Luso Academia

Início » 2016 » Fevereiro (Página 2)

Monthly Archives: Fevereiro 2016

A luz pode ser usada em telecomunicações? Fibras ópticas.

— 2.7.6. Fibras ópticas —

A reflexão total interna da luz é utilizada em telecomunicações para a transmissão da luz através de cabos de fibras flexíveis transparentes chamados de fibras ópticas. As fibras ópticas permitiram o surgimento de uma nova forma de telecomunicar, que apresenta diversas vantagens em relação a comunicação tradicional por ondas electromagnéticas.

Uma das grande vantagens é a imunidade da luz às restantes ondas electromagnéticas, oferecendo assim um possibilidade de comunicar com menos ruído.

As fibras ópticas são tubos cilíndricos de vidro de quartzo ou de plástico, muito finos e transparentes, de reduzidas dimensões, usados como veículos de transmissão da luz de um meio para o outro. São constituídas por um núcleo de forma cilíndrica, de diâmetro de valor {d = 62,5 \mu m} (para a fibra de vidro) ou de {d = 900 \mu m} (para a fibra de plástico), composto por duas camadas de material transparente, sendo a camada interior o núcleo e a camada exterior o invólucro ou casca, onde o índice de refracção do núcleo {n_1} é maior que o índice de refracção do invólucro {n_2}. O conjunto é protegido de um revestimento de plástico.

 

Figura 42: Constituição da fibra óptica. [4]

A fibra é como se fosse um pequeno tubo, que permite que a luz atravesse-o sem sofrer dispersão na lateral, ou seja, sem que a luz se refrate nas paredes laterais. Um fino feixe de luz penetra por uma das extremidades do tubo (a fibra) e propaga-se ao longo da fibra, sofrendo reflexão total sempre que incida sobre a superfície de separação dos meios 1 (núcleo) e meio 2 (casca).

As fibras ópticas possuem muitas aplicações:

  • Nas telecomunicações: Os cabos ópticos constituídos por várias dezenas de fibras são mais leves que os cabos de cobre com capacidade equivalente. Em igualdade de condições, podem enviar 100.000 vezes mais informações.
  • Na medicina: Observações clínicas de vários órgãos internos como o estômago, intestinos, útero, etc., são usados dois feixes de fibras ópticas e introduzidas no interior do corpo do paciente. Um leva o sinal luminoso e, o outro, trás a imagem do órgão, permitindo ao médico fazer a observação. A fonte da luz utilizada é sempre o laser, pela sua grande potência e por poder ser transmitido por meio de feixes muito finos.
  • Na decoração: Usam-se em candeeiros e iluminação de fontenários.

 

Figura 43: Trajecto do raio luminosos através da Fibra óptica. [7]

O mecanismo básico de transmissão da luz ao longo da fibra baseia-se na óptica geométrica. A diferença do índice de refração do núcleo com relação à casca é representada pelo perfil de índices da fibra óptica. Essa diferença pode ser conseguida usando-se materiais dieléctricos distintos (por exemplo, sílica-plástico, diferentes plásticos, etc.) ou através de dopagens convenientes de materiais semicondutores (por exemplo, GeO , P O , B O , F etc.) na sílica (SiO).

A variação de índices de refração pode ser feita de modo gradual ou descontínuo, originando diferentes formatos de perfil de índices. As alternativas quanto ao tipo de material e ao perfil de índices de refração implicam a existência de diferentes tipos de fibras ópticas com características de transmissão, e, portanto, aplicações, distintas. Por exemplo, a capacidade de transmissão, geral e fundamentalmente depende (além do seu comprimento) da geometria e do perfil de índices da fibra óptica. O tipo de material utilizado, por sua vez, é determinante quanto às frequências ópticas suportadas e aos níveis de atenuação correspondente.

As características mecânicas das fibras ópticas expressam em termos de resistência e flexibilidade, dependem do material dielétrico utilizado e da qualidade dos processos de fabricação. Embora mais resistentes que fios de aço de mesmas dimensões, as fibras ópticas costumam ter a sua estrutura básica protegida das perturbações mecânicas ou ambientais por encapsulamentos ou revestimentos diversos.

 

Figura 44: Cabo óptico agrupado com 70 fibras. [7]

Elas costumam ser classificadas a partir de suas características básicas de transmissão e nas facilidades operacionais em termos de conexões e acoplamento com fontes e detectores de luz. É possível adotar classificações específicas, como:

  • Composição material: fibras com o par núcleo-casca do tipo sílica-sílica, sílica-plástico ou plástico-plástico tem propriedades distintas quanto às facilidades operacionais e de fabricação, às perdas de transmissão, à tolerância a temperaturas etc.
  • Frequências ópticas de atuação: esta classificação, que inclui, por exemplo, as fibras no infravermelho e as fibras no ultravioleta, refletem o desenvolvimento de fibras ópticas para operar fora da faixa típica actual usada em comunicações.
  • Geometria ou sensibilidade à polarização: além da secção circular típica, as fibras monomodo podem ter um núcleo de secção elíptica com implicações importantes quanto à filtragem e manutenção de polarização.

· Os Principais tipos são:

  • Fibra de Índice Degrau (Step Index);
  • Fibra de Índice Gradual (Graded Index);
  • Fibra Monomodo.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Entenda matematicamente a ampliação de imagem do espelho. Espelhos esféricos 2.

— 2.7.9. Fórmula do espelho esférico e convenção de sinais —

Quando um objecto está diante de um espelho, definimos {d}, a distancia entre o objecto e o espelho e {d'} a distância entre a imagem e o espelho. A fórmula do espelho esférico (ou equação de Gauss) permite determinar de forma analítica as características da imagem. Esta fórmula relaciona entre si as grandezas {d}, {d'} e {f} do espelho esférico. Escolhemos sobre o eixo principal do espelho, o sentido da luz incidente como sentido positivo e sobre o eixo perpendicular ao eixo principal, o sentido apresentado para cima como sentido positivo.

Figura 41: Dedução da Equação de Gauss. [5]

Vamos imaginar que o objecto está sobre o eixo principal, a uma distancia superior ao raio, num ponto {P} (Ver fig. 41). O Ponto {P} é o objecto e o Ponto {P'} será a imagem. Podemos ver então que qualquer raio que incidir sobre o espelho passando pelo ponto {P}, quando for refletido, irá passar pelo ponto {P'}. Vamos analisar o caso de um raio incidente que seja refletido no ponto {B} do espelho.

No triângulo {PCB}, o ângulo interno no vértice {C} é {180^0-\phi}. A soma dos ângulos interno deste triângulo deve ser {180^0}, então {\alpha+180^0-\phi+\theta=180^0 }, o que nos dá :

\displaystyle \alpha+\theta=\phi. \ \ \ \ \ (28)

 

De modo análogo, no triângulo {CP'B}, o ângulo interno no vértice {P'} é {180^0-\beta}. A soma dos ângulos internos deve ser {180^0}, então {\phi+180^-\beta+\theta=180^0}, o que nos dá:

\displaystyle \theta=\beta-\phi. \ \ \ \ \ (29)

 

Substituindo 29 em 28, obtemos:

\displaystyle \alpha+\beta=2.\phi. \ \ \ \ \ (30)

 

Analisando os triângulos rectângulos, temos {tg\alpha=\frac{h}{d-\delta} }, {tg\beta=\frac{h}{d'-\delta} } e {tg\phi=\frac{h}{R-\delta} }. Para ângulos {\alpha} muitos pequenos, os ângulos {\beta} e {\phi} também o serão. Nestas circunstâncias, serão válidas as aproximações {sen\alpha\approx tg\alpha \approx \alpha} e {\delta\approx 0}. O mesmo será válido para {\beta} e para {\phi}.

Logo, as relações no triângulo reduzir-se-ão para:

\displaystyle \alpha=\frac{h}{d} \ \ \ \ \ (31)

 

\displaystyle \beta=\frac{h}{d'} \ \ \ \ \ (32)

 

\displaystyle \phi=\frac{h}{R} \ \ \ \ \ (33)

 

Combinando as equações 31, 32 e 33 com a equação 30, e eliminando {h}, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{R} \ \ \ \ \ (34)

 

Como {f=R/2\Rightarrow R=2f}, então podemos escrever:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} \ \ \ \ \ (35)

 

Esta é a equação do espelho.

Nota: quando se aplica esta equação, é preciso recordar as seguintes convenções de sinais:

  • Se o objecto é real: {d > 0}.
  • Se o objecto é virtual: {d <0}.
  • Se a imagem é real: {d' > 0}.
  • Se a imagem é virtual: {d' <0}.
  • Se o espelho é côncavo: {f > 0}.
  • Se o espelho é convexo: {f <0}.

Podemos também deduzir a relação entre {R} e {f} a partir desta equação. Raios paralelos ao eixo principal são obtidos quando o objecto está no infinito, ou seja, {d=\infty} e a imagem será formada no foco, ou seja, {d'=f}. Substituindo isso na equação 35, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{\infty}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R} \Rightarrow f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (36)

 

Podemos ainda deduzir a relação entre distâncias num espelho plano. Um espelho plano pode ser entendido como um espelho esférico com raio {\infty}, logo:{ \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{\infty} \Rightarrow d=-d'}. Num espelho plano, a imagem está sempre situada no lado oposto ao objecto. Se o objecto é real, a imagem é virtual e se o objecto é virtual, então a imagem é real. A distância é igual em módulo… Mas tudo isso já foi demonstrado graficamente.

— 2.7.10. Ampliação linear do objecto —

Por definição, a ampliação linear do objecto é a razão entre o tamanho da imagem [medido transversalmente ao eixo principal) e o tamanho do objecto(também transversalmente). Se chamarmos de {h} para a altura do objecto e {h'} para a altura da imagem, então a ampliação será:

\displaystyle K=\frac{h '}{h} \ \ \ \ \ (37)

O termo ampliação poder gerar alguma confusão se associamo-lo a ideia de aumento. Em Óptica Geométrica, a ampliação refere-se apenas a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objecto, não importando se houve aumento ou diminuição. A ampliação também pode ser relacionada com outros parâmetros. Usando a congruência dos triângulos {ABV} e {A'B'V} da figura 2, temos:

\displaystyle K=-\frac{d '}{d} \ \ \ \ \ (38)

O sinal deve ser respeitado de acordo com a convenção de sinais. Se {h>0} então o objecto é directo (para cima) e se {h<0} então é invertido. o mesmo se passa com a imagem.

Nota:

  • Se {K} é positiva, a imagem {A'B'} tem o mesmo sentido que o objecto {AB}.
  • Se {K} é negativa, a imagem {A'B'} tem sentido contrário ao do objecto {AB}.
  • Se {\mid K \mid >1} a imagem é maior que o objecto.
  • Se {\mid K \mid <1} a imagem é menor que o objecto.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Equações Diferenciais Exatas e Lineares

— 2.3. Equações Diferenciais Exatas —

Definição 11. Uma expressão diferencial

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy

é uma diferencial exata em uma região do plano xy se ela corresponde á diferencial total de alguma função f(x,y).Uma equação diferencial da forma

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata

Teorema 2 Sejam M(x,y) e N(x,y) funções continuas com derivadas parciais continuas em uma região retangular R definida por { a<x<b, c<y<d. }Então, uma condição necessária e suficiente para que

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy

seja uma equação diferencial exata é

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}

— 2.3.2. Método de solução —

Dada a equação

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \ \ \ \ \ (1)

mostre primeiro que

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} \ \ \ \ \ (2)

Depois suponha que

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=M(x,y) \ \ \ \ \ (3)

dai podemos encontrar f integrando M(x,y) com relação a x, considerando y constante, escrevemos:

\displaystyle f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y) \ \ \ \ \ (4)

em que a função arbitraria g(y) é a constante de integração.Agora, derivando a equação (4) com relação a y e supondo {\partial f/\partial y=N(x,y):}

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+g\prime(y)=N(x,y). \ \ \ \ \ (5)

Assim

\displaystyle g\prime(y)=N(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx \ \ \ \ \ (6)

Finalmente podemos integrar a equação (6) com relação a y e substituir o resultado em (4).A solução para a equação é {f(x,y)=c}

Nota:Poderíamos também começar o procedimento acima com a suposição de que { \partial f/\partial y=N(x,y). }Depois, integrando N com relação a y e derivando o resultado, encontramos o análogo de (4) e (6), que seria respetivamente.

\displaystyle f(x,y)=\int N(x,y)dy+h(x) \quad h\prime(x)=M(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial x}\int N(x,y)dy

Exemplo 1.Resolva a seguinte equação

\displaystyle (6xy-2y^{2})dx+(3x^{2}-4xy)dy=0

Solução.com {M(x,y)=(6xy-2y^{2}) \quad N(x,y)=(3x^{2}-4xy)} temos

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=6x-4y=\dfrac{\partial N}{\partial x}

logo, a equação é exata e existe uma função f(x,y) tal que

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=(6xy-2y^{2})

depois de integrar em relação a x, obtemos:

\displaystyle f(x,y)=3x^{2}y-2xy^{2}+g(y)

Derivando a ultima expressão com relação a y e igualando o resultado a N(x,y), temos

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}-4xy+g\prime(y)=3x^{2}-4xy

segue-se que

{g\prime(y)=0} integrando teremos {g(y)=c}

A constante de integração não precisa ser incluída, pois a solução é { f(x,y)=c} então

\displaystyle 3x^{2}y-2xy^{2}=c

OBS:Poderíamos resolver também supondo que {\dfrac{\partial f}{\partial y}=(3x^{2}-4xy)}

— 2.3.3. Equações diferenciais exatas com fator de Integração —

Definição 12. Se existe uma função {\mu(x,y)} tal que

\displaystyle \mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0

é exata, então {\mu(x,y)} chama-se fator de integração da equação diferencial

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Quando a expressão {M(x,y)dx+N(x,y)dy=0} não é diferencial exata, isto é,

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} ,

mostra-se que há uma infinidade de funções {\mu(x,y),} tais que

\displaystyle \mu(Mdx+Ndy).

Se o fator de integração é em função de x temos:

\displaystyle \mu(x)=e^{\int P(x)} \Rightarrow P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)

Se o fator de integração é em função de y temos:

\displaystyle \mu(y)=e^{\int P(y)} \Rightarrow P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)

Exemplo 2.Encontrar o fator de integração de:

\displaystyle 3x^{2}ydx+ydy=0

Solução:Para acharmos o fator de integração temos de verificar se o fator de integração será em função de “x” ou “y”.Para isso vamos determinar primeiro as seguintes derivadas parciais:

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=3x^{2} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=0

vamos provar se {\mu(x)} é o fator de integração:

{P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)=\dfrac{3x^{2} }{y}} é uma função de x,logo a função {\mu(x)} não é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.

por isso vamos achar {\mu(y)} com:

{P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)=\dfrac{0-3x^{2}}{3x^{2}y}=-\dfrac{1}{y},} é uma função de y,então a função {\mu(y)} é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.Nesse caso, teremos:

{\mu(y)=e^{\int -\dfrac{dy}{y}}=e^{-ln y}=\dfrac{1}{y}} com {y\neq0}

multiplicando a equação diferencial com este fator teremos:

\displaystyle 3x^{2}dx+dy=0 \quad M=3x^{2} \quad N=1

logo:

\displaystyle \dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial M}{\partial y}=0

agora a equação é exata e existe uma função tal que:

{\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2} \Rightarrow f=x^{3}+g(y)} derivando em relação a y e igualando a{\frac{\partial f}{\partial y}=1}temos:

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=g\prime(y)=1 \Rightarrow g(y)=y \Rightarrow f=x^{3}+y

então:

\displaystyle x^{3}+y=c

a família de curvas da solução para alguns valores de c é:

eqdf2

Figura 1:Família de curvas da solução do Exemplo 2

— 2.4. Equações lineares —

Definição 13. Uma equação diferencial linear de 1ª ordem tem a forma:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \ \ \ \ \ (7)

se {Q(x)=0}, a equação é dita homogénea ou incompleta; enquanto,

se {Q(x)\neq0}, a equação é dita não homogénea ou completa.

Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber:

  1. Método do fator integrante
  2. Método de Lagrange

— 2.4.4. Método do Fator Integrante —

Este método consiste na transformação de uma equação linear em outra equação do tipo diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente.Dessa maneira, vamos retornar a equação original de nosso problema

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

vamos reescrever esta ultima sob a forma

\displaystyle (Py-Q)dx+dy=0

multiplicando ambos os membros por {e^{\int Pdx}} (fator integrante) obtemos a expressão:

\displaystyle e^{\int Pdx}(Py-Q)dx+e^{\int Pdx}dy=0

Identificando as funções M e N temos:

\displaystyle M=e^{\int Pdx}(Py-Q) \quad N=e^{\int Pdx}

derivando M em relação a e N com relação a x, obtemos:

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=Pe^{\int Pdx} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=Pe^{\int Pdx}

confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.

Exemplo 3.Resolve pelo método do fator integrante a seguinte equação:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x}y=x

Solução:sabemos que {P(x)=\dfrac{2}{x} \quad Q(x)=x,} então o fator integrante é

\displaystyle \mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2ln x}=x^{2}

multiplicando a equação acima pelo fator integrante obtemos:

\displaystyle x^{2}\dfrac{dy}{dx}+2xy=x^{3}

o lado esquerdo é igual a derivada do produto {x^{2}y}.Logo a equação acima é equivalente a:

\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left(x^{2}y\right) =x^{3}

Integrando-se temos:

\displaystyle x^{2}y=\dfrac{x^{4}}{4}+c

explicitando y temos que a solução geral da equação diferencial é

\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{c}{x^{2}}

podemos esboçar as soluções desta equação diferencial.Para {c=0} a solução é a parábola

\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}

para {c\neq0},temos que o domínio de y é o conjunto dos números reais tais que {x\neq0}

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}y(x)=+\infty \quad c\neq0

além disso

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=+\infty \quad se \quad c>0

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=-\infty \quad se \quad c<0

vamos analisar o crescimento e decrescimento das soluções

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{2c}{x^{3}}=0

se, e somente se {x^{4}=4c}

assim se {c>0} as soluções tem somente pontos críticos em {x=\pm\sqrt[4]{4c}} e se {c<0} elas não tem ponto critico.

eqdf1

Figura 2: Soluções da equação do Exemplo 3

— 2.4.5. Método de Lagrange —

Esse método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (7), onde { t=\phi(x)} e {z=\psi(x)} sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim {y=z.t}

Derivando em relação a x temos:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx} \ \ \ \ \ (8)

substituindo (8) em (7) vamos obter:

\displaystyle z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx}+Pzt=Q

\displaystyle z\left(\dfrac{dt}{dx}+Pt\right)+t\dfrac{dz}{dx}=Q \ \ \ \ \ (9)

Para integral a equação (9), examina-se dois casos particulares da equação (7) a saber:

  1. P=0, então {\dfrac{dy}{dx}=Q}(não homogénea) logo: {y=\int Qdx+c}
  2. Q=0, então {\dfrac{dy}{dx}+Py=0}(equação homogénea) que resulta em:

{dy+Pydx=0} que é uma equação de variáveis separáveis.

daí, {\dfrac{dy}{y}+Pdx=0} integrando essa equação resulta em

\displaystyle ln y=c-\int Pdx \Rightarrow y=e^{c-\int Pdx}=e^{c}e^{-\int Pdx}

Fazendo {k=e^{c}}, temos {y=ke^{c-\int Pdx}} que representa a solução homogénea ou incompleta.

Agora, vamos pesquisar na equação (9) valores para “t” e “z”, uma vez que {y=z.t}, teremos a solução da equação (7) que é uma equação linear completa (não homogénea).

Na equação (9) vamos impor o coeficiente de z como sendo nulo.

\displaystyle \dfrac{dt}{dx}+Pt=0

como já estudamos no caso 2 teremos:{t=ke^{-\int Pdx},}substituindo este resultado em

\displaystyle t\dfrac{dz}{dx}=Q

temos

\displaystyle ke^{-\int Pdx}\dfrac{dz}{dx}=Q \Rightarrow dz=\dfrac{1}{k}e^{\int Pdx}Qdx

integrando este ultimo resultado temos:

\displaystyle z=\dfrac{1}{k}\int e^{\int Pdx}Qdx+c

lembrando que {y=z.t} vamos obter, substituindo “t” e “z”:

\displaystyle y=ke^{-\int Pdx}\left[ \dfrac{1}{k}\int e^{\int Pdx}Qdx+c\right]

onde resulta, finalmente em:

\displaystyle y=e^{-\int Pdx}\left[\int e^{\int Pdx}Qdx+c\right] \ \ \ \ \ (10)

que é a solução geral da equação

Exemplo 4.Resolver pelo método de Lagrange a seguinte equação:

\displaystyle y\prime=2y+x

Solução:Nota-se que a equação {y\prime-2y=x} é linear, onde:

\displaystyle P(x)=-2 \quad Q(x)=x.

A equação diferencial homogénea correspondente é {y\prime-2y=0} que tem como solução: {y=ce^{2x}}

fazendo {z=c} e {t=e^{2x}} acharemos a função z dada por:

\displaystyle z=\int e^{\int Pdx}Qdx+c=\int e^{-\int 2dx}xdx+c=-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+c

como a solução da equação homogénea é {y=zt},então

\displaystyle y=\left(-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+c\right)e^{2x} \Rightarrow y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}+ce^{2x}

Entendendo melhor os espelhos esféricos. Espelhos esféricos 1.

— 2.7.7. Espelhos esféricos —

O espelho esférico é uma superfície lisa, mas de forma esférica que reflete a luz.

Os espelhos esféricos apresentam, em geral, imagens sem nitidez. Gauss observou que, se os raios incidentes obedecessem a certas condições, as imagens seriam obtidas com maior nitidez. Essas condições podem resumir-se no seguinte:

  • Os raios incidentes sobre o espelho devem ser paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal e devem ser próximos ao mesmo.
  • A abertura útil do espelho deve ser pequena ({\alpha < 10^0}).

Estudaremos apenas os espelhos esféricos de Gauss.

Imaginemos uma casca metálica cuja sua superfície é refletora, quer a interior como a exterior. Se cortarmos ao meio esta casca, obtemos duas superfícies esféricas refletoras.

Figura 34: Casca esférica reflectora. Espelho Côncavo e Convexo. [4]

Se a luz estiver a refletir numa das superfícies internas de qualquer metade da casca , dizemos que o espelho é côncavo, e se a reflexão ocorrer num superfície externa qualquer de qualquer metade da casca, dizemos que o espelho é convexo. O espelho côncavo também é chamado de espelho convergente e o espelho convexo também é chamado de espelho divergente. Isso deve-se ao modo como um conjunto de raios paralelos são refletidos neles (ver figura 36).

Os principais elementos de um espelho esférico (representados na figura 35) são:

  • A recta CV, denominada eixo principal do espelho.
  • O raio de curvatura R, do espelho (raio de curvatura da esfera que constitui o espelho).
  • O ponto V (intersecção entre o eixo principal e o espelho), denominado vértice do espelho.
  • O ponto C (centro de curvatura da esfera), denominado centro do espelho.

Figura 35: Elementos do espelho. Espelho Côncavo e Convexo. [7]

Além dos pontos apresentados, há um ponto com especial destaque no espelho. O Foco.

Quando um feixe de raios luminosos paralelos incidir sobre um espelho côncavo, incidindo paralelamente ao seu eixo principal, observaremos, traçando os raios refletidos de acordo com as leis de reflexão, que eles convergem no ponto {F'}, denominado foco imagem do espelho. Por este motivo, é costume dizer que o espelho côncavo é um espelho convergente, porque os raios paralelos ao incidirem sobre ele, convergem (encontram-se) num ponto.

Por outro lado, fazendo um feixe de raios incidir paralelamente ao eixo de um espelho convexo, observamos que eles divergem após a reflexão. Entretanto, os prolongamentos de todos os raios reflectidos passam por um mesmo ponto, {F'}, que é o foco imagem do espelho convexo. Assim, tudo se passa como se o feixe divergente fosse emitido de {F'}. O espelho convexo costuma, então, ser denominado espelho divergente.

Figura 36: Foco imagem de um espelho. [7]

De acordo com o princípio de reversibilidade dos raios luminosos, se mudarmos o sentido de propagação da luz nos dois casos anteriores, ou seja, se usarmos o ponto {F'} como fontes de luz, então os raios reflectidos sobre os espelhos côncavo e convexo são raios paralelos ao eixo principal {CV}. Assim, os focos imagens {F]} são também chamados focos objectos {F}, quer dizer que, em outras palavras, para os espelhos côncavo e convexo, os focos imagem {F'} e objecto {F} são confundidos. Por isso mesmo, os focos imagem {F'} e objecto {F} de um espelho (côncavo ou convexo) podem ser chamadas simplesmente por foco do espelho.

A distância {f}, entre o foco e o vértice, é denominada distância focal do espelho.

Figura 37: Dedução da formula de Distância Focal. [7]

Na figura 37,o raio incidente é paralelo ao eixo principal {CV} do espelho côncavo. Como {C} é o centro de curvatura e {CI} é a normal ao espelho em relação ao ponto {I}, assim, podemos traçar o raio reflectido, formando com a normal um ângulo {i'} igual ao ângulo de incidência {i}. Como sabemos, o ponto em que este raio corta o eixo {CV} é o foco do espelho, visto ser um raio que incide paralelamente ao eixo principal. Pelo teorema de rectas paralelas, o ângulo {i} deve ser igual ao ângulo {x}, e como a lei de reflexão impõe que {i=i'}, então o triângulo {CFI} da figura 37 é isóscele porque tem dois ângulos iguais. Logo, {CF = FI}. Vamos agora supor que o raio incidente {S} incidem sobre o espelho em pontos muito próximos do seu vértice. Nestas condições, podemos considerar que {FI = FV}. Então {CF = FV} e {CV=CF+FV=2FV}. Como, {CV=R} e {FV=f}, logo, temos:

\displaystyle f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (24)

 

Este resultado é válido também para um espelho convexo. Então, podemos destacar: A distância focal {f} de um espelho esférico é igual a metade do seu raio de curvatura {R}, isto é, {f =\frac{R}{2}} . Noutras palavras, o foco de um espelho esférico está situado no meio da distância entre o centro e o vértice do espelho. Os espelhos esféricos tem muitas aplicações em sistemas que requerem alteração do tamanho da imagem. Por exemplo: Espelho retrovisores dos veículos automóveis e não só, sistemas de captação de energia solar, sistemas de vigilância, etc. Uma outra aplicação muito importante dos espelhos esféricos é na construção de telescópios refletores. Ao contrário dos telescópios refractores, os refletores aplicam um espelho como elemento principal, ao invés de lente. O modelo mais comum é o popularmente conhecido “Newtoniano” que utiliza um espelho côncavo montado no fundo do tubo do telescópio. Aplica-se um outro espelho, chamado “secundário”, que direciona a luz captada pelo espelho principal para a direção da ocular. Esses modelos permitem grandes aberturas e quando bem construídos produzem excelentes imagens.

Figura 38:Telescópio reflector. [4]

— 2.7.8. Imagens produzidas pelos espelhos esféricos —

Podemos construir a imagem ou localizar com maior facilidade a sua posição nos espelhos esféricos fazendo uso de determinados raios luminosos, denominados raios auxiliares, os quais apresentamos a seguir:

  • O raio luminoso que incide no espelho côncavo paralelamente ao seu eixo principal, reflete-se passando pelo foco.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo paralelamente ao seu eixo, reflete-se de tal modo que o seu prolongamento passa pelo foco.
  • O raio luminoso que incide num espelho côncavo passando pelo seu foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • Um raio luminoso que incide num espelho convexo de tal maneira que sua direcção passe pelo foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho côncavo passando pelo seu centro de curvatura, reflete sobre si mesmo (este raio incide perpendicularmente ao espelho).
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo de tal maneira que seu prolongamento passe pelo centro de curvatura do espelho, reflete-se sobre si mesmo.
  • Um raio que incide sobre o vértice do espelho, reflete-se segundo a lei da reflexão, sendo que a normal fica sobre o eixo principal (como se o eixo principal fosse a normal).

Figura 39: Raios auxiliares. [7] Adaptado

Para encontrar a imagem que o espelho formaria de um objecto, só devemos encontrar a imagem dos vários pontos que constituem o objecto. Para encontrar cada um desses pontos imagem, devemos, com a ajuda dos raios auxiliares descritos acima traçar a dois raios que passem pelo ponto objecto e a partir dos seu raios emergentes, determinar a sua imagem. Vale recordar que, quer o objecto como a imagem podem ser virtuais ou reais.

Figura 40: Formação da imagem num espelho esférico côncavo. [7]

Para um espelho côncavo temos:

  1. Quando o objecto real {AB} está situado a uma distância {d} maior que a dupla distância focal, a sua imagem {A'B'} é real, invertida e menor que o objecto e fica situada entre o foco e o centro de curvatura do espelho.
  2. , Quando o objecto real {AB} está situado entre o foco e o centro de curvatura do espelho, a sua imagem {A'B'} é real, invertida, maior que o objecto e está situada a uma distância superior ao raio de curvatura do espelho.
  3. Quando o objecto real está situado entre o foco e o vértice do espelho, a sua imagem {A'B'} é virtual, direita e maior que o objecto.

Também podemos observar o seguinte para um espelho convexo: Quando o objecto {AB} é real e fica numa posição qualquer diante do espelho convexo, a sua imagem {A'B'} é sempre virtual, direita e menor que o objecto (ex: retrovisor de um automóvel).

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

2. Equações Diferenciais de Primeira ordem

— 2. Equações Diferenciais de Primeira ordem —

Existem alguns tipos de equações ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente.Comecemos por estudar o caso mais simples das equações diferenciais de primeira ordem e depois analisaremos as equações de variáveis separáveis e as equações homogéneas.

O caso mais simples das equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte forma:

{\dfrac{dy}{dx}=f(x)}

resolve-se facilmente, usando o teorema do calculo integral

\displaystyle y(x)=\int f(x)dx+c

em que c é uma constante arbitraria que será determinada segundo a condição inicial do problema

OBS:Na resolução de uma equação diferencial, você terá frequentemente que utilizar, integração por partes, frações parciais ou possivelmente uma substituição.Será proveitoso gastar alguns minutos de seu tempo na revisão de algumas técnicas de integração.

— 2.1. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis —

Definição 9.Uma equação diferencial de variáveis separáveis tem a forma

{f(x)dx+g(y)dy=0}

onde cada diferencial tem como coeficiente uma função de sua própria variável, ou uma constante.

Metodo de solução:Integraçã direta

{\int f(x)dx+\int g(y)dy=0}

Deve-se ter em conta que quando não a maneiras de separar as variáveis, deve-se usar outros métodos para encontrar a solução.

Exemplo 1.Resolva {(1+x)dy-ydx=0}

Solução:Dividindo a equação por {(1+x)y}, podemos escrever

\displaystyle \dfrac{dy}{y}-\dfrac{dx}{1+x}=0

onde teremos:

\displaystyle \int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{dx}{1+x}\Rightarrow ln |y|=ln |1+x|+c_{1}

\displaystyle y=e^{ln |1+x|+c_{1}}=e^{ln |1+x|}.e^{c_{1}}

\displaystyle y=|1+x|.e^{c_{1}}\Rightarrow y=\pm e^{c_{1}}(1+x)

fazendo { c=\pm e^{c_{1}} } teremos:

{y=c(1+x)}

Exemplo 2. Resolva o problema de valor inicial

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} \quad y(4)=3

Solução:De {ydy=-xdx }, obtemos

\displaystyle \int ydy=-\int xdx \Rightarrow \dfrac{y^{2}}{2}=-\dfrac{x^{2}}{2}+c_{1}

Essa solução pode ser escrita como

\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}

trocando as constantes { 2c_{1} } por { c^{2}.} A solução representa uma família de círculos concêntricos. Agora, quando {x=4, y=3} temos {16+9=25=c^{2}} logo, o problema de valor inicial determina

{ x^{2}+y^{2}=25}

Em vista do teorema de Picard, podemos concluir que este é o único circulo da família que passa pelo ponto{(4,3)}

Exemplo 3. Resolva {\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{xy+2y-x-2}{xy-3y+x-3}} Solução: Aplicando factorização teremos:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y(x+2)-(x+2)}{y(x-3)+(x-3)}\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(x+2)(y-1)}{(x-3)(y+1)}

Colocando a equação na forma:{ \dfrac{y+1}{y-1}dy=\dfrac{x+2}{x-3}dx } ou

\displaystyle \left(1-\dfrac{2}{y-1}\right)dy=\left( 1+\dfrac{5}{x-3}\right) dx

nos obtemos:

\displaystyle y+2ln |y-1|=x+5ln |x-3|+c

{\dfrac{(y-1)^{2}}{(x-3)^{5}}=c_{1}e^{x-y}}

— 2.2. Equações Diferenciais Homogéneas —

Definição 10:Uma equação diferencial { M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 } é dita homogénea se ambos os coeficientes M e N são funções homogéneas do mesmo grau, ou seja, se:

{ M(tx,ty)=t^{n}M(x,y) \quad N(tx,ty)=t^{n}N(x,y)}

— 2.2.1. Método de solução —

Uma equação diferencial homogénea { M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 }, pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica.Para transformar a equação em uma equação de variáveis separáveis usamos a substituição {y=xu} ou { x=vy } em que u e v são as novas variáveis independentes.Se usarmos a substituição {y=xu} seu diferencial será {dy=udx+xdu} e se usarmos { x=vy } seu diferencial será {dx=vdy+ydv}.

Exemplo 4.Resolva {(x^{2}+y^{2})dx+(x^{2}-xy)dy=0}

Solução: Primeiro passo é verificar se as funções são homogéneas do mesmo grau.

\displaystyle M(tx,ty)=(t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}) \quad N(tx,ty)=(t^{2}x^{2}-t^{2}xy)

Nota-se que tanto M e N são homogéneas de grau dois. Segundo passo será fazer a substituição.Se fizermos {y=xu} teremos:

\displaystyle (x^{2}+u^{2}x^{2})dx+(x^{2}-ux^{2})[udx+xdu]=0

Terceiro passo será arrumar a equação e verificar que ficou separável

\displaystyle x^{2}(1+u)dx+x^{3}(1-u)du=0 \Rightarrow \dfrac{1-u}{1+u}du+\dfrac{dx}{x}=0

\displaystyle \left[-1+\dfrac{2}{1+u}\right] du+\dfrac{dx}{x}=0

Quarto passo será resolver a equação.Depois de integrar a ultima linha, obtemos:

\displaystyle -u+2ln|1+u|+ln|x|=ln|c|

Quinto passo será voltar a variável antiga, substituindo por {u=\dfrac{y}{x}:}

\displaystyle \dfrac{-y}{x}+2ln|1+\dfrac{y}{x}|+ln|x|=ln|c|

Usando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a solução como

\displaystyle ln|\dfrac{(x+y)^{2}}{cx}|=\dfrac{y}{x}

A definição de um logaritmo implica

{ (x+y)^{2}=cxe^{y/x}}

Existem outras equações que podem ser reduzidas a equações homogéneas mediante determinada troca de variáveis.Um exemplo típico é a equação

{\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)}

onde a,b,c,p,q e r são constantes dadas.Se as constantes c e r fossem nulas, a equação seria homogenea; definimos um novo sistema de coordenadas { (u,v) } para substituir { (x,y) }, de forma a obter

\displaystyle \begin{array}{rc} ax+by+c=au+bv \\ px+qy+r=pu+qv \end{array}

ou de forma equivalente

\displaystyle \begin{array}{rc} a(x-u)+b(y-v)=-c\\ p(x-u)+q(y-v)=-r \end{array}

A solução deste sistema de equações lineares pode ser obtido por meio da regra de cramer

\displaystyle x-u=\dfrac{\begin{bmatrix} -c & b\\ -r & q \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} a & b\\ p & q \end{bmatrix}} \quad y-u=\dfrac{\begin{bmatrix} a & -c\\ p & -r \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} a & b\\ p & q \end{bmatrix}}

como a,b,c,d,q e r são constantes e também {dx=du \quad dy=dv} a equação diferencial converte-se numa equação homogénea

{\dfrac{dv}{du}=f\left(\dfrac{au+bv}{pu+qv}\right)}

Exemplo 5.Resolva o problema de valor inicial

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac{x+y-3}{x-y-1}\right) \quad y(3)=1

Solução:Esta equação pode ser reduzida a uma equação homogenea, mudando as variaveis (x,y) para (u,v) definidas por

\displaystyle \begin{array}{ccc} x+y-3=u+v\\ x-y-1=u-v \end{array} \Rightarrow \begin{array}{ccc} (x-u)+(y-v)=3\\ (x-u)-(y-v)=1 \end{array}

usando a regra de Cramer temos

\displaystyle x-u=\dfrac{\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}}=2 \quad y-u=\dfrac{\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 1 & 1 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}}=1

\displaystyle \begin{array}{cc} x=u+2 \Rightarrow dx=du\\ y=v+1 \Rightarrow dy=dv \end{array}

com estas substituições, a equação diferencial torna-se uma equação homogénea

\displaystyle \dfrac{dv}{du}=\dfrac{u+v}{u-v}

e para reduzir a equação de variáveis definimos uma nova variável dependente z

\displaystyle z=\dfrac{v}{u} \Rightarrow \dfrac{dv}{du}=z+u\dfrac{dz}{du}

substituindo na equação diferencial, teremos:

\displaystyle z+u\dfrac{dz}{du}=\dfrac{1+z}{1-z}

\displaystyle \dfrac{dz}{du}=\dfrac{1}{u}\left(\dfrac{1+z}{1-z}-z\right)=\dfrac{z^{2}-1}{u(1-z)}

esta equação de variáveis separáveis pode ser integrada

\displaystyle \int\dfrac{1-z}{z^{2}+1}dz=\int\dfrac{du}{u}+c \Rightarrow \arctan (z)-\dfrac{1}{2}ln\left(1+z^{2}\right)=ln u +c

para calcular o valor da constante c, vemos que a condição inicial

\displaystyle y(3)=1 \Rightarrow u=2, v=0 \quad z=0

então:

\displaystyle \arctan 0-\dfrac{ln 1}{2}=ln 2 + c \Rightarrow \arctan (z)-\dfrac{1}{2}ln\left(1+z^{2}\right)=ln u

e a solução em função de x e y é:

{\arctan \left(\dfrac{y-1}{x-2}\right)-\dfrac{1}{2}ln \left[1+\left(\dfrac{y-1}{x-2}\right)^{2}\right]=ln (x-2)}

Entenda matematicamente a imagem do espelho. Espelhos planos.

— 2.7.6. Espelhos planos —

O espelho plano é uma superfície lisa e plana, bem polida, que reflete especularmente a luz (reflexão regular). Por exemplo, uma placa de vidro plana relativamente fina, cuja face traseira é prateada ou uma placa metálica niquelada são exemplos de um espelho plano. A visão humana ocorre devido aos raios de luz que chegam aos nossos olhos. Dependendo de como esses raios chegam, podem nos transmitir sensações diferentes sobre a forma dos objectos e a distância a que eles se encontram. Sensações sim, porque, por vezes pode não ser a realidade.

Vejamos o exemplo da figura 30. Quando um observador está situado em frente de um espelho, ele observa parte dos raios de luz reflectidos pelo espelho. Este feixe parece ter sido emitido do ponto {A'}, isto é, tudo se passa como se no ponto {A'} existisse um objecto emitindo aquele feixe. É por isso que o observador tem a sensação que o objecto (que na realidade está situado no ponto {A}) está no ponto {A'}. O ponto {A'} é chamado de imagem do objecto {A}.

A imagem {A'} está situada atrás do espelho, no ponto de encontro dos prolongamentos dos raios reflectidos.

A nível de Óptica Geométrica, definimos como ponto objecto como sendo o ponto de intersecção dos raios incidentes (ou, no caso em que estes não chegam a interceptar-se, o ponto de intersecção dos prolongamentos dos raios incidentes).

O ponto imagem é o ponto de intersecção dos raios emergentes (refletidos ou refratados do sistema óptico), ou, no caso em que estes não se interceptem, o ponto de intersecção dos prolongamentos dos raios emergentes. Consideramos, raios emergentes, aos raios que emergem (ou saem) do sistema.

Figura 30: Imagem de um espelho plano.[7]

Para se determinar a posição da imagem de um pequeno objecto pontual A, colocado em frente de um espelho plano, temos apenas de traçar raios luminosos que partem do objecto e se reflectem no espelho. Atenção á lei da reflexão. Pelo menos dois raios. Isto foi feito na figura 2 onde foram traçados os raios incidentes {1} e {2} e os raios refletidos {1'} e {2'}. A imagem seria o ponto de intersecção de {1'} e {2'}, mas como podemos ver na figura, eles são divergentes. A posições da imagem , {A'}, é encontrada prolongando-se os raios reflectidos {1'} e {2'}.

Quando o objecto (ou a imagem) é formado pela intercessão dos raios incidentes (ou emergentes), então é chamado de objecto (ou imagem) real. Quando os raios incidentes (ou emergentes) são divergentes, então o objecto (ou a imagem) será formado pela intercessão dos prolongamentos dos raios incidentes (ou emergentes), então será chamado de objecto (ou imagem) virtual.

O conceito de imagem real e virtual pode parecer abstrato, mas na realidade não. É um conceito muito prático e útil no dia -a-dia. Suponhamos que vamos usar um espelho para projectar uma imagem sobre um filme fotográfico a fim de ser revelada esta imagem. Neste caso, devemos colocar o filme no ponto onde se formará a imagem. Se nesse ponto se formar uma imagem real, após a revelação do filme, teremos a imagem do objecto estampada no filme. Mas se este ponto onde foi colocado o filme é um ponto onde se forma uma imagem virtual, ao revelarmos o filme não aparecerá nada além de ruídos… Porquê? Na imagem virtual, a luz nem chegara efectivamente naquele ponto. A luz é desviada antes de chegar naquele ponto, portanto, não chega a interagir com o filme fotográfico. Esse conceito é muito útil em projecções.

A imagem formada por um espelho plano está sempre situada a uma distância (em relação ao espelho) igual á distância entre o objecto e o espelho. Isso pode ser facilmente demonstrado pela figura 31.

Figura 31: Relação entre distâncias no espelho. [7] Adaptado

O objecto é {A} e a sua imagem é {A'}. O raio incidente é {AI} e o refletido é {AR}. A distancia entre o objecto e o espelho é {H} e a distância entre a imagem e o espelho é {D}. Podemos notar que o objecto e a imagem estão sob uma mesma linha perpendicularmente ao espelho. A lei da reflexão impõe que {i=i'}, e o teorema de ângulos opostos pelo vértice impõe que {x=90^0-i'}. Logo, os triângulos {API} e {A'PI} são congruentes. Como o cateto adjacente, em relação ao vértice I são iguais, isto implica que todos os ângulos equivalentes dos dois triângulos sejam iguais, logo, todos os lados também o são. Sendo assim, {H=D}.

Se enviarmos um feixe luminoso convergente sobre um espelho plano, mas de modos que o ponto de convergência fique por detrás do espelho, criamos um objecto virtual no ponto {A}. Neste caso, o feixe luminoso reflectido convergirá no ponto {A'} que fica em frente do espelho a uma mesma distância do objecto ao espelho. Este ponto luminoso {A'} pode ser recebido numa tela e é chamado imagem real do objecto virtual {A} (ver figura 32).

Figura 32: Objecto virtual – imagem real.[7] Adaptado

Imaginemos agora um objecto que não possa ser reduzido a um ponto, ou seja, um objecto extenso. Um objeto extenso pode ser considerado como um conjunto de pontos. A sua imagem será determinada determinando a imagem de cada um dos ponto que o constituem e ligando assim estes pontos imagem.

Figura 33: Imagem de um objecto extenso. [4]

A imagem de espelhos planos sempre é invertida, de mesmo tamanho e de natureza oposta ao objecto, ou seja, se o objecto é virtual então a imagem é real e vice-versa.

A imagem é invertida em que sentido? Quando estás em frente ao espelho a tua orelha direita fica ao teu lado esquerdo e a tua orelha esquerda fica do teu lado direito. Outra forma simples de verificar que a imagem de um espelho plano é invertida é colocarmos uma t-shirt com algum texto escrito na parte de frente e posicionarmos em frente a um espelho. Como aparece o texto na imagem?

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

%d bloggers like this: