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Física X – Termodinâmica, Relatividade e o nosso dia a dia

No seguimento do ciclo de conversas Física X, realizamos no passado dia 16 de Dezembro  a segunda sessão intitulada “Termodinâmica, Relatividade e o nosso dia a dia”.

À semelhança da primeira sessão, tivemos o apoio do Acelera Angola, para a realização do evento. A novidade da segunda sessão é que desta vez pudemos contar também com o apoio da Estilo Rouge, que disponibilizou as suas instalações para a realização do evento.

Neste segundo evento tentamos desmitificar algumas noções essenciais de Termodinâmica e explicar de uma forma mais amigável os conceitos fundamentais da Relatividade Restrita.

Partilhamos com os leitores do Luso Academia o conteúdo da segunda sessão, relembrando que, tal como na primeira sessão, o conteúdo da conversa foi para além do que está nos slides.

Sem mais delongas aqui está a apresentação: “Termodinamica, Relatividade e o nosso dia a dia

Física X

Com o apoio do Acelera Angola foi ontem realizada a primeira sessão das desconferênciasFísica X“.

A ideia destas desconferências é fazer com que várias temáticas da Física que normalmente não são do conhecimento geral atinjam um maior público.

Para já estão planeadas quatro ou cinco desconferências e aproveitamos a oportunidade para partilhar convosco a apresentação da primeira sessão.

De notar que, propositadamente, a apresentação aqui partilhada não contém toda a informação que foi discutida ao longo da sessão. Isto é assim, pois pretendemos não limitar a discussão com o material que é apresentado, mas sim ter uma base sob a qual a discussão e as perguntas podem fluir de forma livre ainda que norteada.

Para fazer download da nossa apresentação basta clickar no seguinte link: Física X – Primeira Sessão

A próxima desconferência do Física X será no dia 16 de Dezembro e oportunamente iremos partilhar o local e a hora.

Esperemos que se façam presentes.

 

Tópicos de Física Moderna – Parte III

— 6. Introdução à Física Quântica —

Ao contrário do que fizemos nos capítulos anteriores este capítulo fará menção de algumas experiências que motivaram a formulação da Física Quântica. Para além disso as nossas formulações iniciais serão expostas de uma forma menos resumida.

— 6.1. Novos Resultados, Novas Concepções —

Qualquer pessoa que se tenha aproximado de um laboratório e teve que realizar uma experiência sabe que para se poder dizer algo sobre o sistema em estudo é sempre necessário interagir com o sistema. Em linguagem mais respeitável devemos dizer o acto de medição perturba sempre o sistema em estudo.
Para além disso temos também o conceito de estado mecânico. Ora o conceito de estado mecânico pressupõe duas coisas:

  1. A perturbação pode, em princípio (nalguns casos), tornar-se tão pequena quanto se queira. O facto de haver sempre limites é uma propriedade dos instrumentos que se utiliza e não da teoria que serve como base.
  2. Existem algumas perturbações cujo efeito não pode ser desprezado. No entanto é sempre possível fazer um calculo exacto de quais os efeitos e desse modo é possível compensá-los.

Em suma a teoria que até agora desenvolvemos é causal e determinista.

No entanto uma das duas nuvens negras de Kelvin e mais uns quantos outros resultados experimentais mostraram que uma revisão dos conceitos clássicos era necessária:

  • Radiação de corpo negro.
  • Efeito fotoeléctrico.
  • Princípio da combinação de Ritz.
  • Existência e estabilidade de átomos.
  • Experiência de Stern-Gerlach.
  • Difracção de raios de electrões.

Estes resultados experimentais introduziram as seguintes quebras com o paradigma newtoniano:

  • Entidades que tinham uma natureza corpuscular demonstram um comportamento ondulatório.
  • Entidades que tinham uma natureza ondulatória demonstram um comportamento corpuscular.
  • Existe um carácter estatístico (que parece ser) essencial no comportamento da matéria.
  • O carácter atómico da matéria obriga a repensar a natureza do processo de medição: uma vez que existem grandezas cujo valor não pode ser arbitrariamente diminuído uma perturbação tem sempre um valor mínimo que não pode ser melhorado.

— 6.2. A Experiência da Dupla Fenda —

Para tornar mais concreta a discussão anterior vamos olhar com mais cuidado para uma experiência que demonstra muito bem o choque entre as duas concepções que temos vindo a discutir.

— 6.2.1. Duas Fendas e Partículas —

Imaginemos que temos uma situação como a retratada na figura 3 mas desta vez o que incide nas fendas não são ondas mas sim partículas.

DuplaFendaParticulas

Experiência de dupla fenda com partículas

Nesta situação as partículas passam pela fenda 1 ou pela fenda 2. As partículas que passam pela fenda 1 são responsáveis pela curva de probabilidades {P_1} enquanto que as partículas que passam pela fenda 2 são responsáveis pela curva de probabilidades {P_2}. A curva de probabilidades resultante {P_{12}} é simplesmente a soma das curvas {P_1} e {P_2}.

— 6.2.2. Duas Fendas e Ondas —

Como já tínhamos visto na secção 3 se fizermos passar uma onda por duas fendas o que se obtém é:

DuplaFendaOndas

Experiência de dupla fenda com ondas

Neste caso a intensidade das ondas é a quantidade que interessa estudar. Temos a curva de intensidades {I_1} que é causado pela fenda 1 e a curva de intensidades {I_2} que é causada pela fenda 2. A intensidade resultante no entanto é {I_{12}=|h_1+h_2|^2= I_1+I_2+2I_1I_2 \cos \theta}. O último termo é responsável pela interacção da onda proveniente da fenda 1 com a onda proveniente da fenda 2. Assim sendo é este termo que é responsável pelo padrão de interferência.

— 6.2.3. Duas Fendas e Electrões —

Agora que estamos familiarizados com o comportamento de ondas e partículas vamos estudar o movimento de raios de electrões a passar por duas fendas. Pelo que se sabe dos electrões eles são partículas e como tal esperamos encontrar um comportamento igual ao representado na figura 6. No entanto isto é o que a Natureza tem para nós:

DuplaFendaElectroes

Experiência de dupla fenda com raios de electrões

\caption{Experiência de dupla fenda com raios de electrões}

No caso dos electrões temos que novamente pensar em termos de curvas de probabilidades e curvas de probabilidades são inerentes ao conceito de partículas. Contudo o que nós observamos é um padrão de interferências e isso é inerente a ondas…

Para podermos explicar os padrões que vemos temos que assumir que a cada probabilidade {P_i} está associada uma amplitude de probabilidade {\phi_i}. Para calcularmos a probabilidade devemos calcular o módulo quadrado da amplitude de probabilidade {P_i=\phi_i^2}. Assim antes de mais devemos calcular a soma da amplitude de probabilidades de passar pela fenda ou de passar pela fenda 2 e só depois devemos calcular o módulo quadrado desta amplitude para obtermos a probabilidade de um electrão passar pela fenda 1 ou de passar pela fenda 2: {P_{12}=|\phi_1+\phi_2|^2}.

Notar que no parágrafo anterior tratamos o electrão como sendo sempre uma partícula, ainda que seja uma partícula com propriedades muito especiais, e nunca em momento algum o tratamos como sendo uma onda que interfere consigo mesma. Tal tratamento há muito tempo se sabe estar errado, mas, por questões que só podem ser de nostalgia, é frequente encontrá-lo em muitos livros.

— 6.3. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Após a discussão de alguns dos motivos que levaram os físicos a procurarem um novo paradigma que permitisse fazer sentido do que se passava a nível atómico está na altura de introduzir as nossas habituais definições iniciais.

Definição 40 O estado quântico é definido pela especificação das grandezas físicas relevantes e é representado por uma função que toma valores complexos {\Psi(x,t)}
Definição 41 O momento linear de uma partícula é representado pelo operador

\displaystyle p=\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{d}{dx} \ \ \ \ \ (34)

Definição 42 A energia de uma partícula é representada pelo operador

\displaystyle E=i\hbar\dfrac{d}{dt} \ \ \ \ \ (35)

Definição 43 Para uma partícula livre as seguintes equações são válidas:

{\begin{aligned} \label{eq:relacoesdebroglie} k &=& \frac{\hbar}{p}\\ \omega &=& \frac{E}{\hbar} \end{aligned}}

— 6.4. Axiomas da Física Quântica —

Os axiomas que aqui vamos apresentar não são os mais gerais nem os mais convenientes para um tratamento maduro da Física Quântica mas são tudo o que necessitamos para cumprir com o âmbito do curso.

Axioma 10 O estado de um sistemas quântico evolui segundo a equação de Schroedinger:

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi= i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} \ \ \ \ \ (36)

Axioma 11 A probabilidade de que uma partícula seja encontrada no elemento de espaço {dx} denota-se por {P(x)dx} e é:

\displaystyle P(x)dx=|\Psi(x,t)|^2dx \ \ \ \ \ (37)

Axioma 12 Uma partícula quântica é sempre resultante de interferência construtiva.

A função deste axioma é captar de uma só vez a natureza dual do conceito de partícula em Física Quântica.

Axioma 13 O valor médio de uma grandeza física {A}, que se representa {\bar{A}}, é dado pela seguinte expressão:

\displaystyle \bar{A} = \int \Psi^*A\Psi \ \ \ \ \ (38)

Onde o integral se calcula na região relevante.

— 6.5. Ondas e Partículas —

— 6.5.4. Radiação de Corpo Negro —

Definição 44 Um corpo negro é um objecto que absorve toda a radiação electromagnética que nele incide.

Para explicar o espectro de radiação de um corpo negro Planck assumiu que a parede de uma cavidade era composta por ressoadores microscópicos que vibravam com frequências diferentes. Cada ressoador tinha a sua frequência própria {f} e devia emitir radiação com essa frequência e com qualquer valor de energia. No entanto Planck postulou que a energia de um ressoador só podia ser {E=nhf}. Ou seja que a radiação emitida ou absorvida no interior da cavidade só tomava valores discretos.

Com essa hipótese adicional Planck deduziu uma relação funcional entre a densidade de energia {u} o comprimento de onda da radiação {\lambda} (ou a sua frequência {\nu}) e a temperatura a que se encontra o interior da cavidade que se adequa aos dados experimentais:

{\begin{aligned} u(\lambda,T) & = & \frac{8\pi h c}{\lambda^5(e^{hc/(\lambda K_B T)}-1)}\\ u(\nu,T) & = & \frac{8\pi h \nu ^3}{\nu ^3(e^{h \nu/(K_B T)}-1)} \end{aligned}}

Recorrendo as equações 6 é possível demonstrar que a potência emitida por unidade de área, {e}, por um corpo negro é {e=\sigma T^4}.

Também é possível demonstrar que {\lambda T_{max}=k}. Sendo {k=2.898\times10^3\, \mathrm{mK}}

— 6.5.5. Efeito Fotoeléctrico —

Quando se faz incidir luz monocromática sobre uma superfície metálica observa-se que um certo número de electrões se liberta com uma energia muito bem definida. Para além disso sabemos também que existe uma frequência mínima que faz com que electrões se libertem da placa metálica e que o número de electrões libertados aumenta com o aumento da intensidade da luz mas a sua energia cinética não.

No contexto da teoria electromagnética da luz todos estes factos são inexplicáveis. No entanto se assumirmos que a luz se propaga em pacotes discretos de energia (isto é uma generalização enorme da hipótese de Planck que apenas assumiu que trocas de energia se davam de forma discreta) e que estes pacotes de energia são da forma {E=hf} o efeito fotoeléctrico é prontamente explicado.

A energia cinética dos electrões libertados é dada pela expressão {K=hf-\phi} onde {\phi} representa a energia de ligação dos electrões à placa metálica.

— 6.5.6. Átomo de Bohr —

A existência de átomos é segundo o electromagnetismo um acontecimento impossível. Segundo o electromagnetismo partículas carregadas em movimento acelerado deveriam emitir radiação continuamente.

Uma vez que os electrões orbitam em torno do núcleo o seu movimento é claramente acelerado. Assim sendo os electrões deveriam radiar energia continuamente fazendo com que a sua distância ao núcleo fosse cada vez menor até colidirem com o núcleo. Tal, obviamente, não é o que acontece.

Postulando que os electrões só podem orbitar em torno do núcleos em certas trajectórias( recorrendo ao Axioma 12 podemos demonstrar que nestas trajectórias o momento angular do electrão está restringido a ter valores discretos) podemos explicar a estabilidade dos átomos e prever certos fenómenos que sabemos ocorrer ao nível atómico.

Estes estados do electrão em que ele não pode emitir radiação chamam-se estados estacionários. Para transitar de um estado estacionário para outro estado estacionário o electrão deve emitir ou absorver um fotão e a energia deste fotão deve igualar a diferença de energia entre os estados estacionários.

\displaystyle E_i - E_f = hf \ \ \ \ \ (39)

\displaystyle m_e v r = n\hbar \ \ \ \ \ (40)

Com estas duas equações é possível prever que os raios permitidos dos electrões são da forma:

\displaystyle r_n= \frac{n^2 \hbar ^2}{m_e k e^2} \ \ \ \ \ (41)

Tomando {n=1} temos o raio menor raio possível (o raio de Bohr) que se denota por {a_0}.

E que as energias permitidas são da forma

\displaystyle E_n= - \frac{ke^2}{2a_0 n^2} \ \ \ \ \ (42)

Utilizando as equações 39 e 42 podemos calcular o comprimento de onda do fotão que permite a transição entre estados estacionários

\displaystyle \frac{1}{\lambda}= \frac{ke^2}{2a_0 h c}\left( \frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2} \right) \ \ \ \ \ (43)

A teoria do átomo de hidrogénio de Bohr também permite explicar o espectro de energia de alguns átomos ionizados.

— 6.5.7. Relação de Incerteza de Heisenberg —

O Axioma 12 diz-nos que para construirmos uma partícula devemos ter um interferência construtiva de ondas. Uma onda é algo que tem uma extensão infinita enquanto que uma partícula não poderia ter uma dimensão mais finita. De modo a obtermos uma partícula através da soma de ondas devemos então somar várias ondas de modo a que a sua soma seja diferente de 0 apenas numa região muito pequena do espaço. Em geral o número de ondas necessário será elevado.

Como cada onda tem o sua comprimento de onda, uma soma de um número elevado de ondas faz com que a partícula resultante tenha um comprimento de onda muito incerto

No limite de somarmos um número infinito de ondas chegamos à situação em que temos uma partícula perfeitamente localizada mas que tem um comprimento de onda totalmente incerto.

Por outra lado se tivermos uma só onda o seu comprimento de onda é totalmente certo e uma vez que uma onda tem uma extensão espacial infinita a sua posição é totalmente incerta.

Vemos que existe uma relação de proporcionalidade inversa entre a dispersão de uma partícula relativamente à sua posição e a dispersão de uma partícula relativamente ao seu comprimento de onda.

Fisicamente a quantidade de interesse é o momento linear e o seguinte resultado é válido:

\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (44)

que é a relação de incerteza de Heisenberg. {\Delta x} é a dispersão relativamente à posição da partícula e {\Delta p} é a dispersão relativamente ao momento linear da partícula.

É também possível provar com toda a generalidade que para a o tempo necessário para a transição de energia e para a energia transferida vale uma desigualdade análoga.

\displaystyle \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (45)

— 7. Aplicações da Equação de Schroedinger —

Neste capítulo vamos dar uso ao Axioma 10. Este axioma indica como varia um estado quântico ao longo do tempo e é vital para que possamos compreender a dinâmica a nível atómico.

De notar que o Axioma 10 é uma equação diferencial e como tal a teoria assim construída é determinista.

De acordo com o Axioma 11 A probabilidade de encontrar uma partícula no elemento de espaço {dx} é {| \Psi(x,t) |^2dx}. Assim sendo a probabilidade encontrar a partícula num intervalo { \left[ a,b \right]} é {\displaystyle \int_a^b | \Psi(x,t) |^2dx}.

Uma vez que a equação do Axioma 10 é uma equação linear sabemos que se {\Psi} é solução da equação de Schroedinger também {A\Psi} é uma solução da equação de Schroedinger.

Por outro lado temos que ter necessariamente

\displaystyle \displaystyle \int_{-\infty}^\infty | \Psi(x,t) |^2dx=1 \ \ \ \ \ (46)

Deste modo a constante complexa {A} fica fixada a menos de um factor de fase. Uma vez que este factor de fase é irrelevante no contexto deste curso a condição 46 efectivamente faz com que a nossa solução de Schroedinger tenha uma solução única.

De modo a simplificar a nossa discussão vamos supor que {\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)}. Deste modo em vez da equação {\displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi= i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}} que é equação à derivadas parciais temos:

i\hbar\frac{d\phi}{dt} = E\phi

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}+U(x)\psi = E\psi

Que são duas equações diferenciais ordinárias.

Da primeira equação vem que a dependência temporal da função de onda é {\phi(t)=e^{-i\omega t}}. A segunda equação é conhecida como a equação de Schroedinger independente do tempo e é sobre ela que nos vamos debruçar nas secções seguintes.

— 7.1. Poço de Potencial Infinito —

pocopotencialinfinito

Apesar de esta situação ser bastante artificial a nível físico a sua componente didáctica é bastante elevada e convém ser estudado de modo a que possamos entender exemplos que tenha alguma relevância física.

Nesta situação a partícula desloca-se ao longo de um comprimento {L} onde não sofre a influência de nenhuma energia potencial. Mas ao chegar as extremidades do comprimento temos {U(0)=U(L)=+\infty}. Que é um potencial infinitamente repulsivo.

Para {x>L} ou {x<0} é obviamente {\psi(x)=0}.

Dentro da região onde o movimento é permitido temos {\psi(x)=A\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)}. Solução que nos diz que os valores de energia que a partícula pode ter não mais fazem parte de um intervalo contínuo mas que passam a ser valores discretos.

funcoesondapocopotencialinfinito

— 7.2. Poço de Potencial Finito —

pocopotencialfinito

Uma situação mais realista é dizermos que uma partícula se desloca ao longo de uma região onde não está sujeita a nenhuma energia potencial e que nas extremidades desta região encontra um potencial {U(0)=U(L)=c}. Um potencial que é repulsivo mas finito.

Se assumirmos que {E<U} ou seja que a energia da partícula é inferior à energia potencial repulsiva vemos que as soluções de 7 permitem uma probabilidade não nula de encontrar a partícula fora da região onde estava inicialmente confinada.

funcoesondapocopotencialfinito

— 7.3. Oscilador Harmónico —

Para oscilações pequenas em torno de um ponto de equilíbrio sabemos que qualquer função de energia potencial pode ser aproximada por uma função quadrática. Assim a dinâmica resultante para partículas que tenham pequenos deslocamentos em torno de uma posição de equilíbrio é em primeira aproximação a dinâmica de um movimento harmónico.

Para o oscilador harmónico a equação de Schroedinger é

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d ^2 \psi}{d x^2}+\frac{1}{2}m\omega x^2\psi= E\frac{d \psi}{d t}

Não iremos resolver esta equação de forma exacta mas por argumentos heurísticos vamos propor uma solução possível para o estado fundamental.

Pelos exemplos anteriores vimos que no estado fundamental a função de onda nunca tomava o valor 0 mas aproximava-se dele assintoticamente. Vimos também que as soluções por nós encontradas reflectiam a simetria da energia potencial.

Assim sendo esperamos que o mesmo aconteça neste caso. Uma possível solução será então uma função da forma { \psi(x)=C_0e^{-\alpha x^2}}

Substituindo esta função na equação de Schroedinger vemos que { \alpha=\dfrac{m \omega}{2 \hbar}} e que { E=1/2\hbar\omega }. O que mostra que a energia de um oscilador harmónico quântico no estado fundamental não é zero.

É possível demonstrar que {E_n=(n+1/2)\hbar\omega}

— Bibliografia —

  • Physics for Scientists and Engineers 6th Edition R. A. Serway, J. W. Jewett
  • Modern Physics 3rd Edition R. A. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer
  • The Evolution of Physics A. Einstein, L. Infeld
  • Física Atómica 4ª edição Max Born
  • The Feynman Lectures on Physics Feynman, Leighton , Sands

Tópicos de Física Moderna – Parte II

— 3. Oscilações e Ondas —

Neste capítulo vamos introduzir algumas noções relacionadas com o movimento ondulatório em geral. Vamos também ver dois fenómenos que no contexto da mecânica clássica só podem ser explicados recorrendo ao conceito de onda.
As ondas e as oscilações são casos particulares de movimento oscilatório e como tal há conceitos básicos que são comuns aos dois tipo de fenómenos:

Definição 18 Período é o intervalo de tempo mínimo necessário para que dois pontos de um mesmo fenómeno ondulatório estejam no mesmo estado físico. O período representa-se pelo símbolo {T}.
Definição 19 Frequência é o número de ciclos de um fenómeno ondulatório que ocorre durante um segundo. Representa-se pela letra {f} e calcula-se utilizando a seguinte expressão {f=1/T}.
Definição 20 A frequência angular é { \omega = 2\pi/T=2\pi f }

— 3.1. Oscilações —

Nesta secção vamos apenas estudar o movimento harmónico. Este é um tipo de movimento importante uma vez que em primeira aproximação muitos tipos de movimentos oscilatório podem ser aproximados pelo movimento harmónico.

Imaginemos que temos uma partícula que se desloca ao longo de uma posição de equilíbrio e está sujeita a uma força {F}.

Definição 21 Um movimento diz-se harmónico quando num movimento oscilatório a força é proporcional ao deslocamento relativo à posição de equilíbrio e tem o sentido oposto ao do deslocamento.

\displaystyle F=-k x

Recorrendo ao Axioma 2 e introduzindo {k/m=\omega^2} podemos escrever a equação que descreve o movimento harmónico como

\displaystyle \frac{\partial ^2 x}{\partial t^2}=-\omega ^2 x \ \ \ \ \ (13)

As equações desta solução podem ser da forma {x(t)=A\cos (\omega t + \theta)} em que {A} é o deslocamento máximo relativamente à posição de equilíbrio e {\theta} é a fase que especifica qual a posição inicial da partícula.

No caso do movimento harmónico as definições 18 e 19 podem ser escritas na forma {T=2\pi \sqrt{m/k} } e {f=1/(2\pi) \sqrt{k/m} }.

Para um movimento oscilatório a energia cinética e potencial são:

  • {K=\dfrac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2( \omega t + \theta ) }
  • {U=\dfrac{1}{2} k A^2 \cos^2( \omega t + \theta ) }

Assim sendo a energia total do sistema é {E=\dfrac{1}{2}kA^2}

— 3.2. Ondas —

Definição 22 Uma onda é uma perturbação que se propaga transportando energia.
Definição 23 Comprimento de onda, {\lambda}, é a distância mínima entre dois pontos da onda que se encontrem nas mesmas condições.
Definição 24 A velocidade uma onda com comprimento de onda {\lambda} e período {T} é {c=\lambda/T=\lambda f}
Definição 25 O número de onda é {k=2\pi/\lambda}

É possível demonstrar que a equação que representa a propagação de uma perturbação {\phi} que se move com velocidade constante {c} é:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial t^2} \ \ \ \ \ (14)

Com as definições anteriores é imediato ver que equações da forma {f_1=A\sin(kx \pm \omega t)} e {f_2=A\cos(kx \pm \omega t)} são soluções de 14. Estas funções chamam-se sinusoidais, {A} é a amplitude e representa o deslocamento máximo, relativamente à posição de equilíbrio, da entidade que está a vibrar.

Em geral podemos dizer que uma onda progressiva que se propaga para a direita é sempre da forma {f=f(x-ct)} enquanto que uma onda que se propague para a esquerda é sempre da forma {g=g(x+ct)}, onde {f} e {g} são funções a especificar.

Uma vez que a equação de onda é linear sabemos que qualquer combinação linear soluções da equação 14 é ainda uma solução da equação 14.

Para que as soluções tenham sentido físico devemos impor certas condições que as equações devem obedecer em determinadas regiões do espaço. Estas condições chamam-se condições de fronteira e o seu efeito é restringir o conjunto de valores que as soluções podem tomar.

As soluções de onda que respeitam as condições fronteira têm o nome de modos normais de vibração.

Quando uma onda se propaga e encontra a fronteira entre dois meios diferentes dois acontecimentos podem ocorrer:

  1. Transmissão: alguma da energia da onda propaga-se no segundo meio.

    transmissaoonda

    Transmissão de um Pulso de Onda

  2. Reflexão: toda a energia da onda se propaga no primeiro meio mas com o sentido oposto.

    reflexaoonda3

    Reflexão de um Pulso de Onda

Quando duas ondas sinusoidais da mesma amplitude e frequência que se propagam em sentidos opostos geram uma onda resultante cuja equação é dada por {f=2A\sin kx \cos \omega t}. Esta é a equação de uma onda estacionária.

— 3.3. Interferência —

Quando duas ondas do mesmo comprimento de onda e diferença de fase constante se encontram dá-se o fenómeno de interferência .

Se as duas ondas se encontrarem na mesma região do espaço e tiverem a mesma fase a interferência diz-se construtiva e a amplitude do onda resultante é igual à soma das amplitudes de cada onda original.

interferenciaconstrutivapulsoondas

Interferência Construtiva de dois Pulsos de Onda

Se as duas se encontram na mesma região do espaço em oposição de fase a interferência diz-se destrutiva e a amplitude da onda resultante é igual à subtracção da amplitude das duas ondas originais.

interferenciadestrutivapulsoondas

Interferência Destrutiva de dois Pulos de Onda

A figura seguinte mostra uma representação esquemática de uma realização experimental para se observar um padrão de interferências:

InterferenciaOndas

Padrão de Interferência

— 3.4. Difracção —

Quando luz de comprimento de onda bem definido incide numa barreira com uma abertura {d} acontece um fenómeno chamado difracção . Cada porção da fenda age como se fosse uma fonte independente e ondas provenientes de porções diferentes têm fases diferentes. Da sua interacção pode resultar interferência construtiva ou interferência destrutiva.

A figura seguinte mostra uma representação esquemática de uma realização experimental para se observar o fenómeno de difracção:

PadraoDifraccao

Difracção

— 4. Electromagnetismo —

A teoria do Electromagnetismo é a primeira teoria Física a ter uma natureza moderna. É uma teoria de campo e para além do mais é uma teoria relativista.

— 4.1. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Para criar uma teoria electromagnética devemos primeiro introduzir uma nova grandeza fundamental. Essa grandeza é a carga eléctrica que se representa pelo símbolo {Q} e a sua unidade no sistema internacional é o coulomb cujo símbolo é {\mathrm{C}}.

Definição 26 Campo eléctrico é um campo vectorial, denotado pelo símbolo {\vec{E}}, criado por uma carga eléctrica {q} (carga fonte).
Definição 27 Um campo eléctrico {\vec{E}} estabelece entre dois pontos {a} e {b} uma diferença de potencial {\displaystyle \Delta V=-\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{s} }
Definição 28 A força eléctrica {\vec{F}_e} surge da interacção de uma partícula de carga {q_2} (carga de teste) com o campo eléctrico criado por uma partícula de carga {q_1}.

\displaystyle \vec{F}_e=\vec{E}_1q_2 \ \ \ \ \ (15)

Definição 29 Uma carga eléctrica {q_0} que se desloque de {a} para {b} num campo eléctrico {\vec{E}} faz com que a energia potencial do sistema varie da seguinte forma {\displaystyle \Delta U=-q_0\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{s} }
Definição 30 Um campo eléctrico ao passar por uma superfície {S} de forma arbitrária estabelece um fluxo eléctrico {\Phi_E} que é dado peça seguinte expressão

\displaystyle \Phi_E = \int_S \vec{E}\cdot d\vec{A} \ \ \ \ \ (16)

onde {d\vec{A}} representa o vector de norma {dA}, direcção perpendicular à superfície.

Definição 31 Corrente eléctrica é a taxa de fluxo de carga eléctrica por unidade de tempo. Se consideramos o seu valor médio é {I_m = \Delta Q/\Delta t}. Se consideramos o seu valor instantâneo é {I=\dfrac{dQ}{dt}}
Definição 32 Campo magnético é um campo vectorial, denotado pelo símbolo {\vec{B}}, criado por uma carga eléctrica em movimento.
Definição 33 A força magnética {\vec{F}_B} surge da interacção de uma partícula de carga {q} com o campo magnético criado por uma partícula de carga {q_1}.

\displaystyle \vec{F}_B= q\vec{v}\times\vec{B} \ \ \ \ \ (17)

Definição 34 Um campo magnético ao passar por uma superfície {S} de forma arbitrária estabelece um fluxo magnético {\Phi_B} que é dado peça seguinte expressão

\displaystyle \Phi_B = \int_S \vec{B}\cdot d\vec{A} \ \ \ \ \ (18)

onde {d\vec{A}} representa o vector de norma {dA} e direcção perpendicular à superfície {S}.

— 4.2. Axiomas de Maxwell —

No interesse da consistência as equações de Maxwell serão denominadas por axiomas de Maxwell uma vez que o seu papel na teoria do electromagnetismo poder ser considerado equivalente ao papel de axiomas.

Apenas apresentaremos estes axiomas na sua forma integral ainda que estas equações possam ser expressas de modo totalmente equivalente por equações diferenciais.

Axioma 4

\displaystyle \oint \vec{E}\cdot d \vec{A}=\frac{q_{in}}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ (19)

Axioma 5

\displaystyle \oint \vec{B}\cdot d \vec{A}=0 \ \ \ \ \ (20)

Axioma 6

\displaystyle \oint \vec{E}\cdot d \vec{s}=-\frac{d\Phi_B}{dt} \ \ \ \ \ (21)

Axioma 7

\displaystyle \oint \vec{B}\cdot d \vec{s}=\mu_0 I+ \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \ \ \ \ \ (22)

O primeiro axioma diz-nos o fluxo eléctrico que passa por uma superfície fechada é proporcional à carga contida no interior da superfície. O segundo axioma é equivalente à afirmação de que não existem cargas magnéticas.

O terceiro axioma expressa o facto que campos magnéticos que variam no tempo criam campos eléctricos. Por sua vez estes campos eléctricos não conservativos são responsáveis por criarem uma diferença de potencial {\oint \vec{E}\cdot d \vec{s} = \varepsilon } ao longo de um circuito eléctrico.

O quarto axioma expressa o facto que campos eléctricos que variam no tempo e correntes eléctricas criam campos magnéticos. O termo {\epsilon_0 \dfrac{d\Phi_E}{dt}} é denominado de corrente de deslocamento.

— 4.2.1. Consequências dos Axiomas de Maxwell —

Recorrendo ao axioma 4 e ao conceito de superfície Gaussiana podemos determinar a a expressão matemática do campo eléctrico de algumas distribuições de carga.

Uma superfície gaussiana tem que ter alguns dos seguintes atributos para permitir o cálculo de { \vec{E} }:

  • O valor do campo eléctrico deve ser constante na superfície.
  • A seguinte simplificação deve ser possível { \vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA }.
  • {\vec{E}\cdot d\vec{A}=0}.
  • O valor do campo eléctrico é 0 na superfície.

Para o caso de uma carga pontual isolada a superfície gaussiana em questão é uma superfície esférica centrada na carga. Neste caso conseguimos obter os dois primeiros atributos e vem:

\displaystyle \vec{E}=k_e\frac{q}{r^2}\hat{r} \ \ \ \ \ (23)

Se definirmos {V(\infty)=0} vem que o potencial eléctrico de uma carga pontual é:

\displaystyle V=k_e\frac{q}{r}\hat{r} \ \ \ \ \ (24)

E deste modo a energia de interacção entre uma carga {q_1} e uma carga {q_2} separadas de uma distância {r} é:

\displaystyle U=k_e\frac{q_1 q_2}{r} \ \ \ \ \ (25)

Para um campo eléctrico uniforme vem que a diferença de potencial entre dois pontos separados de uma distância {d} é {\Delta V=-Ed}

Outras consequências dos axiomas de Maxwell serão exploradas nas series de exercícios.

— 4.3. Ondas Electromagnéticas —

Os axiomas 6 e 6 permitem deduzir que

\displaystyle \frac{\partial ^2 E}{\partial x^2}=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 E}{\partial t^2} \ \ \ \ \ (26)

\displaystyle \frac{\partial ^2 B}{\partial x^2}=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 B}{\partial t^2} \ \ \ \ \ (27)

Se identificarmos {c=1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} vemos que as equações 26 e 27 são equações de onda progressivas que se deslocam com a velocidade {c}.

É um facto experimental que a velocidade de propagação de luz tem um valor muito próximo de {c} e assim surge como hipótese o facto da luz nada mais ser do que um tipo de radiação electromagnética.

Esta hipótese foi posteriormente confirmada experimentalmente por Hertz e é um dos mais espectaculares sucessos da teoria electromagnética.

Outro facto interessante que provém da teoria electromagnética é que {c} é invariante. Isto é uma directa contradição ao que tínhamos visto anteriormente no contexto da Mecânica Clássica (secção 2).

— 5. Teoria da Relatividade Restrita —

Neste momento temos uma codificação bastante boa e consistente de um vasto conjunto de dados experimentais. No entanto temos duas situações algo espinhosas entre as nossas mãos. Em primeiro lugar as transformações de Galileu apenas afirmam a invariância das leis da mecânica. Em segundo lugar temos que a teoria electromagnética prevê que a velocidade da luz não depende do referencial inercial.

A resolução destes problemas no início do século XX acarretou uma profunda revisão dos conceitos de espaço e tempo e os conceitos de massa, energia e inércia.

— 5.1. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Definição 35 Espaço-tempo é um espaço com três dimensões espaciais e uma dimensão temporal.
Definição 36 Um acontecimento é um ponto no espaço tempo.

Quer isto dizer que de agora em diante deixaremos de pensar no tempo como um parâmetro e que o nosso ênfase na especificação do estado de uma partícula passará para a posição que ela ocupa no espaço-tempo em vez de se focar no seu estado mecânico.

— 5.2. Axiomas de Einstein —

Axioma 8 As leis da Física têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais.
Axioma 9 As ondas electromagnéticas têm a mesma velocidade em todos os referenciais inerciais.

O primeiro axioma é uma generalização do que se chama de Princípio de Galileu e o segundo axioma apenas é o constatar de um facto experimental. À primeira vista estes dois axiomas parecem ser incoerentes, mas tal é apenas fruto dos nossos preconceitos relativamente à natureza do espaço e do tempo.

— 5.3. Transformações de Lorentz —

Imaginemos um mesmo acontecimento {P} que é descrito em dois referenciais inerciais diferentes {S} e {S'}. Vamos supor que {S'} se move relativamente a {S} com uma velocidade constante {v} e que as origens dos dois referenciais coincidem para {t=0}.

referenciaistransformacoesgalileu

É agora nossa tarefa deduzir as equações que permitam transformar as coordenadas de um referencial para as coordenadas de outro.

Primeiro que tudo vamos notar que devido ao axioma 8 podemos escrever {x'=\gamma(x-vt)} e {x=\gamma(x'+vt')}.

Talvez seja conveniente realçar o facto de termos escrito {t'} na segunda equação e que isto quer dizer que a natureza do tempo não é assumida mas sim deduzida.

Após alguma manipulações algébricas obtemos

\displaystyle \gamma=\frac{1}{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} } \ \ \ \ \ (28)

Ou seja as nossas transformações, denominadas por transformações de Lorentz são

{\begin{aligned} \label{eq:transformacoeslorentz} x' & = & \gamma(x-vt)\\ y' & = & y\\ z' & = & z\\ t' & = & \gamma\left(t-\dfrac{vx}{t^2}\right) \end{aligned}}

— 5.4. Consequências das Transformações de Lorentz —

As transformações cuja forma acabamos de deduzir têm consequências que parecem verdadeiramente incríveis ao senso comum:

  • O espaço e o tempo não mais são entidades absolutas.
  • O conceito de acontecimentos simultâneos é relativo ao referencial.
  • O comprimento de corpos em movimento encurta na direcção do seu movimento.
  • A fórmula para a adição de velocidades tem que ser revista.
  • Os conceitos de massa, energia e inércia devem ser repensados.

Entender o porquê da primeira consequência é trivial tendo em conta a forma das transformações de Lorentz. A segunda, terceira e quarta consequências serão demonstradas como exercícios e a última consequência será estudada na secção 5.

— 5.5. Relação entre Massa e Energia —

De modo a obtermos a conservação do momento linear utilizando as transformações de Lorentz a definição de momento linear (definição 14) deve ser revista.

Definição 37 O momento linear de uma partícula que se desloca com velocidade {\vec{v}} é

\displaystyle \vec{p}=\gamma m \vec{v} \ \ \ \ \ (29)

Definição 38 Quando o momento linear de uma partícula varia dizemos que a partículas está a ser actuada por uma força

\displaystyle \vec{F}=\frac{d}{dt}(\gamma m \vec{v}) \ \ \ \ \ (30)

A revisão dos conceitos de momento linear e força no contexto da teoria da relatividade implicam necessariamente a revisão do conceitos de energia cinética e do conceito de inércia.

Sabemos que uma força realiza trabalho sobre uma partícula ao longo de um determinado deslocamento.

\displaystyle W= \int_{x_1}^{x_2} F dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{dp}{dt} dx = mc^2(\gamma-1)

Se a força actua na partícula estando esta primeiramente em repouso é

\displaystyle K=mc^2(\gamma-1) \ \ \ \ \ (31)

Uma vez que {mc^2} é a energia associada a uma partícula quando esta está em repouso {\gamma mc^2} tem que ser a soma da sua energia cinética com a energia em repouso.

Definição 39 A energia total de uma partícula é dada pela equação

\displaystyle E=\gamma m c^2 \ \ \ \ \ (32)

Com a definição normal de trabalho e a definição relativista de força concluímos que a energia de uma partícula está relacionada com a sua massa. Quando {\gamma=1} (partícula em repouso) temos {E=mc^2}.

Uma vez que na física moderna o conceito de momento linear tem sentido físico enquanto que o conceito de velocidade não, é costume escrever a equação 32 na forma

\displaystyle E^2=(mc^2)^2+(pc)^2 \ \ \ \ \ (33)

Esta última equação indica que a massa e a energia são apenas duas faces de uma mesma moeda e que se podem converter uma na outra.

Para além disso também demonstra que a inércia, no contexto relativista, deixa de ser vista como uma medida da massa da partícula e passa a ser vista como uma medida da massa e do momento linear da partícula.

Tópicos de Física Moderna – Parte I

— Introdução —

O objectivo destes apontamentos é servirem de apoio aos estudantes do Engenharia Informática da Faculdade de Engenharia da Universidade Católica de Angola numa breve introdução aos conceitos de Física Moderna.
Uma vez que neste apontamentos os alunos não encontrarão exercícios resolvidos, para além de alguns simples exemplos, e que nem tudo o que será dito nas aulas constará destes apontamentos (a escassez de diagramas é, talvez, a sua falha mais evidente e os poucos diagramas que se encontram nestas folhas devem-se aos livros que constam da bibliografia) a presença nas aulas é fortemente recomendada.

Como se tal não bastasse, nem tudo que será escrito nestes apontamentos será dito nas aulas, e assim a relação entre os apontamentos e as aulas é de complementaridade.

O objectivo deste curso é introduzir alguns conceitos de Física Moderna de uma forma acessível. Como tal será feita uma breve revisão de alguns conceitos, pressupostos e resultados da mecânica clássica, ainda que utilizando alguma terminologia e conceitos mais modernos, e só depois a Física Relativista e Física Quântica serão introduzidas e estudadas.

Os temas que iremos tratar ao longo deste curso serão (quase) sempre introduzidos da mesma maneira: umas quantas definições de conceitos iniciais, uma exposição dos axiomas que regulam o comportamento das entidades definidas e os resultados que se seguem após o enunciado dos axiomas.

Sei bem que esta não é a maneira corrente de ensinar muitos destes tópicos a um nível introdutório, mas escolhi assim fazê-lo porque tal permite brevidade de exposição dos temas tratados e porque me parece que as teorias assim retratadas são manifestamente mais elegantes.

Espero que o que se ganhe em tempo e elegância não seja compensado por uma correspondente perda em pedagogia.

Aos alunos mais interessados recomenda-se a leitura do livro de A. Einstein e L. Infeld A Evolução da Física.

— Desiderata —

Apesar de ao longo do nosso curso nós praticamente não considerarmos experiências, a Física é, acima de tudo, uma ciência exacta e experimental. Assim sendo o seu objectivo deve ser a codificação de um conjuntos de dados experimentais por meio de modelos que permitam uma interpretação dos fenómenos que se decide estudar.

Um facto extraordinário é que a partir da codificação e interpretação de um certo conjunto de dados iniciais por parte de um modelo podemos utilizar esse mesmo modelo para prevermos uma nova classe de fenómenos. O confronto destas previsões com resultados experimentais permitirá concluir qual o domínio de validade da teoria construída.

Vamos então codificar os dados experimentais e construir um modelo que nos permita explicar e entender uma parte do mundo que temos à nossa volta.

— 1. Considerações Iniciais —

Podemos dizer sem estarmos muito longe da verdade que a Física fundamental moderna tem na sua essência três concepções fundamentais:

  1. O conceito de campo.
  2. A Relatividade.
  3. A Física Quântica

O conceito de campo é comum à praticamente todo o nosso curso por isso vamos já defino-lo:

Definição 1 Campo é um objecto matemático que tem um valor definido num dado conjunto de pontos do espaço.
Definição 2 Um campo diz-se vectorial quando os seus valores são grandezas vectoriais.
Definição 3 Um campo diz-se escalar quando os seus valores são grandezas escalares.

As equações de campo que vamos descrever representam sempre interacções lineares. Assim podemos considerar cada interacção proveniente de um campo como sendo independente das outras interacções e a resultante é simplesmente a soma de todas as interacções.

Associada ao conceito de campo temos o conceito de energia potencial . Esta energia deve-se à interacção da partícula com o campo {\vec{A}} e em geral é proporcional a {\displaystyle\int_a^b\vec{A}\cdot d\vec{s}} onde {d\vec{s}} é o vector deslocamento infinitesimal.

— 2. Mecânica —

A Mecânica Newtoniana é a primeira teoria Física que vamos estudar. Surgiu no século XVII, ganhou maturidade nos séculos XVIII e XIX e rejuvenesceu no século XX.

Este primeiro capítulo será uma introdução muito breve e superficial dos seus triunfos e resultados, mas ainda assim espero demonstrar alguma da sua extrema elegância e profundidade.

— 2.1. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Todas as grandezas mecânicas podem ser expressas em unidades que derivam das unidades das três grandezas seguintes:

  • Comprimento que se representa pela letra {L}.
  • Tempo que se representa pela letra {T}.
  • Massa que se representa pela letra {M}. Na mecânica clássica a massa de um corpo é uma indicação da sua resistência a alterar o seu estado de movimento. Esta característica tem o nome de inércia .

As unidades que utilizámos para expressar estas grandezas não têm nada de essencial e são puramente convencionais. Neste curso iremos utilizar o sistema internacional e vem que {\left[ L \right] =m}, {\left[ T \right] =s} e {\left[ M \right] = \mathrm{Kg}}.

Definição 4

Um referencial é um conjunto de eixos que permitem representar os graus de liberdade do sistema em estudo e um ponto arbitrário que serve como origem.

Definição 5 Um referencial diz-se inercial : quando possui as seguintes propriedades:

  • Espaço é homogéneo (todos os pontos são equivalentes) e isotrópico (não existem direcções privilegiadas).
  • Tempo é homogéneo (todos os instantes de tempo são equivalentes).
Definição 6 Posição é o lugar geométrico que a partícula ocupa num dado instante de tempo num referencial.
Definição 7 Trajectória é o lugar geométrico das sucessivas posições que a partícula ocupa num intervalo de tempo.
Definição 8 Deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial de uma partícula. Normalmente representamos o deslocamento através do símbolo {\Delta \vec{x}}.

Sabemos pela experiência que os corpos se deslocam percorrendo deslocamentos diferentes em intervalos de tempo diferentes. O conceito que relaciona a variação da posição de uma partícula com o intervalo de tempo necessário para essa variação ocorrer é chamado de velocidade . Mas em física convém sermos mais rigorosos e definirmos dois tipos diferentes de velocidade.

Definição 9 Velocidade média : grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da posição para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{v}_m=\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (1)

Definição 10 Velocidade instantânea : grandeza vectorial que permite calcular a variação da posição para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (2)

Uma vez que a velocidade das partículas também varia, fenómeno que recebe o nome de aceleração }, podemos introduzir as seguintes definições:

Definição 11 Aceleração média : grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da velocidade para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{a}_m=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (3)

Definição 12 Aceleração instantânea : grandeza vectorial que permite calcular a variação da velocidade para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{v}}{dt} \ \ \ \ \ (4)

Convém ainda dizer que normalmente diz-se apenas velocidade (aceleração) em vez de velocidade instantânea (aceleração instantânea).

Associado ao conceito de velocidade temos dois conceitos físicos. Um deles escalar, e portanto fornece menos informação sobre o movimento da partícula, e o outro vectorial.

Definição 13 Energia cinética : energia associada ao movimento de uma partícula e defini-se como sendo:

\displaystyle K=\dfrac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \ \ \ \ \ (5)

Definição 14 Momento linear : grandeza vectorial associada ao movimento de uma partícula.

\displaystyle \vec{p}=m \vec{v}=m \dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (6)

Vemos então o porquê da afirmação da energia cinética conter menos informação sobre o movimento da partícula do que o movimento linear. Pela sua definição a energia cinética não nos dá informação sobre a direcção da velocidade da partícula enquanto que o momento linear nos diz tanto a direcção e a magnitude da velocidade.

Em termos mais prosaicos: o momento linear diz para onde vai a partícula e com que velocidade vai. A energia cinética apenas nos diz com que velocidade vai a partícula.

Definição 15

O estado mecânico de uma partícula é especificado através da determinação simultânea e de precisão infinita das suas coordenadas e do seu momento linear.

— 2.2. Axiomas de Newton —

Até ao momento temos os intervenientes da nossa peça mas ainda não temos as regras que deverão guiar as suas interacções. Estas regras são dadas pelos três axiomas de Newton.

Axioma 1 Existe um referencial inercial onde o momento linear de uma partícula livre mantém sempre o mesmo valor.

Este enunciado não é o que habitualmente se apresenta como a “Primeira Lei de Newton”. Convém então dar uma explicação do porquê da forma deste enunciado.

Anteriormente definimos um referencial inercial, mas a definição que demos é de carácter puramente matemático. Nada neste mundo implica a existência da estrutura matemática que definimos e a função da “Primeira Lei de Newton” é exactamente estipular a existência de um tal referencial no mundo em que habitamos. A justificação desta arrojada hipótese é o espectacular acerto das previsões que a teoria de Newton faz e os resultados obtidos em experiências.

De notar que o habitual enunciado da “Primeira Lei de Newton” está errado em referenciais não inerciais. Uma vez que o habitual enunciado não especifica a que tipo de referencial se refere também ele está, consequentemente, errado.

Outro pormenor interessante é que o Axioma 1 apenas exige a existência de um referencial inercial, mas podemos concluir que existe um número infinito de referenciais inerciais.

Sabemos que num referencial inercial o espaço é homogéneo e isotrópico e que o tempo é homogéneo. Assim sendo o ponto que escolhemos como origem nada tem de especial e podemos efectuar uma translação para um outro ponto qualquer e passar a considerar esse novo ponto como sendo a origem de um novo referencial inercial.

Para além disso podemos rodar todos os nossos eixos em simultâneo e obter novos eixos. Estes novos eixos apenas se distinguem dos antigos por terem novas direcções. Uma vez que o espaço é isotrópico tal facto não acarreta nada de novo e assim este novo referencial continua a ser inercial.

Outra transformação que podemos fazer é obter um referencial que se mova com velocidade constante relativamente ao primeiro referencial. Novamente este situação nada tem de novo e os referenciais continuam a ser equivalentes.

Uma vez que o tempo é homogéneo o instante de tempo que se convencionou ser {0} nada tem de especial. Ou seja um referencial que se obtém de um referencial inercial, alterando o que se considera como sendo o instante inicial, também é um referencial inercial.

Para finalizar temos ainda que dizer que qualquer composição destas transformações também produz um referencial inercial.

Axioma 2

Se o momento linear de uma partícula varia num referencial inercial diz-se que essa partícula foi actuada por uma força, {\vec{F}}, que se calcula utilizando a seguinte expressão: {\vec{F}= \dfrac{d\vec{p}}{dt}}.

Este axioma reduz-se a {\vec{F}=m\vec{a}} quando a massa da partícula é constante. No que se segue iremos sempre considerar que a massa da partícula é constante.

Axioma 3

Quando dois objectos interagem entre si a força {\vec{F}_{12}} (força que o objecto 1 exerce sobre o objecto 2) tem a mesma direcção, é igual em intensidade à força {\vec{F}_{21}} (força que o objecto 2 exerce sobre o objecto 1), mas tem o sentido oposto. {\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}}

— 2.3. Cinemática e Dinâmica —

Nesta secção vamos introduzir muito esquematicamente considerações que visam descrever e explicar o movimento de uma partícula.

— 2.3.1. Equações de Movimento —

Das definições de aceleração e velocidade que introduzimos na secção 2 resulta o seguinte

\displaystyle d\vec{v}= \vec{a}dt \Rightarrow \int_{t_0}^t d\vec{v}= \int_{t_0}^t \vec{a}dt \Rightarrow \vec{v}(t)-\vec{v}(t_0)=\int_{t_0}^t \vec{a}dt \ \ \ \ \ (7)

Uma vez que a relação funcional da aceleração em função do tempo não é conhecida o lado direito da última igualdade não pode ser calculado.

Temos ainda

\displaystyle d\vec{x}= \vec{v}dt \Rightarrow \int_{t_0}^t d\vec{x}= \int_{t_0}^t \vec{v}dt \Rightarrow \vec{x}(t)-\vec{x}(t_0)=\int_{t_0}^t \vec{v}dt \ \ \ \ \ (8)

Onde também não prosseguimos o cálculo visto que desconhecemos a expressão {\vec{v}(t)}.

Se consideramos que {\vec{a}} é constante no tempo (movimento uniformemente acelerado)podemos resolver a equação 2, { \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}(t-t_0)}, e após substituição na equação 8 obtemos

\displaystyle \vec{x}(t)=\vec{x}_0+\vec{v}_0(t-t_0)+\frac{1}{2}\vec{a}(t-t_0)^2 \ \ \ \ \ (9)

No caso {\vec{a}=\vec{0}} o movimento diz-se rectilíneo uniforme.

— 2.3.2. Transformações de Galileu —

Tínhamos visto após o axioma 1 que existe uma infinidade de referenciais inerciais. Faz então sentido perguntarmo-nos como podemos saber as coordenadas e velocidade de um ponto material num segundo referencial inercial.

Imaginemos que temos dois referenciais {S} e {S'} cujas origens coincidem no instante de tempo que convencionámos tomar como origem do tempo. Para além disso {S'} move-se com uma velocidade {\vec{v}_0} relativamente a {S}.

transformacaogalileu

Pela adição de vectores é {\vec{v}_0 t+\vec{r}'=\vec{r}} que podemos escrever na forma de componentes:

{\begin{aligned} x' & = & x-v_{0x}t\\ y' & = & y-v_{0y}t\\ z' & = & z-v_{0z}t \end{aligned}}

Derivando as anteriores equações em ordem ao tempo

{\begin{aligned} v'_x & = & v_x-v_{0x}\\ v'_y & = & v_y-v_{0y}\\ v'_z & = & v_z-v_{0z} \end{aligned}}

As transformações de Galileu são equivalentes à afirmação que a forma das equações da Mecânica não depende do referencial inercial que se escolhe para estudar o movimento.

— 2.3.3. Movimento circular —

Uma vez que a velocidade é uma grandeza vectorial uma partícula diz-se acelerada não só quando a velocidade varia em módulo mas também quando varia em direcção.

Para o movimento ser circular tem que existir uma força que se chama força radial, { \vec{F}_r }, que em todos os pontos da trajectória da partícula tem a direcção do centro. Esta força causa uma aceleração radial, também chamada centrípeta, cuja expressão matemática é {a_c=v^2/r}.

A aceleração responsável pela variação da velocidade em módulo é a aceleração tangencial, {a_t}.

— 2.4. Campo Gravítico —

A lei da gravitação universal diz que todas as partículas do Universo atraem todas as outras partículas do Universo com uma força que é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa e directamente proporcional ao produto das suas massas.

Enunciada desta forma esta lei tem o problema de implicar que a interacção gravítica é instantânea. Para solucionarmos este problema vamos apresentar a gravidade como sendo um propriedade emergente de um campo.

Definição 16 Campo Gravítico: Campo vectorial, {\vec{g}}, criado por um corpo de massa {m_1} em todos os pontos do espaço (excepto no ponto onde se encontra) que é responsável pela interacção gravítica.

\displaystyle \vec{g}=G\frac{m_1}{r^2}\hat{r} \ \ \ \ \ (10)

Quando uma partícula de massa {m_2} é colocada num ponto do espaço onde existe um campo gravítico {\vec{g}} a partícula interage com este campo gravítico. Ao interagir com o campo gravítico a partícula de massa {m_2} fica sob a acção de uma força {\vec{F}_g} cuja expressão matemática é

\displaystyle \vec{F}_g=\vec{g}m_2=G \frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{r} \ \ \ \ \ (11)

Onde {\hat{r}} é um vector unitário com a direcção da recta que une as duas partículas e com sentido a apontar para {m_1}.

Para o caso particular de um corpo de massa {m} que esta a {h} metros da superfície da Terra sujeito à sua atracção gravitacional é

\displaystyle F_g=G \frac{M_T m}{(R_t+h)^2}

Recordando que {\vec{F}=m\vec{a}} para corpos de massa constante podemos escrever que a intensidade da aceleração da gravidade é

\displaystyle g=G\frac{M_T}{(R_t+h)^2}

.

Definição 17

Quando dois corpos de massa {m_1} e massa {m_2} interagem graviticamente estabelece-se entre eles uma energia derivada do campo gravítico. Esta energia tem o nome de energia potencial gravítica e a sua expressão matemática é

\displaystyle U=-G \frac{m_1 m_2}{r} \ \ \ \ \ (12)

Estatística Quântica

No seguimento de um artigo anterior em que falei um pouco sobre alguns assuntos de Física Estatística venho agora deixar alguns comentários iniciais sobre Estatística Quântica.

Não pretendo dar a ilusão que este artigo será a palavra final sobre este assunto, até porque me vou debruçar sobre ele no futuro, mas é um início e pode ser que este rascunho que escrevi sejam úteis a alguém.

— 1. Gás Perfeito Quântico —

Um gás perfeito é um gás cuja partículas constituintes interagem somente por meio de colisões. Um gás quântico é um gás cujas partículas constituintes obedecem ao formalismo da Mecânica Quântica. Quer isto dizer que os estados acessíveis ao gás não formam uma distribuição contínua mas sim discreta, que as partículas são indistinguíveis entre si e que os números de ocupação para cada estado não são arbitrários.

Uma vez que os estados são discretos é sempre possível fazer uma organização dos mesmos {\epsilon_1\leq \epsilon_2\leq \epsilon_3\leq\dots\epsilon_r\leq\dots} e os números de ocupação são {n_1\leq n_2\leq n_3\leq\dots n_r\leq\dots}

Ora estes números de ocupação não são arbitrários, como já atrás foi dito, e para o caso dos bosões podem tomar valores arbitrários mas para o caso dos fermiões só podem tomar os valores de {0} ou {1}. Quer isto dizer que enquanto para os bosões podemos ter um qualquer número de partículas no mesmo estado quântico para os fermiões podemos ter no máximo uma única partícula num dado estado quântico.

— 1.1. Função de partição —

Sabendo que o gás quântico está sujeito aos constrangimentos {E=\displaystyle\sum_r n_r \epsilon_r} e {N=\displaystyle\sum_r n_r} podemos escrever imediatamente que a função de partição:

\displaystyle Z(T,V,N)=\sum_{n_1,n_2,\dots}e^{-\beta\displaystyle\sum _r n_r\epsilon _r} \ \ \ \ \ (1)

 

Se quisermos calcular o número médio de ocupação este é por definição:

\displaystyle \bar{n}_r=\frac{\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\dots}n_i e^{-\beta\displaystyle\sum _r n_r\epsilon _r}}{\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\dots}e^{-\beta\displaystyle\sum _r n_r \epsilon _r}}=-1/\beta\frac{\partial \ln Z}{\partial \epsilon _r} \ \ \ \ \ (2)

 

Relativamente à notação utilizada convém dizer que os valores {n_1}, {n_2}, etc que aparecem nos somatórios devem obedecer à restrição relativa ao número {N} de partículas.

— 1.2. Radiação do Corpo negro —

Como aplicação da secção 1 vamos estudar o caso da radiação electromagnética sujeita à condição de estar confinada ao interior de uma cavidade.

Este problema é mais conhecido pelo nome de radiação de corpo negro e foi um dos catalisadores da revolução quântica. Neste caso a condição {\displaystyle\sum _r n_r=N} não é aplicável ao sistema uma vez que os fotões são constantemente criados e absorvidos no interior da cavidade.

Ou seja {n_i} pode variar de {0} até {+\infty}. E a função de partição fica:

{\begin{aligned} Z(T,V) &= \displaystyle \sum _{n_1=0}^{+\infty}\sum _{n_2=0}^{+\infty}\dots e^{-\beta(n_1\epsilon _1+n_2\epsilon _2+\dots)}\\ &= \prod _{r=1}^{+\infty}\sum _{n_r} e^{-\beta n_r \epsilon _r}\\ &= \prod _{r=1}^{+\infty}\dfrac{1}{1-e^{-\beta \epsilon _r}} \end{aligned}}

Onde a última igualdade segue de {\displaystyle \sum _{n=0}^\infty x^n=1/(1-x)}.

Recorrendo à definição 2 vemos ainda que o número médio de ocupação para os fotões é dado por

\displaystyle \bar{n}_i=\frac{1}{(e^{\beta \epsilon _i}-1)}

— 1.2.1. Derivação da lei de Planck —

A energia de um fotão está relacionada com a sua frequência angular, {E=\hbar \omega}, e o momento linear de um fotão é {p=E/c=\hbar \omega/c}.

Assim sendo a densidade de estados para os fotões é

\displaystyle f(\omega)d\omega=V\frac{\omega ^2}{\pi ^2 c}d\omega

Ora o número de fotões com frequência entre {\omega} e {\omega+d\omega} é

\displaystyle dN_\omega = \frac{V \omega ^2}{\pi^2c^3(e^{\beta \hbar \omega}-1)}d\omega

E assim a energia associada a este intervalo de frequências angulares é

\displaystyle dE_\omega=\hbar\omega dN_\omega= \frac{V\hbar \omega ^3}{\pi^2c^3(e^{\beta \hbar \omega}-1)}d\omega

Para sabermos a densidade de energia dentro da cavidade esta é simplesmente {dE_\omega/V} e fica

\displaystyle u(\omega,T)d\omega=\frac{\hbar \omega ^3}{\pi^2c^3(e^{\beta \hbar \omega}-1)}d\omega \ \ \ \ \ (3)

 

Que é a lei de Planck.

— 2. Sistemas com um Número Variável de Partículas —

Neste momento já sabemos que se considerarmos um sistema em que a energia, o volume e o número de partículas são constantes o potencial termodinâmico que devemos utilizar é a entropia e esta define-se recorrendo ao conceito de peso estatístico dos micro-estados que compõem um dado macroestado.

Por outro lado se considerarmos um sistema em que o volume, o número de partículas e a temperatura são constantes devemos utilizar a energia livre e esta define-se recorrendo à função de partição.

Neste capítulo vamos considerar que o número de partículas que compõe o sistema varia e que o nosso sistema está em contacto com um reservatório de partículas.

Assim sendo vamos definir que o nosso sistema total tem {N_0} partículas, um volume {V_0} e uma energia {E_0}. Estas quantidades estão repartidas entre o reservatório de partículas e o nosso sistema que é especificado pelas quantidades {N} e {V}. Enquanto que {N} é uma variável vamos considerar que o volume do sistema é fixo.

Para cada valor de {N} o sistema vai ter um conjunto de valores de energia e estes podem ser ordenados da seguinte forma {E_{N_1}\leq E_{N_ 2}\leq E_{N_3}\leq \dots \leq E_{N_r} \leq \dots}.

Ou seja se o sistema está no estado {N_r} o reservatório de calor possui energia {E_0-E_{N_r}}, {N_0-N} partículas e ocupa um volume {V_0-V}.

O peso estatístico deste macroestado é {\Omega_2(E_0-E_{N_r},V_0-V,N_0-N)} e podemos escrever a probabilidade como sendo {p_{N_r}=Ae^{1/k S_2(E_0-E_{N_r},V_0-V,N_0-N)}}

Fazendo uma expansão em série da função {S_2}, mantendo apenas os termas de primeira ordem temos

\displaystyle S_2(E_0-E_{N_r},V_0-V,N_0-N)=S_2-\frac{\partial S_2}{\partial V_0}V-\frac{\partial S_2}{\partial E_0}E_{N_r}-\frac{\partial S_2}{\partial N_0}N

Na equação anterior é {S_2=S_2(E_0,V_0,N_0)} e podemos definir {1/T=\partial S_2/\partial E_0} e introduzimos a quantidade {\mu}, que é o potencial químico do reservatório de calor, com a seguinte equação {\mu=-T \partial S_2/\partial N_0}.

Claro está que em situações de equilíbrio o sistema e o reservatório têm o mesmo potencial químico.

Assim sendo podemos escrever a seguinte equação:

\displaystyle S_2(E_0-E_{N_r},V_0-V,N_0-N)=S_2-\frac{\partial S_2}{\partial V_0}V-\frac{E_{N_r}}{T}+\frac{\mu N}{T} \ \ \ \ \ (4)

 

A probabilidade de obtermos um estado com o número de ocupação {N_r}, {p_{N_r}=e^{\beta(\mu N-E_{N_r})}/\mathcal{Z}}.

Na última equação é

\displaystyle \mathcal{Z}=\mathcal{Z}(T,V,\mu)=\displaystyle\sum_{N_r}e^{\beta(\mu N -E_{N_r})}=\displaystyle\sum_{N=0}^\infty\sum_{r=1}^\infty e^{\beta(\mu N -E_{N_r})}{} \ \ \ \ \ (5)

 

e esta função tem o nome de distribuição de Gibbs.

— 2.1. Distribuições de Fermi-Dirac e Bose-Einstein —

O estado de um gás é especificado pelos números de ocupação: {n_1}, {n_2}, {\dots} com energias {\epsilon_1\leq\epsilon_2\leq\dots\leq\epsilon_i\leq\dots}.

Neste caso os constrangimentos do sistema são {N=\sum n_i}, {E_{N_r}=\sum n_i \epsilon_i}

Neste caso a distribuição de Gibbs 5 {n_i} soma-se desde {0} até infinito para o caso dos bosões e para os fermiões {n_i} só toma os valores {0} ou {1}.

Uma outra forma para a distribuição de Gibbs

\displaystyle \mathcal{Z}=\prod_{i=o}^\infty\sum_{n_i}e^{\beta(\mu-\epsilon)n_i} \ \ \ \ \ (6)

 

Se definirmos as distribuições de Gibbs {\mathcal{Z}_i=\displaystyle\sum_{n_i}e^{\beta(\mu-\epsilon_i)n_i}} e assim a distribuição de Gibbs fica {\mathcal{Z}=\displaystyle\prod_{i=1}^\infty \mathcal{Z}_i}

Vamos agora analisar o valor da distribuição de Gibbs parcial para as distribuições de Fermi-Dirac e Bose-Einstein.

— 2.1.1. Distribuição de Fermi-Dirac —

Neste caso {n_i=0} ou {n_i=1} e a equação para {\mathcal{Z}_i} fica {\mathcal{Z}_i=1+e^{\beta(\mu-\epsilon_i)}}

— 2.1.2. Distribuição de Bose-Einstein —

Agora {\mathcal{Z}_i} é uma série geométrica se a seguinte condição for satisfeita {\mu < \epsilon_i}.

Assim fica {\mathcal{Z}_i=1/(1-e^{\beta(\mu-\epsilon_i)})}

Sobre a Física de Aristóteles

Tal como digo na minha página de introdução ao longo dos meus posts neste blog tenciono falar um pouco sobre a história da Física e da Matemática. Neste contexto decidi reciclar um texto que escrevi na altura em que estava na faculdade para a disciplina de História das Ideias em Física.

O objectivo deste trabalho era apresentar na forma de diálogo uma síntese sobre a teoria de Aristóteles sobre a organização do Cosmos. Este texto que agora apresento é o que escrevi. Tem algumas gralhas e erros, mas na altura em que o escrevi gostei do resultado final.

Deixo-o então aqui, neste nosso humilde espaço, de modo a que possa ser útil a alguém e que sirva também como mote para outros posts.

— Diálogo sobre a Física de Aristóteles —

O sol alongava-se no céu tardio. Um homem de aspecto distinto era seguido por um grupo de jovens. Fala e gesticula em tom de conclusão e dá por terminada a lição. Excepto um todos os jovens dispersam. Avança e interpela o homem:

É a primeira lição sua que assisto e gostaria de melhor compreender as suas ideias sobre o que nos rodeia.

Pois bem, jovem; fala e veremos o que poderei fazer. Se me for possível ajudar conte comigo; caso contrário desde já as minhas desculpas… para mim o que nos rodeia é um Cosmos. Algo racional que pode ser compreendido e explicado de forma racional. É um Cosmos hierarquizado em que cada ser procura realizar a sua natureza. É finito e centrado na terra…

Mais porquê a terra? Porque não um outro astro qualquer?

Porque é lógico que assim seja. Tudo no Cosmos procura realizar a sua natureza não se esqueça disto: ser-nos-á útil mais a frente. Qual a coisa mais distante que pode ver?

As estrelas. Todas as noites lá estão elas a iluminar o seu nocturno.

Você mesmo disse! Todas as noites? e como sabe isso?

Já desde os registos mais antigos onde são compiladas que nada nelas muda…

Nada?! Tem a certeza? Pense lá bem.

…Tem razão. Nada excepto as posições que vão ocupando noite após noite. Movem-se como um todo de modo cíclico.

Recapitulando: desde sempre que nós vemos as mesmas estrelas executando ciclicamente os mesmos padrões nos céus? O estudante anuiu. Então o que será mais razoável inferir sobre onde elas se encontram? O que será tão perfeito que lhes permita estar lá desde sempre a movimentarem-se tão regularmente?

Como já muitos o disseram, devem estar incrustadas numa superfície esférica. Mas por que é essa a configuração geométrica mais perfeita?

Em primeiro lugar porque todos os seus pontos estão a mesma distância do centro. Não tem começo ou fim, a sua ordem é a mesma do cosmos: é eterna.

Mas porquê que é a terra o centro do Cosmos?…

Paciência que já lá chegaremos. O Cosmos é hierarquizado. Mas qual será a sua hierarquia? Por acaso andaram misturados seres perfeitos com seres imperfeitos?

É óbvio que não!

Há bocado disseste que as estrelas são eternas e inalteráveis. Não serão esses os atributos do que é perfeito? A nossa volta só há corrupção, geração, mudança… será isto perfeito?

Não!

O que podemos concluir sobre esses dois mundos?

São radicalmente diferentes…

Acharias então natural que mundos tão diferentes fossem compostos do mesmo modo?

Não. De modo algum pode o que compõe o nosso mundo ser o que compõe as estrelas…

Até agora só falamos das estrelas, mas nos céus também há os planetas. Também eles lá estão desde sempre com os mesmo movimentos cíclicos. Pelo que já foi dito também eles são perfeitos. Assim como as estrelas, também os planetas são organizados nas suas esferas celestes.

Então se bem percebi, todas estas esferas são concêntricas, e a Lua deverá ser a primeira delas; a que marca a diferença entre o nosso mundo e o mundo celeste.

Isso mesmo! Da Lua em diante os corpos são compostos de um elemento especial que chamaremos de éter. Mas do que será composto o nosso mundo? Tal como Empédocles, eu digo que é composto por quatro elementos: terra, ar, fogo e água. Todos estes elementos estão agrupados nas suas esferas. A primeira é a esfera da terra, acima dela está a da água, mais acima está é do ar, e a última esfera do mundo a que chamaremos sub-lunar é a do fogo.

Mas da maneira como descreve o mundo sub-lunar ele deveria ser estático…

De facto deveria, se não fosse perturbado. Mas o movimento dos corpos celestes faz com que o fogo desça até as outras esferas misturando os elementos. É dessas perturbações e misturas que nasce a mudança no nosso mundo. Agora vamos concluir que a Terra é esférica: quando ocorrem eclipses lunares a sombra que a Terra projecta sobre a Lua é sempre curva. Do alto duma montanha vê-se mais longe que do seu sopé. E para finalizar: o facto de vermos estrelas diferentes consoante a nossa localização. Tudo isso nos diz que a Terra é esférica.

Sim… realmente basta saber um pouco de geometria para essa conclusão ser necessária.

Diga-me, como se comportará algo que é composto maioritariamente por terra quando for deixado por si só.

Mover-se-á naturalmente para o centro da esfera da terra.

Consoante a sua localização, o que ocorreria de diferente se largasse uma pedra?

Nada de diferente ocorreria. A pedra cairia sempre na vertical.

Ou seja: cairia sempre dirigida ao centro da Terra. Mas não disseste há bocado que algo composto maioritariamente por terra procuraria, quando deixado por si só, ir ao encontro do centro da esfera da terra? – O estudante anuiu.– Então o que concluis?

…Que os dois centros coincidem. Ou por outras palavras que o centro da Terra é o centro do Cosmos!!

Bravo! Mas podemos também concluir que forçosamente a Terra está em repouso. Caso a Terra se movesse as nuvens, as pedras, ficariam para trás ocupando os seus lugares nas suas esferas. Como não vemos tal a acontecer. a Terra não se move. Chamaremos a esse movimento vertical que referiste o movimento natural no mundo sub-lunar. No mundo supralunar o movimento natural ou é circular ou é o resultado da composição de movimentos circulares. Aos movimentos que não são naturais chamaremos violentos. Estes últimos só ocorrem no mundo sub-lunar e necessitam de um motor.

Tem razão! Basta olhar para o nosso mundo para ver que o movimento de todas as coisas quando deixadas por si só é vertical: pedras que caem, a chuva quando cai das nuvens, o fogo a ascender duma fogueira… Mas haverá algum tipo de lei que rega este movimento?

Tudo o que temos de fazer é raciocinar. Imaginemos dois corpos suspensos duma mesma altura, mas tendo pesos diferentes. O mais pesado tem um maior desejo a dirigir-se para o centro da Terra, como tal quando embater no solo, fá-lo-á com maior velocidade. Pensemos agora neste mesmo corpo a ser largado na água da mesma altura. Como a água é mais densa opõe uma maior resistência ao movimento e assim o corpo chegará ao fim do trajecto com uma velocidade menor.

Ou seja: a velocidade de um corpo, quando se move naturalmente, é directamente proporcional ao peso do corpo e inversamente proporcional à resistência do meio.

Bravo!! É isso mesmo!! Ou dito de modo equivalente: um corpo mais pesado largado da mesma altura que um mais leve chegará ao solo primeiro. E quanto mais resistente for o meio mais tempo levará o corpo a percorrer o trajecto.

Então, mestre, é aqui que a Matemática entra nas suas explicações?

Não! A Matemática não entra nas minhas explicações. Só a lógica o faz. A Matemática trata das formas puras e nosso mundo a forma aparece sempre associada a matéria. Esta como já vimos é impura. Se queremos conhecer o que nos rodeia não será a matematizar. Mas sim observando e usando a Razão. O que temos nós no mundo das formas que impeça a existência do vazio? Nada!! E no entanto no nosso mundo ele é absurdo. Qual seria a velocidade de um corpo no vazio?

O vazio, a existir, não oporia qualquer resistência ao movimento… Então a velocidade de um corpo seria infinita… Tal conceito é repugnante…

O vazio não existe. O espaço está sempre associado a matéria. Quando um finda também finda o outro…

Ah!! E por isso o Cosmos é finito! A matéria finda na estrela das fixas; então para lá dela não há espaço! Não faz sequer sentido em falar para lá dela!!

É isso mesmo! Infelizmente a conversa terá que ficar por aqui. É tarde e tenho muito há fazer. Adeus! Até a próxima!

Adeus mestre e obrigado!

A Lua vogava pelo céu estrelado. O aluno contemplava o céu maravilhado; não pelo espectáculo em si, mas porque sentia que começava a compreendê-lo.

Introdução aos Tópicos de Física Moderna

Há alguns anos atrás tive que ensinar a disciplina de Tópicos de Física Moderna a um grupo de alunos com um conjunto de conhecimentos em Física e Matemática muito variado. Dessa forma leccionar a disciplina como ela é normalmente leccionada seria algo extremamente improdutivo.

Fortemente inspirado pelo livro A Evolução da Física que torna o conceito de campo em algo crucial à exposição e desenvolvimento do tema decidi então fazer um curso de Tópicos de Física Moderna que pudesse ser simples o suficiente de modo até que os alunos menos preparados pudessem tirar algo do curso sem descurar o ensino dos conceitos fundamentais da Física Moderna.

Neste sentido decidi disponibilizar os apontamentos que escrevi na altura para que possam estar disponíveis a um número maior de pessoas.

Para fazer download do ficheiro clique em Fisica Moderna.

Continuando a falar de números

No final de deste artigo conseguimos construir os números racionais e fomos capazes de deduzir quatro operações matemáticas. À primeira vista, isso pode parecer um feito impressionante, tendo em conta as ferramentas que nos propusemos usar, mas devido a algumas incongruências que afligem a nossa construção pensamos que as coisas ainda podem melhorar.

— 1. Problemas —

  1. Operações binárias. Com isto queremos dizer que as nossas operações matemáticas só fazem sentido quando aplicadas a dois números. Assim, por exemplo { 2 + 3 + 4 } não tem uma resposta no nosso actual estado de construção. Mas não se preocupe caro leitor, porque as coisas podem ser formalizados de uma forma rápida e simples. E não há nada muito extravagante, ou técnico nesta formalização: não é nada mais do que colocar o senso comum em acção.Como é que fazemos para somar { 2 + 3 + 4 }? Apenas fazemos { 2 + 3 = 5 } e { 5 + 4 = 9 }. Assim, a formalização correta de { a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n } simplesmente é:

    \displaystyle ((((a_1 + a_2) + a_3) + \ldots) + a_n)

    Isso quer dizer que nós definimos adição de { n } números através da adição sucessiva de dois números até chegarmos ao resultado final (o que significa ainda que a adição é binária, mas pode ser feita repetidamente).

    É claro que tudo isso é válido para os três restantes operações, embora não tenhamos feito a formalização explícita d tal afirmação. Assim sendo, este é um problema pode ser considerado resolvido.

  2. Outro problema é que temos duas operações inversas e devido à sua existência acabamos por expandir o conjunto dos números disponíveis. Mas nunca dissemos nada sobre o que acontece às propriedades das operações enquanto fazíamos essas expansões. E por falar nisso nós nunca dissemos nada sobre as propriedades das operações!
  3. Outro problema que temos é que o nosso sistema de numeração é bastante incompleto. Podemos dizer que temos um sistema numérico que está cheio de buracos e não é muito prestável para a modelação de acontecimentos no mundo real.

— 2. Propriedades das operações matemáticas —

Para resolver o nosso segundo problema vamos falar sobre as propriedades da adição, multiplicação, subtração e divisão.

  1. Associativa

    \displaystyle (m+n)+p = m+(n+p)

    \displaystyle (m \times n) \times p = m\times (n \times p)

  2. Comutativa

    \displaystyle m+n=n+m

    \displaystyle m \times n = n \times m

  3. Distributiva

    \displaystyle m \times (n+p)= m \times n + m \times p

  4. Elemento Neutro: Para cada número natural é:

    \displaystyle m+0 = m

    e

    \displaystyle m \times 1 = m

Se pensarmos sobre a adição e multiplicação nos termos simples do primeiro artigo desta série é fácil ver porque essas propriedades são como são. Mas lembrem-se de que as nossas definições iniciais apenas se aplicavam aos números naturais. Enquanto alargávamos o conjunto de números com o qual estávamos a trabalhar nunca nos preocupamos com o que acontecia com essas propriedades.

Será que elas ainda mantêm em { \mathbb{Z} } e { \mathbb{Q} }?

Podemos ter uma atitude preguiçosa e definir os conjuntos como sendo conjuntos em que estas propriedades são válidas ou podemos verificar se realmente o são.

Nós vamos tomar a rota preguiçosa, mas ainda assim quero que os leitores deste blog saibam que as coisas podem ser feitas de uma forma intelectualmente satisfatória.

— 3. Potências —

Para resolver o nosso terceiro problema, só teremos que continuar a usar a nossa ambição e ver onde ela nos leva.

Assim como nós introduzimos a multiplicação como uma abreviatura que permitir escrever de forma mais sucinta uma soma de { n } números iguais agora vamos apresentar as potências como uma forma mais sucinta de escrever um produto de factores iguais.

Assim, por exemplo, vamos escrever { 2 ^ 5 } para { 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }. Em geral se temos um número { a } que multiplica { n } vezes com ele próprio vamos escrever { a ^ n } para o resultado final.

Agora que introduzimos potências como uma notação abreviada para multiplicação de fatores iguais, temos de saber como esta nova entidade se comporta com as quatro operações anteriores.

Quando somamos ou subtraímos potências primeiro temos que calcular as potências e só após isso podemos somar ou subtrair esses mesmos resultados. Por exemplo:

\displaystyle 2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 8 + 9 = 17

\displaystyle 4 ^ 2 + 3 ^ 2 = 16 + 9 = 25

\displaystyle 5 ^ 3-10 ^ 2 = 125-100 = 25

Mas quando multiplicamos ou dividimos potências existem algumas regras que podem ser utilizados.

— 3.1. Multiplicação de potências —

Ao contrário da adição (subtração) de potências quando multiplicamos (dividimos) potências podemos fazê-lo de uma forma mais maneira mais rápida em alguns casos:

  1. Mesma base Por exemplo:

\displaystyle 2^3\times2^4=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^7

Assim, a potência final tem a mesma base que as potências iniciais e seu expoente é apenas a soma dos expoentes iniciais.

É claro que os números 2, 3 e 4 que escolhemos inicialmente não são especiais e como regra geral temos:

\displaystyle a^n\times a^m=a^{n+m}

  • Mesmo expoente Por exemplo:

    \displaystyle 3^3\times4^3=3\times3\times3\times4\times4\times4=(3\times4)\times(3\times4)\times(3\times4)=12^3

    Mais uma vez os números que escolhemos não têm nada de especial, assim podemos afirmar

    \displaystyle a^n\times b^n=(a\times b)^n

    Ainda que tenhamos enunciado estas propriedades assumindo que as operações envolvidas são binárias é fácil generalizar para o caso de termos mais do que dois factores envolvidos.

    — 3.2. Divisão de potências —

    No caso da divisão vamos indicar os teoremas e não nos preocuparemos em apresentar qualquer exemplo pois isso pode ser feito muito facilmente por um leitor interessado tomando como base os exemplos utilizados para a multiplicação.

    1. Mesma base

    \displaystyle a^n/a^m=a^{n/m}

  • Mesmo expoente

    \displaystyle a^n/b^n=(a/b)^n

    — 3.3. Problemas no horizonte! —

    Uma vez que não abandonamos o nosso princípio de ambição até agora as questões que se colocam são:

    1. Será que podemos definir a operação inversa da potenciação?
    2. Que tipo de generalizações e novos resultados virão dessa definição?

    A resposta à primeira pergunta é um enfático sim. A resposta à segunda questão leva-nos a lugares maravilhosos e permite-nos obter um primeiro vislumbre para resultados matemáticos maravilhosos.

    A resposta a estas perguntas formará o conteúdo do nosso próximo artigo nesta matéria.

Vamos falar de números

Neste artigo pretendemos contar uma história concisa e aperfeiçoada de como e porquê os números apareceram na civilização humana. Por favor não esperem que este artigo seja um relato factual de todas as dificuldades e atribulações que acompanharam o processo. Por exemplo, não nos focaremos em apontar todos os equívocos que atormentaram a concepção dos números negativos durante larga parte da história, nem vamos expor de forma detalhada como números complexos entraram em cena. Aqui, a história não terá falsos começos, nem becos sem saída e tudo fluirá de forma perfeita e racional.

— 1. Operações —

Vamos primeiro introduzir o conceito de uma operação. Para nós, uma operação é um processo onde efectuamos una acção num dado conjunto de números e cujo resultado final é outro número.

Seguidamente vamos somente listar (e não definir) as operações inicialmente consideradas.

  • Adição: é representada pelo símbolo { + }, e simbolicamente é { a + b = c }.
  • Subtracção é definida como a operação inversa de adição e é representada pelo símbolo { - }. Dizemos { c-b = a } se e só se { a + b = c }.
  • Multiplicação é representada pelo símbolo { \times } ou { \cdot } e também associa dois números iniciais a um terceiro: { a \times b = c }.
  • Divisão é a operação inversa da multiplicação e é representada pela símbolo { / }. Dizemos que { c / b = a } se e só se { c = a \times } b. Outra forma de representar { c / b } é pelo símbolo { \dfrac {c}{b} }.

Felizmente para nós,estas não são as únicas operações disponíveis, mas por enquanto são tudo o que precisamos.

Alguns leitores podem estar surpreendidos com o nível de abstração que utilizamos e com o facto de que ainda não sabermos realmente o que de facto são esses números. Para esses leitores dizemos que em Matemática esta é a maneira normal de apresentar as coisas (na verdade a minha exposição carece de algum rigor). Sim, daqui em diante a nossa exposição será um pouco mais descontraída (o que certamente não será de agrado a pessoas com uma exigência maior perante o rigor matemático), mas queríamos dar um pequeno vislumbre do que é a normal exposição destes temas em meios mais formais.

— 2. Números —

Bem, vamos então falar sobre números. Os primeiros números que vamos considerar são os chamados números naturais. O símbolo que os denota é { \mathbb{N} } e historicamente apareceram devido à necessidade de enumerarmos quantos objetos de uma determinada classe possuímos:

\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6, \ldots

Onde os símbolos { \ldots } denotam que a lista destes números não termina. Notem que incluímos o número { 0 } nesta lista. A história do número {0} é fascinante e recomendo aos nossos leitores a investigá-la.

— 2.1. Operações com números naturais —

A fim de amenizar o nível de abstração que utilizamos aquando da introdução de operações matemáticas vamos ver como utilizá-las com números naturais e quais são os seus resultados.

  • Adição. No caso especial dos números naturais a adição

    \displaystyle M + n = p

    pode ser interpretada do seguinte modo:

    { M } é o número onde começamos e { n } é o número de passos que damos e {p} é o número onde paramos após dar os {n} passos.

    { 0 } é o mesmo que não dar nenhum passo, { 1 } é o que definimos como dar um passo, e os números naturais que se seguem são definidos em relação a { 1 }. Por exemplo: nós definimos { 2 = 1 + 1 } e assim nós interpretamos { n + 2 } como dar um passo e mais um passo a partir de ponto de { n }. Todos os números naturais que se seguem têm as definições e interpretações que os leitores esperam.

  • Subtração é a operação inversa da adição. Podemos ver , { m + n } como sendo um trajecto que se inicia em { m } dando { n } passos para a direita. Assim { m-n } pode ser visto como sendo um trajecto que se inicia em { m } dando { n } passos para a esquerda.
  • Multiplicação é definida como sendo adições consecutivas. Com isso queremos dizer que podemos interpretar { 2 \times 3 } como sendo { 2 + 2 + 2 } e { 3 \times 2 } como sendo { 3 + 3 }. Como podemos ver temos { 2 \times 3 = 3 \times 2 = 6 }. Em geral, podemos dizer que, para cada número natural é { m \times n = n \times m = p }
  • Divisão é a operação inversa da multiplicação e, portanto, pode ser vista como subtracções consecutivas.Por exemplo, vamos calcular { 6/2 }.Temos { 6-2 = 4 }. Agora vamos pegar no resultado e subtrair { 2 } enquanto for possível.{ 4-2 = 2 } e { 2-2 = 0 }. Visto que foi possível efectuar três subtrações e o resultado final foi { 0 } dizemos que { 6/2 = 3 } com o resto { 0 }.Outro exemplo é { 7/3 }. Desta vez é { 7-3 = 4 }, { 4-3 = 1 } e aqui não podemos continuar. Visto que fizemos duas subtrações e o resultado final foi { 1 } dizemos que {7} a dividir por {3} é igual a {2} com resto {1}.

A beleza inerente a este conjunto de números e às quatro operações definidas é que agora todo um reino novo de coisas interessantes e úteis brotam de forma gratuita. Tudo o que precisamos fazer é pensar e ser ambiciosos.

Em primeiro lugar vamos olhar com mais atenção para as operações inversas e os seus resultados e ver o que advém da sua utilização de forma ambiciosa.

— 3. Mais tipos de números… —

— 3.1. Os números negativos —

Primeiro vamos olhar para a subtração quando aplicada aos números naturais. Os números naturais são { \mathbb{N} = \left \lbrace 0,1,2,3,4, \ldots \right \rbrace }. Por exemplo { 7-2 = 5 } e { 10000-1000 = 9000 }. Esta noção de operação inversa da adição parece funcionar muito bem. No entanto, não precisamos ir muito longe para encontrar alguns possíveis problemas. Calculemos por exemplo { 3-7 }. No nosso actual sistema de números não podemos ir sete passos para a esquerda, a partir de três. Mas, naturalmente, queremos que a subtração seja uma operação que esteja sempre definida.

Assim sendo a única opção viável é introduzir números ao conjunto de números que estávamos a considerar até agora. Definimos { -1 = 0-1 } e { -2 = -1-1 }, { -3= -1-1-1 }, E assim por diante. Agora subtração é sempre possível. Por exemplo, o anteriormente problemático, { 3-7 } fica igual a { -4 } e o novo sistema de números com que acabamos por ficar é { \mathbb{Z} = \ldots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ldots }. A este conjunto damos o nome de números inteiros.

Além de fazerem com que a operação de subtracção seja sempre possível os números negativos podem ser utilizados para representar dívidas, alturas abaixo de um nível de referência, etc.

— 3.2. Números racionais —

Depois de termos obtido um novo conjunto de números através da subtração vamos agora construir um novo subconjunto de números, com o fim de tornar a divisão uma operação uma operação bem definida , desde que divisor seja diferente de {0}.

Agora, os casos problemáticos são { \dfrac{m}{n} } com { n> m }. Vamos supor que temos sete pães para dividir por 10 pessoas. Como você faria isso? Se nos limitarmos a números em { \mathbb{Z} } os pães não podem ser divididos. Assim, para tornar a divisão sempre possível (problema que certamente não carece de motivação prática), temos de aumentar ainda mais o conjunto dos números que estão disponíveis para nós. Estes novos números são chamados de números fracionários. Para o conjunto que é formado pela união do conjunto números fracionários e o conjunto de números inteiros ({ \mathbb{Z} }) nós damos o nome de números racionais { \mathbb{Q} }.

Assim, por exemplo, imaginemos que tem um só pão e você quer compartilhá-lo entre você e dois amigos. Basta simplesmente dividir o pão em três pedaços iguais e já está! O número que representa este processo é { \frac{1}{3} }. Uma das coisas desconcertantes sobre números fracionários é que eles permitem um número infinito de representações. Temos:

\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \ldots

Este problema é contornado com a noção de classes equivalentes, mas uma forma mais pedestre de pensar é voltarmos ao exemplo de divisão de pães e você verá porque as fracções têm o mesmo valor.

— 4. Sumarizando e sintetizando —

Neste ponto, podemos estar muito felizes com o nosso trabalho. Começamos com os vulgares números naturais, a operação de adição e a noção de operação inversa.

Após definirmos o significado de adição no contexto dos números naturais introduzimos a noção de subtracção como sendo a operação inversa de adição. Multiplicação foi definido como sendo uma forma de estenografia para adições repetidas.

Após a definição de multiplicação, mais uma vez queríamos saber o que seria a sua operação inversa. Definimos a divisão como sendo subtrações consecutivas e mais uma vez uma operação apareceu como uma abreviação para uma operação já conhecida.

Depois de termos chegado a estas quatro operações (a partir de apenas uma) tomamos a liberdade de aplicá-las aos números naturais sem qualquer reserva. Dessa forma, chegámos à conclusão de que os números com que estávamos trabalhando não eram suficientes ou que tínhamos de colocar limites para as aplicações das operações inversas. A segunda opção não era compatível com o nosso princípio de ambição, então tivemos que aumentar a quantidade de números à nossa disposição:

\displaystyle \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}

— Visões de um futuro próximo —

No próximo artigo vamos continuar na nossa busca de coerência e um maior âmbito de aplicação para as operações inversas. Potências e radicais serão introduzidos e vamos ver que a operação de extração de radicais nos obriga a mais uma vez alargar o conjunto de números, e desta vez não será apenas uma, mas sim duas vezes!

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