— 2.7.18. Equação da Lente —

Quando fabricamos uma lente, o índice de refração do material e os parâmetros da superfície que limitam a lente devem ser escolhidos adequadamente para que a lente tenha uma distância focal apropriada. Para entendermos isto, temos de perceber como estão relacionados estes parâmetros.

Vamos considerar uma lente côncavo-convexa (veja figura 62).

Figura 62: Dedução da fórmula da lente. [5] Adaptado

Considere o objecto que está a uma distância da lente. A refração dos seus raios na superfície convexa com centro formará a imagem . Como os índices de refração dos meios são e , pela formula 58 da refração numa superfície esférica, a relação entre os parâmetros de e será:

 

A imagem é o objecto virtual para a refracção na segunda superfície, com centro em e raio . Portanto, de acordo com a formação da imagem na refração numa superfície esférica, obteremos:

 

Como o meio exterior é o ar, então e como o meio é a lente então . A distância é igual, em modulo, a , mas com sinais opostos, visto que a imagem é real (>0), e esta mesma imagem é o objecto virtual para a segunda superfície (). Neste caso, , logo, as relações 69 e 70 ficam :

 

 

Se somarmos as equações 71 e 72, obteremos:

 

Organizando melhor a equação, obtemos:

 

Considerando a lente delgada, então , logo representa a distância entre o objecto e a lente, chamada de distância do objecto () e representa a distância entre a imagem e a lente, chamada de distância da imagem (). A relação 74 pode então ser escrita por:

 

Se substituirmos os valores da equação de pontos conjugado (equação 67) nesta equação, obtemos:

 

A equação 76 foi deduzida para o caso de uma lente em particular, sendo a superfície de raio convexa e a superfície de raio côncava. Mas, de modo geral, adoptando a convenção de sinais apropriada, podemos escrever uma formula válida para qualquer situação:

 

Onde: é o índice de refração relativo do material de que é feito a lente em relação ao material que constitui o exterior (geralmente, o ar).

A convenção de sinais válida, continua sendo :

• Se o objecto é real, .
• Se o objecto é virtual, .
• Se a imagem é real, .
• Se a imagem é virtual, .
• Se a superfície é convexa, então .
• Se a superfície é côncava, então .
• Se a lente é convergente, então .
• Se a lente é divergente, então .

A dedução desta fórmula baseou-se na utilização de raios paraxiais, ou seja, raios que incidem quase que paralelamente ao eixo óptico da lente, formando com este ângulos muito pequenos. Porém, para raios que não seja paraxiais, isto é, para imagens que não estejam perto do eixo óptico da lente, o foco pode ficar numa posição diferente da calculada pela relação 77, observando-se nestes casos muitas aberrações cromáticas.

Para o caso é que o meio exterior seja mais denso do que o material de que é feito a lente, as lentes apresentam um comportamento muito curioso: A lente aparentemente convergente (que a espessura diminui do centro aos bordos) comporta-se como divergente e as lentes aparentemente divergentes (que a espessura aumenta do centro aos bordos) comportam-se como convergente. Isto pode ser explicado pela relação 77, mas deixaremos esta análise para que você a faça.

 

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— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]