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1. Introdução ao Eletromagnetismo

— 1. Introdução ao Eletromagnetismo —

Estamos cercados de aparelhos cujo funcionamento depende de princípios e leis do eletromagnetismo, que é uma combinação de fenómenos elétricos e magnéticos.O eletromagnetismo também explica diversos fenómenos na natureza tais como a aurora, o arco íris, os relâmpagos,etc.

As interações eletromagnéticas envolvem partículas que possuem uma propriedade chamada carga elétrica, um atributo que é tão fundamental quanto a massa.Assim como os abjetos com massa são acelerados pela força gravitacional, os objetos eletricamente carregados são acelerados pelas força elétricas.

Iniciaremos o estudo do eletromagnetismo examinando a natureza da carga elétrica.Mostraremos que a carga elétrica é quantizada e obedece a um principio de conservação.

— 2. Cargas elétricas —

A carga elétrica é uma propriedade intrínseca das partículas de que é feita a matéria;em outras palavras é uma propriedade associada a própria existência das partículas.O termo “elétrico” deriva-se da palavra grega elektron, que significa âmbar.

A grande quantidade de cargas que existem em qualquer objeto raramente pode ser observada porque a maioria dos objetos contem quantidades iguais de dois tipos de cargas:cargas positivas e cargas negativas.Quando existe igualdade de cargas , dizemos que o objeto é eletricamente neutro, ou seja a carga total do objeto é zero.Quando as quantidades de dois tipos de cargas são diferentes, a carga total do objeto é diferente de zero e dizemos que o objeto esta eletricamente carregado.A diferença entre as quantidades dos dois tipos de cargas é sempre muito menor do que as quantidades de cargas positivas e de cargas negativas contidas no objeto.

OBS:Se o objeto possui um numero de protões maior que o de eletrões, o objeto esta eletrizado positivamente, se for ao contrario o objeto esta eletrizado negativamente.

Os objetos eletricamente carregados interagem exercendo uma força sobre outros objetos.Para observar essa força, podemos carregar um bastão de plástico friccionando uma das extremidades com um pedaço de lã.Quando o bastão de plástico é friccionado com um pedaço de lã, o plástico adquire uma quantidade de cargas negativas.Por outro lado quando um bastão de vidro é friccionado com um pedaço de seda, o vidro perde uma pequena quantidade de cargas negativas e, portanto, fica com uma pequena quantidade de cargas positivas.

Suponha que o bastão de plástico carregado seja suspenso por um fio para isolá-lo eletricamente dos outros objetos, impedindo que a carga elétrica se altere.Quando aproximamos do bastão de plástico suspenso o bastão de vidro eletricamente carregado (Figura 1a), os dois bastões são submetidos a uma força de atração.De outra forma, Quando aproximamos do bastão um segundo bastão de plástico eletricamente carregado(Figura 1b), os dois bastões são submetidos a uma força de repulsão.

cargas1

Figura: (a)Dois bastões carregados com cargas de sinais opostos se atraem.(b)Dois bastões de carga do mesmo sinal se repelem.}

As duas demonstrações revelam o seguinte:

Duas cargas positivas se repelem e duas cargas negativas também se repelem.Existe uma atração mutua entre uma carga positiva e uma carga negativa

OBS:A atração e a repulsão entre dois objetos carregados é geralmente resumida como cargas iguais se repelem e cargas contrarias se atraem.Contudo, devemos ter em mente que a expressão cargas iguais não significa que as duas cargas sejam idênticas, apenas que elas possuem o mesmo sinal algébrico (ambas são positivas ou ambas são negativas).Usar a expressão cargas contrarias significa que os objetos possuem cargas elétricas e que essas cargas possuem sinais algébricos opostos(uma positiva e a outra negativa).

— 2.1. Propriedades da carga elétrica —

Duas propriedades muito importantes da carga elétrica são a sua quantização e a conservação.

Quantização da carga.Todas as cargas observáveis ocorrem em quantidades que são múltiplos inteiros da unidade fundamental da carga elétrica {e}; ou seja, a carga elétrica é quantizada.Qualquer carga Q observável na natureza pode ser escrita como

{Q=\pm Ne} onde {N=\pm 1,\pm 2,\pm 3...}

A unidade fundamental da carga elétrica no SI é o coulomb, o qual é definido em termos da unidade da corrente elétrica, o Ampere (A).O coulomb (C) é a quantidade de carga que flui através da secção transversal de um fio em um segundo quando a corrente no fio é um ampere.A unidade fundamental de carga elétrica {e} esta relacionada ao coulomb por

\displaystyle e=1,602\times 10^{-19}C.

Conservação da Carga.Quando objetos são atritados entre si, um objeto fica com excesso de elétrons e torna-se, portanto, carregado negativamente; o outro objeto fica com uma deficiência de elétrons e torna-se, portanto, carregado positivamente.A carga resultante dos dois objetos permanece constante; isto é, a carga elétrica é conservada.

Exemplo 1. Uma moeda de cobre (Z=29) tem massa de 3,10 gramas.Qual é a carga total de todos os elétrons da moeda?

Solução:A carga total Q é o numero de elétrons multiplicados pela carga:

\displaystyle Q=N_{e}(-e)

O numero de elétrons é o numero atómico do cobre Z multiplicado pelo numero de átomos { N_{at} } :{ N_{e}=ZN_{at} }

Para encontrar { N_{at} } em 3,10g de cobre, utilizamos o fato que um mol de qualquer substancia tem o numero de Avogadro { (N_{A}=6,02\times 10^{23}) } de partículas e o numero de gramas em um mol é a massa molar M, que é {63,5g/mol}.Então, teremos:

{ N_{at}=\dfrac{m.N_{A}}{M}=(3,10g)\dfrac{6,02.10^{23}atomos/mol }{63,5g/mol}}=2,94{\times 10^{22}}átomos

O numero de elétrons {N_{e}} será :

{N_{e}=ZN_{at}=}(29 elétrons/átomo)(2,94{\times10^{22}}átomos)

\displaystyle N_{e}=8,53\times 10^{23}e.

Vamos utilizar o numero de elétrons {N_{e}} para determinar a carga total:

{Q=N_{e}(-e)}=(8,53{\times 10^{23}}e.)({-1,60\times 10^{-19}}C/e)

\displaystyle Q=-1,37\times 10^{5}C

1. Introdução as equações diferenciais

— 1. Introdução as equações diferenciais —

Talvez a aplicação mais importante do calculo sejam as equações diferenciais.Quando os físicos ou cientistas sociais usam o calculo em geral, o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenómeno que eles estão estudando.

— 1.1. Definições e terminologia —

Definição 1.As equações diferenciais são aquelas que contem as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

Exemplo 1.

  1. { \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{dy}{dt}=x+y } onde: x e y são variáveis dependentes e t é variável independente.
  2. { \dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=x-2y } onde: u é a variável dependente e x e y são variáveis independentes

Definição 2. A ordem da derivada mais elevada que aparece na equação diferencial determina a ordem da equação.

Definição 3. O grau de uma equação diferencial que pode exprimir-se como um polinómio, na função incógnita e suas derivadas, é o maior expoente da derivada de mais alta ordem que aparece na equação.

— 1.1.1. Classificação das Equações Diferenciais —

As equações diferenciais são classificadas quanto ao tipo, ordem e linearidade.

  1. Quanto ao tipo as equações diferenciais são classificadas em:ordinárias e parciais.
    1. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são aquelas que contem uma ou mais derivadas de variáveis dependentes em relação a uma variável independente.
    2. As equações diferenciais parciais (EDP) são aquelas que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.
  2. Quanto a ordem uma equação diferencial pode ser de 1ª, 2ª,…,n-ésima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equação.Uma equação ordinária de ordem n pode ser escrita na forma:

    {F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}

  3. Quanto a linearidade de uma equação diferencial ela pode ser linear e não linear.Ela é linear se as incógnitas e suas derivadas aparecem de forma linear.Por exemplo uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma equação que pode ser escrita como:

    { a_{n}(x)\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=g(x) }

    As equações diferenciais ordinárias que não podem ser escritas nessa forma são não lineares.

Exemplo 2.

  1. { \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-\dfrac{dy}{dx}+3y=0} (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
  2. { (y\prime\prime\prime)^{2}-y\prime\prime+y^{2}=0 } (EDO da 3ª ordem, 2º grau não linear)
  3. {\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-4\dfrac{\partial u}{\partial t}} (EDP da 2ª ordem, 1º grau linear)
  4. {x^{2}y\prime\prime+xy\prime+y=0} (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
  5. { \dfrac{\partial^{4}x}{\partial t^{4}}=kx(\dfrac{\partial^{2}m}{\partial n^{2}})^{2} } (EDP da 4ª ordem, 1º grau não linear)
  6. {(\dfrac{dy}{dx})^{\frac{3}{2}} +y\prime =\dfrac{1}{x}} (EDO da 1ª ordem, não linear). OBS:Em virtude do expoente {\frac{3}{2}}, a equação diferencial não pode exprimir-se como um polinómio na 1ª derivada e por isso, não se pode falar em grau da equação diferencial.
  7. {\textrm{sen}\, y\prime +y=0} (EDO da 1ª ordem, não linear).

— 1.1.2. Solução de uma equação diferencial —

Definição 4. Toda função {f} definida no intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial reduz a equação a uma identidade,é chamada solução para a equação no intervalo.

Queremos dizer que uma solução de uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem

\displaystyle F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0

é uma uma função {f} que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação;isto é,

\displaystyle F(x,f(x),f\prime (x),...f^{(n)}(x))=0

para todo x no intervalo I

Exemplo 3.Verifique que a função indicada é uma solução da equação diferencial dada num intervalo (0,-{\infty})

\displaystyle y\prime\prime -2y\prime +y=0 ; y=xe^{x}

Solução:a partir das derivadas { y\prime =xe^{x}+e^{x} } e { y\prime\prime =xe^{x}+2e^{x} } teremos: { y\prime\prime -2y\prime +y=(xe^{x}+2e^{x})-2(xe^{x}+e^{x})+xe^{x}=0 }

Observe que a função constante y=o também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real.Uma solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é em geral referida como solução trivial.

Definição 5.Solução geral duma equação diferencial é toda função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrarias.Se a equação é de 1ª ordem, aparece uma constante, se de 2ª ordem, duas constantes, etc.Geometricamente, a solução geral ou integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).

Definição 6.Solução particular é toda solução da equação diferencial que se obtém da solução geral,atribuindo-se valores as constantes.Geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes a solução geral.

Exemplo 4. A solução geral da equação diferencial { y\prime\prime +y\prime =0 } é

\displaystyle y=C_{1}+C_{2}e^{-x}

, visto que esta é uma função que depende de duas constantes arbitrarias e verifica identicamente a equação diferencial, pois { y\prime =-C_{2}e^{-x} }, { y\prime\prime =C_{2}e^{-x} } e { C_{2}e^{-x}-C_{2}e^{-x}=o }

Se fizermos { C_{1}=1 } e { C_{2}=-1 } e substituirmos na solução geral, obtemos a solução particular { y=1-e^{-x} }.

Exemplo 5. Dada a equação diferencial { y=\dfrac{2xy\prime}{1+(y\prime)^{2}} }, a solução geral é

\displaystyle y^{2}=4C(x-C)

, pois esta é uma função que verifica identicamente a equação diferencial e vem expressa em termos de uma constante arbitraria.

Uma solução particular é a função { y^{2}=4(x-1) },obtida da solução geral, fazendo C=1 e geometricamente, corresponde a curva integral (parábola) que passa no ponto (1,0).

A função { y=x } também verifica a equação identicamente, não depende de constantes arbitrarias, ma não pode ser obtida da solução geral por particularização da constante.É um outro tipo de solução, designada por solução singular, e que representa geometricamente, a envolvente da família de curvas integrais correspondentes a solução geral.

As equações diferenciais de 1ª ordem e 1º grau nunca tem soluções singulares.

Definição 7. Uma solução em que a variável dependente é expressa em termos de variáveis e constantes independentes diz-se que é uma solução explicita.

Definição 8. Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma {G(x,y)=0} trata-se de uma solução implícita.

Exemplo 6. Para {-2<x<2 }, a relação { x^{2}+y^{2}-4=0 } é uma solução implícita para a equação diferencial

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}

segue por derivação implícita, que

\displaystyle \dfrac{d(x^{2})}{dx}+\dfrac{d(y^{2})}{dx}-\dfrac{d(4)}{dx}=0

\displaystyle 2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0

ou

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}

A relação {x^{2}+y^{2}-4=0} define duas funções diferenciais explicitas: { y=\sqrt{4-x^{2}} } e {y=-\sqrt{4-x^{2}}} no intervalo (2;-2).

— 1.2. Problemas de valor inicial —

Um problema de valor inicial (PVI) consiste em: Resolver {F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}

Sujeito a { y(x_{0})=y_{0}, y\prime (x_{0})=y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1} }

onde {x_{0}\epsilon I} e {y_{0}, y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{(n-1)}} são condições inicias.

Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.

Exemplo 7. Mostre que { y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x} } é uma família de soluções de

\displaystyle y\prime\prime +y\prime -2y=0.

Ache uma solução particular que satisfaz as condições iniciais

\displaystyle y(0)=1 , y\prime (0)=2.

Solução:Para achar as constantes { C_{1} } e { C_{2} } calculamos { y\prime } para obter

\displaystyle y\prime=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}.

Ao substituir as condições iniciais obtemos o sistema de equações { C_{1}+C_{2}=1 }

{ C_{1}-2C_{2}=2 }

Ao se resolver esta equação obtém-se { C_{1}=\dfrac{4}{3} } e { C_{2}=-\dfrac{1}{3} }.Portanto a solução do PVI é { y=\dfrac{4}{3}e^{x}-\dfrac{1}{3}e^{-2x} }.

— 1.2.3. Existência e Unicidade de solução de uma EDO —

Três perguntas são importantes sobre soluções para uma EDO.

 

  • Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?
  • Se tiver solução, será que esta solução é única?
  • Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o teorema de existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas caraterísticas. As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

 

Teorema 1 Considere o problema de valor inicial

  • {\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)};

    \displaystyle y(x_{0})=y_{0}

    se a função f e a derivada parcial de f em função de y são continuas numa vizinhança do ponto { (x_{0},y_{0}) } ,existe uma solução única {y=g(x)} em certa vizinhança do ponto { (x_{0},y_{0}) } que verifica a condição inicial {g(x_{0})=y_{0}}.

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função f e a sua derivada parcial {\frac{\partial f}{\partial y}} são continuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).

OBS: As condições do teorema de Picard são condições suficiente,mas não necessárias para a existência de solução única.Quando f ou sua derivada parcial {\frac{\partial f}{\partial y}} não sejam continuas, o teorema não nos permite concluir nada:Provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem.

Exemplo 8. O teorema 1 garante que existe um intervalo contendo {x=0} no qual {y=3e^{x}} é a única solução para o problema de valor inicial:

\displaystyle y\prime =y, y(0)=3.

isso segue-se do fato de que {f(x,y)=y} e {\partial f \diagup \partial y=1} são continuas em todo plano xy.Pode ser mostrado ainda que esse intervalo seja {(-\infty,\infty)}.

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