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Sismologia I

11/04/2018 9:43 am / Deixe um comentário

SISMOLOGIA

— 1. INTRODUÇÃO —

Apresentamos os conceitos de Sismologia, a ciência que estuda os sismos.

Sismologia é o ramo da geofísica que estuda os terremotos (ou sismo): suas causas e efeitos, a propagação das ondas de vibração emitidas pelos terremotos, e explosões. Por intermédio deles podemos estudar o interior da terra.

— 1.1. CONCEITOS BÁSICOS —

A sismologia utiliza as ondas sísmicas emitidas pelos terremotos, para estudar a estrutura interna da terra. Ondas Sísmicas são vibrações que se propagam por toda a terra, originadas de terremotos, explosões. São também chamadas de ondas elásticas.

— 2. ONDAS SÍSMICAS —

As deformações provocadas no meio durante a passagem das ondas elásticas são de dois tipos, variações do volume sem mudar a forma e variações da forma sem mudar o volume. O primeiro tipo de onda são as longitudinais que provoca sucessivas compressões e dilatações do meio, na direção em que se propaga a onda, sendo a onda sismica com a maior velocidade. É conhecida como onda dilatacional, compressional, longitudinal, ou primaria, ou simplesmente onda P (fig.1). O segundo tipo de onda provoca deformações de cisalhamento, com vibrações transversais à direção de propagação da onda, sua velocidade é menor que a da onda P, por isso é conhecida como onda cisalhante, transversal ou secundária, ou simplesmente onda S(fig.1). As ondas S podem ser polarizadas em vibrações verticais (Sv) ou horizontais(Sh), transversais àdireção de propagação da onda. Estas ondas contem a maior parte de energia a distâncias menores que 100km do epicentro.

— 3. Teoria da Elasticidade —

Quando uma força (F) é aplicada a um material, ele deforma. i.e. que as partículas do material são deslocadas de suas posições originais. Quando a força não excede um determinado valor crítico (tensão de escoamento = limite elástico), estes deslocamentos são reversíveis, i.e. as partículas do material voltam Às suas posições originais quando a força é removida. Quando isto acontece, podemos dizer que o material teve um comportamento elástico.

Comentário 1 Podemos ilustrar o comportamento elástico, através de uma barra de comprimento { L } cuja área da secção transversal é { A } (figura a). Se aplicarmos uma força (F) no sentido logintudinal da barra, a tensão produzida, definida como força por unidade de área (F/A, geralmente, expressa pela letra grega { \alpha } ), será proporcional a deformação elástica específica ( no caso da barra, estiramento por unidade de comprimento, { \Delta L/L} normalmente expressa pela letra grega {\epsilon} ) i.e.

F/A { \alpha } { \Delta L/L }

A constante de proporcionalidade é chamada de módulo de elasticidade e a variação linear entre deformação e tensão é chamada de Lei de Hooke.

Um terremoto acontece na crosta e no manto superior quando as tensões tectônicas excedem a resistência das rochas e uma falha (colapso) ocorre. Uma vez acontecido um terremoto, ondas sísmicas se propagam por deformação elástica das rochas por onde elas viajam.

Módulo Elástico As deformações nos materiais assumem diferentes formas, de acordo com a atuação das forças que agem no material. Durante uma deformação, um corpo, geralmente, experimenta nao somente deformações longitudinais. componentres de tensão de cisalhamento ({ \sigma_{xy} }, { \sigma_{yz} }, { \sigma_{zx} }) produzem deformações de cisalhamento, as quais se manifestam como mudanças angulares entre partes do corpo. Por outro lado, uma esfera sólida sujeita a uma tensão hidrostática uniforme provocada por um fluido reduz seu volume de uma quantidade { \Delta V }.

A figura 4 ilustra três tipos de deformações, conforme se aplica uma tensão de tração (associada a um estiramento de um abarra)

Exemplo 1

  1. Uma tensão de cisalhamento.
  2. Uma tensão hidrostática.
  3. Nos três casos a tensão aplicada é proporcional à deformação e a constante de proporcionalidade é chamada de Módulo elástico. Teremos então: tensão= módulo elástico x deformação específica

Módulo de Young (E) é relacionado à deformação extensional. Cada deformação longitudinal é proporcional a componente de tensão correspondente: { \sigma _{xx} } = { E \epsilon _{xx} } ; { \sigma_{yy} } = { E \epsilon_{yy} } : { \sigma_{zz} } = { E \epsilon_{zz} }, onde a constante de proporcionalidade E é o módulo de young. \image{width = 400}{https://lusoacademia.files.wordpress.com/2018/04/sis6.png} Módulo de Rigidez (ou Módulo de Cisalhamento) é definido em relação à deformação de cisalhamento. Como nas deformações longitudinais, cada deformação de cisalhamento é proporcional à correspondente componente de tensão: { \sigma_{xx} } = { \mu \epsilon_{xx} } ; { \sigma_{yy} } = { \mu \epsilon_{yy} } ; { \sigma_{zz} } = { \mu \epsilon_{zz} }, Módulo Volumétrico (ou incompressibilidade)(K) é definido pela variação volumétrica ({ \theta } = { \Delta V/V}) experimentada por um corpo sob pressão hidrostática. Para condições de pressão hidrostática as componentes da tensão de cisalhamento são nulas ({ \sigma_{xy} } = { \sigma_{yz} } = { \sigma_{zx} } = 0) e a pressão no sentido do corpo (negativo) é igual em todas as direções ({ \sigma_{xx} } = { \sigma _{yy} } = { \sigma_{zz} } = -p). O Módulo Volumétrico é a razão entre a pressão hidrostática e a variação volumétrica (deformação específica);

p= -K { \theta }

O inverso do Módulo volumetrico ({ K^-1 }) é a compressibilidade.

Comentário 2 Se um material não é perfeitamente elástico, uma onda sísmica passando por ela, perde energia para o material (fricção gerando calor) e a amplitude da onda gradualmente diminui. O decréscimo da amplitude é chmado de atenuação e ela é devido a amortecimento anelástico das vibrações das particulas dos minerais.
Exemplo 2 A passagem de uma onda sísmica através da astenofera é amortecida devido ao comportamento anelástico ao nível de grão dos minerais.

Aula 1: Estatística

09/30/2018 3:29 pm / Deixe um comentário

 

Elementos de Estatística Matemática

Nesta Unidade, serão abordados temas relacionados ao método estatístico. Oferecer exemplos de tabelas e gráficos que podem representar de forma sintética, as informações obtidas através de processos de pesquisa, são objectivos específicos desta unidade que têm o propósito de: Demonstrar a importância da Estatística na vida diária; Mostrar como podemos utilizar de forma correcta;

Introdução à Estatística

A palavra Estatística lembra, a maioria das pessoas, recenseamento; Os censos existem a milhares de anos e constitui um esforço imenso e caro feito pelos governos, com objectivo de conhecer seus habitante, sua condição sócio económica, sua cultura, religião, etc.

Portanto, associar à estatística a censo é perfeitamente correto do ponto de vista histórico, sendo interessante salientar que as palavras ESTATÍSTICA e ESTADO têm a mesma origem latina; “STATUS”.

É possível distinguir duas concepções para a palavra Estatística ; No Plural (Estatísticas) indica qualquer coleção de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma actividade qualquer.

Assim, por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimento, falecimento, matrimónio, desquites, etc.

As estatísticas económicas consistem em dados numéricos relacionados com emprego, produção, e com outras actividades ligadas aos vários sectores de vida económica.

No singular (Estatística) indica a actividade humana, especializada, ou um corpo de técnicos ou ainda uma metodológica desenvolvida para a colecta, classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para tomada de decisões.

Importância da Estatística O mundo esta repleto de problemas. Para resolvermos a maioria deles, necessitamos de informações. Mas que tipo de informação {?} Que quantidade de informação {?} Após obtê-las, que fazer com elas {?}

A Estatística trabalha com essas informações, associando os dados ao trabalho, descobrindo como é, o que colectar, assim capacitando o pesquisador, a obter conclusões a partir dessas informações de tal forma que possam ser entendidas por outras pessoas.

vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1 Os Estatísticos do governo conduzem censos de população, morada, produtos, industriais, agricultura, e outros. São feitas compilações sobre vendas, produção, inventário, folha de pagamento e outros dados das industriais e empresas. Essas Estatísticas informam ao administrador como a sua empresa está crescendo, seu incremento em relação a outras empresas e fornece-lhe condições de planear ações futuras. A análise dos dados é muito importante para se fazer um planeamento adequado.
Exemplo 2 Na era da energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para organização de empresas e utilização dos recursos do mundo moderno.

Em, geral, as pessoas quando se referem ao termo estatística, desconhecem que o aspecto essencial, é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.

Próximo Capítulo: Grandes áreas da Estatística….

1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

05/17/2018 4:08 pm / 2 comentários em 1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

Séries Numéricas

— 1. Conceitos Fundamentais —

Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como {u_n}. como {u_2} designa o segundo termo da sucessão {u}.
Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.

  • a) {\{1,2,3,4,5,6,7...\}}
  • b) {\{ 1,4,9,16,25,36...\}} Estas sucessões têm uma regularidade bastante clara. A primeira é a sucessão de números naturais, a Segunda é a Sucessão dos Quadrados Perfeitos.

Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão {a_n}, quando {n \rightarrow } {\infty}.

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = L

onde {L} é um número.

Exemplo 2

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2^n} = 0

avaliando para {x=1},

{{ 1, 1^2, 1^3, 1^4,..}} { = 1^n , n = 1, 2, 3,...}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1

. Portanto, para {x=1} é convergente. avaliando para {x=2}, {{2, 2^2, 2^3, 2^4,...}} { = {2,4,8,16,...} = 2^n}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 2^n = \infty

. Portanto, para {x=2} é divergente.

Definição 2 Seja {a} uma sucessão chama-se sucessão das somas parciais de {a} à sucessão {S_a} tal que

\displaystyle S(a)_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n+... = \sum_{i = 0 }^n a_i

chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de {a},

\displaystyle \sum_{n = 0 }^\infty a_n

e se {\lim S(a)_n}, existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.

Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas

Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo {\epsilon>0}, exista {N=N_\epsilon}, tal que para todos os n>1 e p=1,2,…, cumpra-se a desigualdade { \mid S_{n+p} - S_n\mid = \mid u_{n+1} + u_{n+2} + u_{n+3}+...+u_{n+p}\mid<\epsilon} critério necessário de convergência: se a série converge, então

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = 0

. Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.

Exemplo 3 Mostre que a série

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

converge e ache sua soma. repare que a fracção {\frac{1}{x(x+1)}} pode-se representar também como {\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}}, dai que { S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}},

  • { S_2 =\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}},
  • { S_3 = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}}, e assim por diante. esta propriedadeda da série

    \displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

    chama-se de telescópica. daí que { S_n=1-\frac{1}{n+1}}. portanto,

    \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1

    ; ou seja , a série é convergente e sua soma é igual a 1. Repare-se que neste caso, conferimos que a série é convergente, como consequência de ter determinado sua soma. Como provamos que a série tem soma, então a série é convergente.

Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série

\displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.