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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 1)

— 2. Exercícios sobre Geométrica —

— 2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos —

Exercício 7 Supondo que o objecto B,no instante inicial está em movimento com a velocidade de {1 \ m/s},na direcção indicada. Após quanto tempo será visível pelo espelho de vidro,pelo observador no ponto A?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 7 .

O problema a seguir trata de um problema de Campo de Visão. Pretendemos determinar após quanto tempo o corpo B é visível ao observador do ponto A, pelo espelho na parede.

.

Considerando as dimensões indicadas pelos quadriculados, e a posição do ponto A, podemos traçar os raios luminosos que partem do ponto A e se reflectem no espelho. Os raios que vão definir o campo de visão serão os raios que incidem nas extremidades do espelho. No caso os raios (1) e (2).

Traçamos os seus raios reflectidos pelo espelho, obedecendo a lei da reflexão, de modos que formem os mesmos ângulos. Neste caso, traçamos os raios (1′) e (2′) respeitando a simetria do problema. Veja a figura a seguir:

.

Neste caso, o campo de visão do observador A é a região compreendida entre os raios (1′) e (2′).

.

O Corpo B será visível pelo observador A no momento em que entra no campo de visão de A. Considerando que o corpo B se move e direcção horizontal, ele entrará no campo de visão de A, quando atingir o ponto P, que é o ponto de intercessão entre a linha da sua trajectória e o raio reflectido (1′).

Para calcularmos o tempo, devemos achar primeiramente a distancia percorrida por ele (corpo B) até chegar ao ponto P. No gráfico, podemos observar que esta distancia igual a 2 metros. Então:

{\Delta x = \ 2 m.}

Então, como estamos a avaliar o movimento como um todo, usamos as equações do MRU. Logo:

\displaystyle v = \ \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow \Delta t = \ \dfrac{\Delta x}{v} = \

\displaystyle \Rightarrow \Delta t = \dfrac{2 \ m}{1 \ m/s} \Rightarrow \Delta t = \ \ 2 s

Exercício 8 Dois espelhos planos estão dispostos de modo a formar um ângulo de {30^o} entre eles, conforme a figura abaixo. Um raio luminoso incide sobre um dos espelhos, formando um ângulo de {70^o} com a superfície. Este raio reflecte-se neste espelho e depois se reflecte no outro espelho, e cruza o raio incidente formando um ângulo {\alpha}. Qual é o valor deste ângulo{\alpha}?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8

Em primeiro lugar, devemos devemos dar nome aos pontos de referência:

  • O raio incidente identificamo-lo por 1;
  • O raio reflectido do primeiro espelho, que vai para o segundo espelho, identificamo-lo por 2;
  • O raio que sai do segundo espelho e cruza novamente com raio 1, identificamo-lo por 3;
  • O ponto de intersecção do raio 1 com o primeiro espelho, identificamo-lo por A;
  • O ponto intersecção do raio 2 com o segundo espelho, identificamo-lo por B;
  • O ponto de intersecção do raio 3 com raio 1, identificamo-lo por D;
  • O ponto de cruzamento dos dois espelhos, identificamo-lo por C.
  • O ângulo formado entre o raio 1 e o raio 2, identificamo-lo por {\beta};
  • O ângulo formado entre o raio 2 2 o espelho 1, identificamo-lo por {\varphi};
  • O ângulo formado entre o raio 2 e o segundo espelhos, identificamo-lo por {\gamma};
  • o ângulo formado entre o raio 2 e o raio 3, identificamo-lo por {\delta};
  • o ângulo formado entre o raio 3 e o espelho 2, identificamo-lo por {\gamma '}.

Queremos determinar {\alpha}, pela geometria sabemos que rectas concorrentes(rectas que se cruzam) formam dois ângulos iguais e opostos, então:

\displaystyle \alpha = \ \alpha'

Podemos determinar {\alpha'} pelo triângulo ABD. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual à {180^o}, então:

\displaystyle \alpha' + \beta + \delta = \ 180^o

O raio 1 forma um ângulo de {70^o} com o espelho {E_1} e pela lei da reflexão, por analogia, o raio 2 também forma um ângulo de {70^o} com o mesmo espelho( {\varphi = \ 70^o}).

A soma destes três ângulos {(\varphi, \ \beta \ e \ 70^o} dá um ângulo de {180^0}, então:

\displaystyle \varphi + \beta+ 70^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \beta = \ 180^o - 70^o - \varphi = \ 180^o - 70^o - 70^o \Rightarrow \beta = \ 40^o

No triângulo ABC, {\gamma} é um dos ângulos do mesmo triângulo e, como já sabemos, a soma dos três ângulos deste triângulo é igual a {180^o}. Assim podemos determinar {\gamma}:

\displaystyle \varphi + \gamma + 30^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \gamma = \ 180^o-30^o- \varphi = \ 180^o-30^o-70^o \Rightarrow \gamma = \ 80^o

Como {\gamma} é o ângulo formado pelo raio 2 e o espelho 2, pela lei de reflexão, por analogia, este ângulo é igual ao ângulo formado pelo raio 3 e o espelho 2 {\gamma'}. Desta forma podemos determinar {\delta};

\displaystyle \gamma + \delta + \gamma ' = \ 180^o \Rightarrow \delta = \ 180^o - \gamma -\gamma ' = \ 180^o - 80^o - 80^o \Rightarrow \delta = \ 20^o

Tendo já conhecido os valores de {\beta} e {\delta} podemos determinar {\alpha '} que consequentemente será igual à {\alpha}.

\displaystyle \alpha ' + \delta + \beta = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \alpha ' = \ 180^o - \delta - \beta = \ 180^o - 20^o - 40^o \Rightarrow \alpha ' = \ 120^o

\displaystyle \alpha ' = \ \alpha, \ logo: \ \alpha = \ 120^o

Exercício 9

Considere a figura baixo em que um ponto A está situado em frente de um espelho plano. Qual é a distância entre a imagem do ponto A e o ponto B, na figura, considerando as dimensões da escala indicada?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 9

E primeiro lugar, devemos localizar a imagem de A. Para esboçar a imagem, seguimos o seguinte raciocínio:

  1. Tracemos dois raios incidentes partindo do ponto A, que incidem no espelho 1 e 2;
  2. Sabemos que por ser um espelho plano os raios vão se reflectir sob o mesmo ângulo. Traçamos então os raios reflectidos 1′ e 2′;
  3. A partir da prolongação dos raios reflectidos pelo espelho podemos determinar a posição da imagem. Está imagem, de acordo com a formação da imagem me espelhos planos, estará à mesma distancia do espelho a que o objecto A se encontra. Neste caso a imagem estará a {1 m} de distância do espelho.

.

A distância entre a imagem de A (A’) e o ponto B é o segmento:{\overline{A'B}}.

Considerando a escala em quadriculado, podemos considerar o triângulo rectângulo (A’BP). Neste caso, {\overline{A'B}} é a hipotenusa do triângulo rectângulo.

Então:

\displaystyle \overline{A'B}^2 = \ \overline{A'P}^2+\overline{PB}^2

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{8^2+3^2}

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{73}

\displaystyle \overline{A'B} = \ 8,544 m

Exercício 10 A distância entre A e o espelho plano {E_1} é de 20 cm. A distância entre o mesmo ponto e o outro espelho plano {E_2} é de 40 cm. Sendo o ângulo {\theta = \ 30^o}. Determine a distância entre a posição da imagem do ponto A formada pelo espelho {E_1} e a imagem do mesmo ponto formada pelo espelho {E_2}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10

Em primeiro lugar devemos encontrar as imagens formadas pelos espelhos {E_1} e {E_2}.

Sabemos que, nos espelhos planos, a imagem é formada no lado oposto ao espelho, na direcção da perpendicular ao espelho que passa pelo objecto em causa (A) e fica situada a uma distância igual a distância entre objecto e o espelho.

Usando isso, podemos encontrar uma imagem do objecto a ser formado pelo espelho {E_1} (que designamos de {4}) e pelo espelho {E_2} (que designamos {C}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem B (Segmento {\overline{AB}}) e o próprio espelho {E_1} identificamos por {B'}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem C (Segmento {\overline{AC}}) e o próprio espelho {E_2} identificamos por {C'}.

Então pela formação de imagens em espelhos planos sabemos que {\overline{AB'}=\overline{B'B}} e que {\overline{AC'}=\overline{C'C}}.

A distância que deseja determinar corresponde ao segmento {\overline{BC}}.

Consideremos {\overline{AB} = \ a}, distância entre o objecto e a imagem formada pelo espelho {E_1}, e {\overline{BC} = \ d}, distância entre as duas imagens.

As imagens são formadas pela prolongação dos raios incididos perpendicularmente aos espelhos. Neste caso o ângulo entre cada espelho e o seu respectivo raio incidido é igual à {90^o}.

Por se tratar de espelhos planos, a distância entre cada imagem e o espelho que forma esta imagem é igual à distância entre o objecto e o respectivo espelho. Então:

\displaystyle \overline{BB'} = \ \overline{AB'} = \ 20 \ cm \Rightarrow \overline{AB} = \ a = \ 2\overline{AB'} = \ 2 \cdot 20 \ cm = \ 40 \ cm

\displaystyle \overline{CC'} = \ \overline{AC'} = \ 40 \ cm \Rightarrow \overline{AC} = \ b = \ 2\overline{AC'} = \ 2 \cdot 40 \ cm = \ 80 \ cm

Podemos determinar {\overline{BC} = \ d} pela lei dos cossenos:

\displaystyle d^2 = \ a^2+b^2-2ab \cos \alpha

Mas precisamos antes determinar {\alpha}. {\alpha} é um dos ângulos internos do quadrilátero AB’C’D. Pela geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual à {360^o}. Então:

\displaystyle \theta + 90^o + \alpha + 90^o = \ 360^o \Rightarrow \alpha = \ 360^o - 180^o - \theta

Sabendo que {\theta = \ 30^o}, teremos:

\displaystyle \alpha = \ 360^o - 180^o -30^o \Rightarrow \alpha = \ 150^o

Assim, já podemos calcular o valor da distância entre as imagens formadas pelos dois espelhos:

\displaystyle d^2 = \ a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha\Rightarrow d = \ \sqrt{a^2+b^2-2ab \cos \alpha}

\displaystyle a = \ 40 \ cm, \ b = \ 80 \ cm , \ \alpha = \ 150^o

Então:

\displaystyle d = \ \sqrt{(40)^2 + (80)^2 - 2 \cdot 40 \cdot 80 \ \cdot (\cos 150^o)}= 116,37 \ cm

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1 Comentário

  1. Muito bom professor Anselmo; consegui entender certas dificuldades que eu tinha na resolução de exercícios do gênero.

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