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Normalização da Função de Onda

— 23.3. Normalização —

A Equação de Schroedinger é uma equação a derivadas parciais linear. Como tal, se { {\Psi(x,t)}} é uma solução, então { {A\Psi(x,t)}} (onde { {A}} é uma constante complexa) também é uma solução.

Será que isto quer dizer que um determinado problema em Mecânica Quântica tem um número infinito de soluções? Não! Não nos podemos esquecer que para além da equação de Schroedinger também temos que ter em consideração a condição de normalização. A condição de normalização para a função de onda é:

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=1 \ \ \ \ \ (41)

 

A equação anterior diz-nos que a partícula em estudo deve estar num dado local num certo instante.

Uma vez que { {A}} é uma constante complexa a condição de normalização fixa { {A}} em termos de valor absoluto mas não nos pode dizer nada quanto à sua fase.

O facto do valor da fase não estar determinado não é preocupante uma vez que a fase não tem qualquer significado físico.

Obviamente que durante a discussão anterior nós assumimos que a função de onda é normalizável. Dito de outra forma estamos a dizer que a função de onda não diverge e tende para zero com rapidez suficiente na vizinhança do infinito.

Normalmente diz-se que as funções de onda que não respeitam estas condições não representam estados físicos. No entanto esta afirmação não é totalmente verdadeira. Por exemplo, uma função de onda que não é normalizável pode representar um feixe de partículas numa experiência de scattering. Neste caso podemos interpretar a divergência do integral como sendo resultado do facto do feixe ser constituído por um número infinito de partículas.

A questão que agora se coloca é se temos garantido a consistência da normalização da Equação de Schroedinger. O que nos garante que a normalização da Equação de Schroedinger para um dado instante de tempo permanece válida para todos os outros instantes de tempo?

Vamos então olhar para a evolução temporal da Condição de Normalização 41

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi (x,t)|^2dx \ \ \ \ \ (42)

 

Calculando a derivada no lado direito da equação anterior

{ {\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi (x,t)|^2&=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* (x,t)\Psi (x,t))\\ &=\Psi^* (x,t)\frac{\partial\Psi (x,t)}{\partial t}+\frac{\partial \Psi^* (x,t)}{\partial t}\Psi (x,t) \end{aligned}}}

O complexo conjugado da equação de Schroedinger é:

\displaystyle \frac{\partial \Psi^*(x,t)}{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi^*(x,t)}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^*(x,t) \ \ \ \ \ (43)

 

Assim para a derivada fica

{ {\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}|\Psi (x,t)|^2&=\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* (x,t)\Psi (x,t))\\ &=\Psi^* (x,t)\frac{\partial\Psi (x,t)}{\partial t}+\frac{\partial \Psi^* (x,t)}{\partial t}\Psi (x,t)\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\left( \Psi^*(x,t)\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\Psi^*(x,t)}{\partial x^2}\Psi (x,t)\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left[ \frac{i\hbar}{2m}\left( \Psi^*(x,t)\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*(x,t)}{\partial x}\Psi(x,t) \right) \right] \end{aligned}}}

Voltando a 42

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=\frac{i\hbar}{2m}\left[ \Psi^*(x,t)\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*(x,t)}{\partial x}\Psi(x,t) \right]_{-\infty}^{+\infty} \ \ \ \ \ (44)

 

Uma vez que estamos a assumir que a função de onda é normalizável, a função de onda e o seu complexo conjugado devem tender para {0} em { {+\infty}} e { {-\infty}}.

Concluindo:

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi (x,t)|^2dx=0

Uma vez que a derivada é nula podemos concluir que o integral é constante.

Em conclusão podemos dizer que ao normalizarmos a Função de Onda para um dado instante de tempo garante que a mesma fica normalizada para todos os instantes de tempo.

 

Mecânica Quântica – A Função de Onda

— 23. A Função de Onda —

Após o artigo anterior onde fizemos uma breve revisão de probabilidades e estatística está na hora de olharmos com algum detalhe para a Mecânica Quântica propriamente dita. Deste modo vamos começar a estudar a função de onda pois este conceito é seguramente o mais importante que vamos encontrar num primeiro curso de Mecânica Quântica.

Assim sendo o objectivo desta secção é introduzir a função de onda da Mecânica Quântica e explicar qual é a sua interpretação física e relevância.

— 23.1. A Equação de Schroedinger —

O objectivo da Mecânica Clássica é derivar a equação de movimento , { {x(t)}}, de uma partícula de massa { {m}}. Depois de determinarmos { {x(t)}} as outras quantidades dinâmicas podem ser calculadas através de { {x(t)}}.

O nosso problema é então o de calcular { {x(t)}}? Na Mecânica Clássica este problema é resolvido através da aplicação do Segundo Axioma de Newton:

\displaystyle  \displaystyle F=\frac{dp}{dt}

Para Sistemas Conservativos temos { {F=-\dfrac{\partial V}{\partial x}}} (anteriormente tínhamos usado { {U}} para denotar a energia potencial mas agora iremos usar { {V}}).

Assim para a Mecânica Clássica temos:

\displaystyle  \displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2}=-\dfrac{\partial V}{\partial x}

como a equação que nos ajudará a determinar { {x(t)}} (desde que conheçamos as condições iniciais).

No que concerne à Mecânica Quântica temos que utilizar a equação de Schroedinger para determinar a equação de movimento que especifica o Estado Físico da partícula em estudo.

Definição 14

A Equação de Schroedinger especifica o Estado Físico de uma partícula em mecânica Quântica

\displaystyle   i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi \ \ \ \ \ (40)

— 23.2. A Interpretação Estatística —

Uma vez determinada a equação de onda devemos nos perguntar qual será a sua interpretação. Esta pergunta tem uma forte razão de ser uma vez que uma partícula é algo que está localizado enquanto que uma onda é algo que ocupa uma região de espaço

De acordo com a interpretação de Born a função de onda de uma partícula está relacionada coma probabilidade de ela ocupar uma determinada região no espaço.

De forma exacta podemos dizer que { {|\Psi(x,t)|^2dx}} é a densidade de proabilidade de encontrar uma partícula entre { {x}} e { {x+dx}}.

Esta interpretação da função de onda introduz o não determinismo na Mecânica Quântica uma vez que não podemos saber com certeza a posição de uma partícula mas somente a probabilidade de encontrar a partícula num dado intervalo.

O mistério que se apresenta a nós é:

  1. Onde está a partícula imediatamente após a sua posição ser medida?
  2. O que acontece antes do acto de medição?
  3. Onde estava a partícula antes dos nossos instrumentos interagirem com ela e mostrarem-nos a sua posição?

Estas questões têm três respostas possíveis:

  1. Realista: Um Físico Realista acredita que a partícula estava na posição onde foi medida. Se esta é uma resposta válida então a Mecânica Quântica tem que ser uma teoria incompleta uma vez que não consegue prever que a partícula estava na posição onde foi medida.
  2. Ortodoxa: Um físico ortodoxo é alguem que acredita que a partícula não tinha uma posição definida antes de ser medida e que é a acção de medição que força a partícula a ocupar uma posição.
  3. Agnosticismo: um físico agnóstico é uma físico que pensa que não sabe a resposta para esta pergunta e como tal recusa respondê-la.

Até 1964 qualquer uma destas posições era aceitável no mundo da Física. Mas nesse ano John Stewart Bell provou um teorema relacionado com o paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen que mostrou que se uma partícula tem uma posição definida antes da medição então existe uma diferença observável no resultado de algumas experiências (mais para a frente iremos explicar o que queremos dizer com isto).

Assim sendo a posição agnóstica não era mais uma posição respeitável e cabia à Natureza mostrar qual das outras duas opções era a opção verdadeira.

Apesar dos três físicos descritos acima não concordarem com qual era a posição que uma partícula tinha imediatamente antes de ser medida, todos os físicos concordam com qual é a sua posição imediatamente após ser medida. Se em primeiro lugar medimos {X} então a segunda medição também tem que ser {x}.

Concluindo a função de onda pode evoluir de dois modos:

  1. Pode ter uma evolução livre de descontinuidades (a não ser que o potencial seja ilimitado em algum ponto) regida pela Equação de Schroedinger.
  2. Colapsa para um valor único devido a uma medição

Uma jornada pelo mundo da Gestão Estratégica I

Nasci em Angola em 1982 e com 6 anos de idade rumei para Portugal. Em Portugal licenciei-me em Física. A formacão em Física permitiu-me desenvolver o meu raciocínio hipotético-dedutivo e acima de tudo aprimorou as minhas capacidades de análise criando em mim o hábito de resolver um problema desagregando-o nas suas partes mais importantes.

Dois anos após concluir a minha Licenciatura decidi rumar de novo a Angola. Esta decisãoo deveu-se essencialmente na minha necessidade de fazer algo pelo meu país. Angola havia sido devastada durante várias décadas por conflitos e após um período de 8 anos de paz comecava a dar passos seguros em direccão a uma maior justiça social. Eu sabia que podia e devia fazer parte deste esforço de reconstrução

Após chegar a Angola comecei por dar aulas na Universidade Agostinho Neto (Faculdade de Ciências) e na Universidade Católica ( Faculdade de Engenharia). Esta experiência permitiu-me ter um contacto com muitos dos jovens do nosso país e conhecer em primeira mão não só o potencial que estes apresentam mas tambémem as suas principais preocupações.

Pouco tempo depois fui contactado ppela McKinsey & Company, para realizar os testes e entrevistas. Após este processo inicial recebi a notícia que iria integrar os quadros da McKinsey. Ao contrario do que aconteceu na minha experiência profissional anterior aqui a maior parte do meu contacto foi com pessoas mais séniores.

Este contacto fez-me perceber melhor qual o atual estado de Angola face a sua realidade anterior e o real esforço e trabalho desenvolvido até então. Este contacto fez-me perceber que apesar de tudo o que foi feito nem tudo havia sido bem feito e que ainda espaço e oportunidade para continuar a ajudar este país a crescer.

A um nível mais técnico posso dizer que esta experiência enquanto consultor, que é um clima internacional e altamente exigente, fez-me crescer imenso a nível profissional e de uma forma muito rápida. As minhas capacidades de liderança foram desenvolvidas e aprimoradas e o constante contacto com colegas altamente excepcionais juntamente com problemas associados a gestão de topo (usualmente eram problemas C-level ) fizeram com que eu procurasse sempre uma visão abrangente e global dos temas que me são apresentados.

Após esta experiência inicial fora do mundo académico fui evoluindo profissionalmente em várias indústrias ocupando sempre posições de reporte à Alta Direcção e/ou Conselho de Administração:

  1. Gestor Sénior do Departamento de Business Intelligence da Direcção de Grandes Clientes da Unitel
  2. Business Advisor na Afrique IMO
  3. Director Geral no FACRA
  4. Director de Estratégia e Inovação no Banco Postal (onde também interinei a direcção de Infraestruturas e Logística durante seis meses)
  5. Experiência freelance como consultor onde tenho ajudado várias micro e pequenas empresas a estruturar melhor o seu posicionamento no mercado, a definir ou redefinir a sua estratégia de negócio e a formalizar processos e procedimentos que ajudem a aumentar a eficácia e controlo de custos
  6. Desenvolver o meu projecto pessoal, a Luso Academia, como uma fonte de ajuda para os alunos das ciências físicas que precisem de apoio com material de estudo, pois este é muitas vezes difícil de encontrar no mundo lusófono.

Penso que duas coisas são bastante patentes ao longo da minha carreira profissional em Angola:

  1. A vontade de fazer algo de socialmente relevante para o meu país.
  2. A vontade de inovar e ajudar na inovação.

Estilo Rouge

 

Estilo Rouge, há 11 anos a produzir em Angola. Encontre-nos nas nossas redes sociais ou entre em contacto connosco através dos contactos mencionados.

  1. Estilo Rouge no facebook
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Aguardamos pelo vosso contacto.

Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II

Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.

Definição 50 Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente. Para cada {m>p} a série {\displaystyle \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n} também converge. Podemos então definir:

\displaystyle   r_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (80)

como sendo o resto de ordem {m} da série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n}

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n

vem que

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + r_m

Assim é

\displaystyle  r_m =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n - \sum_{n=p}^m u_n

Fazendo {m \rightarrow +\infty} vem que {\displaystyle \lim r_m=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n- \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=0 }

Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem {m}.

\displaystyle  \zeta^-_m < r_m < \zeta^+_m

Fazendo

\displaystyle  r_m \approx \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

Podemos definir

\displaystyle  \varepsilon _m=r_m - \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

vem que

\displaystyle  \varepsilon _m < \zeta^+_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e

\displaystyle  \varepsilon _m > \zeta^-_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^-_m - \zeta^+_m}{2}=- \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Assim

\displaystyle  - \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} < \varepsilon _m < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Ou seja

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Temos assim

\displaystyle  r_m=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}+ \varepsilon _m

com

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e portanto

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^m u_n + \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} + \varepsilon _m

Teorema 78

Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada.

Demonstração:

Seja {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} onde {u_n \geq 0\, \forall n \geq p} e seja {S_m} a respectiva sucessão das somas parciais.

Por definição é

\displaystyle  S_m=\sum_{n=p}^m u_n

Logo

\displaystyle  S_{m+1}-S_m = \sum_{n=p}^{m+1} u_n - \sum_{n=p}^m u_n = u_{m+1} \geq 0

Assim {S_m} é crescente.Se {S_m} converge, {S_m} é limitada (Teorema 13), logo é majorada.

Reciprocamente, se {S_m} é majorada, como é crescente sabemos também que é minorada também é minorada. Logo é limitada.

Então {S_m} converge pelo Teorema da Sucessão Monótona (20).

Assim {S_m} converge sse {S_m} for majorada.

Mas {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} converge.

Assim {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} tem majorante.

\Box

Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.

Teorema 79 {Critério da Comparação}

Sejam {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} v_n} duas séries de termos gerais não negativos. Se {u_n = O(v_n)}

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (81)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (82)

Demonstração:

Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.

Suponha-se {v_n} convergente. Como {u_n= O(v_n)} existe uma sucessão {h_n} limitada e um índice {k} tais que {u_n=h_n v_n \quad \forall n\geq k}.

Sendo então {L} um majorante de {h_n} vem que

\displaystyle   u_n \leq L v_n \ \ \ \ \ (83)

Por outro lado como

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} v_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n

vem que {v_n} converge. Pelo Teorema 78 {v_n} tem as somas parciais majoradas. Assim {\exists n \geq 0 } tal que {\displaystyle\sum_{n=k}^m v_n \leq M\, \forall n \geq k} .

De 83 vem então

\displaystyle  \sum_{n=k}^m u_n \leq \sum_{n=k}^m L v_n= L\sum_{n=k}^m v_n \leq LM \quad \forall n \geq k

Assim a série {\displaystyle \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n } também as somas parciais majoradas, logo é convergente (Teorema 78).

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+ \infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n

(Teorema 76) vem que {\displaystyle\sum_{n=p}^{+ \infty} u_n} converge.

\Box

Corolário 80

Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem {k} tal que {u_n \leq v_n \quad \forall n \geq k} então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (84)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (85)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 81

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  \lim \frac{u_n}{v_n} \in ]0, + \infty[

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (86)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 82

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  u_n \sim v_n

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (87)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:

Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.

Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge e {\alpha \in \mathbb{R}}, então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} converge e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)

Demonstração: Temos efectivamente

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}

\Box

Corolário 74

Se {\alpha \neq 0} as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} têm a mesma natureza.

Demonstração: Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n} também é convergente. Ou seja, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente \Box

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo {\leftrightarrow } como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} queremos dizer que as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n} são ambas convergentes então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)} é convergente e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)

Demonstração: {\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}} \Box

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}} têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n

Onde temos que {|r|<1}.

Temos então

{\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}

Assim fica

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1

Teorema 77 Dada uma série {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}, um índice {k>p}, as séries {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\sum_{n=k}^{+\infty} u_n} têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

\displaystyle  \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n

e tomar o limite {m \rightarrow +\infty} \Box

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Cálculo I – Somas de Mengoli

— 8.1. Somas de Mengoli —

Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1}) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^{m}(v_n-v_{n+1}) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty}(v_p-v_{m+1})\\ &= v_p-\lim v_{m+1} \\ &=v_p -\lim v_n \end{aligned}}

Assim sendo,

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})

converge sse a sucessão {v_n} é convergente e temos

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})=v_p -\lim v_n

Exemplo 4

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \ \ \ \ \ (74)

 

Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade:

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)

Assim fica

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ &= \dfrac{1}{1}-\lim\dfrac{1}{n}\\ &=1 \end{aligned}}

Ou seja, o que nós temos é

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots =1

Exemplo 5

Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli

\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) \ \ \ \ \ (75)

 

Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma:

{\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n}{n}-\frac{1}{n} \right) \\ &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n-1}{n} \right) \\ &=\sum_{n=2}^{+\infty}\left( \log (n-1)- \log n \right) \end{aligned}}

que é uma série de Mengoli divergente.

Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.

Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.

Teorema 71

Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente então {\lim u_n=0}

Demonstração:

Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente e seja {a \in \mathbb{R}} a sua soma.

Pondo {S_m=sum_{n=p}^m u_n} {\forall m \geq p} temos então {\lim S_m =a}.

Assim também é {\lim S_{m-1}=a}. Logo {\lim (S_m-S_{m-1})=0}

Ou seja

\displaystyle \lim \left( \sum_{n=p}^m u_n - \sum_{n=p}^{m-1} u_n =0\right)

E portanto {\lim u_n=0}

\Box

Corolário 72

Se {\lim u_n \neq 0}, a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é divergente.

Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 \Box

Tomemos

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n

Se {|r|\geq 1}, {|r^n|=|r|^n}. Ora {|r|^n} não tende para {0}. Logo {r^n} também não tende para {0}. Assim {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n } diverge.

 

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