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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

Exercício 12 .

O gráfico da velocidade em função do tempo de um MRUV é dado abaixo. Determine o deslocamento no intervalo de 0 a 4 Segundos.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 12 .

Para este caso, podemos determinar o deslocamento através de dois métodos.

  1. Usando a equação de Torricelli, através dos dados no gráfico acima:

    \displaystyle 2a \cdot \Delta s= v^2-v^2_0 \Rightarrow \Delta s =\frac{v^2-v^2_0}{2a} \ \ \ \ \ (10)

    Do gráfico temos os seguintes dados:{ v_0= 20 \ m/s } e {v= 40 \ m/s }.No MRUV a aceleração média é igual a aceleração instantânea. Então, a aceleração é dada por:{ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0} }

    No intervalo de {0} `a { 4 \ s } : { a= \frac{40-20}{4-2} \cdot \frac{m/s}{s}=\frac{20}{4} \cdot m/s^2 }

    \displaystyle a=5 \ m/s^2

    Substituindo os dados na equação 10, obtemos:

    \displaystyle \Delta s=\frac{v^2-v^2_0}{2a}=\frac{(40)^2 - (20)^2}{2 \cdot 5}=120 \ m \Rightarrow \Delta s = 120 \ m

  2. O outro método é usando o calculo de área. Sabemos que a área debaixo da curva da velocidade em função do tempo é numericamente igual ao deslocamento (ver definição velocidade e interpretação geométrica da derivada). Para o nosso caso, a área debaixo da curva é a área de um trapézio, cujas bases maior e menor tem valores no eixo da velocidade (vertical) e a altura tem valor no eixo do tempo. Sendo assim:

    \displaystyle \Delta s = A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot h = \frac{(40+20)}{2} \cdot 4=120 m

    Logo, temos:{ \Delta s = 120 \ m }

Exercício 13 .

Um movimento descrito pelo gráfico abaixo.

Descreva o tipo de movimento dos traços AB, BC, CD e DE.

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 13 .

Este gráfico apresenta a variação da velocidade em função do tempo. Neste gráfico, o tipo de movimento é definido pela forma da linha do gráfico.

Se a linha do gráfico for uma recta oblíqua, então trata-se de um caso de MRUV. Será um MRUV acelerado se for inclinada com declive positivo e velocidade positiva ou com declive negativo e velocidade negativa. Será um MRUV retardado se for inclinada com declive positivo e velocidade negativa ou com declive negativo e velocidade positiva.

Se a linha for horizontal, a velocidade é constante (MRU). Este MRU pode ser progressivo (se a velocidade for positiva) ou retrógrado (se a velocidade for negativa).

  1. No traço AB (recta oblíqua): A velocidade é positiva e aumenta de { 10 \ m/s} à { 30 \ m/s } . Neste caso, a aceleração é constante e positiva neste mesmo intervalo, portanto, de A para B o movimento é um MRUV acelerado progressivo.
  2. No traço BC (Recta oblíqua): A velocidade é positiva e diminui de { 30 \ m/s} à { 0 }, a aceleração é negativa e constante no mesmo intervalo,portanto, de B para C o movimento é um MRUV retardado progressivo.
  3. No traço CD: A velocidade é negativa mas aumenta em módulo de { 0 } à { \approx -15 \ m/s} e a aceleração é constante e negativa no mesmo intervalo, portanto, de C para D o movimento é um MRUV acelerado retrógrado.
  4. No traço DE: A velocidade é negativa e constante ({\approx -15 \ m/s } , e a aceleração é nula no mesmo intervalo,portanto, o movimento é um MRU retrógrado.

.

Exercício 14 .

Dois móveis têm as seguintes equações do movimento.

  1. Móvel 1: { x_1=100+20 \ t }
  2. Móvel 2: { x_2=500-4 \ t^2 }

Determine a velocidade do móvel (2) no ponto de encontro.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 14 .

A equação do móvel(1) é uma equação do 1º grau, portanto o móvel em MRU. A equação do móvel (2) é uma equação do 2º grau, portanto o móvel (2) move-se em MRUV.

.

O objectivo é determinar a velocidade final do móvel (2) { v_2 } na posição de encontro (A).Entretanto, na posição de encontro (A) ambos os móveis ocupam a mesma posição final, isto é, { x_1=x_2 }.

Então, temos de determinar o instante de tempo em que os móveis estão na posição de encontro, para substituir este tempo na equação da velocidade.

Na posição de encontro:

\displaystyle x_1=x_2 \Rightarrow 100+20 \ t=500-4 \ t^2

Agrupando os termos semelhantes:

\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t +100-500=0

\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t -400=0

Factorizando o factor 4 na equação:

\displaystyle 4(t^2 + 5 \ t-100)=0

Então, pela lei do anulamento do produto:

\displaystyle t^2 + 5 \ t - 100= 4

Resolvendo a equação anterior com a fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolvente) temos os seguintes dados:{ a=1 ; b=5 ; c=100 }.

\displaystyle t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Substituindo os dados na fórmula:

\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}

\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2}= \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2} = \frac{-5 \pm 20,615}{2}

Separando as partes:

\displaystyle t_1= \frac{-5+20,615}{2}= 7,807 \ s

\displaystyle t_2= \frac{-5 - 20,615}{2} = -12,807 \ s

Descartamos o { t_2 } pois ele é negativo. Neste caso, { t_{Enc}= \ 7,807 \ s }.

.

Tendo o tempo, podemos calcular a velocidade do móvel 2 neste instante. Por definição a velocidade:

\displaystyle v= \frac{dx}{dt}

Para o móvel (2),temos: { v_2= \frac{dx_2}{dt} } .

.

Substituindo a equação do movimento do móvel (2) , obtemos:

\displaystyle v_2= \frac{d(500-4 \ t^2)}{dt} = 0-8 \cdot t= -8 \ t

Portanto, durante este MRUV, a velocidade do móvel (2) é dada como: { v_2= -8 \ t } .

Para encontramos o valor numérico da velocidade no momento de encontro, devemos substituir o tempo pelo instante de encontro.

Substituindo {t} por { t_{Enc}}, obtemos: { v_2=-8 \ (t)= -8 \cdot 7,807=-62,456 \ m/s }

Portanto, a velocidade do móvel (2) na posição de encontro (A) é de : { v_2= -62,456 \ m/s }

Exercício 15 .

A velocidade inicial de um móvel é de { 10 \ km/h}. Após acelerado uniformemente, durante {10 \ s }, ganha uma velocidade de { 20 \ km /h}.

Determine a aceleração e a distância percorrida.

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 15 .

Dados

,

{ v_0= 10 \ km/h } .

{ t_0=0 \ s } .

{ t=20 \ km/h } .

{ a \rightarrow ? } .

{ \Delta s \rightarrow ? }

Antes de a resolver, vamos converter as velocidades { v_0 } e v para as unidades do sistema internacional usando três simples.
Para: { v_0=10 \ km/h }

\displaystyle 36 \ km/h \rightarrow 10 \ m/s

\displaystyle 10 \ km/h \rightarrow v_0

Então:

\displaystyle v_0 \cdot 36 \ km/h= 10 \ km/h \cdot 10 \ m/s

\displaystyle \Rightarrow v_0= \frac{10 \ km/h \cdot 10 \ m/s}{36 \ km/h} =2,77 \ m/s

Para a velocidade final, fazemos o mesmo procedimento. Obtemos:

\displaystyle v=5,55 \ m/s

Com as unidades já convertidas, podemos determinar a aceleração.

Para o MRUV, a aceleração é dada por:

\displaystyle a= \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_0}{t-t_0}

Substituindo os dados, obtemos:

\displaystyle a= \frac{5,55-2,77}{10-0}=0,278 \ m/s^2

A distância percorrida pode ser determinada pela equação de movimento do MRUV ou pela equação de Torricelli.

Usando a Equação de Torricelli:

\displaystyle v^2=v^2_0+2a \cdot \Delta s

Isolando { \Delta s } teremos:

\displaystyle v^2-v^2_0=2 \cdot a \cdot \Delta s \Rightarrow \Delta s= \frac{v^2-v^2_0}{2 \cdot a}

Substituindo os dados:

\displaystyle \Delta s=\frac{(5,55)^2-(2,77)^2}{2 \cdot 0,278}=41,6 \ m

Portanto a distância percorrida é:

\displaystyle \Delta s=41,6 \ m

A aceleração do móvel é:

\displaystyle a=0,278 \ m/s^2

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 2)

Exercício 8 .

O gráfico ilustra um MRU. Determine a velocidade média deste movimento?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8 .

Para o caso de MRU a velocidade média é dada, por definição como sendo:

\displaystyle v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x-x_0}{t-t_0} \ \ \ \ \ (6)

Do gráfico temos os seguintes dados:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccccccc} t_0 = 0 \ s : x_0 = 10 \ m \\ t = 5 \ s : x = 40 \ m \\ \end{array}\right.

Substituindo estes valores em (1):

\displaystyle v_m =\frac{40 \ m-10 \ m}{5 \ s- 0 \ s}=\frac{30}{5}\times\frac{m}{s}

\displaystyle v_m= 6 \ m/s

Exercício 9 .

A equação de um MRU é:

\displaystyle x=10+20 \ t \ (SI)

Determine o deslocamento no intervalo de { 4 \ s \leq t \leq 7 \ s }

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 9 .

Nos casos de MRU sem mudança de direcção, o deslocamento, em módulo é igual a distância percorrida no intervalo {\Delta t } definido.
Para determinarmos o deslocamento, precisamos da posição inicial e final.

No intervalo

\displaystyle 4 \ s \leq t \leq 7 \

A posição inicial é obtida da seguinte forma:

\displaystyle t= 4 \ s \Rightarrow x_0= 10+20 \times t_0=10+20 \times 40

Obtemos:

\displaystyle x_0=90 \ m

A posição final é obtida da seguinte forma:

\displaystyle t= 7 \ s \Rightarrow x=10+20 \times t=10+20 \times 7

\displaystyle x=150 \ m

O deslocamento é :

\displaystyle \vert \overrightarrow{\Delta s} \vert= \Delta x=x - x_0 =150 \ m -90 \ m

\displaystyle \Delta x = 60 \ m

Exercício 10 .

Um atleta de corrida percorre { 1,5 \ m } em cada segundo. Quanto tempo demora fazer um percurso de { 10 \ km }. .
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 10 .

Dados

{ v= 1.5 \ m/s } .

{ \Delta s = 10 \ km= 10.000 \ m } .

{\Delta t \rightarrow ? }

Por definição, no MRU, a velocidade é dada por:

\displaystyle v= \frac{\Delta s}{\Delta t}

Isolando o espaço percorrido:

\displaystyle \Delta t = \frac{\Delta s}{v}

Substituindo os dados na formula anterior, obtemos:

\displaystyle \Delta t = \frac{10,000 \ m}{1,5 \ m/s} = 6,66 \times 10^3 \ s \ \ \ \ \ (7)

 

Transformando { 6,66 \times 10^3 \ s } em horas usando a regra de três simples:

\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ h\rightarrow \rightarrow 3600 \ s \\ x \rightarrow \rightarrow 6,66 \times 10^3 \ s\\ \end{array}

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

\displaystyle x \times 3600 \ s= 1 \ h \times6,66 \times 10^3 \ s

\displaystyle \Rightarrow x = \frac{1 \ h \times 6,66 \times 10^3 \ s }{3600 \ s}

\displaystyle \Rightarrow x = 1,85 \ h

Logo, o atleta leva { 1,85 \ h } para percorrer { 10 \ km }.

Exercício 11 .

A equação horária de um móvel é { x = 100+50 \times t } . Qual séria a sua equação horária se a posição fosse dada em Km e o tempo em h?..

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 11 .

Dados

{ x = 100+50 \times t } .

A equação horária, na forma escalar é dada como:

\displaystyle x= x_0+ v \times t \ \ \ \ \ (8)

A equação horária do móvel é:

\displaystyle x= 100+50 \times t \ \ \ \ \ (9)

Ao comparar-mos ambas equações, obtemos os seguintes dados:

\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} x_0=100 \ m \\ v=50 \ m/s \\ \end{array}

Para escrever-mos a equação horária,com a posição dada em Km e o tempo dado em h, devemos transformar { x_0 = 100 \ m} e {v =50 \ m/s } nas unidades respectivas, usando o sistema (regra) de três simples.

Então temos:

\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ km \rightarrow  1000 \ m \\ x_0 \rightarrow  100 \ m \\ \end{array}

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

\displaystyle x_0 \times 1000 \ m =1 \ km \times 100 \ m

\displaystyle \Rightarrow x_0=\frac{1 \ km \times 100 \ m}{1000 \ m} x_0=0.1 \ km

E:

\displaystyle  36\ km/h \rightarrow 10 \ m/s

\displaystyle  v \rightarrow 50 \ m/s

Logo:{x_0=0,1 \ km } e { v=180 \ km/h }.

Então:

Substituindo estes valores em na equação horária do MRU, obtemos:{ x=0.1+180 \times t }.

Portanto, para a posição dada em km e tempo em h, temos a equação horária:

\displaystyle x=0.1+180 \times t

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais

— 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 5 .

Considere o sistema representado abaixo.Considerando a origem do referencial sua base direita do prédio, o Eixo ox horizontal dirigido a esquerda e o Eixo oy vertical e dirigido para cima.

Determine a posição dos pontos A, B e C.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 5 .

O referencial(bidimensional) do sistema é necessário ser traçado para a determinação da posição dos pontos A, B e C. Logo temos as seguintes características do referencial:

* Eixo Ox: eixo horizontal dirigido da direita para a esquerda;

* Eixo Oy: eixo vertical dirigido para cima;

* Origem do referencial: base direita do prédio.\

.

Aposição do ponto A tem coordenada { 50 \ m} na horizontal e { 100 \ m } na vertical, então :

\displaystyle B(50,100)\ m

onde

\displaystyle x_A=50 \ m

\displaystyle y_A=100 \ m

A posição do ponto B tem coordenada { -40 \ m } na horizontal e 0 na vertical, então:

\displaystyle B(-40,0) \ m

Onde:

\displaystyle x_B=-40 \ m

\displaystyle y_B=0

A posição do ponto C tem coordenada {-35 \ m } na horizontal e { 20 \ m} na vertical então:

\displaystyle C(-35,20) \ m

\displaystyle x_C= -35 \ m

\displaystyle x_C= 20 \ m

Exercício 6 .

A velocidade de um móvel é tal que ele percorre {5 \ m} a cada {2 \ s},em MRU. Determine a posição final no MRU se a posição inicial for { 5 \ m} e o tempo do movimento for de {25 \ s }.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 6 .

Dados .

{ v= \frac{5 \ m}{2 \ s}= 2,5 \ m/s } .

{x_0=5 \ m } .

{t=25 \ s } .

{x=? }

Para determinarmos a posição final x do móvel no tempo t precisamos da equação de movimento ( função horária) do móvel.
Para este caso, de movimento retilíneo e uniforme(MRU), a equação de movimento é:

\displaystyle \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_0}= + \overrightarrow{v} \times t \ \ \ \ \ (1)

Na forma escalar, temos:

\displaystyle x= x_0+v \times t \ \ \ \ \ (2)

Substituindo {x_0} e {v}, obtemos:

\displaystyle x= 5 + 2,5 \times t \ \ \ \ \ (3)

A posição final {x} para { t=25 \ s}:

\displaystyle x= 5 + 2,5 \times 25= 67,5 \ m

\displaystyle x=67,5 \ m

Resolução 7 .

Calcule a velocidade média do móvel da figura abaixo, se { t_1=10 \ s } e é { t_2= 20 \ s }, no movimento { A\rightarrow B \rightarrow C }.

.

Resolution 7 . Dados

{ t_1=t_{A\rightarrow B} = 10 \ s } .

{ t_2=t_{B\rightarrow C} = 20 \ s }. Por definição a velocidade média de um móvel é dada por:

\displaystyle \overrightarrow{v_m}=\frac{\overrightarrow{\Delta s}}{\Delta t}

.

{ \overrightarrow{\Delta s} } – Vector deslocamento.

{ \Delta t } – Intervalo de tempo total durante o movimento.

Em módulos:

\displaystyle v_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}

.

Portanto, para determinar a velocidade média precisamos determinar o deslocamento { A\rightarrow B \rightarrow C } e o tempo total para o móvel sair de A para C.

Note que o vector deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final, ou seja, no nosso caso {\overrightarrow{\Delta s}=\overrightarrow{AC}}

Então temos:

\displaystyle \Delta s= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} \ \ \ \ \ (4)

A equação 4 é a fórmula para o cálculo de distancia em um sistema bidimensional.Considerando o ponto de partida A e o de chegada C, :

A(10,20) e B(20) considerando a abcissa y e a ordenada x.

Portanto, temos:

\displaystyle (x_C - x_A)= (40-10)=30 \\ (y_C - y_A)= (30-20)=10 \ \ \ \ \ (5)

.

Substituindo 7 em 4, obtemos:

\displaystyle \Delta s_{A-C}= \sqrt{(30)^2+(10)^2}=31,6 \ m

O tempo { \Delta t } do movimento de { A \rightarrow B \rightarrow C } é a soma dos tempos de { A \rightarrow B } e de { B \rightarrow C }.

Dos dados temos temos

\displaystyle t_{A-B} = 10 \ s e t_{B-C}= 20 \ s

Então

\displaystyle \Delta t = t_{A-B} + t_{B-C} =10+20=30 \ s \Delta t = 30 \ s

Sendo assim:

\displaystyle v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{31,6 \ m}{30 \ s} = 1,05 \ m/s

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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades —

1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades —

Exercício 1 .

Dois vectores têm módulos 3 e 5 unidades.

  1. Qual deverá ser o ângulo entre eles para que o vector resultante tenha módulo de 4 unidades?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

  1. Consideremos que os vectores de módulo 3 e 5 unidades são os vectores {\overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}}, respetivamente, e o vector resultante de módulos 4 unidades é o vector {\overrightarrow{w}}.Consideremos também que { \theta} é o ângulo que os vectores {\overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}} formam entre si. Daqui, temos os ângulos dados:Dados{\vert \overrightarrow{u} \vert=3 } .

    { \vert \overrightarrow{v} \vert=5} .

    { \vert \overrightarrow{w} \vert=4} .

    { \theta \rightarrow ? }

    A adição de vectores, dada pela regra do paralelogramo, relacionas aos seus módulos através da lei dos cossenos.

    \displaystyle \textbf{Lei do Cosseno}:\vert \overrightarrow{w}\vert^2=\vert\overrightarrow{u}\vert^2+\vert\overrightarrow{v}\vert^2+2\times\vert\overrightarrow{u}\vert\times\vert\overrightarrow{v\vert}\times \cos\theta

    * Substituindo os dados:

    \displaystyle (4)^2=(3)^2+(5)^2+2\times(3)\times(5)\times \cos\theta

    \displaystyle 16=9+25+30\times \cos\theta

     Isolando {\cos\theta:}

    \displaystyle \cos \theta =\frac{16-(9+25)}{30}=\frac{16-34}{30}=\frac{18}{30}=-0.6

    O valor de { \theta: \theta=\arccos(-0.6)=126,869^o }

    \displaystyle \theta\cong 126,9^o

.

Exercício 2 .

Um Arco tem ângulo de 1,5 radiano.
Qual é o valor deste ângulo em graus?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 2 .

Para determinar o ângulo do arco em graus, vamos usar a regra de três simples, sabendo que { \pi } radiando equivale a { 180^o }. Com isto,temos as seguintes rotações:

\displaystyle \pi \ rad \rightarrow\rightarrow180^o

\displaystyle 1,5 \ rad \rightarrow\rightarrow \theta

Onde 1.5 é o ângulo do arco em radiano e {\theta} o ângulo do arco em graus que se pretende determinar.

Desta forma, temos:

\displaystyle \theta \times \pi=1,5 \ rad \times 180^o

Isolando {\theta}:

\displaystyle \theta=\frac{1,5 \ rad \times 180^o}{\pi \ rad}=\frac{270^o}{\pi}=85,94^o

Portanto:

\displaystyle \theta=85,9^o

.

Exercício 3 .

Um disco circular tem raio de { 5 \ m}. Qual é o cumprimento deste disco?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Dados

{ r= 5 \ m }

O cumprimento de um arco é:

\displaystyle l= \alpha \times r

onde {\alpha} é o ângulo do arco em radianos.

Para o nosso caso, o cumprimento de um disco circular é:

\displaystyle l=2 \pi \times r

Substituindo:

\displaystyle r=5 \ m \ em (1): l= 2 \pi \times 5 \ m= 31,415 \ m

Portanto, o cumprimento do disco é de:

\displaystyle 31,415 \ m.

Exercício  4 .

Dois vectores {\overrightarrow{a}} e { \overrightarrow{b}} tem módulo iguais a { 3 \ m} e {5 \ m },respetivamente.

Qual é o módulo de vector { \overrightarrow{c} }, se {\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{2b}} e o ângulo entre { \overrightarrow{a} } e { \overrightarrow{b} } for de { 30^o }?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 4 .

Dados .

{ \vert \overrightarrow{a} \vert =3 \ m } .

{ \vert \overrightarrow{b} \vert =5 \ m } .

{ \overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}} .

{ \theta \rightarrow 30^o} .

{ \vert \overrightarrow{c} \vert=? }

Consideremos os vectores {\overrightarrow{a} e \overrightarrow{b}}.

Os vectores {\overrightarrow{a}} e {\overrightarrow{b}} formando {30^o} entre si {(\theta=30^o)}

Entretanto, o vector {\overrightarrow{c}} é dado como {\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}}. Sendo assim, consideremos os vectores {3\overrightarrow{a} } e { 2\overrightarrow{b}} , isto é,os vectores {\overrightarrow{a}} e {\overrightarrow{b}} com dimensões triplicando e dobrada, respetivamente.

Por outro lado o vector {\overrightarrow{c}} representa a diferença entre {3\overrightarrow{a}} e {2\overrightarrow{b}} neste caso a resultante é:

Calculando {\beta}:

\displaystyle \beta+\theta=180^o \ \Rightarrow \beta=180^o-\theta

Como { \theta=30^o },temos: { \beta=180^o-30^o=150^o \ \Rightarrow \beta=150^o }\

O módulo de vector { \overrightarrow{c} } , é dada pela lei dos cossenos.\

Lei dos Cossenos:

\displaystyle \vert\overrightarrow{c}\vert^2=\vert3\overrightarrow{a}\vert^2+\vert2\overrightarrow{b}\vert^2+2\times\vert3\overrightarrow{a}\vert \times \vert2\overrightarrow{b} \vert\times \cos\beta

\displaystyle \vert\overrightarrow{c}\vert^2=9^2+10^2+180\times\cos150^o=181-155,88=25,12

\displaystyle \vert \overrightarrow{c} \vert ^2=25,12 \ \Rightarrow \vert\overrightarrow{c}\vert=\sqrt{25,12}=5,01

\displaystyle \rightarrow \vert\overrightarrow{c}\vert=5,01

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

— 1. Exercícios sobre Cinemática da Partícula —

— 1.1. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 1 Um homem realiza uma viagem de uma cidade para outra, para atender a um compromisso. A distância entre as cidade é de 300 km. O compromisso foi marcado para as 11h15min. O homem planeia conduzir o seu carro a 100 km/h e parte às 8h00 para ter algum tempo de sobra. Ele conduz a velocidade planeada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho é obrigado a reduzir a velocidade para 40 km/h durante 40 km. Qual é a menor velocidade que ele deve manter no resto da viagem para chegar a tempo?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .
Resolução 1

.

Trecho a:1º trecho percorrido,na qual {\triangle x = 100 \ km }.

Trecho b: 2º trecho, na qual {\triangle x = 40 \ km }.

Trecho c: trecho restante, na qual {\triangle x = 160 \ km }

Para que se calcule a velocidade necessária para percorrer o trecho c é necessário que se conheça o tempo restante. Para isso,devemos determinar os tempos gastos para percorrer a trechos a e b. Consideraremos MRU em todos trechos, pois estamos a usar parâmetros médios.

No trecho a:

\displaystyle \triangle x_{a} = v_{a}.t_{a}

Isolando o tempo e calculando:

\displaystyle t_{a} = \dfrac{\triangle x_{a}}{v_{a}} = 1h

No trecho b :

\displaystyle \triangle x_{b} = v_{b}.t_{b}

Isolando o tempo e calculando:

\displaystyle t_{b} = \dfrac{\triangle x_{b}}{v_{b}} = 1h

Como temos tempo em horas e em minutos, temos de reduzir a uma única unidade de tempo. Neste caso, vamos converter 15 minutos em horas.

Sabemos que:

\displaystyle 1h \longrightarrow 60min

\displaystyle x \longrightarrow 15min

Fazendo a multiplicação cruzada e isolando o {x}, obtemos:

\displaystyle x = \dfrac{1h.15min}{60min} = 0,25 \ h

Como o motorista partiu as 8h e tem que chegar as 11h e 15min,ou seja,11,25h,sendo que percorreu o conjunto do techo a e b por 2h, então, restam-lhe apenas 1h e 15min, ou seja 1,25h.

Então, para o trecho c teremos :

\displaystyle \triangle x_{c} = v_{c}.t_{c} \Rightarrow v_{c} =\dfrac{_{\triangle}x_{c}}{t_{c}} = 128 \ km/h

Exercício 2 A primeira metade da distância foi percorrida por um móvel com {v_{1}}. Do tempo restante, a primeira metade foi percorrida com a velocidade {v_{2}} e na segunda metade com a velocidade {v_{3}}, sendo que o tempo gasto em percorrer a 1{ª} e a 2{ª} metade, são iguais. Determinar a velocidade média em todo o percurso.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .
Resolução 2 .

Sendo que : { t_{2} = \dfrac{t'}{2} \hspace{1cm} e\hspace{1cm} t_{3} = \dfrac{t'}{2}} {\hspace{1cm}} onde {t'} é o tempo restante após a 1ª parte e que : { \triangle x_{2} = \triangle x_{3}=\dfrac{\triangle x'}{2} =\dfrac{\triangle x}{2}}

{\triangle x'} é o trecho restante após a 1ª parte.

Então:{ \triangle x_{1} = \triangle x_{2} + \triangle x_3}.

Usando a definição de velocidade média para o troço 1, obtemos:

\displaystyle t_{1} = \dfrac{\triangle x_{1}}{v_{1}} = \dfrac{\triangle x_{2} + \triangle x_{3}}{v_{1}}

Os deslocamentos dos trechos 2 e 3 são:

\displaystyle \triangle x_{2} = v_{2}.t_{2}=v_{2}.\dfrac{t}{2}

\displaystyle \triangle x_{3} = v_{3}.t_{2}=v_{3}.\dfrac{t}{2}

Como os trechos 2 e 3 são percorridos durante o mesmo tempo, então a velocidade média é a média aritmética das velocidades. Neste caso, a velocidade média dos trechos 2 e 3 é:

\displaystyle v_{23} = \dfrac{v_2 + v_3}{2}

O deslocamento conjunto do trecho 2-3 é igual à primeira metade:

{\triangle x_{23}=\triangle x'=\triangle x_1=\dfrac{\triangle x}{2}}

A partir da equação da velocidade média para mais de um trecho,teremos :

\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{2}+\triangle x_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}

Neste caso, teremos :

\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{23}}{t_{1}+t_{23}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+\triangle x_{1}}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_23}{v_{23}}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_1}{v_{23}}}

Factorizando e simplificando {\triangle x_{1}}, obtemos:

\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_{23}}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{v_{23}+v_1}{v_1 . v_{23}}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2. v_1 . v_{23}}{v_{23}+v_1}

Substituindo {v_{23}} pela formula de velocidade média no troço 2-3, obtemos:

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 v_1 . \dfrac{ v_{2}+v_3}{2}}{\dfrac{v_{2}+v_3}{2}+v_1}

Simplificando as expressões, obtemos:

\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 v_{1}(v_{2}+v_{3})}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}}

Exercício 3 A equação do movimento de uma partícula ao longo do eixo OX é {x=t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40} (no SI). Determine: (a) o instante em que a velocidade se anula; (b) a posição e a distância percorrida pelo ponto material até ao instante em que v=0; (c) a aceleração do ponto material no mesmo instante.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .
Resolução 3

  1. A posição da partícula é dada por:{ x \ = \ t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}
    A velocidade é dada por: {v=\dfrac{dx}{dt} \Rightarrow v \ = \ 3 \ t^{2}-12 \ t-15}Portanto,quando a velocidade for nula,teremos as seguintes equações:

    \displaystyle 3 \ t^{2}-12 \ t-15=0

    Simplificando por 3, teremos:

    \displaystyle t^{2}-4 \ t-5=0

    Logo:

    \displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} t & = & 5 \ s, \textrm{Correcta}\\ t & = & -1 \ s, \textrm{Incorrecta}\\ \end{array}\right.

  2. Para obter a posição, substituímos o tempo da função horária pelo valor dado. Neste caso, a posição em {t=5 \ s} é:

    \displaystyle x_{f}=(5)^{3}-6.(5)^{2}-15.(5)+40

    \displaystyle \Rightarrow x_{f}=-60 \ m

    A posição no instante t=0s é:

    \displaystyle x_{i}=(0)^{3}-6.(0)^{2}-15.(0)+40

    \displaystyle \Rightarrow x_{i}=40 \ m

    A distância percorrida é dada por :

    \displaystyle \Delta x = |x_{f}-x_{xi}| \Rightarrow \Delta x = |-60-40| \Rightarrow\Delta = 100 \ m

  3. A aceleração instantânea é dada por:

    \displaystyle a=\dfrac{d^{2} x}{d t^{2}} \Rightarrow a=\dfrac{d{v}}{d{t}}

    Derivando a velocidade se obtém:

    \displaystyle a=6 \ t-12

    Logo, quando { t=5 \ s}, teremos :

    \displaystyle a=6.(5)-12 \Rightarrow a \ = \ 18 \ m/s^{2}

Exercício 4 Quando a luz verde de um semáforo acende, um condutor acelera uniformemente o seu veiculo durante 6 s em {2 \ m/s^{2}}. Em seguida ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começou a se mover, ele foi ultrapassado por uma motorizada movendo-se no mesmo sentido com a velocidade constante de 10 m/s. Após quanto tempo, os dois veículos encontrar-se-ão novamente?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .
Resolução 4 .

Dados:

{a_{1A}=2 \ m/s^{2}}

{ t_{1A}= \ 6 \ s = t_{02}}

{ x_{01A}= \ 0 \ }

{ v_{0A}=0}

{ v_B=6 \ s}

{x_{0B}=0}

  • Neste Problema temos dois veículos A e B, mas o veiculo A não tem uma única equação de movimento, visto que inicialmente faz um MRUV, mas sem seguida faz um MRU. Então vamos usar os índices 1 e 2 para distinguir as duas partes do movimento do veiculo A. Para o veiculo B isto não é necessário.A Equação de movimento para o Veiculo A (condutor) :

Na 1ª Parte, em MRUV : { x_{1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}}

Na 2ª parte (após os 6 s de MRUV), começa um MRU : {x_{2A} = x_{02A}+ v_{02A}.t}

A equação de movimento para a motorizada (Veiculo B) é a seguinte :

Na 1ª Parte em MRU {x _{B}=v_{B}.t}

Na 2ª parte ainda em MRU): {x_{B}=x_{0B2}+ v_{B}.t}

Calculando a posição e velocidade dos 2 após os primeiros 6 segundos, obtemos:

Para o veiculo A:

{x_{f1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}=\dfrac{1}{2}.(2).(6)^{2}\Rightarrow x_{f1A}=36 \ m}

{v_{f1A}=v_{01A}+a_1.t \Rightarrow v_{f1A}=0+2.6=12 m/s}

Para o veiculo B:

{x_{f1B}=x_{01B}+v_{1B}.t \Rightarrow x_{f1B}=0+10.(6)\Rightarrow x_{f1B}=60 \ m}

Como o veiculo B faz MRU a velocidade é constante, logo:{v_{f1B}=v_{01B}=10 \ m/s}

Como podemos observar n figura, após o tempo {t_1=6 \ s} o condutor (A) ainda não alcançou a motorizada (B). Então para determinar a posição de encontro, vamos usar as equações da 2ª parte.

{x_{2A}=x_{02A}+v_{2A}.t \Rightarrow x_{2A}=36+12 \ t}

{x_{2B}=x_{02B}+v_{2B}.t \Rightarrow x_{2B}=60+10 \ t}

O encontro ocorre quando: {x_{2A}=x_{2B}}

\displaystyle \Rightarrow 36+12 \ t =60+10 \ t

Isolando o tempo, obtemos:

\displaystyle t = 12

Atenção que este 12 segundos é após o inicio da 2ª Parte (pois reiniciamos a analise dos movimentos no final da 1ª Parte). Considerando então os {6 \ s} de duração da primeira parte, temos:

\displaystyle t = \ 12+6 =18 \ s

Exercício 5 Partindo do repouso, um veiculo mantém uma aceleração de {4 \ m/s^{2}} durante {4 \ s}. Nos {10 \ s} seguintes ele tem um movimento rectilíneo uniforme. para travar, o veiculo passa a ter um movimento uniformemente retardado com aceleração de {8 \ m/s^{2}}, até parar. Fazer um gráfico da velocidade em função do tempo e mostrar que a área limitada pela curva e pelo eixo dos tempos é igual a distância total percorrida.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .
Resolução 5

Dados:

{x_{01}=0}

{v_{01}=0 \ m/s}

{a_{1}=4 \ m/s^{2}}

{t_{1}=4 \ s }

{x_{02}=x_{f2} \longrightarrow ?}

{v_{2}=v_{f1} \longrightarrow ?}

{t_{2}= 10 \ s}

{x_{03}=x_{f2} \longrightarrow ?}

{v_{03}=v_{f2}}

{a_{3}=8 \ m/s^{2}}

{t_{3} \longrightarrow ?}

Para este problema, temos de calcular a velocidade em cada um dos trechos e os respectivos tempos. é um movimento dividido em 3 partes. UM MRUV (acelerado), um MRU e um MRUV (Retardado).

A partir da equação das velocidades, para a 1ª parte,teremos:

\displaystyle v_{f1}=v_{01} + a_1.t_1=0+4.4=16

…para a 2ª etapa: {a=0}(M.R.U):

\displaystyle \Rightarrow v_{f2}=v_{02}=v_{f1} \Rightarrow v_{f2}=16 \ m/s

…para a 3ª etapa :

\displaystyle v_{f3}=0

Como conhecemos o tempo da 1ª e da 2ª parte, para completarmos o gráfico, precisamos obter o tempo da 3ª parte. Neste caso, usando a equação da velocidade, teremos:

\displaystyle v_{f3}=v_{03} - a_{3} . t_{3}\Rightarrow 0=v_{f_{2}} - a_{3} . t_{3} \Rightarrow t_{3}=\dfrac{v_{03}}{a_{3}}=2 \ s

Com os dados obtidos marcamos os 4 pontos no gráfico de {v=f(t)} e traçamos as rectas que unem os pontos:

{(t_{01};v_{01})=(0;0)}

{(t_{02};v_{02})=(4;16)}

{(t_{03};v_{03})=(14;16)}

{(t_{f1};v_{f1})=(16;0)}

Vamos então calcular a áreas do gráfico.

A primeira região é um triângulo. Neste caso:

{ A_{1}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.4.16 }

{A_{1}=32 \ m}

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

{A_{2}=l.h=10.16=160 \ m}

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

{A_{3}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.16}

{A_{3}=16 \ m}

Neste caso: {A_{Total}=A_{1}+A_2+A_3=208 \ m}

Calculando os deslocamentos de cada parte, temos:

{\Delta x_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}{t_1}^{2}=\dfrac{1}{2}.4.(4)^{2}}

{\Delta x_{1}=32 \ m}

{ \Delta x_{2}=v_2.t_2=16.(10)}

{\Delta x_{2}=160 \ m}

{ \Delta x_{3}=v_{03}.t-\dfrac{1}{2} a_3 t^{2}}

{ \Delta x_{3}=16.(2)-\dfrac{1}{2}.8.(2)^{2}=16 \ m}

{ \Delta x_{Total}=\Delta x_{1}+\Delta x_{2} + \Delta x_{3} = 208 \ m}

Logo a área total {A_{Total}=208 \ m} é igual á distancia total { \Delta x_{Total}=208 \ m"}

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Exercícios Sobre de Fluidos: Conceitos Gerais

— 1. Exercícios de Fluidos: Conceitos Gerais —

Exercício 1 A unidade de Pressão no SI é o Pascal({Pa}).

Além desta, usam outras unidades como a atmosfera({atm}), milímetros de mercúrio({mmHg}), Torricelli ({Torr}), Bar({bar }), etc.

Conhecendo a relação:

\displaystyle 1 \ atm = 101325 \ Pa \approx 760 \ mmHg

\displaystyle 1 \ bar = 10^5 \ Pa

Converta para o SI os seguintes valores de pressão:

  1. {0,857 \ atm}.
  2. {850 \ mmHg}.
  3. {3,5 \ bar}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 1 .

  1. Pela relação anterior, usando a regra de “{3} simples”, podemos escrever:

    \displaystyle 1 \ atm \longrightarrow 101325 \ Pa

    \displaystyle 0,857 \ atm \longrightarrow \textbf{X}

    Então, fazendo multiplicação cruzada, obteremos:

    \displaystyle 1 \ atm\textbf{.}\textbf{X} = 101325 \ Pa\textbf{.}0,857 \ atm

    Resolvendo e simplificando a unidade {atm}, obtemos:

    \displaystyle \Rightarrow \textbf{X} = 86835,5 \ Pa

  2. Pela mesma regra de “3 simples”, obtemos:

    \displaystyle 101325 \ Pa \longrightarrow 760 \ mmHg

    \displaystyle \textbf{X} \longrightarrow 850 \ mmHg

    Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

    \displaystyle 760 \ mmHg\textbf{.}\textbf{X} = 101325 \ Pa\textbf{.}850 \ mmHg

    Passando o {760 \ mmHg} para o membro direito, simplificando a unidade {mmHg} e resolvendo, obtemos:

    \displaystyle \Rightarrow \textbf{X} = 113324,0 \ Pa

  3. Pela mesma regra de “3 simples”, obtemos:

    \displaystyle 1 \ bar \longrightarrow 10^5 \ Pa

    \displaystyle 3,5 \ bar \longrightarrow \textbf{X}

    Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

    \displaystyle 1 \ bar\textbf{.}\textbf{X} = 10^5 \ Pa\textbf{.}3,5 \ bar

    Resolvendo e simplificando a unidade {bar}, obtemos:

    \displaystyle \Rightarrow \textbf{X} = 3,5.10^5 \ Pa \Leftrightarrow \textbf{X} = 350000 \ Pa

Exercício 2 Uma caixa em forma de cubo, tem faces com área de {3 \ m^2} e está cheia com {10 \ kg} de um certo material. Qual é a pressão que ela exerce sobre o solo?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 2 .

Dados

{A_{face} = 3 \ m^2}

{m = 10 \ kg}

{g = 9,8 \ m/s^2}

{P - \ ?}

Como só uma das faces do cubo é que toca no chão, a área de contacto corresponde à área de uma das faces. Neste caso: {A = A_{face} = 3 \ m^2.}

Com a massa da caixa, podemos calcular o peso (força) que ela exerce ao solo, nesse caso:

\displaystyle P = F_g = m\textbf{.}g = 10 \ Kg\textbf{.}9,8 \ m/s^2 \Rightarrow P = 98 \ N

\bf{Nota: {1kg\textbf{.}1m/s^2 = 1N}}

Usando o conceito de pressão, podemos escrever:

\displaystyle p = \dfrac{F_{aplicada}}{A_{contacto}} = \dfrac{P}{A_{face}} \Rightarrow p = \dfrac{98\ N}{3m^2} \approx 32,67 \ Pa.

Exercício 3 Uma caixa tem um peso de {17 \ kg} e está apoiada em uma mesa. A pressão exercida pela caixa é de {200 \ Pa}. Qual é a área de contacto entre a caixa e a mesa?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 3 .

Dados

{P = 17 \ kgf}

{p = 200 \ Pa}

{A_{contacto} - ?}

A Unidade {Kgf} é uma unidade de força mas não está no SI. Sabendo que {1 \ kgf = 9,8 \ N}.

Neste caso: {P = 17 \ kgf = 17\textbf{.}9,8 \ N = 1666,6 \ N}

Como:

\displaystyle p = \dfrac{F_{aplicada}}{A_{contacto}} = \dfrac{P}{A_{contacto}}

Nesse caso, isolando a área, obtemos:

\displaystyle A_{contacto} = \dfrac{P}{p} =\dfrac{166,7}{200} \approx 0,834 \ m^2

Exercício 4 Um corpo tem uma massa de 3  kg e um volume de 5 litros. Determine a sua massa específica.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 4 .

Dados

{m = 13 \ kg}

{V = 5 \ l}

{\rho - \ ?}

A Unidade litro({l}) não é a unidade de volume no SI e se quisermos obter a massa específica no SI(como é regra), devemos converter esta unidade.

Sabendo que:

\displaystyle 1 \ l \longrightarrow 10^{-3} \ m^3

\displaystyle 5 \ l \longrightarrow V_{SI}

Neste caso: {1 \ l\textbf{.}X = 5 \ l\textbf{.}10^{-3} \ m^3 \Rightarrow V_{SI} = 5\textbf{.}10^{-3} \ m^3}

Quer dizer que o {V_{SI} = 5\textbf{.}10^{-3} \ m^3}

A definição de massa específica impõe que:

\displaystyle \rho = \dfrac{m_{corpo}}{V_{corpo}} = \dfrac{m}{V_{SI}} = \dfrac{13}{5\textbf{.}10^{-3}}

\displaystyle \rho = 2600 \ kg/m^3

Exercício 5 Um corpo apresenta uma massa específica de {25 \ g/cm^3}. Qual é a sua massa específica no SI?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 5 .

Estamos diante de um problema de conversão de unidades, onde a unidade apresenta uma fracção:

\displaystyle \rho = 25 \dfrac{g}{cm^3}

Neste caso, faremos a conversão no numerador e denominador. Para simplificar faremos a conversão por substituição directa. Sabendo que {1 \ kg = 1000 \ g} e {1 \ g = 10^{-3} \ kg}.

Sabendo também que o prefixo “centi”(c) equivale a {10^{-2}}, neste caso {1 \ cm^3 = 1\textbf{.}(10^{-2})^3 \ m^3= \ (10^{-6}) \ m^3.}

Note que, o facto de a unidade ({cm}) estar elevada a 3, quando separamos o prefixo “centi”, ele também fica elevado a 3. Neste caso: {1 \ cm^3 = 10^{-6} \ m^3}. Então:

\displaystyle \rho = \dfrac{25\textbf{.} \ g}{cm^3} = \dfrac{25\textbf{.}10^{-3} \ kg}{10^{-6} \ m^3} = 25\textbf{.}10^{-3+6} \ kg/m^3

\displaystyle \rho = 25\textbf{.}10^3 \ kg/m^3

Exercício 6 Uma esfera maciça de alumínio tem uma massa de {50 \ g}. Qual é o seu volume?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 6 .

Dados

{m = 50 \ g = 50\textbf{.}10^{-3} \ kg}

{V - \ ?}

Apesar de não ser dado, mas a massa específica do alumínio é conhecida {\rho{al} = 2700 \ kg/m^3}. Neste caso, pela definição de massa específica, temos:

\displaystyle \rho = \dfrac{m}{V} \Rightarrow \rho\textbf{.}V = m \Rightarrow V = \dfrac{m}{\rho}

Neste caso:

\displaystyle V = \dfrac{50\textbf{.}10^{-3} \ kg}{2700 \ kg/m^3} = 1,852\textbf{.}10^{-5} \ m^3

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Como a Física explica a deformação da imagem dos corpos submersos na água?

— 2.7.12. Refração em Dióptro plano —

Dióptro plano é o conjunto de dois meios homogéneos e transparentes, separados por uma superfície plana (ex: a água tranquila de um lago e o ar, ar e um objecto de vidro de superfície plana, etc.). Quando estamos fora da água e observamos um peixe que está dentro da água, temos a sensação de que o peixe se encontra a uma certa distância, mas se sentarmos apanha-lo, notamos que há uma diferença entre a posição real onde o peixe realmente se encontra e a posição da imagem deste peixe que nós vemos. O mesmo ocorre quando estando dentro da água (por exemplo de uma piscina), observamos uma pessoa que está na margem, acima da superfície livre da água.

Este fenómeno é chamado de profundidade aparente e é explicado através da lei de Snell-Descartes, quando se analisa a refração em um dióptro plano.

Um peixe dentro da água difunde luz em todas as direcções. Parte da luz difundida refrata-se ao atingir a superfície de separação dos meios água-ar.

Figura 45: Imagem observada num dióptro plano. [5]

Como a água é mais refringente que o ar (mais densa opticamente), os raios refratados da água para o ar afastam-se da normal e podem ser captados por um observador; este, em vez de ver directamente o objecto na posição {P}, vê a sua imagem, em {P'}, na intercecção dos prolongamentos dos raios refratados (imagem virtual do objecto real {P}). O observador fica com a sensação de que o objecto (no caso, o peixe) está mais próximo, quando na realidade ele está mais distante. Lembre-se que num sistema óptico qualquer, nós vemos a imagem produzida por este sistema óptico e não o objecto propriamente dito.

Figura 46: Profundidade aparente. [7]

Podemos estabelecer a relação entre profundidade real e profundidade aparente.

Na figura 46, o triângulo {API}, o ângulo interno do vértice A é {i_1} e no triângulo {A'PI} o ângulo no vértice {A'} é {i_2}. As suas tangentes são {tg (i_1) =\frac{PI}{AP}=\frac{x}{d}} e {tg (i_2) =\frac{PI}{A'P}=\frac{x}{d'}}. Dividindo estas duas relações, fica { \frac{tg (i_1)}{tg (i_2)} =\frac{d'}{d}}. Para observadores muito próximos da normal, {i_1} e {i_2} são muito pequenos , logo é válida a aproximação {tg (i_1) \approx sen (i_1) \approx i_1}. O mesmo ocorre com {i_2}. Logo a relação pode ser escrita por { \frac{tg (i_1)}{tg (i_2)} = \frac{sen (i_1)}{sen (i_2)} =\frac{n_2}{n_1} = \frac{d'}{d}}:

Neste caso a relação entre a profundidade real e a profundidade aparente será:

\displaystyle d=\frac{n_2}{n_1} . d' \ \ \ \ \ (39)

 

Observamos assim que a profundidade aparente {d'} é diferente da profundidade real {d}, podendo ser maior ou menor.

A profundidade aparente será menor do que a profundidade real se o meio no qual se situa o observador tiver um índice de refração menor do que o índice de refração do meio onde se encontra o objecto. Nestes casos o observador terá a sensação de que o objecto está mais próximo do que a sua posição real. Um exemplo disto é uma pessoa, na fora do lago que observa um peixe no lado.

De modo análogo, a profundidade aparente será maior do que a profundidade real quando o observador se encontrar num meio que tenha o índice de refração maior do que o índice de refração do meio onde se encontra o objecto. Neste caso, o observador terá a sensação de que o objecto está mais distante do que a sua posição real. Um exemplo disso é o caso de uma pessoa no interior da água que observa algo ou alguém fora da água.

Este conceito tem muitas consequências, com várias aplicações no dia-a-dia. Se quiseres atingir um peixe na água com um arpão, por exemplo, não deves atira-lo na direção da imagem que vês, mas sim um pouco abaixo dela. Caso contrário, falharás o alvo.

— 2.7.13. Superfície de faces paralelas —

Quando falamos de lâmina de faces paralelas (ou superfície de faces paralelas), falamos de uma placa de material transparente e homogénea, limitada por duas faces lisas, planas e paralelas.

Vários sistemas ópticos usados no nosso dia-a-dia são lâminas de faces paralelas, mas um exemplo mais simples são os vidro que constituem as janelas vidradas, muito comuns, nos dias de hoje.

Ao observarmos perpendicularmente sobre a lâmina, não ocorre nenhuma modificação na imagem, mas quando observamos obliquamente sobre ela, podemos notar uma certa deformação na imagem do objecto. Esta deformação será mais notada quanto maior for o índice de refração do material que constitui a lâmina, bem como quanto maior for a espessura da lâmina.

A deformação também aumenta com o aumento do ângulo de visualização. Este experimento pode ser facilmente realizado. Arranje um bloco (em forma de paralelepípedo) de material transparente (vidro, plástico ou outro). Caso não encontre o paralelepípedo, pode usar um material com outro formato qualquer, desde que tenha duas faces paralelas. Coloque um papel com letras num das faces e observe pela outra. Em seguida, vá inclinando a lâmina (em relação as letras e observa o que acontece com a imagem.

Figura 47: Trajecto de raios luminosos numa lâmina de faces paralelas. [7]

Na figura, a espessura da lâmina é designada por {e}, o seu índice de refracção relativo com respeito ao meio circundante (o ar) é {n} ({n>1}). O raio incidente {SD} é refratado pela face superior da lâmina passando de no caminho indicado pelo segmento {DF} e sai fora da lâmina no raio indicado por {FR} . Segundo a lei de Snell-Descartes, para a refracção pela face superior, temos:

\displaystyle 1. sen( i_1) = n . sen (r_1) \ \ \ \ \ (40)

 

e para a refracção pela face inferior, temos:

\displaystyle n. sen (r_2) = 1. sen (i_2) \ \ \ \ \ (41)

 

Ora, como se vê na figura, os ângulos {r_1} e {r_2} são iguais. Logo: { r1 = r2 = r} Substituindo esta igualdade nas equações 40 e 41, obtemos que:

\displaystyle i_1=i_2=i \ \ \ \ \ (42)

Ao atravessar a lâmina de faces paralelas o raio luminoso não muda de direcção de propagação. O raio emergente é paralelo ao raio incidente. Apesar de o raio emergente ser paralelo ao raio incidente, mas a imagem observada não é (em geral) igual ao objecto. Suponhamos que o objecto luminoso {S} emite raios pouco inclinados em relação a normal das faces da lâmina. A imagem de {S} criada pela lâmina será {S'}. O deslocamento da imagem em relação ao objecto é {\delta = SS'}. O afastamento entre os dois raios paralelos (incidente {SD} e emergente {FR}), ou seja, o deslocamento transversal do raio emergente em relação ao raio incidente é igual a {d}. A relação entre estes parâmetros poderá ser deduzida.

Consideremos a figura 47. O triângulo {FGD}, recto no ângulo sob o vértice {G}, o ângulo interno do vértice {F} será {i-r}. O seu seno será {sen (i-r) =\frac{DG}{DF}=\frac{d}{DF}}. Então:

\displaystyle DF=\frac{d}{sen(i-r)} \ \ \ \ \ (43)

 

No triângulo rectângulo {DEF}, recto em {E}, o ângulo sobre o vértice {D} é {r}, logo: {cos (r)= \frac{DE}{DF}=\frac{e}{DF}}. Então:

\displaystyle DF=\frac{e}{cos (r)} \ \ \ \ \ (44)

 

Combinando as expressões 43 com 44, obtemos :

\displaystyle d=\frac{e . sen (i-r)}{cos (r)} \ \ \ \ \ (45)

 

O afastamento entre os raios será directamente proporcional a espessura da lâmina. Podemos também verificar, experimentalmente , que o afastamento entre os raios {d} aumenta com o aumento do ângulo de incidência. Mas demonstrar isso matematicamente acaba por ser um pouco extenso. Por outro lado, se consideramos o triângulo {CHI}, recto em {I}, o ângulo sob o vértice {C} será {90^0-i}. Logo, o seu cosseno será {cos ( 90^0-i)=\frac{CI}{CH}=\frac{d}{\delta}}. Lembre-se que {cos(90^0-i)=sen (i) \Rightarrow sen (i)=\frac{d}{\delta}\Rightarrow d= \delta . sen (i)}. Substituindo isso na equação 43, obtemos:

\displaystyle \delta=\frac{e . sen (i-r)}{cos (r). sen (i)}\ \ \ \ \ (46)

 

Desenvolvendo o seno da diferença, separando os denominadores, e simplificando, obtemos a expressão obtemos:

\displaystyle \delta=(1-\frac{cos(i)}{n . cos (r)}).e \ \ \ \ \ (47)

 

Quando a lâmina é bastante delgada (fina, pouco espessa), podemos considerar que o raio emergente é confundido com o raio incidente.

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

A luz pode ser usada em telecomunicações? Fibras ópticas.

— 2.7.6. Fibras ópticas —

A reflexão total interna da luz é utilizada em telecomunicações para a transmissão da luz através de cabos de fibras flexíveis transparentes chamados de fibras ópticas. As fibras ópticas permitiram o surgimento de uma nova forma de telecomunicar, que apresenta diversas vantagens em relação a comunicação tradicional por ondas electromagnéticas.

Uma das grande vantagens é a imunidade da luz às restantes ondas electromagnéticas, oferecendo assim um possibilidade de comunicar com menos ruído.

As fibras ópticas são tubos cilíndricos de vidro de quartzo ou de plástico, muito finos e transparentes, de reduzidas dimensões, usados como veículos de transmissão da luz de um meio para o outro. São constituídas por um núcleo de forma cilíndrica, de diâmetro de valor {d = 62,5 \mu m} (para a fibra de vidro) ou de {d = 900 \mu m} (para a fibra de plástico), composto por duas camadas de material transparente, sendo a camada interior o núcleo e a camada exterior o invólucro ou casca, onde o índice de refracção do núcleo {n_1} é maior que o índice de refracção do invólucro {n_2}. O conjunto é protegido de um revestimento de plástico.

 

Figura 42: Constituição da fibra óptica. [4]

A fibra é como se fosse um pequeno tubo, que permite que a luz atravesse-o sem sofrer dispersão na lateral, ou seja, sem que a luz se refrate nas paredes laterais. Um fino feixe de luz penetra por uma das extremidades do tubo (a fibra) e propaga-se ao longo da fibra, sofrendo reflexão total sempre que incida sobre a superfície de separação dos meios 1 (núcleo) e meio 2 (casca).

As fibras ópticas possuem muitas aplicações:

  • Nas telecomunicações: Os cabos ópticos constituídos por várias dezenas de fibras são mais leves que os cabos de cobre com capacidade equivalente. Em igualdade de condições, podem enviar 100.000 vezes mais informações.
  • Na medicina: Observações clínicas de vários órgãos internos como o estômago, intestinos, útero, etc., são usados dois feixes de fibras ópticas e introduzidas no interior do corpo do paciente. Um leva o sinal luminoso e, o outro, trás a imagem do órgão, permitindo ao médico fazer a observação. A fonte da luz utilizada é sempre o laser, pela sua grande potência e por poder ser transmitido por meio de feixes muito finos.
  • Na decoração: Usam-se em candeeiros e iluminação de fontenários.

 

Figura 43: Trajecto do raio luminosos através da Fibra óptica. [7]

O mecanismo básico de transmissão da luz ao longo da fibra baseia-se na óptica geométrica. A diferença do índice de refração do núcleo com relação à casca é representada pelo perfil de índices da fibra óptica. Essa diferença pode ser conseguida usando-se materiais dieléctricos distintos (por exemplo, sílica-plástico, diferentes plásticos, etc.) ou através de dopagens convenientes de materiais semicondutores (por exemplo, GeO , P O , B O , F etc.) na sílica (SiO).

A variação de índices de refração pode ser feita de modo gradual ou descontínuo, originando diferentes formatos de perfil de índices. As alternativas quanto ao tipo de material e ao perfil de índices de refração implicam a existência de diferentes tipos de fibras ópticas com características de transmissão, e, portanto, aplicações, distintas. Por exemplo, a capacidade de transmissão, geral e fundamentalmente depende (além do seu comprimento) da geometria e do perfil de índices da fibra óptica. O tipo de material utilizado, por sua vez, é determinante quanto às frequências ópticas suportadas e aos níveis de atenuação correspondente.

As características mecânicas das fibras ópticas expressam em termos de resistência e flexibilidade, dependem do material dielétrico utilizado e da qualidade dos processos de fabricação. Embora mais resistentes que fios de aço de mesmas dimensões, as fibras ópticas costumam ter a sua estrutura básica protegida das perturbações mecânicas ou ambientais por encapsulamentos ou revestimentos diversos.

 

Figura 44: Cabo óptico agrupado com 70 fibras. [7]

Elas costumam ser classificadas a partir de suas características básicas de transmissão e nas facilidades operacionais em termos de conexões e acoplamento com fontes e detectores de luz. É possível adotar classificações específicas, como:

  • Composição material: fibras com o par núcleo-casca do tipo sílica-sílica, sílica-plástico ou plástico-plástico tem propriedades distintas quanto às facilidades operacionais e de fabricação, às perdas de transmissão, à tolerância a temperaturas etc.
  • Frequências ópticas de atuação: esta classificação, que inclui, por exemplo, as fibras no infravermelho e as fibras no ultravioleta, refletem o desenvolvimento de fibras ópticas para operar fora da faixa típica actual usada em comunicações.
  • Geometria ou sensibilidade à polarização: além da secção circular típica, as fibras monomodo podem ter um núcleo de secção elíptica com implicações importantes quanto à filtragem e manutenção de polarização.

· Os Principais tipos são:

  • Fibra de Índice Degrau (Step Index);
  • Fibra de Índice Gradual (Graded Index);
  • Fibra Monomodo.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Entenda matematicamente a ampliação de imagem do espelho. Espelhos esféricos 2.

— 2.7.9. Fórmula do espelho esférico e convenção de sinais —

Quando um objecto está diante de um espelho, definimos {d}, a distancia entre o objecto e o espelho e {d'} a distância entre a imagem e o espelho. A fórmula do espelho esférico (ou equação de Gauss) permite determinar de forma analítica as características da imagem. Esta fórmula relaciona entre si as grandezas {d}, {d'} e {f} do espelho esférico. Escolhemos sobre o eixo principal do espelho, o sentido da luz incidente como sentido positivo e sobre o eixo perpendicular ao eixo principal, o sentido apresentado para cima como sentido positivo.

Figura 41: Dedução da Equação de Gauss. [5]

Vamos imaginar que o objecto está sobre o eixo principal, a uma distancia superior ao raio, num ponto {P} (Ver fig. 41). O Ponto {P} é o objecto e o Ponto {P'} será a imagem. Podemos ver então que qualquer raio que incidir sobre o espelho passando pelo ponto {P}, quando for refletido, irá passar pelo ponto {P'}. Vamos analisar o caso de um raio incidente que seja refletido no ponto {B} do espelho.

No triângulo {PCB}, o ângulo interno no vértice {C} é {180^0-\phi}. A soma dos ângulos interno deste triângulo deve ser {180^0}, então {\alpha+180^0-\phi+\theta=180^0 }, o que nos dá :

\displaystyle \alpha+\theta=\phi. \ \ \ \ \ (28)

 

De modo análogo, no triângulo {CP'B}, o ângulo interno no vértice {P'} é {180^0-\beta}. A soma dos ângulos internos deve ser {180^0}, então {\phi+180^-\beta+\theta=180^0}, o que nos dá:

\displaystyle \theta=\beta-\phi. \ \ \ \ \ (29)

 

Substituindo 29 em 28, obtemos:

\displaystyle \alpha+\beta=2.\phi. \ \ \ \ \ (30)

 

Analisando os triângulos rectângulos, temos {tg\alpha=\frac{h}{d-\delta} }, {tg\beta=\frac{h}{d'-\delta} } e {tg\phi=\frac{h}{R-\delta} }. Para ângulos {\alpha} muitos pequenos, os ângulos {\beta} e {\phi} também o serão. Nestas circunstâncias, serão válidas as aproximações {sen\alpha\approx tg\alpha \approx \alpha} e {\delta\approx 0}. O mesmo será válido para {\beta} e para {\phi}.

Logo, as relações no triângulo reduzir-se-ão para:

\displaystyle \alpha=\frac{h}{d} \ \ \ \ \ (31)

 

\displaystyle \beta=\frac{h}{d'} \ \ \ \ \ (32)

 

\displaystyle \phi=\frac{h}{R} \ \ \ \ \ (33)

 

Combinando as equações 31, 32 e 33 com a equação 30, e eliminando {h}, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{R} \ \ \ \ \ (34)

 

Como {f=R/2\Rightarrow R=2f}, então podemos escrever:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} \ \ \ \ \ (35)

 

Esta é a equação do espelho.

Nota: quando se aplica esta equação, é preciso recordar as seguintes convenções de sinais:

  • Se o objecto é real: {d > 0}.
  • Se o objecto é virtual: {d <0}.
  • Se a imagem é real: {d' > 0}.
  • Se a imagem é virtual: {d' <0}.
  • Se o espelho é côncavo: {f > 0}.
  • Se o espelho é convexo: {f <0}.

Podemos também deduzir a relação entre {R} e {f} a partir desta equação. Raios paralelos ao eixo principal são obtidos quando o objecto está no infinito, ou seja, {d=\infty} e a imagem será formada no foco, ou seja, {d'=f}. Substituindo isso na equação 35, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{\infty}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R} \Rightarrow f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (36)

 

Podemos ainda deduzir a relação entre distâncias num espelho plano. Um espelho plano pode ser entendido como um espelho esférico com raio {\infty}, logo:{ \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{\infty} \Rightarrow d=-d'}. Num espelho plano, a imagem está sempre situada no lado oposto ao objecto. Se o objecto é real, a imagem é virtual e se o objecto é virtual, então a imagem é real. A distância é igual em módulo… Mas tudo isso já foi demonstrado graficamente.

— 2.7.10. Ampliação linear do objecto —

Por definição, a ampliação linear do objecto é a razão entre o tamanho da imagem [medido transversalmente ao eixo principal) e o tamanho do objecto(também transversalmente). Se chamarmos de {h} para a altura do objecto e {h'} para a altura da imagem, então a ampliação será:

\displaystyle K=\frac{h '}{h} \ \ \ \ \ (37)

O termo ampliação poder gerar alguma confusão se associamo-lo a ideia de aumento. Em Óptica Geométrica, a ampliação refere-se apenas a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objecto, não importando se houve aumento ou diminuição. A ampliação também pode ser relacionada com outros parâmetros. Usando a congruência dos triângulos {ABV} e {A'B'V} da figura 2, temos:

\displaystyle K=-\frac{d '}{d} \ \ \ \ \ (38)

O sinal deve ser respeitado de acordo com a convenção de sinais. Se {h>0} então o objecto é directo (para cima) e se {h<0} então é invertido. o mesmo se passa com a imagem.

Nota:

  • Se {K} é positiva, a imagem {A'B'} tem o mesmo sentido que o objecto {AB}.
  • Se {K} é negativa, a imagem {A'B'} tem sentido contrário ao do objecto {AB}.
  • Se {\mid K \mid >1} a imagem é maior que o objecto.
  • Se {\mid K \mid <1} a imagem é menor que o objecto.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Entendendo melhor os espelhos esféricos. Espelhos esféricos 1.

— 2.7.7. Espelhos esféricos —

O espelho esférico é uma superfície lisa, mas de forma esférica que reflete a luz.

Os espelhos esféricos apresentam, em geral, imagens sem nitidez. Gauss observou que, se os raios incidentes obedecessem a certas condições, as imagens seriam obtidas com maior nitidez. Essas condições podem resumir-se no seguinte:

  • Os raios incidentes sobre o espelho devem ser paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal e devem ser próximos ao mesmo.
  • A abertura útil do espelho deve ser pequena ({\alpha < 10^0}).

Estudaremos apenas os espelhos esféricos de Gauss.

Imaginemos uma casca metálica cuja sua superfície é refletora, quer a interior como a exterior. Se cortarmos ao meio esta casca, obtemos duas superfícies esféricas refletoras.

Figura 34: Casca esférica reflectora. Espelho Côncavo e Convexo. [4]

Se a luz estiver a refletir numa das superfícies internas de qualquer metade da casca , dizemos que o espelho é côncavo, e se a reflexão ocorrer num superfície externa qualquer de qualquer metade da casca, dizemos que o espelho é convexo. O espelho côncavo também é chamado de espelho convergente e o espelho convexo também é chamado de espelho divergente. Isso deve-se ao modo como um conjunto de raios paralelos são refletidos neles (ver figura 36).

Os principais elementos de um espelho esférico (representados na figura 35) são:

  • A recta CV, denominada eixo principal do espelho.
  • O raio de curvatura R, do espelho (raio de curvatura da esfera que constitui o espelho).
  • O ponto V (intersecção entre o eixo principal e o espelho), denominado vértice do espelho.
  • O ponto C (centro de curvatura da esfera), denominado centro do espelho.

Figura 35: Elementos do espelho. Espelho Côncavo e Convexo. [7]

Além dos pontos apresentados, há um ponto com especial destaque no espelho. O Foco.

Quando um feixe de raios luminosos paralelos incidir sobre um espelho côncavo, incidindo paralelamente ao seu eixo principal, observaremos, traçando os raios refletidos de acordo com as leis de reflexão, que eles convergem no ponto {F'}, denominado foco imagem do espelho. Por este motivo, é costume dizer que o espelho côncavo é um espelho convergente, porque os raios paralelos ao incidirem sobre ele, convergem (encontram-se) num ponto.

Por outro lado, fazendo um feixe de raios incidir paralelamente ao eixo de um espelho convexo, observamos que eles divergem após a reflexão. Entretanto, os prolongamentos de todos os raios reflectidos passam por um mesmo ponto, {F'}, que é o foco imagem do espelho convexo. Assim, tudo se passa como se o feixe divergente fosse emitido de {F'}. O espelho convexo costuma, então, ser denominado espelho divergente.

Figura 36: Foco imagem de um espelho. [7]

De acordo com o princípio de reversibilidade dos raios luminosos, se mudarmos o sentido de propagação da luz nos dois casos anteriores, ou seja, se usarmos o ponto {F'} como fontes de luz, então os raios reflectidos sobre os espelhos côncavo e convexo são raios paralelos ao eixo principal {CV}. Assim, os focos imagens {F]} são também chamados focos objectos {F}, quer dizer que, em outras palavras, para os espelhos côncavo e convexo, os focos imagem {F'} e objecto {F} são confundidos. Por isso mesmo, os focos imagem {F'} e objecto {F} de um espelho (côncavo ou convexo) podem ser chamadas simplesmente por foco do espelho.

A distância {f}, entre o foco e o vértice, é denominada distância focal do espelho.

Figura 37: Dedução da formula de Distância Focal. [7]

Na figura 37,o raio incidente é paralelo ao eixo principal {CV} do espelho côncavo. Como {C} é o centro de curvatura e {CI} é a normal ao espelho em relação ao ponto {I}, assim, podemos traçar o raio reflectido, formando com a normal um ângulo {i'} igual ao ângulo de incidência {i}. Como sabemos, o ponto em que este raio corta o eixo {CV} é o foco do espelho, visto ser um raio que incide paralelamente ao eixo principal. Pelo teorema de rectas paralelas, o ângulo {i} deve ser igual ao ângulo {x}, e como a lei de reflexão impõe que {i=i'}, então o triângulo {CFI} da figura 37 é isóscele porque tem dois ângulos iguais. Logo, {CF = FI}. Vamos agora supor que o raio incidente {S} incidem sobre o espelho em pontos muito próximos do seu vértice. Nestas condições, podemos considerar que {FI = FV}. Então {CF = FV} e {CV=CF+FV=2FV}. Como, {CV=R} e {FV=f}, logo, temos:

\displaystyle f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (24)

 

Este resultado é válido também para um espelho convexo. Então, podemos destacar: A distância focal {f} de um espelho esférico é igual a metade do seu raio de curvatura {R}, isto é, {f =\frac{R}{2}} . Noutras palavras, o foco de um espelho esférico está situado no meio da distância entre o centro e o vértice do espelho. Os espelhos esféricos tem muitas aplicações em sistemas que requerem alteração do tamanho da imagem. Por exemplo: Espelho retrovisores dos veículos automóveis e não só, sistemas de captação de energia solar, sistemas de vigilância, etc. Uma outra aplicação muito importante dos espelhos esféricos é na construção de telescópios refletores. Ao contrário dos telescópios refractores, os refletores aplicam um espelho como elemento principal, ao invés de lente. O modelo mais comum é o popularmente conhecido “Newtoniano” que utiliza um espelho côncavo montado no fundo do tubo do telescópio. Aplica-se um outro espelho, chamado “secundário”, que direciona a luz captada pelo espelho principal para a direção da ocular. Esses modelos permitem grandes aberturas e quando bem construídos produzem excelentes imagens.

Figura 38:Telescópio reflector. [4]

— 2.7.8. Imagens produzidas pelos espelhos esféricos —

Podemos construir a imagem ou localizar com maior facilidade a sua posição nos espelhos esféricos fazendo uso de determinados raios luminosos, denominados raios auxiliares, os quais apresentamos a seguir:

  • O raio luminoso que incide no espelho côncavo paralelamente ao seu eixo principal, reflete-se passando pelo foco.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo paralelamente ao seu eixo, reflete-se de tal modo que o seu prolongamento passa pelo foco.
  • O raio luminoso que incide num espelho côncavo passando pelo seu foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • Um raio luminoso que incide num espelho convexo de tal maneira que sua direcção passe pelo foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho côncavo passando pelo seu centro de curvatura, reflete sobre si mesmo (este raio incide perpendicularmente ao espelho).
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo de tal maneira que seu prolongamento passe pelo centro de curvatura do espelho, reflete-se sobre si mesmo.
  • Um raio que incide sobre o vértice do espelho, reflete-se segundo a lei da reflexão, sendo que a normal fica sobre o eixo principal (como se o eixo principal fosse a normal).

Figura 39: Raios auxiliares. [7] Adaptado

Para encontrar a imagem que o espelho formaria de um objecto, só devemos encontrar a imagem dos vários pontos que constituem o objecto. Para encontrar cada um desses pontos imagem, devemos, com a ajuda dos raios auxiliares descritos acima traçar a dois raios que passem pelo ponto objecto e a partir dos seu raios emergentes, determinar a sua imagem. Vale recordar que, quer o objecto como a imagem podem ser virtuais ou reais.

Figura 40: Formação da imagem num espelho esférico côncavo. [7]

Para um espelho côncavo temos:

  1. Quando o objecto real {AB} está situado a uma distância {d} maior que a dupla distância focal, a sua imagem {A'B'} é real, invertida e menor que o objecto e fica situada entre o foco e o centro de curvatura do espelho.
  2. , Quando o objecto real {AB} está situado entre o foco e o centro de curvatura do espelho, a sua imagem {A'B'} é real, invertida, maior que o objecto e está situada a uma distância superior ao raio de curvatura do espelho.
  3. Quando o objecto real está situado entre o foco e o vértice do espelho, a sua imagem {A'B'} é virtual, direita e maior que o objecto.

Também podemos observar o seguinte para um espelho convexo: Quando o objecto {AB} é real e fica numa posição qualquer diante do espelho convexo, a sua imagem {A'B'} é sempre virtual, direita e menor que o objecto (ex: retrovisor de um automóvel).

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

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