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Análise Matemática – Limites e Continuidade V
A condição , por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição
para limites e a definição
para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.
De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição .
— 4.7. para continuidade —
Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.
Seja (que é uma função obviamente contínua!).
O ponto de utilizarmos o argumento para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do
escolhido conseguimos sempre encontrar um
que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.
Voltando à nossa função vem que
. Neste caso temos
. Assim
Que é trivialmente válido, uma vez que por hipótese. Assim qualquer valor positivo de
satisfaz o critério de Heine para a continuidade e
é contínua em
.
Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a para além de que
podemos concluir que
é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Vamos agora analisar e novamente vamos estudar a continuidade no ponto
(
):
A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma (a primeira parte do critério
).
Se tomarmos fica então
o que completa a nossa demonstração que
é contínua em
.
Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de para além de que
e como tal concluímos que
é contínua no seu domínio.
Vamos agora olhar para funções da forma e estudar a continuidade de
em
.
Se tomarmos vem que
e
é contínua em
.
Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função .
Uma vez que queremos algo da forma a última expressão não nos é útil.
Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.
Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.
Uma vez que sabemos que em algum momento
vai estar no primeiro quadrante. Assim
Onde a última desigualdade é válida por hipótese.
Quer isto dizer que se tomarmos fica
que é a condição
para a continuidade.
— 4.8. para limites —
Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.
Seja . Queremos mostrar que
.
Que é trivialmente válido para qualquer valor de , assim
pode ser um número positivo qualquer.
Seja . Queremos mostrar que
.
Com satisfazemos a condição
para limites.
Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.
Nesse artigo demonstrámos que para o limite
não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que
usando a condição
:
Uma vez que ou
vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.
No primeiro caso é que é trivialmente válido e assim
pode ser um número positivo qualquer.
No segundo caso é . Tomando
faz com que se respeite o critério de Heine.
Uma vez que mostramos que a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em
.
Análise Matemática – Exercícios III
1.
a) Calcule e
Como podemos ver o primeiro termo cancela o quarto, o terceiro cancela o sexto e assim por diante. Deste modo ficamos somente com o segundo e último termo:
b) Calcule Usando o resultado anterior.
Definindo podemos reescrever a soma anterior como
Aparentemente este resultado tem uma história engraçada. Mengoli foi o primeiro a conseguir calcular . Na altura em que tal aconteceu a investigação em Matemática tinha um cariz ligeiramente diferente do que temos agora. Muitas vezes as pessoas escondiam os seus resultados ou então as derivações dos seus resultados durante anos enquanto atormentavam os seus rivais devido à inépcia destes.
E foi isto que Mengoli fez. Na altura em que ele conseguiu somar esta série a teoria das séries não estava desenvolvida como está hoje em dia, e este resultado que acabamos de demonstrar, sem sermos particularmente brilhantes em Matemática, era algo digno de nota.
Mengoli escreveu cartas a algumas pessoas dizendo que , sem nunca mostrar como foi que ele chegou a este resultado. Uma vez que os matemáticos a quem ele enviou o resultado não sabiam dos seus métodos tudo o que podiam fazer era somar explicitamente e ver que o resultado da soma era cada vez mais próximo de
.
Claro está que eles sabiam que isso não provava nada pois podiam até somar um milhão de termos que ainda assim faltaria somar um infinidade de termos para sabermos o resultado real.
c) Calcule
Neste exercício vamos calcular a soma de números primos consecutivos. Este resultado já era conhecido na Grécia Antiga e o valor da sua soma era algo que os matemáticos gregos achavam especialmente apelativo.
Com
Usando a fórmula que já nos é familiar por esta altura
Um resultado que realmente tem algo de mágico estético, tal como os gregos diziam!
2.
a) Usando 1.a) e calcule
b) Usando a) estabeleça a desigualdade se
e
(se bem se lembram usamos esse resultado no artigo Análise Matemática ? Sucessões III
Se é
que é trivialmente válido.
Se é
que é trivialmente válido.
Para e
é:
Assim
Uma vez que
Finalmente, se é
Assim
Uma vez que
c) Use b) para calcular se
e depois conclua que
se
.
por b) é
Logo
Para a segunda parte vamos calcular antes uma vez que sabemos que
pelo artigo Análise Matemática ? Exercícios II
Vamos fazer a mudança de variável . O que implica
e
3. Considere as sucessões e
a) Calcule e
. Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que
é estritamente decrescente e que
é estritamente crescente.
Após calcularmos podemos usar a Desigualdade de Bernoulli com
, para vermos que
é estritamente decrescente.
Assim é estritamente decrescente.
Como uma técnica semelhante podemos mostrar que
E após isso novamente usamos a Desigualdade de Bernoulli para mostrar que o que implica que
é estritamente crescente.
c) Usando a), b) e mostre que são válidas as seguintes desigualdades
.
Já sabemos que é decrescente por isso é
Por outro lado é crescente e
por isso
.
Logo
d) Use c) para mostrar que .
E agora para a segunda parte da desigualdade:
Em conclusão é
4.
a) Usando 3d) mostre que .
Em primeiro lugar é
Com um raciocínio semelhante também podemos mostrar que .
Logo é
b) Some as desigualdades anteriores entre .
Ora
E
E também temos
E
Em conclusão é
c) Conclua as seguintes desigualdades e estabeleça a Aproximação de Stirling
com
Por outro lado
Logo
E daqui temos
Definindo vem que
com
5.
Mostre que e que
Sabemos que
Logo e isto é equivalente a
.
Seja . Neste caso é
. Uma vez que
é uma subsucessão de
sabemos que é
e assim também é
.
6. Mostre que e
Por hipótese é ,
com
.
Substituindo a segunda igualdade na primeira obtemos .
Seja e
com
.
Logo
7. Seja e
. Mostre que
.
and
com
e
sendo sucessões limitadas.
Seja . Então
uma vez que
é limitada.
Logo
8.Usando a Aproximação de Stirling mostre que
Sabemos que é com
. Logo
Onde usámos o facto que é uma função decrescente.
Logo é limitada e assim
como desejado.
Análise Matemática – Limites e Continuidade IV
Como uma aplicação do Teorema 35 vamos estudar as funções e
.
Ora é uma função estritamente crescente e
também é uma função estritamente crescente.
Pelo Teorema 35 é então e
.
Quanto a vem que
e
.
Esta noções têm uma interpretação exactamente igual à interpretação oferecida aquando do nosso estudo das sucessões e dão o mesmo tipo de informação referente ao comportamento de duas funções.
Teorema 36
Seja
Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. |
Para as funções polinomiais podemos dizer com toda a generalidade o seu comportamento é ditado pelo termo de maior grau se nos estivermos a aproximar de . No entanto, se a aproximação for para
o seu comportamento é ditado pelo termo de menor grau.
Para vermos que de facto as coisas são como enunciamos vamos analiser o simples exemplo:
Ora . Seja
. então
e assim é
.
Outro exemplo com bastante interesse para nós é:
Podemos ver que é assim uma vez que é
— 4.6. Condição Epsílon-Delta —
Após este preâmbulo está na hora de introduzirmos o conceito de limite e continuidade utilizando a condição .
Mais uma vez o que estamos a fazer é usar conceitos cada vez mais abstractos por forma a conseguirmos atingir níveis de rigor e generalização cada vez maiores. A partir deste ponto temos perfeita consciência que a compreensão desta matéria será mais difícil, especialmente para quem não está habituado a este tipo de argumentos, mas temos também sabemos que ao fazerem o devido esforço serão recompensados intelectualmente.
O ponto da condição é que nos permite evitar conceitos nebulosos como perto de, sinais de entrada, sinais de saída, ou ainda a relativamente fraca definição de limite que temos usado até agora.
Teorema 37 (Teorema de Heine)
Seja Demonstração: Demonstração omitida. |
Caso a parafernália de símbolos faz com que os nossos leitores fiquem a pensar “Mas afinal isto quer dizer o quê?!” a resposta é que isto somente uma correcta formalização da noção intuitiva de limite.
Mais uma vez temos que ver isto como se fosse um jogo entre duas pessoas. A primeira escolhe os valores de enquanto que a segunda escolhe os valores de
que façam com que a condição seja válida.
Se o segundo jogador conseguir encontrar uma expressão geral de para todos os valores de
ele ganha o jogo e podemos afirmar que função realmente tem limite
no ponto
.
Teorema 38
Seja Demonstração:
Seja
Assim Logo
e |
Se existe, então
uma vez que neste caso é
e existe uma vizinhança de
onde
é limitada.
Após isto estamos interessados em saber como é que podemos traduzir para uma condição
.
Neste caso estamos a considerar apenas no conjunto
e temos:
Teorema 39
Seja Demonstração:
Seja
Tomando Em conclusão:
|
Definição 35
Seja
A função diz-se contínua se é contínua em todos os pontos de |
Vamos agora usar alguns exemplos para clarificar a Definição 35.
-
Seja
e
uma sucessão tal que
. Então
e
.
Ou seja dizer que
é equivalente a dizer que
é contínua em
. Uma vez que
pode ser um ponto qualquer
é contínua em
.
- Seja
e
uma sucessão tal que
. Temos
e usando o mesmo argumento que no exemplo anterior podemos dizer que
é contínua.
- Em geral podemos dizer que se
é
. Logo para
é
.
Se
vem que
. Para
vem que
.
Se definirmos
e
vem que é sempre
.
- De forma análoga podemos definir
e
para que seja sempre
.
Teorema 40 (Teorema de Heine para a continuidade)
Seja Que também podemos escrever na forma de vizinhanças:
Demonstração: Demonstração omitida. |
Como podemos ver a condição para a continuidade no ponto
é muito semelhante à condição
para o limite
no ponto
.
Para terminarmos este artigo vamos só enunciar um teorema que torna mais explícita a relação entre continuidade e limite.
Teorema 41 Seja
Demonstração: Demonstração omitida. |
Análise Matemática – Limites e Continuidade III
O conceito de limite é um conceito local.
Em linguagem matemática quando dizemos que o conceito de limite é local estamos a dizer que para uma função ter um limite num dado ponto, , não interessa como é que a função se comporta quando estamos longe do ponto em questão. O que interessa é como a função se comporta quando estamos na vizinhança do ponto.
A linguagem que estamos a usar até pode ser satisfatória para o dia-a-dia, mas para os padrões de rigor da Matemática deixa muito a desejar.
O que nós, de facto, estamos a fazer com o conceito de limite é formalizar o que queremos dizer quando usamos expressões como longe e na vizinhança.
Como exemplo, vamos introduzir a função
Esta função não é das mais sofisticadas, mas é o suficiente para a ideia que queremos passar.
Antes de mais vamos representar graficamente esta função para termos uma visualização do seu comportamento:
Onde representámos com a cor azul e
a vermelho.
É fácil ver que para todos os pontos diferentes de
a função não tem limite.
Para
e
. Logo
, e assim podemos concluir que este limite não existe.
Para é possível mostrar (faremos isso quando o conceito de limite for formalizado usando a condição
) que
.
Quase que apetece dizer que “Não se pode ser mais local do que isto! Esta função só tem limite no ponto !”.
De uma forma intuitiva podemos entender este resultado da seguinte forma. O conceito de limite basicamente expressa o quão bem-comportada uma função é. Uma vez que esta função está sempre a saltar de ponto para ponto dependendo se estamos numa ordenada racional ou numa ordenada irracional podemos dizer que esta função é malcomportada.
A asserção anterior é verdadeira em quase todo o domínio da função. O único ponto em que ela deixa de ser aplicável é em .
Isto é assim porque embora a função seja malcomportada ela é cada vez menos malcomportada à medida que nos aproximamos da origem.
Teorema 32
Seja Se Demonstração: Demonstração omitida. |
Tal como noutros casos que já vimos o teorema anterior expressa um facto bastante prosaico, mas, tal como nos outros casos, aqui o que interessa é vermos que podemos demonstrar estas asserções rigorosamente.
O que devemos reter deste teorema é que ele nos permite saber o resultado do limite algumas funções sem termos que calcular o limite.
Teorema 33 (Teorema da função enquadrada)
Seja Demonstração: Demonstração omitida. |
E temos mais um teorema que continua a tendência de possibilitar que saibamos o limite de funções sem termos que o calcular!
Como exemplo vamos ver o limite:
Temos
Logo
Uma vez que é vem que
.
Como segundo exemplo vamos olhar para:
Uma vez que
Temos e
. Assim também é
— 4.5. Propriedades algébricas dos limites de funções —
Tal como fizemos para as sucessões vamos agora enunciar algumas regras algébricas que nos permitem calcular o limite de algumas expressões matemáticas mais complexas.
Análise Matemática – Limites e Continuidade II
Neste caso é e
.
Se é uma sucessão de pontos em
tal que
vem que
Vamos agora introduzir um teorema que descreve um resultado simples e óbvio.
De uma forma mais dinâmica podemos entender o teorema seguinte como indicando o facto de que se nos aproximarmos de um ponto pela sua esquerda ou pela sua direita as imagens associadas a ambos os limites devem ser iguais, para o limite realmente existir.
Teorema 29
Seja Demonstração:
Seja
Uma vez que
Mas isto é
O caso |
Já sabemos que e que
.
Uma vez que o limite à direita de é diferente do limite à esquerda podemos concluir que o limite não existe.
— 4.4. Limites de Funções e desigualdades —
Vamos agora enunciar um conjunto de teoremas que vão generalizar os resultados que vimos para as sucessões.
Teorema 30 (Desigualdade de limites) Seja
Se Demonstração:
Seja
Uma vez que
Assim
Pelo Teorema 14 sabemos que é
Uma vez que |
Corolário 31
Seja
Se existe
Demonstração: Façamos |
Análise Matemática – Limites e Continuidade I
— 4. Limites e Continuidade —
Após introduzirmos sucessões e ganharmos conhecimentos sobre algumas das suas propriedades (I, II, III, e IV) estamos finalmente prontos para estudar Análise Real.
— 4.1. Definições Preliminares —
A Física expressa-se de uma forma mais concisa e eficiente na linguagem da Matemática. Um conceito matemático muito útil para a Física é conceito de uma função.
Falando de forma informal uma função é uma associação (transforma um sinal de entrada de um conjunto a um sinal de saída noutro conjunto) entre os elementos de dois conjuntos.
As sucessões que estudámos são casos particulares de funções: eles tomam números naturais e mapeiam-nos para números reais.
Mais formalmente introduzimos:
Por vezes estamos interessados no mapeamento de uma função não para a totalidade de mas somente para um subconjunto de
. Assim, faz sentido introduzir:
Definição 25
Seja |
Tal como fizemos para as sucessões podemos definir o que é uma função majorada, minorada e limitada.
A título de exemplo temos
Definição 26
|
— 4.2. Introdução à Topologia —
Vamos agora introduzir de forma breve algumas noções topológicas para depois estudarmos os conceitos de limites e continuidade.
Como já vem sendo nosso hábito após introduzirmos algumas definições vamos fornecer alguns exemplos para tornar a nossa exposição mais concreta:
É fácil ver que (e não vamos dar uma demonstração rigorosa dessa asserção) que e que
é o único ponto isolado de
.
Definição 28
|
Definição 29
O símbolo |
Como exemplo vamos calcular
Neste caso é e
pelo que o limite que vamos calcular não é despropositado.
Se é uma sucessão de pontos em
tal que
então
Como aplicação do teorema 28 vamos calcular
É fácil ver que este limite não existe. Seja . Então
e
.
Uma vez que os limites laterais são diferentes podemos concluir que o limite não existe.
Definição 30
|
Se as definições anteriores o deixam confuso lembre-se que se não é majorado, então tem-se necessariamente
o que é a definição de ponto limite.
Definição 31
|
Definição 32
Seja
|
— 4.3. Limites e Topologia —
Só definimos o limite de uma função em pontos limite do seu domínio. De notar que com esta definição podemos também definir o limite de uma função em pontos que não pertencem ao domínio da função.
Vamos agora utilizar alguns exemplos para testar os nossos conhecimentos:
- Calcule
.
e
uma vez que
não é majorado em
.
Seja
uma sucessão de pontos em
tal que
e
. Então
e temos
.
- Calcule
O domínio de
é
. Logo
Seja
. Assim
e
.
Neste caso é trivial que
.
No entanto escolhendo
também é
, mas
e assim
.
Uma vez que temos
,
tais que
, mas
. Logo
não existe.
Vamos agora introduzir os conceitos de limites laterais. Vamos usar os símbolos para denotar a aproximação a
por números reais maiores que
. A definição de
segue um caminho análogo.
Formalizando:
Definição 33
|
Análise Matemática – Exercícios II
1.
a) Para a sequência mostre que existe uma ordem
onde
é válido.
Uma vez que vem que
Tomando Temos o resultado pretendido.
b) Mostre por definição que
Pela definição de limite e usando a), temos
Fazendo
a diferença entre e
é sempre menor do que
.
2. Mostre que
Na maior parte dos casos é mais fácil mostrar que o módulo da sequência tende para . Com esta proposição podemos ver que as proposições são equivalentes e como tal podemos evitar cálculos longos e aborrecidos.
Diz-se que sse
Assim sse
Com as proposições
e
são de facto equivalentes.
3. Calcule
Este limite que estamos interessados em calcular pode ser visto como onde
e
.
Sabemos que e
.
O que estamos a tentar determinar é quão rápido estas sucessões divergem. Se o valor do limite é então
diverge ligeiramente mais depressa, se for
então é
que diverge ligeiramente mais depressa.
No caso de vemos que uma das sequências diverge muito mais rápido que a outra.
Vamos então calcular:
O que quer dizer que as sucessões divergem com essencialmente a mesma velocidade.
4. Calcule
5. Calcule .
Vamos escrever alguns termos desta soma para podermos ganhar alguma intuição sobre o que está a acontecer:
Ou seja, fazendo o que nós obtemos é cada vez mais termos para somar, mas os valores destes termos tornam-se cada vez menores.
O valor deste limite dir-nos-á qual destes efeitos contraditórios é mais forte.
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Assim
com
Logo .
Em conclusão o facto dos valores dos termos serem sucessivamente menores é mais importante para o valor do limite do que o facto do número de termos aumentar indefinidamente.
6. Calcule
Uma situação semelhante à encontrada no exercício anterior
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Logo .
Uma vez que
e
vem que
Desta vez o facto de termos um número infinito de termos para adicionar é mais relevante para o valor do limite do que o facto das fracções estarem a tender para . Tal resultado advém desta vez termos raízes quadradas no denominador das fracções.
7. Calcule
Visualmente:
com termos.
com termos.
Então
então também é
De onde podemos concluir que tende para infinito mais rápido do que
8. Dê exemplo de sucessões que
a) e
:
e
b) e
:
e
c) e
:
e
d) e
:
não existe.
e
e) e
:
e
f) e
:
e
g) e
:
e
h) e
:
não existe.
e
Análise Matemática – Sucessões IV
Após termos demonstrado alguns teoremas importantes sobre sucessões no artigo anterior vamos agora introduzir algumas noções auxiliares que nos ajudarão a continuar o nosso estudo das sucessões.
— 3.3. Relações entre Sucessões —
Definição 20 Sejam Se |
Como exemplo vamos considerar a sucessão . É fácil ver que neste caso temos
.
Podemos então escrever .
Neste caso é e temos
.
Definição 21 Sejam
|
Vamos agora dar uma explicação mais intuitiva sobre o significado dos símbolos que introduzimos:
A notação expressa o facto que a diferença entre
e
tende para
à medida que
. Ou seja os valores das sucessões são cada vez mais próximos
A notação expressa o facto que as duas sucessões diferem por um factor de escala, que é o mesmo que dizer que evidenciam o mesmo tipo de comportamento em
. A expressão o mesmo tipo de comportamento será tornada mais clara com o desenvolver da Análise Real neste blog.
A notação diz-nos que
toma valores cada vez mais pequenos quando comparada com
à medida que nos aproximamos de
. De uma maneira mais formal: se
Vamos agora fornecer alguns exemplos para tornar mais concreta a discussão anterior:
Escrevemos . Definindo
vemos que é efectivamente
Neste caso escrevemos com
. Uma vez que
é limitada obtemos o resultado pretendido.
— 3.4. Comentários finais sobre sucessões —
Definição 22 Diz-se que |
De forma informal podemos dizer que uma subsucessão, , de
é uma sucessão que omite alguns dos termos de
.
Como exemplo de subsucessões temos (onde omitimos os termos ímpares da sucessão inicial) e
(onde só consideramos os termos que são quadrados perfeitos da sucessão inicial).
Já vimos que é uma sucessão convergente, então, ainda que
pareça ser uma sucessão mais difícil, podemos dizer sem nenhum esforço que
visto que
e assim
é uma subsucessão de uma sucessão convergente.
Corolário 25 Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites distintos, então a sucessão é divergente.
Demonstração: Segue directamente de Ou seja este corolário é o contra-recíproco do Teorema 24 e como tal é também uma proposição verdadeira. |
Como aplicação do Corolário 25 vamos analisar .
e é
.
e é
.
Concluímos então que é uma sucessão divergente.
Teorema 26 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda a sucessão limitada tem uma subsucessão convergente em Demonstração: Vamos somente apresentar um esboço de demonstração. Uma maneira de o fazer é primeiro demonstrar que todas as sucessões têm uma subsucessão monótona. Aplicando este resultado a uma sucessão limitada teríamos então que uma sucessão limitada tem uma subsucessão que é limitada e monótona. Pelo Corolário 21 sabemos que uma sucessão monótona e limitada é convergente. |
Definição 23 Seja |
Corolário 27 Seja Demonstração: Seja Para |
Análise Matemática – Sucessões III
Teorema 18 Seja
Também podemos formular um teorema análogo para
Demonstração: Demonstração omitida. |
Caso esteja a inquirir porque usámos nas condições dos limites, tanto para
como para
, ao invés de utilizarmos
isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo
.
Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.
Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.
Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão
que tende para
ainda que não seja monótona.
Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em
Demonstração: Por hipótese sabemos que |
Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.
Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.
Por exemplo dado qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?
Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:
Pelo gráfico podemos ver que aparente ser majorada por
e é crescente, logo é monótona.
Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.
Proposição 22
Demonstração: Primeiro vamos mostrar que
Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli Continuando.
Em conclusão
Agora resta-nos mostrar que
Assim resta-nos provar que Como foi mostrado neste artigo podemos escrever
Escrevendo por extenso:
Sabemos que
Assim o que temos é:
Uma vez que
Sintetizando o que nós temos é
Assim
Para além disso também sabemos de |
Análise Matemática – Sucessões II
Após termos introduzido a definição do que é uma vizinhança no artigo anterior vamos agora fazer mais uma definição que nos permitirá unificar mais alguns resultados.
Definição 17 O conjunto formado por
|
Após a introdução deste novo conjunto e os seus dois novos elementos podemos definir duas vizinhanças:
Definição 18
|
É muito importante que o leitor possa entender a razão de ser destas duas vizinhanças. Por experiência pessoal posso dizer que a primeira vez que olhei para elas fiquei baralhado e penso que a reacção dos meus colegas não foi muito diferente.
A noção de vizinhança de um número real é bastante simples de se entender. Essencialmente é o intervalo aberto e centrado num dado ponto.
Se queremos generalizar a noção de vizinhança para estes novos elementos e
temos que perceber que não mais podemos ter intervalos centrados visto que estes dois números são os limites finais de
.
O que nós podemos e devemos manter é o facto de quanto maior o valor de maior é o intervalo considerado. Mas com
os rácios são cada vez menores se
aumentar. E é isso mesmo que nós queremos. Se
toma valores que são cada vez menores a vizinhança fica cada vez mais próxima de
. Uma vez que nós começamos do
isso quer dizer que a nossa vizinhança é de facto maior!
A definição escolhida para a vizinhança de tem uma justificação análoga.
Vamos agora considerar uma sucessão , que é minorada mas não é majorada. Ou seja temos
em
. Isto é equivalente ao seguinte:
Podemos fazer uma dedução semelhante para for . Assim podemos escrever com toda a generalidade:
Definição 19 Seja |
— 3.2. Limites e Desigualdades —
Teorema 14 Seja
Demonstração: Demonstração omitida. |
Após isto podemos perguntar se também é um teorema. A resposta é negativa e um simples contra-exemplo é suficiente para o mostrar:
Por exemplo e ainda assim
.
Corolário 15 Seja
Demonstração: Seja |
Teorema 16
Seja
Demonstração: Demonstração omitida. |
Teorema 17 (Teorema da sucessão enquadrada) Seja
Demonstração: Demonstração omitida. |
Enquanto aplicação do Teorema 17 vamos olhar para o seguinte exemplo: onde queremos calcular o limite
.
Ora
Sabemos que , então: