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1.1. Exercícios sobre Equações Ondas Electromagnéticas e Propagação (Parte 2)

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— 1. Exercícios sobre Natureza da Luz e Propagação de Ondas Electromagnéticas —

— 1.1. Exercícios sobre Equações Ondas Electromagnéticas e Propagação —

Exercício 4 Dois trens de pulso de certa radiação electromagnética são criados simultaneamente, propagam-se paralelamente e atravessam o sistema composto por materiais transparentes com comprimento de {L_1 = \ 125 \ m} e {L_2 = \ 70 \ m}. O trem de pulso 1 passa pelo material de índice de refração {n_1}. O trem de pulso 2 passa pelo material de índice {n_2}.

  1. Sendo que a parte externa é o ar, e { n_1 = \ 1,5}, qual deverá ser o valor de {n_2} para que os pulsos cheguem ao mesmo tempo na tela.
  2. Qual é a diferença entre o tempo de chegada dos dois pulsos no caso em que {n_2 = \ 1,5}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

 
Resolução 4

    1. .
  1. Para que os trens de pulsos das ondas cheguem na tela ao mesmo tempo é os caminhos ópticos sejam iguais. Como temos 3 materiais, é necessário apenas comparar o trajecto aonde há diferença de índices de refração. Neste caso, o trem pulso 1 passa pelo material de índice de refração {n_1}. Analisaremos o trajecto de B-E. O trem de pulso 2 passa pelo material de índice {n_2} e depois passa por um percurso de ar, até chegar ao ponto D que está alinhado com o ponto E. Analisaremos o trajecto B-C-D.

    A condição para que cheguem ao mesmo tempo é que os caminhos ópticos sejam iguais. Note que o caminho óptico é defino pela relação:

    \displaystyle \textless AB \textgreater = \int_{A}^{B} n \cdot dl

    Para meios em que { n=const \ \Rightarrow \textless AB \textgreater = \bar{AB} \cdot n }.

    Então:

    \displaystyle \textless AE \textgreater = \textless BD \textgreater \Rightarrow \textless AE \textgreater = \textless BC \textgreater + \textless CD \textgreater

    \displaystyle \Rightarrow \bar{AE} n_1 = \bar{BC} n_2 + \bar{CD} n_{Ar}

    onde: {n_{Ar} = \ 1}. Logo, isolando {n_2}, obtemos:

    \displaystyle n_2= \frac{\bar{AE} n_1 - \bar{CD} n_{Ar}}{ \bar{BC}}= \frac{ L_1 n_1 - (L_1 - L_2 )}{ L_2}

    \displaystyle n_2 = \frac{ 125 \cdot 1,5 - (125 - 50 )}{ 50}=1,89

     

  2. Para este caso, o tempo de passagem no troço em análise será determinada pela equação do MRU, considerando a velocidade de propagação {c} e o caminho óptico..

    Neste caso, para o trem 1:

  3. \displaystyle c= \frac{ \textless AE \textgreater }{t_1}

    \displaystyle \Rightarrow t_1 = \frac{\bar{AE} n_1}{c}= \frac{125*1,5}{3\cdot10^8}= \frac{125*1,5}{3\cdot10^8}=6,25 \cdot 10^{7} s

    Para o trem 2:

    \displaystyle c= \frac{ \textless BD \textgreater }{t_1} \Rightarrow t_1 = \frac{ \textless BC \textgreater + \textless CD \textgreater }{t_1}

    \displaystyle \Rightarrow t_1 = \frac{L_2 n_2 + (L_1 - L_2) n_{Ar} }{c}= \frac{70 \cdot 1,5 + (150 - 70) \cdot 1}{3 \cdot 10^8} =5,33 \cdot 10^{7} s

    Neste caso, diferença de tempos é:

    \displaystyle |t_2 - t_1 |= | 6,25 \cdot 10^{7} - 5,33 \cdot 10^{7} | = 0,92 \cdot 10^{7} s

    Como a seguir aos pontos D e E o material é comum aos dois trens de pulsos, então esta diferença mantém-se até o final.
Exercício 5 Na figura a seguir, dois pulsos electromagnéticos são criados em simultâneo, propagam-se paralelamente e atravessam o sistema composto por materiais transparentes com índice de refração {n_{1} = \ 1,4; \ n_{2} = \ \ 1,7; \ n_{3} = \ \ 1,95; \ n_{4} = \ \ n_{5} = \ \ 1,2; \ n_{6} = \ \ 1; \ n_{7} = \ \ 1,3}.O valor de L é 25 m.Qual pulso chegará primeiro e qual é a diferença entre o tempo de chegada dos dois pulsos?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.
Resolução 5 \vspace{0,3cm}

Para não termos de calcular o tempo em cada porção, podemos usar o conceito de caminho óptico. Neste conceito, em vez de se considerar que o índice de refração afecta a velocidade, ele será visto como afectando apenas o percurso. Pelo que, podemos considerar que a luz sempre se propaga com a mesma velocidade {c}. Neste caso, temos apenas de calcular os dois caminhos ópticos e depois calcular os temos.

Para o pulso 1:

\displaystyle \textless l_1 \textgreater = L \cdot n_1 +L \cdot n_2 + L \cdot n_3 + L \cdot n_4 = \ L \cdot (n_1 + n_2 + n_3 + n_4)

\displaystyle \Rightarrow \textless l_1 \textgreater = \ 25 \cdot (1,4 + 1,7 + 1,95 + 1,2)=156,25 \ m

Neste caso, o tempo será obtido a seguir:

\displaystyle c= \frac{ \textless l_1 \textgreater }{t_1} \Rightarrow t_1 = \frac{ \textless l_1 \textgreater }{c}= \frac{156,25}{3\cdot10^8}=5,21 \cdot 10^{7} s

Para o pulso 2:

\displaystyle \textless l_2 \textgreater = 2L \cdot n_5 +L \cdot n_6 + L \cdot n_7 = \ L \cdot (2 n_5 + n_6 + n_7)

\displaystyle \Rightarrow \textless l_2 \textgreater = \ 25 \cdot (2 \cdot 1,2 + 1 + 1,3)=117,5 \ m

Neste caso, o tempo deste pulso será obtido a seguir:

\displaystyle c= \frac{ \textless BD \textgreater }{t_2} \Rightarrow t_2 = \frac{ \textless l_2 \textgreater }{c} = \frac{117,5}{3 \cdot 10^8} =3,92 \cdot 10^{7} s

Como a seguir a este trecho, o material é comum aos dois pulsos, então esta diferença mantém-se até o final.

Neste caso, diferença de tempos é:

\displaystyle |t_2 - t_1 |= | 3,92 \cdot 10^{7} - 5,21 \cdot 10^{7}| = 1.29 \cdot 10^{7} s

Como {t_1 \textgreater t_2 }, significa que o pulso 2 leva menos tempo a percorrer o trecho. Portanto, o pulso 2 chega primeiro.

— 1.2. Exercícios sobre Energia e Potência da Radiação —

Exercício 6 Uma onda electromagnética de frente plana de intensidade de {6 \ W/m^2} inside sobre uma superfície totalmente refletora de {40 \ cm^2} de área, posicionado perpendicularmente à direcção de propagação da onda.

Determine a força que a onda exerce sobre esta superfície.NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.
Resolução 6 .

Quando uma OEM incide sobre uma superfície totalmente reflectora como o espelho, sua pressão de radiação será:

\displaystyle P_r = \ \frac{2I}{c} \ \ \ \ \ (3)

Por definição, a pressão é a força por unidade de área:

\displaystyle P = \ \frac{F}{A} \ \ \ \ \ (4)

Então:

\displaystyle P_r = \ \frac{2I}{c} \Rightarrow \frac{F}{A} = \ \frac{2I}{c} \Rightarrow F = \ \frac{2AI}{c}

Substituindo:

  • \displaystyle F = \ \frac{2 \cdot 40 \cdot 10^{-4} \cdot 6}{3 \cdot 10^8} = \ 1,6 \cdot 10^{-10} N

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