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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

Exercício 12 .

O gráfico da velocidade em função do tempo de um MRUV é dado abaixo. Determine o deslocamento no intervalo de 0 a 4 Segundos.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 12 .

Para este caso, podemos determinar o deslocamento através de dois métodos.

  1. Usando a equação de Torricelli, através dos dados no gráfico acima:

    \displaystyle 2a \cdot \Delta s= v^2-v^2_0 \Rightarrow \Delta s =\frac{v^2-v^2_0}{2a} \ \ \ \ \ (10)

    Do gráfico temos os seguintes dados:{ v_0= 20 \ m/s } e {v= 40 \ m/s }.No MRUV a aceleração média é igual a aceleração instantânea. Então, a aceleração é dada por:{ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0} }

    No intervalo de {0} `a { 4 \ s } : { a= \frac{40-20}{4-2} \cdot \frac{m/s}{s}=\frac{20}{4} \cdot m/s^2 }

    \displaystyle a=5 \ m/s^2

    Substituindo os dados na equação 10, obtemos:

    \displaystyle \Delta s=\frac{v^2-v^2_0}{2a}=\frac{(40)^2 - (20)^2}{2 \cdot 5}=120 \ m \Rightarrow \Delta s = 120 \ m

  2. O outro método é usando o calculo de área. Sabemos que a área debaixo da curva da velocidade em função do tempo é numericamente igual ao deslocamento (ver definição velocidade e interpretação geométrica da derivada). Para o nosso caso, a área debaixo da curva é a área de um trapézio, cujas bases maior e menor tem valores no eixo da velocidade (vertical) e a altura tem valor no eixo do tempo. Sendo assim:

    \displaystyle \Delta s = A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot h = \frac{(40+20)}{2} \cdot 4=120 m

    Logo, temos:{ \Delta s = 120 \ m }

Exercício 13 .

Um movimento descrito pelo gráfico abaixo.

Descreva o tipo de movimento dos traços AB, BC, CD e DE.

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 13 .

Este gráfico apresenta a variação da velocidade em função do tempo. Neste gráfico, o tipo de movimento é definido pela forma da linha do gráfico.

Se a linha do gráfico for uma recta oblíqua, então trata-se de um caso de MRUV. Será um MRUV acelerado se for inclinada com declive positivo e velocidade positiva ou com declive negativo e velocidade negativa. Será um MRUV retardado se for inclinada com declive positivo e velocidade negativa ou com declive negativo e velocidade positiva.

Se a linha for horizontal, a velocidade é constante (MRU). Este MRU pode ser progressivo (se a velocidade for positiva) ou retrógrado (se a velocidade for negativa).

  1. No traço AB (recta oblíqua): A velocidade é positiva e aumenta de { 10 \ m/s} à { 30 \ m/s } . Neste caso, a aceleração é constante e positiva neste mesmo intervalo, portanto, de A para B o movimento é um MRUV acelerado progressivo.
  2. No traço BC (Recta oblíqua): A velocidade é positiva e diminui de { 30 \ m/s} à { 0 }, a aceleração é negativa e constante no mesmo intervalo,portanto, de B para C o movimento é um MRUV retardado progressivo.
  3. No traço CD: A velocidade é negativa mas aumenta em módulo de { 0 } à { \approx -15 \ m/s} e a aceleração é constante e negativa no mesmo intervalo, portanto, de C para D o movimento é um MRUV acelerado retrógrado.
  4. No traço DE: A velocidade é negativa e constante ({\approx -15 \ m/s } , e a aceleração é nula no mesmo intervalo,portanto, o movimento é um MRU retrógrado.

.

Exercício 14 .

Dois móveis têm as seguintes equações do movimento.

  1. Móvel 1: { x_1=100+20 \ t }
  2. Móvel 2: { x_2=500-4 \ t^2 }

Determine a velocidade do móvel (2) no ponto de encontro.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 14 .

A equação do móvel(1) é uma equação do 1º grau, portanto o móvel em MRU. A equação do móvel (2) é uma equação do 2º grau, portanto o móvel (2) move-se em MRUV.

.

O objectivo é determinar a velocidade final do móvel (2) { v_2 } na posição de encontro (A).Entretanto, na posição de encontro (A) ambos os móveis ocupam a mesma posição final, isto é, { x_1=x_2 }.

Então, temos de determinar o instante de tempo em que os móveis estão na posição de encontro, para substituir este tempo na equação da velocidade.

Na posição de encontro:

\displaystyle x_1=x_2 \Rightarrow 100+20 \ t=500-4 \ t^2

Agrupando os termos semelhantes:

\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t +100-500=0

\displaystyle 4 \ t^2 +20 \ t -400=0

Factorizando o factor 4 na equação:

\displaystyle 4(t^2 + 5 \ t-100)=0

Então, pela lei do anulamento do produto:

\displaystyle t^2 + 5 \ t - 100= 4

Resolvendo a equação anterior com a fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolvente) temos os seguintes dados:{ a=1 ; b=5 ; c=100 }.

\displaystyle t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Substituindo os dados na fórmula:

\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}

\displaystyle t_{1,2}= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2}= \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2} = \frac{-5 \pm 20,615}{2}

Separando as partes:

\displaystyle t_1= \frac{-5+20,615}{2}= 7,807 \ s

\displaystyle t_2= \frac{-5 - 20,615}{2} = -12,807 \ s

Descartamos o { t_2 } pois ele é negativo. Neste caso, { t_{Enc}= \ 7,807 \ s }.

.

Tendo o tempo, podemos calcular a velocidade do móvel 2 neste instante. Por definição a velocidade:

\displaystyle v= \frac{dx}{dt}

Para o móvel (2),temos: { v_2= \frac{dx_2}{dt} } .

.

Substituindo a equação do movimento do móvel (2) , obtemos:

\displaystyle v_2= \frac{d(500-4 \ t^2)}{dt} = 0-8 \cdot t= -8 \ t

Portanto, durante este MRUV, a velocidade do móvel (2) é dada como: { v_2= -8 \ t } .

Para encontramos o valor numérico da velocidade no momento de encontro, devemos substituir o tempo pelo instante de encontro.

Substituindo {t} por { t_{Enc}}, obtemos: { v_2=-8 \ (t)= -8 \cdot 7,807=-62,456 \ m/s }

Portanto, a velocidade do móvel (2) na posição de encontro (A) é de : { v_2= -62,456 \ m/s }

Exercício 15 .

A velocidade inicial de um móvel é de { 10 \ km/h}. Após acelerado uniformemente, durante {10 \ s }, ganha uma velocidade de { 20 \ km /h}.

Determine a aceleração e a distância percorrida.

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 15 .

Dados

,

{ v_0= 10 \ km/h } .

{ t_0=0 \ s } .

{ t=20 \ km/h } .

{ a \rightarrow ? } .

{ \Delta s \rightarrow ? }

Antes de a resolver, vamos converter as velocidades { v_0 } e v para as unidades do sistema internacional usando três simples.
Para: { v_0=10 \ km/h }

\displaystyle 36 \ km/h \rightarrow 10 \ m/s

\displaystyle 10 \ km/h \rightarrow v_0

Então:

\displaystyle v_0 \cdot 36 \ km/h= 10 \ km/h \cdot 10 \ m/s

\displaystyle \Rightarrow v_0= \frac{10 \ km/h \cdot 10 \ m/s}{36 \ km/h} =2,77 \ m/s

Para a velocidade final, fazemos o mesmo procedimento. Obtemos:

\displaystyle v=5,55 \ m/s

Com as unidades já convertidas, podemos determinar a aceleração.

Para o MRUV, a aceleração é dada por:

\displaystyle a= \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_0}{t-t_0}

Substituindo os dados, obtemos:

\displaystyle a= \frac{5,55-2,77}{10-0}=0,278 \ m/s^2

A distância percorrida pode ser determinada pela equação de movimento do MRUV ou pela equação de Torricelli.

Usando a Equação de Torricelli:

\displaystyle v^2=v^2_0+2a \cdot \Delta s

Isolando { \Delta s } teremos:

\displaystyle v^2-v^2_0=2 \cdot a \cdot \Delta s \Rightarrow \Delta s= \frac{v^2-v^2_0}{2 \cdot a}

Substituindo os dados:

\displaystyle \Delta s=\frac{(5,55)^2-(2,77)^2}{2 \cdot 0,278}=41,6 \ m

Portanto a distância percorrida é:

\displaystyle \Delta s=41,6 \ m

A aceleração do móvel é:

\displaystyle a=0,278 \ m/s^2

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1 Comentário

  1. ateixeira diz:

    Onde está “Então, pela lei do anulamento do produto:” a expressão seguinte deve ser igual a 0 e não a 4.

    Gostar

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