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Cálculo I – Somas de Mengoli

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— 8.1. Somas de Mengoli —

Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1}) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^{m}(v_n-v_{n+1}) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty}(v_p-v_{m+1})\\ &= v_p-\lim v_{m+1} \\ &=v_p -\lim v_n \end{aligned}}

Assim sendo,

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})

converge sse a sucessão {v_n} é convergente e temos

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})=v_p -\lim v_n

Exemplo 4

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \ \ \ \ \ (74)

 

Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade:

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)

Assim fica

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ &= \dfrac{1}{1}-\lim\dfrac{1}{n}\\ &=1 \end{aligned}}

Ou seja, o que nós temos é

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots =1

Exemplo 5

Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli

\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) \ \ \ \ \ (75)

 

Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma:

{\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n}{n}-\frac{1}{n} \right) \\ &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n-1}{n} \right) \\ &=\sum_{n=2}^{+\infty}\left( \log (n-1)- \log n \right) \end{aligned}}

que é uma série de Mengoli divergente.

Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.

Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.

Teorema 71

Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente então {\lim u_n=0}

Demonstração:

Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente e seja {a \in \mathbb{R}} a sua soma.

Pondo {S_m=sum_{n=p}^m u_n} {\forall m \geq p} temos então {\lim S_m =a}.

Assim também é {\lim S_{m-1}=a}. Logo {\lim (S_m-S_{m-1})=0}

Ou seja

\displaystyle \lim \left( \sum_{n=p}^m u_n - \sum_{n=p}^{m-1} u_n =0\right)

E portanto {\lim u_n=0}

\Box

Corolário 72

Se {\lim u_n \neq 0}, a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é divergente.

Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 \Box

Tomemos

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n

Se {|r|\geq 1}, {|r^n|=|r|^n}. Ora {|r|^n} não tende para {0}. Logo {r^n} também não tende para {0}. Assim {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n } diverge.

 

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