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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 2)

 

Exercício 11 Três espelhos interceptam-se em ângulos rectos.Um feixe de luz atinge o primeiro deles com um ângulo {\theta} (ver figura ao lado) .a)Mostre que quando esse raio é refletido pelos outros dois espelhos e cruza o raio original,o ângulo entre esses dois raios será {\alpha = \ \ 180^{o}-2\theta} e determine o ângulo {\theta} para o qual os dois raios serão perpendiculares quando se cruzam?

.NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 11 .

Redesenhando a figura. Na figura o ponto de intersecção entre o raio incidente e o primeiro espelho espelho chamamos de {B}.

O raio que se reflecte deste ponto vai incidir no outro ponto do segundo espelho, que chamamos de {C}.

Raio reflectido do ponto {C} vai incidir no outro ponto do terceiro espelho que chamamos de {D}.

O raio reflectido do ponto {D} vai cruzar-se com o raio incidente num ponto que chamamos {A}.

O ângulo de incidência e reflexão no ponto {C} chamamos de {z}. O complementar de {z} chamamos de {\varphi}.

O ângulo de incidência e reflexão no ponto {D} chamamos de {\beta}. O complementar de {\beta} chamamos de {\Psi}.

O complementar de {\theta} chamas de {\chi}.

Marcamos ainda os .s é eficaz conforme indicado na figura.

Da figura, no ponto B, analisando entre o espelho e a sua normal, temos:

\displaystyle \chi \ + \theta = \ \ 90^{o}

pelo triângulo BHC, pelo teorema da soma dos ângulos internos, temos temos :

\displaystyle \chi \ + \varphi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}

\displaystyle \chi \ + \varphi = \ \ 90^{o}

Subtraindo ambas equações dos passos anteriores, obtemos :

\displaystyle \varphi = \ \theta

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo CDG, temos :

\displaystyle \varphi \ + \Psi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}

\displaystyle \varphi \ + \Psi = \ \ 90^{o}

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo ADF, temos :

\displaystyle y \ + \ 90^{o} \ + \Psi = \ \ 180^{o} \Rightarrow

\displaystyle y \ + \Psi = \ \ 90^{o}

Subtraindo esta última pela equação do passo anterior, obtemos :

\displaystyle y = \ \varphi

Como {\varphi = \ \theta}, obtermos:

\displaystyle y = \ \theta

No quadrilátero {ABCD} temos :

\displaystyle 2y \ + \alpha = \ \ 180^{o} \Rightarrow \alpha = \ \ 180^{o} \ - \ 2y

Substituindo {y = \ \theta}, obtemos:

\displaystyle \alpha = \ 180^{o} \ - \ 2\theta

Exercício 12 Um feixe de luz emitido por um laser,incide sobre a superfície da água de um aquário,como representado nesta figura :

O fundo desse aquário é espelhado ,a profundidade da agua é de 40 cm e o ângulo de incidência do feixe de luz é de {50^{o}}. Qual é a distância entre os pontos A e C da figura?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 12 .

Dados

{n_{agua} = \ \ 1,33}

{h = \overline{BO}= \ \ 40 \ cm}

{\varphi = \ \ 50^{o}}

{ \overline{AC} \rightarrow \ ?}

.

No problema, a luz incide a partir do ar para a água. Toca na água no ponto A e refracta-se na água. É reflectida no ponto B(no espelho que está no fundo) e retorna à superfície de separação água-ar. No ponto C, faz refracção novamente para o Ar.

Para acharmos a distância AC devemos calcular o ângulo que o feixe de luz faz com a normal na água (usando a lei de Snell-Descartes), e combinando estes valores com a profundidade, no triângulo ABC.

.

Redesenhando a figura,temos :

Pela lei de Snell, no ponto A, podemos determinar o ângulo de refração. Temos :

\displaystyle n_{ar} \ sen 50^{o} = \ \ n_{agua} \ . sen \theta

Isolando o seno, no membro esquerdo, temos:

\displaystyle sen \theta = \ \dfrac{n_{ar} \ sen 50^{o}}{n_{agua}} = \ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}

\displaystyle \Rightarrow \theta =\ arcsen({ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}}) = \ 35,15^{o}

Se considerarmos o ponto médio do segmento {\overline{AB}}, que chamamos de {D}, então o triângulo ABD é rectângulo. O ângulo interno do vértice B é igual a {\theta } e {\overline{AD}=\overline{AC}/2}. Então:

\displaystyle tg \theta= \ \dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}} = \ \dfrac{\dfrac{\overline{AC}}{2}}{h} = \ \dfrac{\overline{AC}}{2h}

\displaystyle \Rightarrow \overline{AC} = \ 2h \ . \ tg \theta

Substituindo valores, obtemos:

\displaystyle \overline{AC} = \ 2 \ . \ 40 \ cm \ . \ tg \ (35,15^o) \Rightarrow \overline{AC} = \ 56,37 \ cm

.

Exercício 13 Um rapaz em repouso na rua,vê sua imagem reflectida por um espelho plano preso verticalmente na traseira de um autocarro que se afasta com a velocidade escalar constante de {20 \ m/s}. Qual é a velocidade de afastamento da imagem em relação ao rapaz?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 13 Neste problema temos de analisar não só a velocidade com o espelho se afasta do rapaz, mas também a velocidade com que a sua imagem (que o espelho produz) se afasta dele.

O melhor raciocínio mais simplificado, consiste em estabelecer o espelho como referencial de analise e depois achar a velocidade relativa.

A medida que o autocarro se move para a direita, automaticamente o espelho também se move para a direita. como o movimento é relativo, podemos considerar que o autocarro e o espelho estão em repouso e o rapaz ({AB}) é que se está a mover no sentido oposto (para a esquerda), com a mesma velocidade.

Se o rapaz, que é o nosso objecto óptico({AB}), se move para esquerda com velocidade v, então a sua imagem formada pelo espelho ({A'B'}) se afasta do espelho para direita com velocidade {v'}.

Vamos estabelecer as equações do movimento no 1ª referencial (com origem no espelho) e depois amos fazer a transformação de Galileu par o 2º Referencial (com origem no rapaz). Veja a figura.

Pela lei da reflexão, em qualquer momento:

\displaystyle \Delta x_{e} = \Delta x_{i}

Portanto :

\displaystyle -v \cdot t = v' \cdot t

\displaystyle \Rightarrow -v = v'

\displaystyle \Rightarrow |v| = |v'|

Então , neste referencial (Referencial 1), temos:

\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} - v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref1}=0

\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} + v.t

.

Se estabelecermos um novo referencial (no rapaz), então este referencial 1 (com origem no espelho) está em movimento em relação ao novo referencial 2 (com origem no rapaz), com velocidade v.

A transformação de galileu diz que: {x_{Ref2}=x_{Ref 1} - v. t}.

Então para o rapaz( que no referencial 1 estava em movimento regressivo com velocidade v) teremos:

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{Rap-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=(x_{0Rap}-v.t) + v. t

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{0Rap}

Neste novo referencial, o rapaz está repouso.

.

Para o espelho/autocarro( que no referencial 1 estava em repouso na origem) teremos:

\displaystyle x_{Esp-Ref2}=x_{Esp-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref2}=0 + v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref2}= v. t

Neste novo referencial, o espelho/autocarro estão em movimento com velocidade v (conforme enunciado).

Para a imagem (que no referencial 1 estava em movimento progressivo com velocidade v) teremos:

\displaystyle x_{Im-Ref2}=x_{Im-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Im-Ref2}=(x_{0Im}+v.t) + v. t

\displaystyle x_{Im-Ref2}= x_{0Im} + 2 v t

Neste novo referencial,imagem está em movimento com velocidade 2v .

Neste caso, a velocidade da imagem é:

\displaystyle v_{im}= \ 2.v= \ 2.20=40 \ m/s

Exercício 14 Um nativo de uma aldeia pesca em uma lagoa de água transparente. Para isso usa uma lança. Ao observar um peixe, ele atira a sua lança na direcção em que o observa. O jovem está fora da água e o peixe está em 1 m abaixo da superfície. O peixe está a uma distancia horizontal de {0,9 \ m} do ponto aonde a lança atinge a superfície da água. Para essas condições determine :

a)O ângulo {\alpha},de incidência da luz na superfície da agua-ar.

b)O ângulo {\beta} que a lança faz com a superfície da água quando tenta alcançar o peixe.

c)A profundidade aparente y,da superfície da água em que o nativo vê o peixe.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 14

Dados

{n_{ar} = \ \ 1}

{n_{agua} = \ \ 1,33}

{\alpha \ - \ ?}

{\beta \ - \ ?}

{y = \ \overline{DE} - \ ?}

Neste problema, temos analise baseadas na refracção da luz. O Peixe está no Ponto O nativo, na beira do rio, vê como se o peixe estivesse no ponto D (que é a imagem virtual do ponto C) formada pela refracção da luz na superfície. O ponto A é o ponto onde ocorre a refracção. O ângulo {\alpha} é o ângulo de incidência da luz que sai do peixe e incide no ponto A. O ângulo {\theta } é o ângulo de refracção da luz no ponto A. ângulo {\beta } é complementar de {\theta}

  1. Para encontramos o ângulo {\alpha}, vamos aplicar a relação para as razões trigonométricas no triângulo rectângulo ABC. Sendo {\overline{AB}} cateto adjacente, {\overline{BC}} cateto oposto e{\overline{AC}} a hipotenusa, teremos:

    \displaystyle tg \alpha = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \ \dfrac{0,9}{1}

    \displaystyle \Rightarrow \alpha =arctg ( \ \dfrac{0,9}{1})= \ 41,99^{o}

    \displaystyle \alpha = \ 41,99^{o}

  2. Como {\beta} é o complementar de {\theta}, então, acharemos primeiro o {\theta} e com ele acharemos o {\beta}. O {\theta} será obtido pela lei da refracção:

    \displaystyle n_{ar} \ sen \theta = \ \ n_{agua} \ sen \alpha

    Insolando o seno de { \theta }, temos:

    \displaystyle \ sen \theta = \ \ \dfrac{ \ n_{agua} \ . \ sen \alpha}{n_{ar}} = \ \dfrac{ \ 1,33. \ sen(41,99)}{1}

    Neste caso:

    \displaystyle \theta = arcsen ( \dfrac{1,33. \ sen(41,99)}{1})

    \displaystyle \Rightarrow \theta = \ \ 62,85^{o}

    Como {\theta \ + \beta = \ \ 90^{o}}, então:

    \displaystyle \beta = \ \ 90^{o} \ - \theta = \ \ 90^{o} \ - \ 62,85^{o}

    \displaystyle \Rightarrow \beta = \ 27,15^{o}

  3. A profundidade aparente do peixe, neste caso, corresponde ao segmento {\overline{DE}}. Para achar o seu valor, usaremos o triângulo ADE. Para este triângulo, temos:

    \displaystyle tg \beta = \ \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \ \dfrac{y}{x}

    \displaystyle \Rightarrow y = \ x \ tg \ (\beta)

    \displaystyle \Rightarrow y = \ 0,9\ tg \ ( 27,15^{o})

    \displaystyle y = \ 0,46 \ m

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1 Comentário

  1. edsonernesto diz:

    Estamos a aprender muito.

    Gostar

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