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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II

Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.

Definição 50 Seja $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ convergente. Para cada ${m>p}$ a série $\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n$ também converge. Podemos então definir:

$\displaystyle r_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (80)$

como sendo o resto de ordem ${m}$ da série $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$

Como

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n$

vem que

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + r_m$

Assim é

$\displaystyle r_m =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n - \sum_{n=p}^m u_n$

Fazendo ${m \rightarrow +\infty}$ vem que $\lim r_m=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n- \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=0$

Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem ${m}$ .

$\displaystyle \zeta^-_m < r_m < \zeta^+_m$

Fazendo

$\displaystyle r_m \approx \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}$

Podemos definir

$\displaystyle \varepsilon _m=r_m - \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}$

vem que

$\displaystyle \varepsilon _m < \zeta^+_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

e

$\displaystyle \varepsilon _m > \zeta^-_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^-_m - \zeta^+_m}{2}=- \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

Assim

$\displaystyle - \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} < \varepsilon _m < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

Ou seja

$\displaystyle |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

Temos assim

$\displaystyle r_m=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}+ \varepsilon _m$

com

$\displaystyle |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}$

e portanto

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^m u_n + \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} + \varepsilon _m$

Teorema 78

Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada.

Demonstração:

Seja ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ onde ${u_n \geq 0\, \forall n \geq p}$ e seja ${S_m}$ a respectiva sucessão das somas parciais.

Por definição é

$\displaystyle S_m=\sum_{n=p}^m u_n$

Logo

$\displaystyle S_{m+1}-S_m = \sum_{n=p}^{m+1} u_n - \sum_{n=p}^m u_n = u_{m+1} \geq 0$

Assim ${S_m}$ é crescente.Se ${S_m}$ converge, ${S_m}$ é limitada (Teorema 13), logo é majorada.

Reciprocamente, se ${S_m}$ é majorada, como é crescente sabemos também que é minorada também é minorada. Logo é limitada.

Então ${S_m}$ converge pelo Teorema da Sucessão Monótona (20).

Assim ${S_m}$ converge sse ${S_m}$ for majorada.

Mas ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ converge sse ${S_m}$ converge.

Assim ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}$ converge sse ${S_m}$ tem majorante.

$\Box$

Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.

Teorema 79 {Critério da Comparação}

Sejam $\sum_{n=p}^{+\infty} u_n$ e ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} v_n}$ duas séries de termos gerais não negativos. Se ${u_n = O(v_n)}$

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (81)$

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (82)$

Demonstração:

Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.

Suponha-se ${v_n}$ convergente. Como ${u_n= O(v_n)}$ existe uma sucessão ${h_n}$ limitada e um índice ${k}$ tais que ${u_n=h_n v_n \quad \forall n\geq k}$ .

Sendo então ${L}$ um majorante de ${h_n}$ vem que

$\displaystyle u_n \leq L v_n \ \ \ \ \ (83)$

Por outro lado como

$\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} v_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n$

vem que ${v_n}$ converge. Pelo Teorema 78 ${v_n}$ tem as somas parciais majoradas. Assim ${\exists n \geq 0 }$ tal que ${\displaystyle\sum_{n=k}^m v_n \leq M\, \forall n \geq k}$ .

De 83 vem então

$\displaystyle \sum_{n=k}^m u_n \leq \sum_{n=k}^m L v_n= L\sum_{n=k}^m v_n \leq LM \quad \forall n \geq k$

Assim a série $\sum_{n=k}^{+ \infty} u_n$ também as somas parciais majoradas, logo é convergente (Teorema 78).

Como

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+ \infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n$

(Teorema 76) vem que ${\displaystyle\sum_{n=p}^{+ \infty} u_n}$ converge.

$\Box$

Corolário 80

Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem ${k}$ tal que ${u_n \leq v_n \quad \forall n \geq k}$ então

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (84)$

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (85)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Corolário 81

Nas condições do teorema anterior, se

$\displaystyle \lim \frac{u_n}{v_n} \in ]0, + \infty[$

então

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (86)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Corolário 82

Nas condições do teorema anterior, se

$\displaystyle u_n \sim v_n$

então

$\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (87)$

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. $\Box$

Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:

Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.

By ateixeira in 02 Física, 04 Ensino Superior, 09 Cálculo I on 09/28/2018.

1 Comentário

eaiamigao diz:

05/18/2022 às 8:58 pm

Excelente conteúdo, para quem estiver precisando de ajuda para resolver algum exercicio de ensino superior incluindo calculo , e quiser acesso a exercicios resolvidos gratuitos este site ajuda bem.

Parabens pelo conteúdo.

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