Tópicos de Física Moderna – Parte III

— 6. Introdução à Física Quântica —

Ao contrário do que fizemos nos capítulos anteriores este capítulo fará menção de algumas experiências que motivaram a formulação da Física Quântica. Para além disso as nossas formulações iniciais serão expostas de uma forma menos resumida.

— 6.1. Novos Resultados, Novas Concepções —

Qualquer pessoa que se tenha aproximado de um laboratório e teve que realizar uma experiência sabe que para se poder dizer algo sobre o sistema em estudo é sempre necessário interagir com o sistema. Em linguagem mais respeitável devemos dizer o acto de medição perturba sempre o sistema em estudo.
Para além disso temos também o conceito de estado mecânico. Ora o conceito de estado mecânico pressupõe duas coisas:

A perturbação pode, em princípio (nalguns casos), tornar-se tão pequena quanto se queira. O facto de haver sempre limites é uma propriedade dos instrumentos que se utiliza e não da teoria que serve como base.
Existem algumas perturbações cujo efeito não pode ser desprezado. No entanto é sempre possível fazer um calculo exacto de quais os efeitos e desse modo é possível compensá-los.

Em suma a teoria que até agora desenvolvemos é causal e determinista.

No entanto uma das duas nuvens negras de Kelvin e mais uns quantos outros resultados experimentais mostraram que uma revisão dos conceitos clássicos era necessária:

Radiação de corpo negro.
Efeito fotoeléctrico.
Princípio da combinação de Ritz.
Existência e estabilidade de átomos.
Experiência de Stern-Gerlach.
Difracção de raios de electrões.
…

Estes resultados experimentais introduziram as seguintes quebras com o paradigma newtoniano:

Entidades que tinham uma natureza corpuscular demonstram um comportamento ondulatório.
Entidades que tinham uma natureza ondulatória demonstram um comportamento corpuscular.
Existe um carácter estatístico (que parece ser) essencial no comportamento da matéria.
O carácter atómico da matéria obriga a repensar a natureza do processo de medição: uma vez que existem grandezas cujo valor não pode ser arbitrariamente diminuído uma perturbação tem sempre um valor mínimo que não pode ser melhorado.

— 6.2. A Experiência da Dupla Fenda —

Para tornar mais concreta a discussão anterior vamos olhar com mais cuidado para uma experiência que demonstra muito bem o choque entre as duas concepções que temos vindo a discutir.

— 6.2.1. Duas Fendas e Partículas —

Imaginemos que temos uma situação como a retratada na figura 3 mas desta vez o que incide nas fendas não são ondas mas sim partículas.

Experiência de dupla fenda com partículas

Nesta situação as partículas passam pela fenda 1 ou pela fenda 2. As partículas que passam pela fenda 1 são responsáveis pela curva de probabilidades ${P_1}$ enquanto que as partículas que passam pela fenda 2 são responsáveis pela curva de probabilidades ${P_2}$ . A curva de probabilidades resultante ${P_{12}}$ é simplesmente a soma das curvas ${P_1}$ e ${P_2}$ .

— 6.2.2. Duas Fendas e Ondas —

Como já tínhamos visto na secção 3 se fizermos passar uma onda por duas fendas o que se obtém é:

Experiência de dupla fenda com ondas

Neste caso a intensidade das ondas é a quantidade que interessa estudar. Temos a curva de intensidades ${I_1}$ que é causado pela fenda 1 e a curva de intensidades ${I_2}$ que é causada pela fenda 2. A intensidade resultante no entanto é ${I_{12}=|h_1+h_2|^2= I_1+I_2+2I_1I_2 \cos \theta}$ . O último termo é responsável pela interacção da onda proveniente da fenda 1 com a onda proveniente da fenda 2. Assim sendo é este termo que é responsável pelo padrão de interferência.

— 6.2.3. Duas Fendas e Electrões —

Agora que estamos familiarizados com o comportamento de ondas e partículas vamos estudar o movimento de raios de electrões a passar por duas fendas. Pelo que se sabe dos electrões eles são partículas e como tal esperamos encontrar um comportamento igual ao representado na figura 6. No entanto isto é o que a Natureza tem para nós:

Experiência de dupla fenda com raios de electrões

\caption{Experiência de dupla fenda com raios de electrões}

No caso dos electrões temos que novamente pensar em termos de curvas de probabilidades e curvas de probabilidades são inerentes ao conceito de partículas. Contudo o que nós observamos é um padrão de interferências e isso é inerente a ondas…

Para podermos explicar os padrões que vemos temos que assumir que a cada probabilidade ${P_i}$ está associada uma amplitude de probabilidade ${\phi_i}$ . Para calcularmos a probabilidade devemos calcular o módulo quadrado da amplitude de probabilidade ${P_i=\phi_i^2}$ . Assim antes de mais devemos calcular a soma da amplitude de probabilidades de passar pela fenda ou de passar pela fenda 2 e só depois devemos calcular o módulo quadrado desta amplitude para obtermos a probabilidade de um electrão passar pela fenda 1 ou de passar pela fenda 2: ${P_{12}=|\phi_1+\phi_2|^2}$ .

Notar que no parágrafo anterior tratamos o electrão como sendo sempre uma partícula, ainda que seja uma partícula com propriedades muito especiais, e nunca em momento algum o tratamos como sendo uma onda que interfere consigo mesma. Tal tratamento há muito tempo se sabe estar errado, mas, por questões que só podem ser de nostalgia, é frequente encontrá-lo em muitos livros.

— 6.3. Conceitos Básicos e Definições Preliminares —

Após a discussão de alguns dos motivos que levaram os físicos a procurarem um novo paradigma que permitisse fazer sentido do que se passava a nível atómico está na altura de introduzir as nossas habituais definições iniciais.

Definição 40 O estado quântico é definido pela especificação das grandezas físicas relevantes e é representado por uma função que toma valores complexos ${\Psi(x,t)}$

Definição 41 O momento linear de uma partícula é representado pelo operador

$\displaystyle p=\dfrac{\hbar}{i}\dfrac{d}{dx} \ \ \ \ \ (34)$

Definição 42 A energia de uma partícula é representada pelo operador

$\displaystyle E=i\hbar\dfrac{d}{dt} \ \ \ \ \ (35)$

Definição 43 Para uma partícula livre as seguintes equações são válidas:

${\begin{aligned} \label{eq:relacoesdebroglie} k &=& \frac{\hbar}{p}\\ \omega &=& \frac{E}{\hbar} \end{aligned}}$

— 6.4. Axiomas da Física Quântica —

Os axiomas que aqui vamos apresentar não são os mais gerais nem os mais convenientes para um tratamento maduro da Física Quântica mas são tudo o que necessitamos para cumprir com o âmbito do curso.

Axioma 10 O estado de um sistemas quântico evolui segundo a equação de Schroedinger:

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi= i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} \ \ \ \ \ (36)$

Axioma 11 A probabilidade de que uma partícula seja encontrada no elemento de espaço ${dx}$ denota-se por ${P(x)dx}$ e é:

$\displaystyle P(x)dx=|\Psi(x,t)|^2dx \ \ \ \ \ (37)$

Axioma 12 Uma partícula quântica é sempre resultante de interferência construtiva.

A função deste axioma é captar de uma só vez a natureza dual do conceito de partícula em Física Quântica.

Axioma 13 O valor médio de uma grandeza física ${A}$ , que se representa ${\bar{A}}$ , é dado pela seguinte expressão:

$\displaystyle \bar{A} = \int \Psi^*A\Psi \ \ \ \ \ (38)$

Onde o integral se calcula na região relevante.

— 6.5. Ondas e Partículas —

— 6.5.4. Radiação de Corpo Negro —

Definição 44 Um corpo negro é um objecto que absorve toda a radiação electromagnética que nele incide.

Para explicar o espectro de radiação de um corpo negro Planck assumiu que a parede de uma cavidade era composta por ressoadores microscópicos que vibravam com frequências diferentes. Cada ressoador tinha a sua frequência própria ${f}$ e devia emitir radiação com essa frequência e com qualquer valor de energia. No entanto Planck postulou que a energia de um ressoador só podia ser ${E=nhf}$ . Ou seja que a radiação emitida ou absorvida no interior da cavidade só tomava valores discretos.

Com essa hipótese adicional Planck deduziu uma relação funcional entre a densidade de energia ${u}$ o comprimento de onda da radiação ${\lambda}$ (ou a sua frequência ${\nu}$ ) e a temperatura a que se encontra o interior da cavidade que se adequa aos dados experimentais:

${\begin{aligned} u(\lambda,T) & = & \frac{8\pi h c}{\lambda^5(e^{hc/(\lambda K_B T)}-1)}\\ u(\nu,T) & = & \frac{8\pi h \nu ^3}{\nu ^3(e^{h \nu/(K_B T)}-1)} \end{aligned}}$

Recorrendo as equações 6 é possível demonstrar que a potência emitida por unidade de área, ${e}$ , por um corpo negro é ${e=\sigma T^4}$ .

Também é possível demonstrar que ${\lambda T_{max}=k}$ . Sendo ${k=2.898\times10^3\, \mathrm{mK}}$

— 6.5.5. Efeito Fotoeléctrico —

Quando se faz incidir luz monocromática sobre uma superfície metálica observa-se que um certo número de electrões se liberta com uma energia muito bem definida. Para além disso sabemos também que existe uma frequência mínima que faz com que electrões se libertem da placa metálica e que o número de electrões libertados aumenta com o aumento da intensidade da luz mas a sua energia cinética não.

No contexto da teoria electromagnética da luz todos estes factos são inexplicáveis. No entanto se assumirmos que a luz se propaga em pacotes discretos de energia (isto é uma generalização enorme da hipótese de Planck que apenas assumiu que trocas de energia se davam de forma discreta) e que estes pacotes de energia são da forma ${E=hf}$ o efeito fotoeléctrico é prontamente explicado.

A energia cinética dos electrões libertados é dada pela expressão ${K=hf-\phi}$ onde ${\phi}$ representa a energia de ligação dos electrões à placa metálica.

— 6.5.6. Átomo de Bohr —

A existência de átomos é segundo o electromagnetismo um acontecimento impossível. Segundo o electromagnetismo partículas carregadas em movimento acelerado deveriam emitir radiação continuamente.

Uma vez que os electrões orbitam em torno do núcleo o seu movimento é claramente acelerado. Assim sendo os electrões deveriam radiar energia continuamente fazendo com que a sua distância ao núcleo fosse cada vez menor até colidirem com o núcleo. Tal, obviamente, não é o que acontece.

Postulando que os electrões só podem orbitar em torno do núcleos em certas trajectórias( recorrendo ao Axioma 12 podemos demonstrar que nestas trajectórias o momento angular do electrão está restringido a ter valores discretos) podemos explicar a estabilidade dos átomos e prever certos fenómenos que sabemos ocorrer ao nível atómico.

Estes estados do electrão em que ele não pode emitir radiação chamam-se estados estacionários. Para transitar de um estado estacionário para outro estado estacionário o electrão deve emitir ou absorver um fotão e a energia deste fotão deve igualar a diferença de energia entre os estados estacionários.

$\displaystyle E_i - E_f = hf \ \ \ \ \ (39)$

$\displaystyle m_e v r = n\hbar \ \ \ \ \ (40)$

Com estas duas equações é possível prever que os raios permitidos dos electrões são da forma:

$\displaystyle r_n= \frac{n^2 \hbar ^2}{m_e k e^2} \ \ \ \ \ (41)$

Tomando ${n=1}$ temos o raio menor raio possível (o raio de Bohr) que se denota por ${a_0}$ .

E que as energias permitidas são da forma

$\displaystyle E_n= - \frac{ke^2}{2a_0 n^2} \ \ \ \ \ (42)$

Utilizando as equações 39 e 42 podemos calcular o comprimento de onda do fotão que permite a transição entre estados estacionários

$\displaystyle \frac{1}{\lambda}= \frac{ke^2}{2a_0 h c}\left( \frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2} \right) \ \ \ \ \ (43)$

A teoria do átomo de hidrogénio de Bohr também permite explicar o espectro de energia de alguns átomos ionizados.

— 6.5.7. Relação de Incerteza de Heisenberg —

O Axioma 12 diz-nos que para construirmos uma partícula devemos ter um interferência construtiva de ondas. Uma onda é algo que tem uma extensão infinita enquanto que uma partícula não poderia ter uma dimensão mais finita. De modo a obtermos uma partícula através da soma de ondas devemos então somar várias ondas de modo a que a sua soma seja diferente de 0 apenas numa região muito pequena do espaço. Em geral o número de ondas necessário será elevado.

Como cada onda tem o sua comprimento de onda, uma soma de um número elevado de ondas faz com que a partícula resultante tenha um comprimento de onda muito incerto

No limite de somarmos um número infinito de ondas chegamos à situação em que temos uma partícula perfeitamente localizada mas que tem um comprimento de onda totalmente incerto.

Por outra lado se tivermos uma só onda o seu comprimento de onda é totalmente certo e uma vez que uma onda tem uma extensão espacial infinita a sua posição é totalmente incerta.

Vemos que existe uma relação de proporcionalidade inversa entre a dispersão de uma partícula relativamente à sua posição e a dispersão de uma partícula relativamente ao seu comprimento de onda.

Fisicamente a quantidade de interesse é o momento linear e o seguinte resultado é válido:

$\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (44)$

que é a relação de incerteza de Heisenberg. ${\Delta x}$ é a dispersão relativamente à posição da partícula e ${\Delta p}$ é a dispersão relativamente ao momento linear da partícula.

É também possível provar com toda a generalidade que para a o tempo necessário para a transição de energia e para a energia transferida vale uma desigualdade análoga.

$\displaystyle \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (45)$

— 7. Aplicações da Equação de Schroedinger —

Neste capítulo vamos dar uso ao Axioma 10. Este axioma indica como varia um estado quântico ao longo do tempo e é vital para que possamos compreender a dinâmica a nível atómico.

De notar que o Axioma 10 é uma equação diferencial e como tal a teoria assim construída é determinista.

De acordo com o Axioma 11 A probabilidade de encontrar uma partícula no elemento de espaço ${dx}$ é ${| \Psi(x,t) |^2dx}$ . Assim sendo a probabilidade encontrar a partícula num intervalo ${ \left[ a,b \right]}$ é $\int_a^b | \Psi(x,t) |^2dx$ .

Uma vez que a equação do Axioma 10 é uma equação linear sabemos que se ${\Psi}$ é solução da equação de Schroedinger também ${A\Psi}$ é uma solução da equação de Schroedinger.

Por outro lado temos que ter necessariamente

$\displaystyle \displaystyle \int_{-\infty}^\infty | \Psi(x,t) |^2dx=1 \ \ \ \ \ (46)$

Deste modo a constante complexa ${A}$ fica fixada a menos de um factor de fase. Uma vez que este factor de fase é irrelevante no contexto deste curso a condição 46 efectivamente faz com que a nossa solução de Schroedinger tenha uma solução única.

De modo a simplificar a nossa discussão vamos supor que ${\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)}$ . Deste modo em vez da equação ${\displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi= i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}}$ que é equação à derivadas parciais temos:

$i\hbar\frac{d\phi}{dt} = E\phi$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}+U(x)\psi = E\psi$

Que são duas equações diferenciais ordinárias.

Da primeira equação vem que a dependência temporal da função de onda é ${\phi(t)=e^{-i\omega t}}$ . A segunda equação é conhecida como a equação de Schroedinger independente do tempo e é sobre ela que nos vamos debruçar nas secções seguintes.

— 7.1. Poço de Potencial Infinito —

Apesar de esta situação ser bastante artificial a nível físico a sua componente didáctica é bastante elevada e convém ser estudado de modo a que possamos entender exemplos que tenha alguma relevância física.

Nesta situação a partícula desloca-se ao longo de um comprimento ${L}$ onde não sofre a influência de nenhuma energia potencial. Mas ao chegar as extremidades do comprimento temos ${U(0)=U(L)=+\infty}$ . Que é um potencial infinitamente repulsivo.

Para ${x>L}$ ou ${x<0}$ é obviamente ${\psi(x)=0}$ .

Dentro da região onde o movimento é permitido temos ${\psi(x)=A\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)}$ . Solução que nos diz que os valores de energia que a partícula pode ter não mais fazem parte de um intervalo contínuo mas que passam a ser valores discretos.

— 7.2. Poço de Potencial Finito —

Uma situação mais realista é dizermos que uma partícula se desloca ao longo de uma região onde não está sujeita a nenhuma energia potencial e que nas extremidades desta região encontra um potencial ${U(0)=U(L)=c}$ . Um potencial que é repulsivo mas finito.

Se assumirmos que ${E<U}$ ou seja que a energia da partícula é inferior à energia potencial repulsiva vemos que as soluções de 7 permitem uma probabilidade não nula de encontrar a partícula fora da região onde estava inicialmente confinada.

— 7.3. Oscilador Harmónico —

Para oscilações pequenas em torno de um ponto de equilíbrio sabemos que qualquer função de energia potencial pode ser aproximada por uma função quadrática. Assim a dinâmica resultante para partículas que tenham pequenos deslocamentos em torno de uma posição de equilíbrio é em primeira aproximação a dinâmica de um movimento harmónico.

Para o oscilador harmónico a equação de Schroedinger é

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d ^2 \psi}{d x^2}+\frac{1}{2}m\omega x^2\psi= E\frac{d \psi}{d t}$

Não iremos resolver esta equação de forma exacta mas por argumentos heurísticos vamos propor uma solução possível para o estado fundamental.

Pelos exemplos anteriores vimos que no estado fundamental a função de onda nunca tomava o valor 0 mas aproximava-se dele assintoticamente. Vimos também que as soluções por nós encontradas reflectiam a simetria da energia potencial.

Assim sendo esperamos que o mesmo aconteça neste caso. Uma possível solução será então uma função da forma ${ \psi(x)=C_0e^{-\alpha x^2}}$

Substituindo esta função na equação de Schroedinger vemos que ${ \alpha=\dfrac{m \omega}{2 \hbar}}$ e que ${ E=1/2\hbar\omega }$ . O que mostra que a energia de um oscilador harmónico quântico no estado fundamental não é zero.