=1/x \end{aligned}}}

Para { {x\in\mathbb{R}}}.

Fica como um exercício para o leitor demonstrar as seguintes igualdades:

  • { {(\sin x)'=\cos x}}.
  • { {(\cos x)'=-\sin x}}.
Teorema 57 Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. Se { {f}} é diferenciável em { {c}}, existe uma função contínua { {\varphi:D\rightarrow\mathbb{R}}} com um zero em { {c}} tal que:

\displaystyle   f(x)=f(c)+\left( \left( f'(c)+\varphi(x) \right) (x-c) \right)\quad x\in D \ \ \ \ \ (57)

Demonstração:

Definindo { {\varphi (x)}} por:

{ \displaystyle f(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c) \quad \mathrm{se}\quad x \in D\setminus \{c\}\\ 0 \quad \mathrm{se}\quad x =c \end{cases}}

Uma vez que { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\varphi (x)=\lim_{x\rightarrow c} \left(\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c)\right)=(f'(c)-f'(c)=0 }}, vem que { {\varphi}} é contínua em { {c}}.

Para completar a nossa demonstração o leitor terá que mostrar que a nossa construção de { {\varphi}} faz com que a igualdade do teorema seja válida. \Box

Corolário 58

Seja { {f=D\rightarrow\mathbb{R}}} diferenciável em { {c}}. Então é { {f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+o(x-c)}} quando { {x\rightarrow c}}

Demonstração:

Seja { {r(x)=\varphi (x)(x-c)}}. Utilizando o Teorema 57 vem que

\displaystyle  f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+r(x)

Uma vez que { {\lim_{x\to c}\varphi (x)=\varphi (c)=0}} vem que { {r(x)=o(x-c)}} quando { {x\rightarrow c}}. \Box

Corolário 59

Seja { {f}} diferenciável em { {c}}. Então { {f}} é contínua em { {c}}

Demonstração:

Do Teorema 57 é

{ {\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow c} f(x)&=\lim_{x\rightarrow c}(f(c)+(f'(c)+\varphi (x))(x-c))\\ &=f(c) \end{aligned}}} \Box

Do Corolário 59 segue que todas as funções diferenciáveis são necessariamente contínuas. Será que o recíproco deste Corolário também é uma proposição válida?

A resposta a esta questão é: Não! Como um simples contraexemplo temos a função módulo.

Que é uma função contínua mas não é diferenciável pois no ponto {0} a derivada não existe. Uma maneira simples de ver que a derivada em {0} não existe é notar {f'_+=1} enquanto que {f'_-=-1}.

Dito de uma forma informal vemos que a derivada de uma função num dado ponto não existe sempre que a função tenha forma de um bico nesse ponto.

Um exemplo mais extremo de uma função que é contínua mas não é diferenciável é a função de Weierstrass:

\displaystyle  \sum_{n=0}^\infty a^n\cos\left( b^n\pi x \right)

com { {0<a<1}}, { {b}} um número ímpar positivo, e { {ab>1+3/2\pi}}.

Esta função é contínua em todos os pontos do seu domínio e no entanto não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio. Na nossa linguagem informal, que corresponde a uma intuição geométrica ingénua, podemos dizer que a função de Weierstrass tem bicos em todos os pontos do seu domínio, algo que não é fácil de visualizar.

Análise Matemática – Limites e Continuidade VII

— 6. Propriedades globais de funções contínuas —

Teorema 51 {Teorema do valor intermédio} Seja { {I=[a,b] \in \mathbb{R}}} e { {f: I \rightarrow \mathbb{R}}} contínua. Seja { {u \in \mathbb{R}}} tal que { {\inf(I)<u<\sup(I)}}, então existe { {c \in I}} tal que { {f(c)=u}}.

Demonstração: Omitida. \Box

De uma forma intuitiva podemos dizer que o teorema anterior mostra que se o gráfico de uma função contínua não tem buracos se o domínio dessa função também não tem buracos.

Corolário 52 Seja { {[a,b]}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Vamos admitir que { {f(a)f(b)<0}}. Então { {\exists c \in ]a,b[}} tal que { {f(c)=0}}.

Demonstração: O contradomínio de { {f}} contém valores maiores que { {0}} e valores menores que { {0}}. Logo { {\sup f(I)>0}} e { {\inf f(I)<0}}. Assim { {0}} está estritamente compreendido entre o ínfimo e o supremo do contradomínio de { {f}}. Por hipótese a função não se anula nas extremidades do intervalo, logo o valor { {0}} tem que ocorrer dentro do intervalo. \Box

Corolário 53 Seja { {I\in\mathbb{R}}}, { {f:I\rightarrow\mathbb{\mathbb R}}} uma função contínua. Então { {f(I)}} também é um intervalo.

Demonstração: Seja { {\alpha=\inf(I)}} e { {\beta=\sup(I)}}. Por definição de ínfimo e supremo é { {f(I)\subset [\alpha , \beta]}}. Usando o Teorema 51 vem que { {]a,b[\subset f(I)}}. Assim temos quatro possibilidades para { {f(I)}}:

{f(I)=\begin{cases}{\alpha , \beta} \\ ]\alpha , \beta] \\ [\alpha , \beta[ \\ ]\alpha , \beta[ \end{cases}} \Box

Como uma aplicação dos resultados anteriores vamos olhar para { {P(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0}} com { {n}} ímpar e { {a_n > 0}}. Sabemos que é { {P(x)\sim a_nx^n}} para grandes valores (sejam eles positivos ou negativos) de { {x}}. Temos { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} P(x)=+\infty}} e { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} P(x)=-\infty}}.

Uma vez que

  • { {P(x)}} é uma função contínua.
  • O domínio, { {D}} de { {P(x)}} é { {\mathbb{R}}} que é um intervalo.
  • { {\sup(D)=+\infty}} e { {\inf(D)=-\infty}}, o que implica que { {P[\mathbb{R}]=]-\infty, +\infty[}}

Pelo Corolário 52 é { {0\in P[\mathbb{R}]}}. O que implica que todos os polinómios ímpares têm pelo menos um { {0}}.

Teorema 54 {Continuidade da função inversa} Seja { {I}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} uma função contínua e monótona. Então { {f^{-1}}} também é contínua e monótona.

Demonstração: Omitida. \Box

Este teorema tem muitas aplicações importantes e vamos utiliza-lo para definir as funções inversas das funções trigonométricas.

— Arco seno —

No intervalo { {[-\pi/2,\pi/2]}} a função { {\sin x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função seno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função seno por {\arcsin}:

\displaystyle y=\sin x\quad\mathrm{com}\quad x\in [\pi/2,\pi/2]\Leftrightarrow x=\arcsin x

Uma vez que temos { {\sin x:[-\pi/2,\pi/2]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arcsin x:[-1,1]\rightarrow [-\pi/2,\pi/2]}}. Usando o Teorema 54 { {\arcsin}} é contínua.

A representação gráfica de { {\arcsin x}} é

É evidente pelo gráfico que { {\arcsin x}} é uma função ímpar.

— Arco tangente —

No intervalo { {]-\pi/2,\pi/2[}} a função { {\tan x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função tangente neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função tangente por {\arctan}:

\displaystyle y=\tan x\quad\mathrm{com}\quad x\in ]\pi/2,\pi/2[\Leftrightarrow x=\arctan x

Uma vez que { {\tan x:]-\pi/2,\pi/2[\rightarrow]-\infty,+\infty[}} vem que { {\arctan x:]-\infty,+\infty[\rightarrow ]-\pi/2,\pi/2[}}. Usando o Teorema 54 {\arctan} é contínua.

A representação gráfica de {\arctan} é

É evidente pelo gráfico que {\arctan} é uma função ímpar.

— Arco coseno —

No intervalo { {[0,\pi]}} a função { {\cos x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função coseno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função coseno por {\arccos}:

\displaystyle y=\cos x\quad\mathrm{com}\quad x\in [0,\pi]\Leftrightarrow x=\arccos x

Uma vez que { {\cos x:[0,\pi]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arccos x:[-1,1]\rightarrow [0,\pi]}}. Usando o Teorema 54 {\arccos} é contínua.

A representação gráfica de {\arccos} é

Podemos ainda representar a função arco coseno usando a seguinte equação

\displaystyle \cos=\sin(\pi/2-x)

para escrever

\displaystyle \arccos y=\frac{\pi}{2}-\arcsin y

— 6.4. Funções contínuas e intervalos —

Teorema 55 Seja { {[a,b]\subset \mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}}. Então { {f}} tem um máximo e um mínimo.

Demonstração: Seja { {E}} o contradomínio de { {f}} e { {s=\sup E}}. Pelo Teorema 17 no artigo Análise Matemática – Sucessões II existe uma sucessão { {y_n}} de pontos em { {E}} tal que { {\lim y_n=s}}.

Uma vez que os termos de { {y_n}} são pontos de { {f}}, para cada { {n}} existe { {x_n\in [a,b]}} tal que { {y_=f(x_n)}}.

Uma vez que { {x_n}} é uma sucessão cujo domínio é um intervalo compacto { {[a,b]}}, pelo Corolário 27 sabemos que existe uma subsucessão { {x_{\alpha n}}} de { {x_n}} que converge para um ponto de { {[a,b]}}.

Seja { {c\in [a,b]}}tal que { {x_n\rightarrow c}}.

Uma vez que { {f}} é contínua em { {c}} vem, pela definição de continuidade, que { {\lim f(x_{\alpha n})=f(c)}}. mas { {f(x_{\alpha n})=y_{\alpha n}}}, que é uma subsucessão de { {y_n}}. Visto que { {y_n\rightarrow s}} também é { {y_{\alpha n}\rightarrow s}}.

Mas { {y_{\alpha n}=f(x_{\alpha n})\rightarrow f(c)}}.

Concluindo vem que { {s=f(c)}}, logo { {s\in E}}. Ou seja { {s=\max E}}.

Para o mínimo podemos construir uma prova análoga que fica como um exercício para o leitor. \Box

Uma mnemónica útil para recordamos o teorema anterior é

Funções contínuas têm um máximo e um mínimo num intervalo compacto.

Teorema 56 Seja { {I}} um intervalo compacto de { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Então { {f(I)}} é um intervalo compacto.

Demonstração: Pelo Corolário 53 { {f(I)}} é um intervalo. Pelo Teorema 55 { {f(I)}} tem um máximo e um mínimo.

Assim { {f(I)}} é da forma { {[\alpha , \beta]}}.

Logo { {f(I)}} é um intervalo limitado e fechado, que é a definição de um intervalo compacto. \Box

O corolário anterior pode ser expressado da seguinte forma (mais uma mnemónica útil):

Uma função contínua transforma intervalos compactos em intervalos compactos.

Análise Matemática – Limites e Continuidade VI

— 5. Exemplos de propriedades para funções contínuas —

Definição 36 Seja {{D \subset \mathbb{R}}}; {{f: D\rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D'\setminus D}}. Se {{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=a\in \mathbb{R}}}, podemos definir o prolongamento por continuidade de {f}, que se representa por {{\tilde{f}}} como:

\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} f(x) \quad x \in D \\ a \quad x=c \end{cases} \ \ \ \ \ (47)

 

Como uma aplicação da definição acima vamos estudar a função {{f(x)= \sin x/x}}. Temos {{D= \mathbb{R}\setminus \{0\}}}. Uma vez que {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sin x/x=1}} podemos definir {{\tilde{f}}} como

\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} \sin x/x \quad x \neq 0 \\ 1 \quad x=0 \end{cases}

Como segundo exemplo temos {{f(x)=1/x}}. Uma vez que {{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty}} e {{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty}} não podemos definir {{\tilde{f}}} para {{1/x}}. Finalmente temos a função {{f(x)=1/x^2}}. Sabemos que é {{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=+\infty}}. Ainda que os limites sejam iguais não podemos definir {{\tilde{f}}}, visto que a função não é majorada. Em geral podemos dizer que dado {{f: D\rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D'\setminus D}} {{\tilde{f}}} existe, sse {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}f(x)}} existe e é finito.

Teorema 42 Seja {{D \subset \mathbb{R}}}; {{f,g: D\rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D}}. Se {{f}} e {{g}} são funções contínuas, então {{f+g}}, {{fg}} e (se {{g(c)\neq 0}}){{f/g}} também são funções contínuas.

Demonstração: Vamos mostrar que {{fg}} é contínua e deixar os outros casos para o leitor. Seja {{x_n}} uma sucessão de pontos em {{D}} tal que {{x_n \rightarrow c}}. Então {{f(x_n) \rightarrow f(c)}} e {{g(x_n) \rightarrow c}} (dado que {{f}} e {{g}} são funções contínuas). Logo {{f(x_n)g(x_n) \rightarrow f(x)g(x)}} da propriedade {{6}} do Teorema 19. E isto é a nossa definição de uma função contínua. \Box

Seja {{f(x)=5x^2-2x+4}}. Tomemos {{f_1(x)=5}}, {{f_2(x)=-2}} e {{f_3(x)=4}}. Já sabemos que as funções anteriores são funções contínuas. Ora {{f_4(x)=x^2}} e {{f_5(x)=x}} também são funções contínuas. {{f_6(x)=-2x}} é contínua visto ser o produto de {{2}} funções contínuas. Finalmente {{f(x)=5x^2-2x+4}} é contínua visto ser a soma de funções contínuas.

Teorema 43 (Continuidade da Função Composta) Seja {{D, E \subset \mathbb{R}}}, {{g: D\rightarrow E}}, {{f: E \rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D}}. Se {{g}} é contínua em {{c}} e {{f}} é contínua em {{g(c)}}, então a função composta {{f \circ g (x)=f(g(x)) }} é contínua em {{c}}.

Demonstração: Seja {{x_n}} uma sucessão de pontos em {{D}} com {{x_n \rightarrow c}}. Assim {{\lim g(x_n)=g(c)}}. Se {{f}} é contínua em {{g(c)}} sabemos que {{\lim f(g(x_n))=f(g(c))}}. Isto é {{\lim (f \circ g)(x_n)= (f \circ g)(c)}}. Logo {{f \circ g}} é contínua em {{c}}. \Box

Como uma aplicação do teorema anterior vamos estudar a função {{f(x)=a^x}}. Visto que {{a^x=e^{\log a^x}=e^{x \log a}}}, podemos escrever {{a^x=e^t \circ t=x\log a}}. {{f(t)=e^t}} é contínua e {{g(x)=x \log a}} também é contínua. Assim {{a^x}} também é contínua visto resultar da composição de duas funções contínuas. Pelo mesmo argumento também podemos mostrar que para {{\alpha \in \mathbb{R}}}, {{x^\alpha}} (com {{x \in \mathbb{R}^+}}) é contínua em {{\mathbb{R}^+}}.

Teorema 44 Seja {{D, E \subset \mathbb{R}}}, {{g: D\rightarrow E}}, {{f: E \rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D'}}. Suponha que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a}} e que {{\displaystyle \lim_{t \rightarrow a}f(t)}} existe. Se {{f}} é contínua então {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(g(x))=\lim_{t \rightarrow a}f(t)}}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Calcule {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)}}. Podemos escrever {{\sin (1/x)= \sin t \circ (t=1/x)}}. Uma vez que é {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty}(1/x)=0}} vem que, pelo Teorema 44 que, {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\sin t =0}}. Em geral podemos dizer que se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)= a \in \mathbb{R}}} vem que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sin (g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow a} \sin t = \sin a}}. Concluindo:

\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\sin (g(x))=\sin (\lim_{x \rightarrow c}g(x))

Vamos admitir que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}} e seja {{\tilde{f}}} a função que torna {{\sin x/x}} contínua em {{x=0}}. Temos {{\sin x =x \tilde{f}(x)}}, logo também é {{\sin g(x) = \tilde{f}(g(x))g(x)}}. Por definição {{\tilde{f}}} é contínua. Logo pelo Teorema 44 {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}f(g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\tilde{f}(t)=1}}. Assim podemos concluir que quando temos {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}} vem que

\displaystyle \sin (g(x))\sim g(x)\quad (x \rightarrow c)

Por exemplo {{\sin (x^2-1) \sim (x^2-1)\quad (x \rightarrow 1)}}. Seja {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a \in \mathbb{R}}}. Pelo Teorema 44 é {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} e^{g(x)}=\lim_{t \rightarrow a}e^t=e^a}} (com as convenções {{e^{+\infty}=+\infty}} e {{e^{-\infty}=0}}). Logo {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}e^{g(x)}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}g(x)}}}. De forma análoga podemos mostrar que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \log g(x)= \log (\lim_{x \rightarrow c}g(x))}} com as convenções {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \log g(x)=+\infty}} e {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \log g(x)=-\infty}}). Seja {{a>1}}. Temos {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}a^x =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x\log a}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} x\log a}=+\infty }} (visto {{\log a>0}}). Por outro lado, para {{\alpha > 0}} também é {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^\alpha =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{\alpha \log x}= e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\alpha \log x}=+\infty}}. O que nós queremos saber é qual é o valor de {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{a^x}{x^\alpha} }}, visto que a resposta a esta pergunta nos dirá qual das funções cresce mais rápido.

Teorema 45 Seja {{ a<1}} e {{\alpha > 0}}. Então

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=+\infty \ \ \ \ \ (48)

  Demonstração: Seja {{b=a^{1/(2\alpha)}}} ({{b>1}}). É {{a=b^{2\alpha}}}. Uma vez que {{a^x=b^{2\alpha x}}}. Para além disso é {{\dfrac{a^x}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{\sqrt{x}^{2\alpha}}}}. que é

\displaystyle \frac{a^x}{x^\alpha}=\left( \frac{b^x}{\sqrt{x}} \right)^{2\alpha} \ \ \ \ \ (49)

  Seja {{[x]}} a parte inteira de {x} e usando a desigualdade de Bernoulli ({{b^m\geq 1+ m(b-1)}}) é {{b^x\geq x^{}[x]\geq 1+[x](b-1)>[x](b-1)>(x-1)(b-1)}}. Assim {{\dfrac{b^x}{\sqrt{x}}>\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}(b-1)=\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)}}. Uma vez que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)=+\infty}} segue do Teorema 32 que {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{b^x}{\sqrt{x}}=+\infty}}. Usando 49 e tomando {{t=b^x/\sqrt{x}}} vem que {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=\displaystyle\lim_{t \rightarrow +\infty}t^{2\alpha}=+\infty}}. \Box

Podemos sintetizar o conteúdo do teorema anterior na seguinte forma:

A exponencial de base {>1} cresce mais rapidamente que qualquer potência do seu expoente.

Corolário 46 Seja {{\alpha > 0}}, então

\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^\alpha}{\log x}=+\infty

Demonstração: Fica com um exercício para o leitor. Lembre-se de fazer a mudança de variável apropriada. \Box

Teorema 47 Seja {{a>1}}, então {{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}}}=0.

Demonstração: Primeiro relembramos que {{\log n!=n\log n -n + O(\log n)}} que é a aproximação de Stirling. Uma vez que {{\dfrac{\log n}{n} \rightarrow 0}} também é {{\dfrac{O(\log n)}{n} \rightarrow 0}}. e

\displaystyle \dfrac{a^n}{n!}=e^{\log (a^n/n!)}=e^{n\log a - \log n!}

Logo

\displaystyle \lim \dfrac{a^n}{n!}=e^{\lim(n\log a - \log n!)}

Para o argumento da função exponencial é {{\begin{aligned} \lim(n\log a - \log n!) &= \lim n\log a-n\log n+n-O(\log n) \\ &=\lim \left(n\left(\log a -\log n+1 -\dfrac{O(\log n)}{n}\right)\right) \\ &=+\infty\times -\infty=-\infty \end{aligned}}}

O que resulta em {{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}=e^{-\infty}=0}}. \Box

Lema 48

\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=e \ \ \ \ \ (50)

  Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Teorema 49

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1 \ \ \ \ \ (51)

  Demonstração: Será demonstrado como um exercício. \Box

Corolário 50

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \ \ \ \ \ (52)

  Demonstração: Deixado como um exercício para o leitor. Faça a mudança de variável {{e^x=t+1}} e use o Teorema 49 \Box

Generalizando os resultados anteriores podemos escrever:

  • {{\sin g(x) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}} se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}
  • {{\log (1+g(x)) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}} se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}
  • {{e^{g(x)}-1 \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}} se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}

Análise Matemática – Limites e Continuidade V

A condição {\epsilon\delta}, por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição {\epsilon\delta} para limites e a definição {\epsilon\delta} para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.

De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição {\epsilon\delta}.

— 4.7. {\epsilon\delta} para continuidade —

Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.

Seja {f(x)=\alpha} (que é uma função obviamente contínua!).

O ponto de utilizarmos o argumento {\epsilon\delta} para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do {\delta} escolhido conseguimos sempre encontrar um {\epsilon} que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.

Voltando à nossa função {f(x)=\alpha} vem que {|f(x)-f(c)| < \delta}. Neste caso temos {f(x)=f(c)=\alpha}. Assim

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha-\alpha| &< \delta \\ |0| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}

Que é trivialmente válido, uma vez que {\delta > 0} por hipótese. Assim qualquer valor positivo de {\epsilon} satisfaz o critério de Heine para a continuidade e {f(x)=\alpha} é contínua em {c}.

Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a {c} para além de que {c \in {\mathbb R}} podemos concluir que {f(x)=\alpha} é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Vamos agora analisar {f(x)=x} e novamente vamos estudar a continuidade no ponto {c} ({f(c)=c}):

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |x-c| &< \delta \end{aligned}}

A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma {x-c} (a primeira parte do critério {\epsilon\delta}).

Se tomarmos {\epsilon=\delta} fica então {|x-c| < \epsilon} o que completa a nossa demonstração que {f(x)=x} é contínua em {c}.

Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de {c} para além de que {c \in {\mathbb R}} e como tal concluímos que {f(x)=x} é contínua no seu domínio.

Vamos agora olhar para funções da forma {f(x)=\alpha x + \beta} e estudar a continuidade de {f(x)} em {c}.

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha x + \beta-(\alpha c + \beta)| &< \delta \\ |\alpha x -\alpha c| &< \delta \\ |\alpha||x-c| &< \delta \\ |x-c| &< \dfrac{\delta}{|\alpha|} \end{aligned}}

Se tomarmos {\epsilon=|\delta|/ |\alpha|} vem que {|x-c|< \epsilon} e {f(x)=\alpha x + \beta} é contínua em {c}.

Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função {f(x)=\sin x}.

{\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\sin x-\sin c| &< \delta \end{aligned}}

Uma vez que queremos algo da forma {|x-c| < g(\delta)} a última expressão não nos é útil.

Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.

Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.

{\begin{aligned} |\sin x-\sin c| &= 2\left| \cos\left( \dfrac{x+c}{2}\right)\right| \left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right|\\ &< 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| \end{aligned}}

Uma vez que {x \rightarrow c} sabemos que em algum momento {\dfrac{x-c}{2}} vai estar no primeiro quadrante. Assim

{\begin{aligned} 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| &< 2\left|\dfrac{x-c}{2}\right| \\ &= |x-c|\\ &< \epsilon \end{aligned}}

Onde a última desigualdade é válida por hipótese.

Quer isto dizer que se tomarmos {\epsilon=\delta} fica {|x-c|<\epsilon \Rightarrow | \sin x - \sin x | < \delta} que é a condição {\epsilon\delta} para a continuidade.

— 4.8. {\epsilon\delta} para limites —

Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.

Seja {f(x)=2}. Queremos mostrar que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=2}.

{\begin{aligned} |f(x)-2| &< \delta \\ |2-2| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}

Que é trivialmente válido para qualquer valor de {\delta}, assim {\epsilon} pode ser um número positivo qualquer.

Seja {f(x)=2x+3}. Queremos mostrar que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=5}.

{\begin{aligned} |f(x)-5| &< \delta \\ |2x+3-5| &< \delta \\ |2x-2| &< \delta \\ 2|x-1| &< \delta \\ |x-1| &< \dfrac{\delta}{2} \end{aligned}}

Com {\epsilon=\delta/2} satisfazemos a condição {\epsilon\delta} para limites.

Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.

\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}

Nesse artigo demonstrámos que para {a \neq 0} o limite {\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)} não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0} usando a condição {\epsilon\delta}:

{\begin{aligned} |f(x)-f(0)| &< \delta \\ |f(x)-0| &< \delta \end{aligned}}

Uma vez que {f(x)=0} ou {f(x)=x} vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.

No primeiro caso é {|0-0|<\delta} que é trivialmente válido e assim {\epsilon} pode ser um número positivo qualquer.

No segundo caso é {|x-0|<\delta}. Tomando {\epsilon=\delta} faz com que se respeite o critério de Heine.

Uma vez que mostramos que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0=f(0)} a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em {x=0}.

Análise Matemática – Exercícios III

1.

a) Calcule { \displaystyle \sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k)} e {\displaystyle\sum_{k=p}^{m}(u_k - u_{k+1})}

{\displaystyle \sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k)=u_{p+1}-u_{p}+u_{p+2}-u_{p+1}+\ldots +u_{m+1}-u_{m}}

Como podemos ver o primeiro termo cancela o quarto, o terceiro cancela o sexto e assim por diante. Deste modo ficamos somente com o segundo e último termo:

{\displaystyle \sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k) = u_{m+1}-u_p}

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=p}^{m}(u_k - u_{k+1})&= - \sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k)\\ &= - (u_{m+1}-u_p)\\ &= u_p-u_{m+1} \end{aligned}}

b) Calcule {\displaystyle \lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}} Usando o resultado anterior.

{\displaystyle \lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}= \lim \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right) }

Definindo {u_k=1/k} podemos reescrever a soma anterior como

{\begin{aligned} \displaystyle \lim \sum_{k=1}^n \left( u_k-u_{k+1} \right)&=\lim (u_1 - u_{n+1})\\ &= \lim \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1 \end{aligned}}

Aparentemente este resultado tem uma história engraçada. Mengoli foi o primeiro a conseguir calcular {\displaystyle \lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=1}. Na altura em que tal aconteceu a investigação em Matemática tinha um cariz ligeiramente diferente do que temos agora. Muitas vezes as pessoas escondiam os seus resultados ou então as derivações dos seus resultados durante anos enquanto atormentavam os seus rivais devido à inépcia destes.

E foi isto que Mengoli fez. Na altura em que ele conseguiu somar esta série a teoria das séries não estava desenvolvida como está hoje em dia, e este resultado que acabamos de demonstrar, sem sermos particularmente brilhantes em Matemática, era algo digno de nota.

Mengoli escreveu cartas a algumas pessoas dizendo que {\displaystyle \lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=1}, sem nunca mostrar como foi que ele chegou a este resultado. Uma vez que os matemáticos a quem ele enviou o resultado não sabiam dos seus métodos tudo o que podiam fazer era somar explicitamente e ver que o resultado da soma era cada vez mais próximo de {1}.

Claro está que eles sabiam que isso não provava nada pois podiam até somar um milhão de termos que ainda assim faltaria somar um infinidade de termos para sabermos o resultado real.

c) Calcule {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) }

Neste exercício vamos calcular a soma de {n} números primos consecutivos. Este resultado já era conhecido na Grécia Antiga e o valor da sua soma era algo que os matemáticos gregos achavam especialmente apelativo.

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)&=\sum_{k=0}^{n-1}\left[ (k+1)^2-k^2\right]\\ &= \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k) \end{aligned}}

Com {u_k=k^2}

Usando a fórmula que já nos é familiar por esta altura

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) &= (n-1+1)^2-0^2\\ &= n^2 \end{aligned}}

Um resultado que realmente tem algo de mágico estético, tal como os gregos diziam!

2.

a) Usando 1.a) e {a^k=a^k\dfrac{a-1}{a-1}\quad (a \neq 1)} calcule {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a^k }

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a^k &= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \left[ a^k\frac{a-1}{a-1}\right]\\ &= \displaystyle \frac{1}{a-1}\sum_{k=0}^{n-1}\left( a^{k+1}-a^k\right)\\ &= \displaystyle\frac{1}{a-1}(a^n-1)\\ &= \displaystyle\frac{a^n-1}{a-1} \end{aligned}}

b) Usando a) estabeleça a desigualdade {a^n-1 \geq n(a-1)} se {a > 0} e {n \in \mathbb{Z}^+} (se bem se lembram usamos esse resultado no artigo Análise Matemática ? Sucessões III

Se {a=1} é {1-1=n(1-1) \Rightarrow 0=0} que é trivialmente válido.

Se {n=1} é {a-1=a-1} que é trivialmente válido.

Para {n \geq 2 } e {a>1} é:

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}a^k&= 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\\ &> 1+1+\ldots+1\\ &= n \end{aligned}}

Assim

{\begin{aligned} \dfrac{a^n-1}{a-1} & > n \\ a^n-1 &> n(a-1) \end{aligned}}

Uma vez que {a > 1}

Finalmente, se {0 < a <1 } é

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}a^k&= 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\\ &< 1+1+\ldots+1\\ &= n \end{aligned}}

Assim

{\begin{aligned} \dfrac{a^n-1}{a-1} &< n \\ a^n - 1 &> n(a-1) \end{aligned}}

Uma vez que {a < 1}

c) Use b) para calcular {\lim a^n} se {a > 1} e depois conclua que {\lim a^n=0} se {|a| < 1}.

por b) é

{\begin{aligned} a^n &> n(a-1)+1 \\ \lim a^n &\geq \lim \left( n(a-1)+1 \right)= +\infty \end{aligned}}

Logo {\lim a^n = +\infty \quad (a>1)}

Para a segunda parte vamos calcular antes {\lim |a^n|} uma vez que sabemos que { u_n \rightarrow 0 \Leftrightarrow |u_n| \rightarrow 0} pelo artigo Análise Matemática ? Exercícios II

Vamos fazer a mudança de variável {t=1/a}. O que implica {|a|=|1/t|} e

{\begin{aligned} \lim |a^n| &= \lim |1/t|^n\\ &= \dfrac{1}{\lim |t|^n}\\ &= \dfrac{1}{+\infty}\\ &=0 \end{aligned}}

3. Considere as sucessões {u_n=\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n } e {v_n=\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1}}

a) Calcule {\dfrac{v_n}{v_{n+1}}} e {\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}. Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que {v_n} é estritamente decrescente e que {u_n} é estritamente crescente.

{\begin{aligned} \dfrac{v_n}{v_{n+1}} &= \dfrac{\left( 1+1/n \right)^{n+1}}{\left(1+1/(n+1)\right)^{n+2}}\\ &=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}}{\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+2}}\\ &= \dfrac{n}{n+1}\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+2}}{\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+2}}\\ &=\dfrac{n}{n+1}\left( \dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)} \right)^{n+2}\\ &= \dfrac{n}{n+1}\left( \dfrac{n^2+2n+1}{n(n+2)} \right)^{n+2}\\ &=\dfrac{n}{n+1}\left( \dfrac{n(n+2)+1}{n(n+2)} \right)^{n+2}\\ &= \dfrac{n}{n+1}\left( 1+\dfrac{1}{n(n+2)} \right)^{n+2} \end{aligned}}

Após calcularmos {v_n/v_{n+1}} podemos usar a Desigualdade de Bernoulli com {a=1+\dfrac{1}{n(n+2)}} , para vermos que {v_n} é estritamente decrescente.

{\begin{aligned} \dfrac{n}{n+1}\left( 1+\dfrac{1}{n(n+2)} \right)^{n+2} &> \dfrac{n}{n+1}\left(1 + \dfrac{n+2}{n(n+2)} \right)\\ &= \dfrac{n}{n+1}(1+1/n)\\ &= \dfrac{n}{n+1}\dfrac{n+1}{n}\\ &= 1 \end{aligned}}

Assim {v_n} é estritamente decrescente.

Como uma técnica semelhante podemos mostrar que

{ \displaystyle u_{n+1}/u_n=\dfrac{n+1}{n}\left( 1- \dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}}

E após isso novamente usamos a Desigualdade de Bernoulli para mostrar que {u_{n+1}/u_n>1} o que implica que {u_n} é estritamente crescente.

c) Usando a), b) e {\lim u_n = e} mostre que são válidas as seguintes desigualdades {(1+1/n)^n < e <(1+n)^{n+1}}.

{\begin{aligned} \lim v_n&= \lim(1+1/n)^n(1+1/n)\\ &= e\times 1\\ &= e \end{aligned}}

Já sabemos que {v_n} é decrescente por isso é {v_n<(1+1/n)^{n+1}}

Por outro lado {u_n} é crescente e {\lim u_n=e} por isso {(1+1/n)^n<e}.

Logo {(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^{n+1}}

d) Use c) para mostrar que { \displaystyle \frac{1}{n+1}<\log (n+1)-\log n <\frac{1}{n}}.

{ \begin{aligned} (1+1/n)^n &< e \\ n \log \left( \dfrac{n+1}{n} \right) &< 1 \\ \log(n+1) - \log n &< \dfrac{1}{n} \end{aligned} }

E agora para a segunda parte da desigualdade:

{ \begin{aligned} e &< \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1} \\ 1 &< (n+1)\log \left(\dfrac{n+1}{n}\right) \\ \dfrac{1}{n+1} &< \log (n+1) -\log n \end{aligned}}

Em conclusão é { \dfrac{1}{n+1}<\log (n+1)- \log n < \dfrac{1}{n} }

4.

a) Usando 3d) mostre que { \displaystyle 1+\log k < (k+1)\log (k+1)-k\log k < 1+ \log(k+1) }.

Em primeiro lugar é

{ \begin{aligned} \dfrac{1}{k+1} &< \log (k+1) - \log k \\ 1 &< (k+1)\log(k+1) - (k+1)\log k \\ 1+ \log k &< (k+1)\log(k+1)-k \log k \end{aligned}}

Com um raciocínio semelhante também podemos mostrar que {(k+1)\log(k+1)-l\log k < 1+ \log(k+1)}.

Logo é {1+\log k < (k+1)\log(k+1)-k\log k < 1+ \log(k+1)}

b) Some as desigualdades anteriores entre {1 \leq k \leq n-1}.

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(1+ \log k) &< \sum_{k=1}^{n-1} ((k+1)\log(k+1)-k \log k)\\ &< \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(1+\log(k+1)) \end{aligned}}

Ora

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+ \log k) &= \sum_{k=1}^{n-1}1+\sum_{k=1}^{n-1}\log k\\ &= n-1 +\sum_{k=1}^{n-1}\log k \end{aligned}}

E

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\log k &= \log 1 + \log2 +\ldots+\log(n-1)\\ &=\log((n-1)!) \end{aligned}}

E também temos

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}((k+1)\log(k+1) - k\log k)&= m\log n -\log 1\\ &=n\log n \end{aligned}}

E {\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(1+\log(k+1))=n-1+\log n!}

Em conclusão é {n-1+\log(n-1)! < n\log n < n-1 \log n!}

c) Conclua as seguintes desigualdades { n \log n -n +1 < \log n! < n \log n -n+1+\log n} e estabeleça a Aproximação de Stirling { \displaystyle \log n! = n\log n -n +r_n} com {e < C_n < en}

{ \begin{aligned} n-1 + \log (n-1)! &< n\log n \\ \log (n-1)! &< n\log n -n+1 \\ \log n! &< n\log n -n +1+\log n \end{aligned}}

Por outro lado

{\begin{aligned} n\log n &< n-1 + \log n! \\ n\log n -n +1 &< \log n! \end{aligned} }

Logo

{\begin{aligned} n\log n -n +1 &< \log n! \\ &< n\log n -n +1 +\log n \end{aligned}}

E daqui temos {1 < \log n! -n\log n+n < 1+\log n}

Definindo {r_n=\log n! -n\log n+n} vem que {\log n! = n\log n-n+r_n} com {1 < r_n < 1+\log n}

5.

Mostre que {\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\sim \dfrac{1}{n}} e que {\log \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\sim \dfrac{1}{n^2}}

Sabemos que

{ \begin{aligned} \dfrac{1}{n+1} &< \log(n+1)-\log n < \dfrac{1}{n} \\ \dfrac{1}{n+1} &< \log\left( \dfrac{n+1}{n}\right) < \dfrac{1}{n} \\ \dfrac{1}{n+1} &< \log\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) <\dfrac{1}{n} \\ \dfrac{1/(n+1)}{1/n} &< \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n}<1 \\ \lim \dfrac{n}{n+1} &\leq \lim \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n} \leq \lim 1 \\ 1 &\leq \lim \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n} \leq 1 \end{aligned}}

Logo {\lim \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n}=1} e isto é equivalente a {\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\sim \dfrac{1}{n}}.

Seja {u_n = \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n}}. Neste caso é {\dfrac{\log (1+1/n^2)}{1/n^2}=u_{n^2}}. Uma vez que {u_{n^2}} é uma subsucessão de {u_n} sabemos que é {\lim u_{n^2}= \lim u_n} e assim também é {\log \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\sim \dfrac{1}{n^2}}.

6. Mostre que {u_n \sim v_n} e {v_n \sim w_n \Rightarrow u_n \sim w_n }

Por hipótese é {u_n=h_n v_n}, {v_n=t_n w_n} com {h_n,t_n \rightarrow 1}.

Substituindo a segunda igualdade na primeira obtemos {u_n = h_n t_n w_n}.

Seja {s_n = h_n t_n} e {u_n =s_n w_n } com {\lim s_n = \lim h_n \lim t_n =1\times 1=1}.

Logo {u_n \sim w_n}

7. Seja {u_n = O\left(1/n\right)} e{v_n = O (1/ \sqrt{n})}. Mostre que {u_n v_n = o ( 1/n^{4/3})}.

{u_n = h_n 1/n} and {v_n = t_n 1/ \sqrt{n}} com {h_n} e {t_n} sendo sucessões limitadas.

{\begin{aligned} u_n v_n &= \dfrac{h_n}{n} \dfrac{t_n}{\sqrt{n}}\\ &= \dfrac{h_n t_n}{n^{3/2}}\\ &=\dfrac{h_n t_n}{n^{1/6}}\dfrac{1}{n^{4/3}} \end{aligned}}

Seja {s_n = \dfrac{h_n t_n}{n^{1/6}}}. Então {\lim s_n = \lim \dfrac{h_n t_n}{n^{1/6}} = 0} uma vez que {h_n t_n} é limitada.

Logo {u_n v_n = o (1/n^{4/3})}

8.Usando a Aproximação de Stirling mostre que {\log n! = n\log n -n + O(\log n)}

Sabemos que é {\log n! = n\log n -n + +r_n} com { 1< r_n < 1+\log n}. Logo

{\begin{aligned} 0 &<\dfrac{1}{\log n}\\ &< \dfrac{r_n}{\log n}\\ &< \dfrac{1}{\log n} +1\\ &\leq \dfrac{1}{\log 2}+1 \end{aligned}}

Onde usámos o facto que { \dfrac{1}{\log n}+1} é uma função decrescente.

Logo {\dfrac{r_n}{\log n}} é limitada e assim {r_n=O(\log n)} como desejado.

Análise Matemática – Limites e Continuidade IV

Como uma aplicação do Teorema 35 vamos estudar as funções {f(x)=e^x} e {g(x)=\log x}.

Ora {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}} é uma função estritamente crescente e {g:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}} também é uma função estritamente crescente.

Pelo Teorema 35 é então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x = \mathrm{sup} [\mathbb{R^+}] = +\infty} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x= \mathrm{inf} [\mathbb{R^+}] = 0}.

Quanto a {g(x)} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \log x=\sup [\mathbb{R}]=+\infty} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \log x = \inf [\mathbb{R}]=-\infty}.

Definição 34 Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f,g: D \rightarrow \mathbb{R}},e {c \in D^\prime}. Vamos admitir que existe {h: D \rightarrow \mathbb{R}} tal que {f(x) = h(x)g(x) }.

  1. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} h(x)=1 } dizemos que {f(x)} é assimptoticamente igual a {g(x)} quando {x \rightarrow c} e escrevemos {f(x) \sim g(x)\,\, (x \rightarrow c)}.
  2. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} h(x) = 0} dizemos que {f(x)} é desprezável relativamente a {g(x)} quando {x \rightarrow c} e escrevemos { f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c)}.
  3. Se {h(x)} é limitada em alguma vizinhança de {c} dizemos que {f(x)} é dominada por {g(x)} quando {x \rightarrow c} e escrevemos {f(x)=O(g(x)) \;(x \rightarrow c)}.

Se {g(x)\neq 0} é:

  1. { f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 1}.
  2. { f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 0}.
  3. { f(x) = O(g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)} } é limitada em alguma vizinhança de {c}.

Esta noções têm uma interpretação exactamente igual à interpretação oferecida aquando do nosso estudo das sucessões e dão o mesmo tipo de informação referente ao comportamento de duas funções.

Teorema 36

Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f,g,f_0,g_0: D \rightarrow \mathbb{R}}, e {c \in D^\prime}. Então:

  1. Se {f(x) \sim g(x) \,\, (x \rightarrow c)} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x) = a}, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}
  2. Se {f(x) \sim f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)} e {g(x) \sim g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}, então {f(x)g(x) \sim f_0(x)g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)} e {f(x)/g(x) \sim f_0(x)/f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}.

Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. \Box

Para as funções polinomiais podemos dizer com toda a generalidade o seu comportamento é ditado pelo termo de maior grau se nos estivermos a aproximar de {\pm \infty}. No entanto, se a aproximação for para {0} o seu comportamento é ditado pelo termo de menor grau.

Para vermos que de facto as coisas são como enunciamos vamos analiser o simples exemplo:

\displaystyle  f(x) = x^2+x

Ora {x^2+x=(x+1)x}. Seja {h(x)=x+1}. então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} h(x)=1} e assim é {x^2+x=O(x) \,\, (x \rightarrow 0)}.

Outro exemplo com bastante interesse para nós é:

\displaystyle  \sin x \sim x \,\, (x \rightarrow 0)

Podemos ver que é assim uma vez que é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1}

— 4.6. Condição Epsílon-Delta —

Após este preâmbulo está na hora de introduzirmos o conceito de limite e continuidade utilizando a condição { \varepsilon\delta }.

Mais uma vez o que estamos a fazer é usar conceitos cada vez mais abstractos por forma a conseguirmos atingir níveis de rigor e generalização cada vez maiores. A partir deste ponto temos perfeita consciência que a compreensão desta matéria será mais difícil, especialmente para quem não está habituado a este tipo de argumentos, mas temos também sabemos que ao fazerem o devido esforço serão recompensados intelectualmente.

O ponto da condição { \varepsilon\delta } é que nos permite evitar conceitos nebulosos como perto de, sinais de entrada, sinais de saída, ou ainda a relativamente fraca definição de limite que temos usado até agora.

Teorema 37 (Teorema de Heine)

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e {a \in \overline{\mathbb{R}}}. Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a} sse

\displaystyle  \forall \delta > 0 \, \exists \varepsilon >0 : \; x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a, \delta)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Caso a parafernália de símbolos faz com que os nossos leitores fiquem a pensar “Mas afinal isto quer dizer o quê?!” a resposta é que isto somente uma correcta formalização da noção intuitiva de limite.

Mais uma vez temos que ver isto como se fosse um jogo entre duas pessoas. A primeira escolhe os valores de {\delta} enquanto que a segunda escolhe os valores de {\varepsilon} que façam com que a condição seja válida.

Se o segundo jogador conseguir encontrar uma expressão geral de {\varepsilon} para todos os valores de {\delta} ele ganha o jogo e podemos afirmar que função realmente tem limite {a} no ponto {c}.

Teorema 38

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R}}, e {c \in D^\prime}. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)} existe e é finito, então existe uma vizinhança de {c } onde {f(x)} é limitada.

Demonstração:

Seja {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a \in \mathbb{R}}. Pelo Teorema 37 com {\delta=1} existe {\varepsilon > 0} tal que

\displaystyle \begin{aligned} x \in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace ) &\Rightarrow f(x) \in V(a,1) \\ &\Rightarrow f(x) \in \left] a-1, a+1\right[ \end{aligned}

Assim {x\in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace)\Rightarrow a-1 < f(x) < a+1}.

Logo

\displaystyle x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f (x) \begin{cases} \leq \mathrm{max} \left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \\ \geq \mathrm{max}\left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \end{cases}

e {f(x)} é limitada em {V(c,\varepsilon)} \Box

Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)/g(x)} existe, então {f(x)= O(g(x))\,\, (x \rightarrow c)} uma vez que neste caso é {h(x)=f(x)/g(x)} e existe uma vizinhança de {c} onde {h(x)} é limitada.

Após isto estamos interessados em saber como é que podemos traduzir {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a} para uma condição {\varepsilon\delta}.

Neste caso estamos a considerar {f(x)} apenas no conjunto {D_{c^+}} e temos:

\displaystyle  \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)

Teorema 39

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f:D \rightarrow \mathbb{R}}, e {c \in D^\prime}. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow c^+}f(x)=a}, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)=a}.

Demonstração:

Seja {\delta > 0}. Pela condição {\varepsilon\delta} é:

\displaystyle  \exists \varepsilon_1>0:x \in V(c,\varepsilon_1)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)

\displaystyle  \exists \varepsilon_2>0:x \in V(c,\varepsilon_2)\cap D_{c^-} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)

Tomando {\varepsilon =\mathrm{min} \left\lbrace \varepsilon_1, \varepsilon_2 \right\rbrace } Vem que {x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^+}} ou {x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^- }\Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)}

Em conclusão:

{ \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: x \in V(c,\varepsilon)\cap (D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta) } que é equivalente a {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=a}. \Box

Definição 35

Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f: D \rightarrow \mathbb{R}} e {c \in D}. Dizemos que {f(x)} é contínua em {c} se para todas as sucessões {x_n} de pontos em {D}, tal que {\lim x_n = c} é {\lim f(x_n)=f(c)}.

A função diz-se contínua se é contínua em todos os pontos de {D}.

Vamos agora usar alguns exemplos para clarificar a Definição 35.

  1. \displaystyle  f(x)=|x| \quad \forall x \in \mathbb{R}

    Seja {c \in \mathbb{R}} e {x_n} uma sucessão tal que {x \rightarrow c}. Então {f(x_n)=|x_n|} e {\lim f(x_n) = \lim |x_n| = |c|}.

    Ou seja dizer que {f(x_n) \rightarrow f(c)} é equivalente a dizer que {f} é contínua em {c}. Uma vez que {c} pode ser um ponto qualquer {f(x)=|x|} é contínua em {\mathbb{R}}.

  2. Seja {f(x)= \sin x} e {x_n} uma sucessão tal que {x_n \rightarrow \theta}. Temos {\lim \sin x= \sin \theta} e usando o mesmo argumento que no exemplo anterior podemos dizer que {\sin x} é contínua.
  3. Em geral podemos dizer que se {x_n \rightarrow c} é {\lim f(x_n)=f(c)=f(\lim x_n)}. Logo para {\exp (x)} é {\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}.

    Se {x_n \rightarrow +\infty } vem que{\lim \exp(x_n)=+\infty }. Para {x_n \rightarrow -\infty} vem que {\lim \exp(x_n)=0}.

    Se definirmos {\exp (+\infty)=+\infty} e {\exp (-\infty)=0} vem que é sempre {\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}.

  4. De forma análoga podemos definir {\log +\infty= +\infty} e {\log 0 = -+\infty} para que seja sempre {\lim \log x_n = \log (\lim x_n)}.
Teorema 40 (Teorema de Heine para a continuidade)

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f:D \rightarrow \mathbb{R}} e {c \in D}. {f} é contínua em {D} sse

\displaystyle  \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in D \wedge |x-c| < \varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(c)| < \delta

Que também podemos escrever na forma de vizinhanças:

\displaystyle  \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f(x) \in V(f(c),\delta)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Como podemos ver a condição {\varepsilon\delta} para a continuidade no ponto {c} é muito semelhante à condição {\varepsilon\delta} para o limite {a} no ponto {c}.

Para terminarmos este artigo vamos só enunciar um teorema que torna mais explícita a relação entre continuidade e limite.

Teorema 41 Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f:D \rightarrow \mathbb{R}} e {c \in D \cap D^\prime}. Então {f} é contínua em {c} sse {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Análise Matemática – Limites e Continuidade III

O conceito de limite é um conceito local.

Em linguagem matemática quando dizemos que o conceito de limite é local estamos a dizer que para uma função ter um limite num dado ponto, {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}, não interessa como é que a função se comporta quando estamos longe do ponto em questão. O que interessa é como a função se comporta quando estamos na vizinhança do ponto.

A linguagem que estamos a usar até pode ser satisfatória para o dia-a-dia, mas para os padrões de rigor da Matemática deixa muito a desejar.

O que nós, de facto, estamos a fazer com o conceito de limite é formalizar o que queremos dizer quando usamos expressões como longe e na vizinhança.

Como exemplo, vamos introduzir a função

\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}

Esta função não é das mais sofisticadas, mas é o suficiente para a ideia que queremos passar.

Antes de mais vamos representar graficamente esta função para termos uma visualização do seu comportamento:

Onde representámos {x \in \mathbb{Q}} com a cor azul e {x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} a vermelho.

É fácil ver que para todos os pontos {c} diferentes de {0} a função não tem limite.

Para {c \neq 0} { \displaystyle \lim_{x \in \mathbb{Q} \rightarrow c} f(x) = 0 } e { \displaystyle\lim_{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\rightarrow c} f(x) = c }. Logo { \displaystyle \lim_{x \in \mathbb{Q} \rightarrow c} f(x) \neq \lim_{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\rightarrow c} f(x)}, e assim podemos concluir que este limite não existe.

Para {c=0} é possível mostrar (faremos isso quando o conceito de limite for formalizado usando a condição { \epsilon-\delta }) que { \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0}.

Quase que apetece dizer que “Não se pode ser mais local do que isto! Esta função só tem limite no ponto {x=0}!”.

De uma forma intuitiva podemos entender este resultado da seguinte forma. O conceito de limite basicamente expressa o quão bem-comportada uma função é. Uma vez que esta função está sempre a saltar de ponto para ponto dependendo se estamos numa ordenada racional ou numa ordenada irracional podemos dizer que esta função é malcomportada.

A asserção anterior é verdadeira em quase todo o domínio da função. O único ponto em que ela deixa de ser aplicável é em {x=0}.

Isto é assim porque embora a função seja malcomportada ela é cada vez menos malcomportada à medida que nos aproximamos da origem.

Teorema 32

Seja {D \subset \mathbb{R} }, {f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e {r > 0} tal que

\displaystyle f(x) \leq g(x)\, \forall x \in V(c,r) \cap \left( D \setminus \left\lbrace c\right\rbrace \right)

Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)= +\infty } então também é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)= +\infty }. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)= -\infty } então também é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)= -\infty }

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Tal como noutros casos que já vimos o teorema anterior expressa um facto bastante prosaico, mas, tal como nos outros casos, aqui o que interessa é vermos que podemos demonstrar estas asserções rigorosamente.

O que devemos reter deste teorema é que ele nos permite saber o resultado do limite algumas funções sem termos que calcular o limite.

Teorema 33 (Teorema da função enquadrada)

Seja {D \subset \mathbb{R} }, {f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e {r > 0} tal que {g(x) \leq f(x) \leq h(x)\quad \forall x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace }. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) = \lim_{x \rightarrow c} h(x) = a } também é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

E temos mais um teorema que continua a tendência de possibilitar que saibamos o limite de funções sem termos que o calcular!

Como exemplo vamos ver o limite:

\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sin x}{x}

Temos

\displaystyle -1 \leq \sin x \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}

Logo

\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x} \quad \forall x > 0

Uma vez que é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\frac{1}{x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{x}= 0} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\frac{\sin x}{x}=0}.

Como segundo exemplo vamos olhar para:

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}

Uma vez que

\displaystyle \displaystyle \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\quad \forall x \in \left] -\frac{\pi}{2},0 \right[ \cup \left] 0,\frac{\pi}{2}\right[

Temos {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}1=1} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \cos x = \cos 0 = 1}. Assim também é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1}

— 4.5. Propriedades algébricas dos limites de funções —

Tal como fizemos para as sucessões vamos agora enunciar algumas regras algébricas que nos permitem calcular o limite de algumas expressões matemáticas mais complexas.

Teorema 34 (Propriedades algébricas dos limites de funções)

Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f,g:D \rightarrow \mathbb{R}} e {c \in D^\prime}. Então:

  1. {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=a \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} |f(x)|=|a|}
  2. {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=a} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=b}, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \left( f(x)+g(x)\right) = a+b}
  3. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty } e {g} é minorada, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x))= +\infty}
  4. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = -\infty } e {g} é minorada, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x))= -\infty}
  5. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = 0 } e {g} é limitada, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x)g(x))= 0}
  6. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a } e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) = b}, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x)g(x))= ab}
  7. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty } e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) = a \neq 0}, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} |f(x)g(x)|= +\infty}
  8. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a \neq 0 }, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} 1/f(x)= 1/a}
  9. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty }, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} 1/f(x)= 0}
  10. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = 0 }, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} 1/|f(x)|= +\infty}

Demonstração:

Só vamos demonstrar a segunda proposição uma vez que o raciocínio pode ser facilmente adaptado aos outros casos.

Seja {x_n} uma sucessão em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tal que {x_n \rightarrow c}. Então {f(x_n) \rightarrow a} e {g(x_n) \rightarrow b}. Pelo que já vimos em sucessões é {f(x_n)+g(x_n) \rightarrow a+b}.

Por definição de limite isto é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x)) = a + b}. \Box

Teorema 35 (Teorema da função Monótona)

Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f: D \rightarrow \mathbb{R}}, { \alpha = \inf D} e { \beta = \sup D}.

Então:

  1. Se { \alpha \in D^\prime }, {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)} existe e temos:{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{inf}f \left[ D_{\alpha^+} \right] } se {f} é crescente.

    {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{sup}f \left[ D_{\alpha^+} \right] } se {f} é decrescente.

  2. Se { \beta \in D^\prime }, {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \beta} f(x)} existe e temos:{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{sup}f \left[ D_{\beta^-} \right] } se {f} é crescente.

    {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{inf}f \left[ D_{\beta^-} \right] } se {f} é decrescente.

Demonstração:

Não vamos dar uma demonstração formal deste resultado, mas vamos providenciar uma evidência gráfica da sua veracidade.

Como exemplo vamos tomar a função crescente:

\displaystyle f(x) = \sin x \quad \forall x \in \left] -\pi/2, \pi/2\right[

Neste caso é { \alpha = -\pi/2 } e { \beta = \pi/2 }; {\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\pi/2} \sin x = \sin(-\pi/2)= -1}.

{ D_{\alpha^+}} representa {D\cap \left] \alpha, +\infty \right[} de tal modo que {f \left[ D_{\alpha^+} \right] } representa o transformado de {f} por { D \cap \left] \alpha, +\infty \right[ }. Isto é mesmo que dizer que {f \left[ D_{\alpha^+} \right] = \left] -1, 1 \right[ } e { \mathrm{inf}\left] -1, 1 \right[=-1 } como já havíamos visto ao calcular o limite.

De uma forma semelhante também podemos verificar que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi/2} \sin x = \sin(\pi/2)= f \left[ D_{\beta^-} \right]}

Para a função decrescente, {f(x)= \cos x \quad \forall x \in ]0,\pi[}, ambos os passos devem ser executados pelo leitor.

\Box

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