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Como a Física explica o arco-íris? Dispersão da luz. Prisma.

— 2.7.14. Dispersão da luz. Prisma. —

O arco-íris é um fenómeno natural muito bonito, que suscita a curiosidade de muitos. Como se formam aquelas cores? De onde vêm?

A resposta desta questão está na dispersão da luz. Dispersão da luz é o fenómeno da separação de uma onda luminosa em várias componentes espectrais.

Como estudamos, existe luz monocromática (com uma única componente espectral, ou seja, um único comprimento de onda) e luz policromática (com várias componentes espectrais). A luz da maioria das fontes ordinárias (lâmpadas incandescentes, lâmpadas fluorescentes, lâmpadas de descarga, luz solar, luz emitida por aquecimento dos corpos, etc.) são policromáticas. No nosso dia-a-dia, só a luz provenientes de alguns LED´s como vermelhos, azuis, amarelos e verdes e a luz proveniente de um laser são monocromáticas.

Como estudamos também, no item em que falamos de índice de refração, a forma como feixes de diferentes comprimentos de onda passa por um material é ligeiramente diferente, ou seja, ao refratar-se numa dada superfície de separação, os raios de comprimentos de onda diferente passarão de modo diferente. Mesmo que dois feixes com comprimento de onda diferente incidam sobre uma superfície de separação com o o mesmo ângulo de incidência, os ângulos de refração serão minimamente diferentes. Essa diferença ocorre porque o índice de refração de um material não é fixo para todo tipo de radiações, ou seja, radiações diferentes, têm, para o mesmo material, índice de refração diferente. É como se a oposição que o material oferece a passagem da luz variasse de acordo com o comprimento de onda da mesma.

Alguns sistemas acentuam esta diferença e outros não. Um dos sistemas que acentua esta diferença é o prisma. Isaac Newton usou-o para mostrar que a luz branca é policromática, provocando a dispersão da luz branca num prisma, observando assim o seu espéctro.

Figura 48: Prisma. [4]

Um bloco de material transparente e homogéneo com duas faces laterais lisas e inclinadas como indica a figura 48, é um prisma.

Figura 49: Dispersão no prisma.[4]

Observe a figura 49. Quando um raio de luz policromático, por exemplo a luz branca, incide num prisma com o certo ângulo, sendo que os diversos comprimentos de onda sofrem refração como se o índice de refração do material de que é feito o prisma fosse diferente para cada um deles, os ângulos com que eles saem do prisma serão então diferentes, saindo cada um numa direcção relativamente diferente. Se colocarmos um anteparo branco no caminho do feixe que sai do prisma, poderemos observar o espéctro da cor branca (arco-íris).

Em geral, a extremidade mais delgada da gota de água apresenta formato idêntico ao de um prisma, logo, quando a luz incide sobre as gotas de água, acontece algo idêntico ao que acontece no prisma; só que, tal como no prisma, a dispersão só é observada para certos ângulos.

Figura 50: Dispersão da luz na gota de água. Arco-íris. [4]

No caso mais simples de passagem da luz no prisma, em que a luz incide sobre uma das faces do prisma e refrata-se na face imediatamente a seguir (relativamente a passagem do raio), as relações entre os diversos ângulos podem ser deduzidas.

Figura 51: Dedução das fórmulas do prisma.

Seja um raio luminoso que fica no plano de uma certa secção transversal do prisma {RST} e que incide sobre a aresta {RS} sob o ângulo de incidência {\alpha_1}. Este raio é refratado no interior do prisma com um ângulo {\beta_1} e, ainda no interior do prisma, incide sobre a face {RT} com um ângulo {\beta_2} e refrata-se novamente no ar sob o ângulo de emergência {\alpha_2}. Consideramos {n} o índice de refracção do meio de que é feito o prisma em relação ao meio ambiente e {A} o ângulo no vértice superior do prisma (vértice oposto á base do triângulo, ver figura 51).

Na figura, {c} e {d} são as normais às superfícies {RS} e {RT}, respectivamente. {\delta} é o desvio que o prisma provoca no raio incidente, ou seja, a separação angular entre o raio incidente e o raio emergente.

No triângulo {MOP}, aplicando o teorema dos ângulos internos de um triângulo, podemos obter para o ângulo {x}:

\displaystyle x=180^0-\beta_1-\beta_2 \ \ \ \ \ (45)

 

No quadrilátero {MROP}, como as rectas {c} e {d} são normais às superfícies {RS} e {RT}, então os seus ângulos internos são {90^0}. Logo, aplicando o teorema dos ângulos internos de um quadrilátero, teremos: {A+90^0+90^0+x=360^0\Rightarrow A=180^0-x}. Substituindo {x} pela equação 45, obtemos:

\displaystyle A=\beta_1+\beta_2 \ \ \ \ \ (46)

 

Analisando o triângulo {MNP}, de acordo com o teorema de ângulos opostos em rectas que se cruzam, obtemos {w=\alpha_1-\beta_1} e {z=\alpha_2-\beta_2}. Logo, {y=180^0-w-z=180^0-\alpha_1+\beta_1-\alpha_2+\beta_2}. Substituindo a equação 46, obtemos:

\displaystyle y=180^0-\alpha_1-\alpha_2+A \ \ \ \ \ (47)

 

Como {y} e {\delta} são suplementares, então {\delta=180^0-y}. Substituindo {y} pelo valor obtido na equação 47, e efectuando as devidas simplificações, obtemos:

\displaystyle \delta=\alpha_1+\alpha_2-A \ \ \ \ \ (48)

 

Os ângulos {\alpha_1} e {\beta_1}, bem como os ângulos {\alpha_2} e {\beta_2} estão relacionados pela lei de Snell-Descartes para a refração (ar-material do prisma, para o primeiro caso, e material do prisma-ar para o segundo caso).

Se o prisma estiver imerso na água ou noutra substância qualquer, devemos apenas mudar o índice de refração relativo do material de que é feito o prisma, ou seja, {n}.

Vale lembrar que podem haver situações em que a luz, na segunda superfície ({RT}, no nosso caso) sofra reflexão total interna, e o raio emergente saia num outra face. Nestes casos, estas equações não se aplicam, sendo necessário aplicar raciocínios idênticos para deduzir as suas equações.

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

Como a Física explica a deformação da imagem dos corpos submersos na água?

— 2.7.12. Refração em Dióptro plano —

Dióptro plano é o conjunto de dois meios homogéneos e transparentes, separados por uma superfície plana (ex: a água tranquila de um lago e o ar, ar e um objecto de vidro de superfície plana, etc.). Quando estamos fora da água e observamos um peixe que está dentro da água, temos a sensação de que o peixe se encontra a uma certa distância, mas se sentarmos apanha-lo, notamos que há uma diferença entre a posição real onde o peixe realmente se encontra e a posição da imagem deste peixe que nós vemos. O mesmo ocorre quando estando dentro da água (por exemplo de uma piscina), observamos uma pessoa que está na margem, acima da superfície livre da água.

Este fenómeno é chamado de profundidade aparente e é explicado através da lei de Snell-Descartes, quando se analisa a refração em um dióptro plano.

Um peixe dentro da água difunde luz em todas as direcções. Parte da luz difundida refrata-se ao atingir a superfície de separação dos meios água-ar.

Figura 45: Imagem observada num dióptro plano. [5]

Como a água é mais refringente que o ar (mais densa opticamente), os raios refratados da água para o ar afastam-se da normal e podem ser captados por um observador; este, em vez de ver directamente o objecto na posição {P}, vê a sua imagem, em {P'}, na intercecção dos prolongamentos dos raios refratados (imagem virtual do objecto real {P}). O observador fica com a sensação de que o objecto (no caso, o peixe) está mais próximo, quando na realidade ele está mais distante. Lembre-se que num sistema óptico qualquer, nós vemos a imagem produzida por este sistema óptico e não o objecto propriamente dito.

Figura 46: Profundidade aparente. [7]

Podemos estabelecer a relação entre profundidade real e profundidade aparente.

Na figura 46, o triângulo {API}, o ângulo interno do vértice A é {i_1} e no triângulo {A'PI} o ângulo no vértice {A'} é {i_2}. As suas tangentes são {tg (i_1) =\frac{PI}{AP}=\frac{x}{d}} e {tg (i_2) =\frac{PI}{A'P}=\frac{x}{d'}}. Dividindo estas duas relações, fica { \frac{tg (i_1)}{tg (i_2)} =\frac{d'}{d}}. Para observadores muito próximos da normal, {i_1} e {i_2} são muito pequenos , logo é válida a aproximação {tg (i_1) \approx sen (i_1) \approx i_1}. O mesmo ocorre com {i_2}. Logo a relação pode ser escrita por { \frac{tg (i_1)}{tg (i_2)} = \frac{sen (i_1)}{sen (i_2)} =\frac{n_2}{n_1} = \frac{d'}{d}}:

Neste caso a relação entre a profundidade real e a profundidade aparente será:

\displaystyle d=\frac{n_2}{n_1} . d' \ \ \ \ \ (39)

 

Observamos assim que a profundidade aparente {d'} é diferente da profundidade real {d}, podendo ser maior ou menor.

A profundidade aparente será menor do que a profundidade real se o meio no qual se situa o observador tiver um índice de refração menor do que o índice de refração do meio onde se encontra o objecto. Nestes casos o observador terá a sensação de que o objecto está mais próximo do que a sua posição real. Um exemplo disto é uma pessoa, na fora do lago que observa um peixe no lado.

De modo análogo, a profundidade aparente será maior do que a profundidade real quando o observador se encontrar num meio que tenha o índice de refração maior do que o índice de refração do meio onde se encontra o objecto. Neste caso, o observador terá a sensação de que o objecto está mais distante do que a sua posição real. Um exemplo disso é o caso de uma pessoa no interior da água que observa algo ou alguém fora da água.

Este conceito tem muitas consequências, com várias aplicações no dia-a-dia. Se quiseres atingir um peixe na água com um arpão, por exemplo, não deves atira-lo na direção da imagem que vês, mas sim um pouco abaixo dela. Caso contrário, falharás o alvo.

— 2.7.13. Superfície de faces paralelas —

Quando falamos de lâmina de faces paralelas (ou superfície de faces paralelas), falamos de uma placa de material transparente e homogénea, limitada por duas faces lisas, planas e paralelas.

Vários sistemas ópticos usados no nosso dia-a-dia são lâminas de faces paralelas, mas um exemplo mais simples são os vidro que constituem as janelas vidradas, muito comuns, nos dias de hoje.

Ao observarmos perpendicularmente sobre a lâmina, não ocorre nenhuma modificação na imagem, mas quando observamos obliquamente sobre ela, podemos notar uma certa deformação na imagem do objecto. Esta deformação será mais notada quanto maior for o índice de refração do material que constitui a lâmina, bem como quanto maior for a espessura da lâmina.

A deformação também aumenta com o aumento do ângulo de visualização. Este experimento pode ser facilmente realizado. Arranje um bloco (em forma de paralelepípedo) de material transparente (vidro, plástico ou outro). Caso não encontre o paralelepípedo, pode usar um material com outro formato qualquer, desde que tenha duas faces paralelas. Coloque um papel com letras num das faces e observe pela outra. Em seguida, vá inclinando a lâmina (em relação as letras e observa o que acontece com a imagem.

Figura 47: Trajecto de raios luminosos numa lâmina de faces paralelas. [7]

Na figura, a espessura da lâmina é designada por {e}, o seu índice de refracção relativo com respeito ao meio circundante (o ar) é {n} ({n>1}). O raio incidente {SD} é refratado pela face superior da lâmina passando de no caminho indicado pelo segmento {DF} e sai fora da lâmina no raio indicado por {FR} . Segundo a lei de Snell-Descartes, para a refracção pela face superior, temos:

\displaystyle 1. sen( i_1) = n . sen (r_1) \ \ \ \ \ (40)

 

e para a refracção pela face inferior, temos:

\displaystyle n. sen (r_2) = 1. sen (i_2) \ \ \ \ \ (41)

 

Ora, como se vê na figura, os ângulos {r_1} e {r_2} são iguais. Logo: { r1 = r2 = r} Substituindo esta igualdade nas equações 40 e 41, obtemos que:

\displaystyle i_1=i_2=i \ \ \ \ \ (42)

Ao atravessar a lâmina de faces paralelas o raio luminoso não muda de direcção de propagação. O raio emergente é paralelo ao raio incidente. Apesar de o raio emergente ser paralelo ao raio incidente, mas a imagem observada não é (em geral) igual ao objecto. Suponhamos que o objecto luminoso {S} emite raios pouco inclinados em relação a normal das faces da lâmina. A imagem de {S} criada pela lâmina será {S'}. O deslocamento da imagem em relação ao objecto é {\delta = SS'}. O afastamento entre os dois raios paralelos (incidente {SD} e emergente {FR}), ou seja, o deslocamento transversal do raio emergente em relação ao raio incidente é igual a {d}. A relação entre estes parâmetros poderá ser deduzida.

Consideremos a figura 47. O triângulo {FGD}, recto no ângulo sob o vértice {G}, o ângulo interno do vértice {F} será {i-r}. O seu seno será {sen (i-r) =\frac{DG}{DF}=\frac{d}{DF}}. Então:

\displaystyle DF=\frac{d}{sen(i-r)} \ \ \ \ \ (43)

 

No triângulo rectângulo {DEF}, recto em {E}, o ângulo sobre o vértice {D} é {r}, logo: {cos (r)= \frac{DE}{DF}=\frac{e}{DF}}. Então:

\displaystyle DF=\frac{e}{cos (r)} \ \ \ \ \ (44)

 

Combinando as expressões 43 com 44, obtemos :

\displaystyle d=\frac{e . sen (i-r)}{cos (r)} \ \ \ \ \ (45)

 

O afastamento entre os raios será directamente proporcional a espessura da lâmina. Podemos também verificar, experimentalmente , que o afastamento entre os raios {d} aumenta com o aumento do ângulo de incidência. Mas demonstrar isso matematicamente acaba por ser um pouco extenso. Por outro lado, se consideramos o triângulo {CHI}, recto em {I}, o ângulo sob o vértice {C} será {90^0-i}. Logo, o seu cosseno será {cos ( 90^0-i)=\frac{CI}{CH}=\frac{d}{\delta}}. Lembre-se que {cos(90^0-i)=sen (i) \Rightarrow sen (i)=\frac{d}{\delta}\Rightarrow d= \delta . sen (i)}. Substituindo isso na equação 43, obtemos:

\displaystyle \delta=\frac{e . sen (i-r)}{cos (r). sen (i)}\ \ \ \ \ (46)

 

Desenvolvendo o seno da diferença, separando os denominadores, e simplificando, obtemos a expressão obtemos:

\displaystyle \delta=(1-\frac{cos(i)}{n . cos (r)}).e \ \ \ \ \ (47)

 

Quando a lâmina é bastante delgada (fina, pouco espessa), podemos considerar que o raio emergente é confundido com o raio incidente.

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

Equações diferenciais de Bernoulli e Ricatti. Redução a separação de variáveis

— 2.5. Equação de Bernoulli —

Neste artigo, não estudaremos nenhum tipo particular para equação diferencial.Consideraremos duas equações clássicas que podem ser transformadas em equações já estudadas nas seções anteriores e depois vamos abordar sobre redução a separação de variáveis.

Definição 14.A equação diferencial

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} \ \ \ \ \ (11)

em que n é um numero real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli.Para {n=0} e {n=1} a equação (11) é linear em y.Agora se {y\neq0},a equação (11) pode ser escrita da seguinte maneira:

\displaystyle y^{-n}\dfrac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \ \ \ \ \ (12)

se fizermos {w=y^{1-n},\quad n\neq0,\quad n\neq1,} então:

\displaystyle \dfrac{dw}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}

com essa substituição, a equação (12) transforma-se na equação linear

\displaystyle \dfrac{dw}{dx}+(1-n)P(x)w=(1-n)Q(x) \ \ \ \ \ (13)

Resolvendo a equação (13) e depois fazendo {y^{1-n}=w}, obtemos uma solução para a equação (11).

Exemplo 1.Resolva a seguinte equação

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=xy^{2}

Solução:De acordo a equação de Bernoulli temos:{P(x)=1/x,\quad Q(x)=x, \quad e \quad n=2}.logo, a mudança de variável

\displaystyle w=y^{-1}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-y^{-2}\dfrac{dy}{dx}\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}\dfrac{dw}{dx}

nos da o seguinte:

\displaystyle -y^{2}\dfrac{dw}{dx}+\dfrac{1}{x}y=xy^{2}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}-\dfrac{1}{x}y^{-1}=-x

substituindo {w=y^{-1}} teremos:

\displaystyle \dfrac{dw}{dx}-\dfrac{1}{x}w=-x

o fator de integração para essa equação linear é:

\displaystyle \mu(x)=e^{-\int \frac{dx}{x}}=e^{-ln x}=x^{-1}

assim,multiplicando o fator de integração na equação linear, teremos:

\displaystyle x^{-1}\dfrac{dw}{dx}-x^{-2}w=-1\Rightarrow \dfrac{d}{dx}(x^{-1}w)=-1

integrando essa ultima forma, obtemos

\displaystyle x^{-1}w=-x+c \quad ou \quad w=-x^{2}+cx

como {w=y^{-1}}, então {y=\frac{1}{w}} ou

\displaystyle y=\dfrac{1}{-x^{2}+cx}

— 2.6. Equação de Ricatti —

Definição 15.A equação diferencial linear

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2} \ \ \ \ \ (14)

é chamada de equação de Ricatti.Se {y_{1}} é uma solução particular para (14),então as substituições

\displaystyle y=y_{1}+u \quad e \quad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy_{1}}{dx}+\dfrac{du}{dx}

em (14) produzem a seguinte equação diferencial para u:

\displaystyle \dfrac{du}{dx}-(Q+2y_{1}R)u=Ru^{2} \ \ \ \ \ (15)

como (15) é uma equação de Bernoulli com {n=2}, ela pode, por sua vez, ser reduzida a equação linear

\displaystyle \dfrac{du}{dx}+(Q+2y_{1}R)u=-R \ \ \ \ \ (16)

através da substituição {w=u^{-1}}.Depois de fazer essa substituição podemos aplicar os outros métodos estudados.

Exemplo 2.Considere a equação

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}

Verifica-se que {y_{1}=-e^{x}} é uma solução particular desta equação.Fazendo a substituição

\displaystyle y=-e^{x}+u\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-e^{x}+\dfrac{du}{dx}

teremos:

\displaystyle -e^{x}+\dfrac{du}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})(-e^{x}+u)+(-e^{x}+u)^{2}

simplificando a equação obtemos a seguinte expressão

\displaystyle \dfrac{du}{dx}=u+u^{2}

a equação acima é uma equação de Bernouli, então,vamos fazer a seguinte substituição:

\displaystyle w=u^{-1}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-y^{-2}\dfrac{du}{dx}\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=-u^{2}\dfrac{dw}{dx}

logo, teremos:

\displaystyle -u^{2}\dfrac{dw}{dx}=u+u^{2}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-\dfrac{1}{u}-1\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-w-1

a ultima equação é de variáveis separáveis de modo que resolvendo teremos:

\displaystyle ln (w+1)=-x+c_{1}\Rightarrow w=e^{-x+c_{1}}-1\Rightarrow w=ce^{-x}-1

substituindo {w=u^{-1}} temos:

\displaystyle u^{-1}=ce^{-x}-1\Rightarrow u=\dfrac{1}{ce^{-x}-1}

substituindo {u=y+e^{x}} obtemos que a solução da equação é dada por:

\displaystyle y=\dfrac{1}{ce^{-x}-1}-e^{x}

— 2.7. Redução a Separação De Variáveis —

Definição 16.Uma equação diferencial da forma

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=f(Ax+By+c)

se pode sempre reduzir a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição {u=Ax+By+c}, {B\neq0}

Exemplo 3.Resolva a seguinte equação diferencial

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=(-2x+y)^{2}-7, \quad y(0)=0

Solução:Vamos resolve-la fazendo a substituição

\displaystyle u=-2x+y\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=-2+\dfrac{dy}{dx}

dessa maneira a equação diferencial se expressa da seguinte forma:

\displaystyle \dfrac{du}{dx}+2=u^{2}-7\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=u^{2}-9

essa ultima equação é de variáveis separáveis de modo que teremos:

\displaystyle \dfrac{du}{(u-3)(u+3)}=dx\Rightarrow \dfrac{1}{6}\left[\dfrac{1}{u-3}-\dfrac{1}{u+3}\right]du=dx

e depois de integrar vamos ter:

\displaystyle \dfrac{1}{6}ln \left[\dfrac{u-3}{u+3}\right]=x+c_{1}\Rightarrow \dfrac{u-3}{u+3}=e^{6x+6c_{1}}

substituindo {e^{6c_{1}}} por c e isolando u obtemos o seguinte:

\displaystyle u=\dfrac{3(1+ce^{6x})}{1-ce^{6x}}

substituindo {u=-2x+y} na equação acima obtemos a seguinte solução:

\displaystyle y=2x+\dfrac{3(1+ce^{6x})}{1-ce^{6x}}

por ultimo aplicando a condição inicial {y(0)=0} a ultima equação obtém-se {c=-1} de modo que a solução particular será:

\displaystyle y=2x+\dfrac{3(1-e^{6x})}{1+e^{6x}}

a figura abaixo mostra em azul escuro o gráfico da solução particular junto com o gráfico de outros membros da família de soluções.

eqdf3

Figura 1:Algumas soluções do Exemplo 3

Nas seções precedentes, vimos que em certas situações uma equação diferencial podia ser ser transformada, por meio de uma substituição, em uma forma em que era possível resolve-la por um método padrão.Uma equação pode parecer diferente de todas as que vimos e estudamos, mas mudando uma variável, talvez um problema aparentemente difícil possa ser facilmente resolvido.Embora não haja uma regra geral que indique qual substituição deve ser feita,uma axioma pratico é o seguinte:tente alguma coisa!Algumas vezes custa caro ser engenhoso.

Exemplo 4.Considere a equação

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x}{y-x-1}

se olharmos bem a equação, podemos ser impelidos a tentar a substituição

\displaystyle u=y-x\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx}-1\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+1

substituindo na equação temos:

\displaystyle \dfrac{du}{dx}+1=\dfrac{u}{u-1}\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{u-1}\Rightarrow (u-1)\dfrac{du}{dx}=1

que é uma equação de variável separável cuja solução é:

\displaystyle \dfrac{u^{2}}{2}-u=x+c

Substituindo-se de volta {u=y-x} obtemos que a solução da equação é dada implicitamente por

\displaystyle \dfrac{(y-x)^{2}}{2}-y=c

eqdf4

Figura 2:soluções da equação do Exemplo 4

A luz pode ser usada em telecomunicações? Fibras ópticas.

— 2.7.6. Fibras ópticas —

A reflexão total interna da luz é utilizada em telecomunicações para a transmissão da luz através de cabos de fibras flexíveis transparentes chamados de fibras ópticas. As fibras ópticas permitiram o surgimento de uma nova forma de telecomunicar, que apresenta diversas vantagens em relação a comunicação tradicional por ondas electromagnéticas.

Uma das grande vantagens é a imunidade da luz às restantes ondas electromagnéticas, oferecendo assim um possibilidade de comunicar com menos ruído.

As fibras ópticas são tubos cilíndricos de vidro de quartzo ou de plástico, muito finos e transparentes, de reduzidas dimensões, usados como veículos de transmissão da luz de um meio para o outro. São constituídas por um núcleo de forma cilíndrica, de diâmetro de valor {d = 62,5 \mu m} (para a fibra de vidro) ou de {d = 900 \mu m} (para a fibra de plástico), composto por duas camadas de material transparente, sendo a camada interior o núcleo e a camada exterior o invólucro ou casca, onde o índice de refracção do núcleo {n_1} é maior que o índice de refracção do invólucro {n_2}. O conjunto é protegido de um revestimento de plástico.

 

Figura 42: Constituição da fibra óptica. [4]

A fibra é como se fosse um pequeno tubo, que permite que a luz atravesse-o sem sofrer dispersão na lateral, ou seja, sem que a luz se refrate nas paredes laterais. Um fino feixe de luz penetra por uma das extremidades do tubo (a fibra) e propaga-se ao longo da fibra, sofrendo reflexão total sempre que incida sobre a superfície de separação dos meios 1 (núcleo) e meio 2 (casca).

As fibras ópticas possuem muitas aplicações:

  • Nas telecomunicações: Os cabos ópticos constituídos por várias dezenas de fibras são mais leves que os cabos de cobre com capacidade equivalente. Em igualdade de condições, podem enviar 100.000 vezes mais informações.
  • Na medicina: Observações clínicas de vários órgãos internos como o estômago, intestinos, útero, etc., são usados dois feixes de fibras ópticas e introduzidas no interior do corpo do paciente. Um leva o sinal luminoso e, o outro, trás a imagem do órgão, permitindo ao médico fazer a observação. A fonte da luz utilizada é sempre o laser, pela sua grande potência e por poder ser transmitido por meio de feixes muito finos.
  • Na decoração: Usam-se em candeeiros e iluminação de fontenários.

 

Figura 43: Trajecto do raio luminosos através da Fibra óptica. [7]

O mecanismo básico de transmissão da luz ao longo da fibra baseia-se na óptica geométrica. A diferença do índice de refração do núcleo com relação à casca é representada pelo perfil de índices da fibra óptica. Essa diferença pode ser conseguida usando-se materiais dieléctricos distintos (por exemplo, sílica-plástico, diferentes plásticos, etc.) ou através de dopagens convenientes de materiais semicondutores (por exemplo, GeO , P O , B O , F etc.) na sílica (SiO).

A variação de índices de refração pode ser feita de modo gradual ou descontínuo, originando diferentes formatos de perfil de índices. As alternativas quanto ao tipo de material e ao perfil de índices de refração implicam a existência de diferentes tipos de fibras ópticas com características de transmissão, e, portanto, aplicações, distintas. Por exemplo, a capacidade de transmissão, geral e fundamentalmente depende (além do seu comprimento) da geometria e do perfil de índices da fibra óptica. O tipo de material utilizado, por sua vez, é determinante quanto às frequências ópticas suportadas e aos níveis de atenuação correspondente.

As características mecânicas das fibras ópticas expressam em termos de resistência e flexibilidade, dependem do material dielétrico utilizado e da qualidade dos processos de fabricação. Embora mais resistentes que fios de aço de mesmas dimensões, as fibras ópticas costumam ter a sua estrutura básica protegida das perturbações mecânicas ou ambientais por encapsulamentos ou revestimentos diversos.

 

Figura 44: Cabo óptico agrupado com 70 fibras. [7]

Elas costumam ser classificadas a partir de suas características básicas de transmissão e nas facilidades operacionais em termos de conexões e acoplamento com fontes e detectores de luz. É possível adotar classificações específicas, como:

  • Composição material: fibras com o par núcleo-casca do tipo sílica-sílica, sílica-plástico ou plástico-plástico tem propriedades distintas quanto às facilidades operacionais e de fabricação, às perdas de transmissão, à tolerância a temperaturas etc.
  • Frequências ópticas de atuação: esta classificação, que inclui, por exemplo, as fibras no infravermelho e as fibras no ultravioleta, refletem o desenvolvimento de fibras ópticas para operar fora da faixa típica actual usada em comunicações.
  • Geometria ou sensibilidade à polarização: além da secção circular típica, as fibras monomodo podem ter um núcleo de secção elíptica com implicações importantes quanto à filtragem e manutenção de polarização.

· Os Principais tipos são:

  • Fibra de Índice Degrau (Step Index);
  • Fibra de Índice Gradual (Graded Index);
  • Fibra Monomodo.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Entenda matematicamente a ampliação de imagem do espelho. Espelhos esféricos 2.

— 2.7.9. Fórmula do espelho esférico e convenção de sinais —

Quando um objecto está diante de um espelho, definimos {d}, a distancia entre o objecto e o espelho e {d'} a distância entre a imagem e o espelho. A fórmula do espelho esférico (ou equação de Gauss) permite determinar de forma analítica as características da imagem. Esta fórmula relaciona entre si as grandezas {d}, {d'} e {f} do espelho esférico. Escolhemos sobre o eixo principal do espelho, o sentido da luz incidente como sentido positivo e sobre o eixo perpendicular ao eixo principal, o sentido apresentado para cima como sentido positivo.

Figura 41: Dedução da Equação de Gauss. [5]

Vamos imaginar que o objecto está sobre o eixo principal, a uma distancia superior ao raio, num ponto {P} (Ver fig. 41). O Ponto {P} é o objecto e o Ponto {P'} será a imagem. Podemos ver então que qualquer raio que incidir sobre o espelho passando pelo ponto {P}, quando for refletido, irá passar pelo ponto {P'}. Vamos analisar o caso de um raio incidente que seja refletido no ponto {B} do espelho.

No triângulo {PCB}, o ângulo interno no vértice {C} é {180^0-\phi}. A soma dos ângulos interno deste triângulo deve ser {180^0}, então {\alpha+180^0-\phi+\theta=180^0 }, o que nos dá :

\displaystyle \alpha+\theta=\phi. \ \ \ \ \ (28)

 

De modo análogo, no triângulo {CP'B}, o ângulo interno no vértice {P'} é {180^0-\beta}. A soma dos ângulos internos deve ser {180^0}, então {\phi+180^-\beta+\theta=180^0}, o que nos dá:

\displaystyle \theta=\beta-\phi. \ \ \ \ \ (29)

 

Substituindo 29 em 28, obtemos:

\displaystyle \alpha+\beta=2.\phi. \ \ \ \ \ (30)

 

Analisando os triângulos rectângulos, temos {tg\alpha=\frac{h}{d-\delta} }, {tg\beta=\frac{h}{d'-\delta} } e {tg\phi=\frac{h}{R-\delta} }. Para ângulos {\alpha} muitos pequenos, os ângulos {\beta} e {\phi} também o serão. Nestas circunstâncias, serão válidas as aproximações {sen\alpha\approx tg\alpha \approx \alpha} e {\delta\approx 0}. O mesmo será válido para {\beta} e para {\phi}.

Logo, as relações no triângulo reduzir-se-ão para:

\displaystyle \alpha=\frac{h}{d} \ \ \ \ \ (31)

 

\displaystyle \beta=\frac{h}{d'} \ \ \ \ \ (32)

 

\displaystyle \phi=\frac{h}{R} \ \ \ \ \ (33)

 

Combinando as equações 31, 32 e 33 com a equação 30, e eliminando {h}, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{R} \ \ \ \ \ (34)

 

Como {f=R/2\Rightarrow R=2f}, então podemos escrever:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} \ \ \ \ \ (35)

 

Esta é a equação do espelho.

Nota: quando se aplica esta equação, é preciso recordar as seguintes convenções de sinais:

  • Se o objecto é real: {d > 0}.
  • Se o objecto é virtual: {d <0}.
  • Se a imagem é real: {d' > 0}.
  • Se a imagem é virtual: {d' <0}.
  • Se o espelho é côncavo: {f > 0}.
  • Se o espelho é convexo: {f <0}.

Podemos também deduzir a relação entre {R} e {f} a partir desta equação. Raios paralelos ao eixo principal são obtidos quando o objecto está no infinito, ou seja, {d=\infty} e a imagem será formada no foco, ou seja, {d'=f}. Substituindo isso na equação 35, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{\infty}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R} \Rightarrow f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (36)

 

Podemos ainda deduzir a relação entre distâncias num espelho plano. Um espelho plano pode ser entendido como um espelho esférico com raio {\infty}, logo:{ \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{\infty} \Rightarrow d=-d'}. Num espelho plano, a imagem está sempre situada no lado oposto ao objecto. Se o objecto é real, a imagem é virtual e se o objecto é virtual, então a imagem é real. A distância é igual em módulo… Mas tudo isso já foi demonstrado graficamente.

— 2.7.10. Ampliação linear do objecto —

Por definição, a ampliação linear do objecto é a razão entre o tamanho da imagem [medido transversalmente ao eixo principal) e o tamanho do objecto(também transversalmente). Se chamarmos de {h} para a altura do objecto e {h'} para a altura da imagem, então a ampliação será:

\displaystyle K=\frac{h '}{h} \ \ \ \ \ (37)

O termo ampliação poder gerar alguma confusão se associamo-lo a ideia de aumento. Em Óptica Geométrica, a ampliação refere-se apenas a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objecto, não importando se houve aumento ou diminuição. A ampliação também pode ser relacionada com outros parâmetros. Usando a congruência dos triângulos {ABV} e {A'B'V} da figura 2, temos:

\displaystyle K=-\frac{d '}{d} \ \ \ \ \ (38)

O sinal deve ser respeitado de acordo com a convenção de sinais. Se {h>0} então o objecto é directo (para cima) e se {h<0} então é invertido. o mesmo se passa com a imagem.

Nota:

  • Se {K} é positiva, a imagem {A'B'} tem o mesmo sentido que o objecto {AB}.
  • Se {K} é negativa, a imagem {A'B'} tem sentido contrário ao do objecto {AB}.
  • Se {\mid K \mid >1} a imagem é maior que o objecto.
  • Se {\mid K \mid <1} a imagem é menor que o objecto.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Equações Diferenciais Exatas e Lineares

— 2.3. Equações Diferenciais Exatas —

Definição 11. Uma expressão diferencial

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy

é uma diferencial exata em uma região do plano xy se ela corresponde á diferencial total de alguma função f(x,y).Uma equação diferencial da forma

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata

Teorema 2 Sejam M(x,y) e N(x,y) funções continuas com derivadas parciais continuas em uma região retangular R definida por { a<x<b, c<y<d. }Então, uma condição necessária e suficiente para que

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy

seja uma equação diferencial exata é

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}

— 2.3.2. Método de solução —

Dada a equação

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \ \ \ \ \ (1)

mostre primeiro que

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} \ \ \ \ \ (2)

Depois suponha que

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=M(x,y) \ \ \ \ \ (3)

dai podemos encontrar f integrando M(x,y) com relação a x, considerando y constante, escrevemos:

\displaystyle f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y) \ \ \ \ \ (4)

em que a função arbitraria g(y) é a constante de integração.Agora, derivando a equação (4) com relação a y e supondo {\partial f/\partial y=N(x,y):}

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+g\prime(y)=N(x,y). \ \ \ \ \ (5)

Assim

\displaystyle g\prime(y)=N(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx \ \ \ \ \ (6)

Finalmente podemos integrar a equação (6) com relação a y e substituir o resultado em (4).A solução para a equação é {f(x,y)=c}

Nota:Poderíamos também começar o procedimento acima com a suposição de que { \partial f/\partial y=N(x,y). }Depois, integrando N com relação a y e derivando o resultado, encontramos o análogo de (4) e (6), que seria respetivamente.

\displaystyle f(x,y)=\int N(x,y)dy+h(x) \quad h\prime(x)=M(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial x}\int N(x,y)dy

Exemplo 1.Resolva a seguinte equação

\displaystyle (6xy-2y^{2})dx+(3x^{2}-4xy)dy=0

Solução.com {M(x,y)=(6xy-2y^{2}) \quad N(x,y)=(3x^{2}-4xy)} temos

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=6x-4y=\dfrac{\partial N}{\partial x}

logo, a equação é exata e existe uma função f(x,y) tal que

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=(6xy-2y^{2})

depois de integrar em relação a x, obtemos:

\displaystyle f(x,y)=3x^{2}y-2xy^{2}+g(y)

Derivando a ultima expressão com relação a y e igualando o resultado a N(x,y), temos

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}-4xy+g\prime(y)=3x^{2}-4xy

segue-se que

{g\prime(y)=0} integrando teremos {g(y)=c}

A constante de integração não precisa ser incluída, pois a solução é { f(x,y)=c} então

\displaystyle 3x^{2}y-2xy^{2}=c

OBS:Poderíamos resolver também supondo que {\dfrac{\partial f}{\partial y}=(3x^{2}-4xy)}

— 2.3.3. Equações diferenciais exatas com fator de Integração —

Definição 12. Se existe uma função {\mu(x,y)} tal que

\displaystyle \mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0

é exata, então {\mu(x,y)} chama-se fator de integração da equação diferencial

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Quando a expressão {M(x,y)dx+N(x,y)dy=0} não é diferencial exata, isto é,

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} ,

mostra-se que há uma infinidade de funções {\mu(x,y),} tais que

\displaystyle \mu(Mdx+Ndy).

Se o fator de integração é em função de x temos:

\displaystyle \mu(x)=e^{\int P(x)} \Rightarrow P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)

Se o fator de integração é em função de y temos:

\displaystyle \mu(y)=e^{\int P(y)} \Rightarrow P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)

Exemplo 2.Encontrar o fator de integração de:

\displaystyle 3x^{2}ydx+ydy=0

Solução:Para acharmos o fator de integração temos de verificar se o fator de integração será em função de “x” ou “y”.Para isso vamos determinar primeiro as seguintes derivadas parciais:

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=3x^{2} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=0

vamos provar se {\mu(x)} é o fator de integração:

{P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)=\dfrac{3x^{2} }{y}} é uma função de x,logo a função {\mu(x)} não é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.

por isso vamos achar {\mu(y)} com:

{P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)=\dfrac{0-3x^{2}}{3x^{2}y}=-\dfrac{1}{y},} é uma função de y,então a função {\mu(y)} é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.Nesse caso, teremos:

{\mu(y)=e^{\int -\dfrac{dy}{y}}=e^{-ln y}=\dfrac{1}{y}} com {y\neq0}

multiplicando a equação diferencial com este fator teremos:

\displaystyle 3x^{2}dx+dy=0 \quad M=3x^{2} \quad N=1

logo:

\displaystyle \dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial M}{\partial y}=0

agora a equação é exata e existe uma função tal que:

{\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2} \Rightarrow f=x^{3}+g(y)} derivando em relação a y e igualando a{\frac{\partial f}{\partial y}=1}temos:

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=g\prime(y)=1 \Rightarrow g(y)=y \Rightarrow f=x^{3}+y

então:

\displaystyle x^{3}+y=c

a família de curvas da solução para alguns valores de c é:

eqdf2

Figura 1:Família de curvas da solução do Exemplo 2

— 2.4. Equações lineares —

Definição 13. Uma equação diferencial linear de 1ª ordem tem a forma:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \ \ \ \ \ (7)

se {Q(x)=0}, a equação é dita homogénea ou incompleta; enquanto,

se {Q(x)\neq0}, a equação é dita não homogénea ou completa.

Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber:

  1. Método do fator integrante
  2. Método de Lagrange

— 2.4.4. Método do Fator Integrante —

Este método consiste na transformação de uma equação linear em outra equação do tipo diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente.Dessa maneira, vamos retornar a equação original de nosso problema

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

vamos reescrever esta ultima sob a forma

\displaystyle (Py-Q)dx+dy=0

multiplicando ambos os membros por {e^{\int Pdx}} (fator integrante) obtemos a expressão:

\displaystyle e^{\int Pdx}(Py-Q)dx+e^{\int Pdx}dy=0

Identificando as funções M e N temos:

\displaystyle M=e^{\int Pdx}(Py-Q) \quad N=e^{\int Pdx}

derivando M em relação a e N com relação a x, obtemos:

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=Pe^{\int Pdx} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=Pe^{\int Pdx}

confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.

Exemplo 3.Resolve pelo método do fator integrante a seguinte equação:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x}y=x

Solução:sabemos que {P(x)=\dfrac{2}{x} \quad Q(x)=x,} então o fator integrante é

\displaystyle \mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2ln x}=x^{2}

multiplicando a equação acima pelo fator integrante obtemos:

\displaystyle x^{2}\dfrac{dy}{dx}+2xy=x^{3}

o lado esquerdo é igual a derivada do produto {x^{2}y}.Logo a equação acima é equivalente a:

\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left(x^{2}y\right) =x^{3}

Integrando-se temos:

\displaystyle x^{2}y=\dfrac{x^{4}}{4}+c

explicitando y temos que a solução geral da equação diferencial é

\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{c}{x^{2}}

podemos esboçar as soluções desta equação diferencial.Para {c=0} a solução é a parábola

\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}

para {c\neq0},temos que o domínio de y é o conjunto dos números reais tais que {x\neq0}

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}y(x)=+\infty \quad c\neq0

além disso

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=+\infty \quad se \quad c>0

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=-\infty \quad se \quad c<0

vamos analisar o crescimento e decrescimento das soluções

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{2c}{x^{3}}=0

se, e somente se {x^{4}=4c}

assim se {c>0} as soluções tem somente pontos críticos em {x=\pm\sqrt[4]{4c}} e se {c<0} elas não tem ponto critico.

eqdf1

Figura 2: Soluções da equação do Exemplo 3

— 2.4.5. Método de Lagrange —

Esse método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (7), onde { t=\phi(x)} e {z=\psi(x)} sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim {y=z.t}

Derivando em relação a x temos:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx} \ \ \ \ \ (8)

substituindo (8) em (7) vamos obter:

\displaystyle z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx}+Pzt=Q

\displaystyle z\left(\dfrac{dt}{dx}+Pt\right)+t\dfrac{dz}{dx}=Q \ \ \ \ \ (9)

Para integral a equação (9), examina-se dois casos particulares da equação (7) a saber:

  1. P=0, então {\dfrac{dy}{dx}=Q}(não homogénea) logo: {y=\int Qdx+c}
  2. Q=0, então {\dfrac{dy}{dx}+Py=0}(equação homogénea) que resulta em:

{dy+Pydx=0} que é uma equação de variáveis separáveis.

daí, {\dfrac{dy}{y}+Pdx=0} integrando essa equação resulta em

\displaystyle ln y=c-\int Pdx \Rightarrow y=e^{c-\int Pdx}=e^{c}e^{-\int Pdx}

Fazendo {k=e^{c}}, temos {y=ke^{c-\int Pdx}} que representa a solução homogénea ou incompleta.

Agora, vamos pesquisar na equação (9) valores para “t” e “z”, uma vez que {y=z.t}, teremos a solução da equação (7) que é uma equação linear completa (não homogénea).

Na equação (9) vamos impor o coeficiente de z como sendo nulo.

\displaystyle \dfrac{dt}{dx}+Pt=0

como já estudamos no caso 2 teremos:{t=ke^{-\int Pdx},}substituindo este resultado em

\displaystyle t\dfrac{dz}{dx}=Q

temos

\displaystyle ke^{-\int Pdx}\dfrac{dz}{dx}=Q \Rightarrow dz=\dfrac{1}{k}e^{\int Pdx}Qdx

integrando este ultimo resultado temos:

\displaystyle z=\dfrac{1}{k}\int e^{\int Pdx}Qdx+c

lembrando que {y=z.t} vamos obter, substituindo “t” e “z”:

\displaystyle y=ke^{-\int Pdx}\left[ \dfrac{1}{k}\int e^{\int Pdx}Qdx+c\right]

onde resulta, finalmente em:

\displaystyle y=e^{-\int Pdx}\left[\int e^{\int Pdx}Qdx+c\right] \ \ \ \ \ (10)

que é a solução geral da equação

Exemplo 4.Resolver pelo método de Lagrange a seguinte equação:

\displaystyle y\prime=2y+x

Solução:Nota-se que a equação {y\prime-2y=x} é linear, onde:

\displaystyle P(x)=-2 \quad Q(x)=x.

A equação diferencial homogénea correspondente é {y\prime-2y=0} que tem como solução: {y=ce^{2x}}

fazendo {z=c} e {t=e^{2x}} acharemos a função z dada por:

\displaystyle z=\int e^{\int Pdx}Qdx+c=\int e^{-\int 2dx}xdx+c=-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+c

como a solução da equação homogénea é {y=zt},então

\displaystyle y=\left(-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+c\right)e^{2x} \Rightarrow y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}+ce^{2x}

Entendendo melhor os espelhos esféricos. Espelhos esféricos 1.

— 2.7.7. Espelhos esféricos —

O espelho esférico é uma superfície lisa, mas de forma esférica que reflete a luz.

Os espelhos esféricos apresentam, em geral, imagens sem nitidez. Gauss observou que, se os raios incidentes obedecessem a certas condições, as imagens seriam obtidas com maior nitidez. Essas condições podem resumir-se no seguinte:

  • Os raios incidentes sobre o espelho devem ser paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal e devem ser próximos ao mesmo.
  • A abertura útil do espelho deve ser pequena ({\alpha < 10^0}).

Estudaremos apenas os espelhos esféricos de Gauss.

Imaginemos uma casca metálica cuja sua superfície é refletora, quer a interior como a exterior. Se cortarmos ao meio esta casca, obtemos duas superfícies esféricas refletoras.

Figura 34: Casca esférica reflectora. Espelho Côncavo e Convexo. [4]

Se a luz estiver a refletir numa das superfícies internas de qualquer metade da casca , dizemos que o espelho é côncavo, e se a reflexão ocorrer num superfície externa qualquer de qualquer metade da casca, dizemos que o espelho é convexo. O espelho côncavo também é chamado de espelho convergente e o espelho convexo também é chamado de espelho divergente. Isso deve-se ao modo como um conjunto de raios paralelos são refletidos neles (ver figura 36).

Os principais elementos de um espelho esférico (representados na figura 35) são:

  • A recta CV, denominada eixo principal do espelho.
  • O raio de curvatura R, do espelho (raio de curvatura da esfera que constitui o espelho).
  • O ponto V (intersecção entre o eixo principal e o espelho), denominado vértice do espelho.
  • O ponto C (centro de curvatura da esfera), denominado centro do espelho.

Figura 35: Elementos do espelho. Espelho Côncavo e Convexo. [7]

Além dos pontos apresentados, há um ponto com especial destaque no espelho. O Foco.

Quando um feixe de raios luminosos paralelos incidir sobre um espelho côncavo, incidindo paralelamente ao seu eixo principal, observaremos, traçando os raios refletidos de acordo com as leis de reflexão, que eles convergem no ponto {F'}, denominado foco imagem do espelho. Por este motivo, é costume dizer que o espelho côncavo é um espelho convergente, porque os raios paralelos ao incidirem sobre ele, convergem (encontram-se) num ponto.

Por outro lado, fazendo um feixe de raios incidir paralelamente ao eixo de um espelho convexo, observamos que eles divergem após a reflexão. Entretanto, os prolongamentos de todos os raios reflectidos passam por um mesmo ponto, {F'}, que é o foco imagem do espelho convexo. Assim, tudo se passa como se o feixe divergente fosse emitido de {F'}. O espelho convexo costuma, então, ser denominado espelho divergente.

Figura 36: Foco imagem de um espelho. [7]

De acordo com o princípio de reversibilidade dos raios luminosos, se mudarmos o sentido de propagação da luz nos dois casos anteriores, ou seja, se usarmos o ponto {F'} como fontes de luz, então os raios reflectidos sobre os espelhos côncavo e convexo são raios paralelos ao eixo principal {CV}. Assim, os focos imagens {F]} são também chamados focos objectos {F}, quer dizer que, em outras palavras, para os espelhos côncavo e convexo, os focos imagem {F'} e objecto {F} são confundidos. Por isso mesmo, os focos imagem {F'} e objecto {F} de um espelho (côncavo ou convexo) podem ser chamadas simplesmente por foco do espelho.

A distância {f}, entre o foco e o vértice, é denominada distância focal do espelho.

Figura 37: Dedução da formula de Distância Focal. [7]

Na figura 37,o raio incidente é paralelo ao eixo principal {CV} do espelho côncavo. Como {C} é o centro de curvatura e {CI} é a normal ao espelho em relação ao ponto {I}, assim, podemos traçar o raio reflectido, formando com a normal um ângulo {i'} igual ao ângulo de incidência {i}. Como sabemos, o ponto em que este raio corta o eixo {CV} é o foco do espelho, visto ser um raio que incide paralelamente ao eixo principal. Pelo teorema de rectas paralelas, o ângulo {i} deve ser igual ao ângulo {x}, e como a lei de reflexão impõe que {i=i'}, então o triângulo {CFI} da figura 37 é isóscele porque tem dois ângulos iguais. Logo, {CF = FI}. Vamos agora supor que o raio incidente {S} incidem sobre o espelho em pontos muito próximos do seu vértice. Nestas condições, podemos considerar que {FI = FV}. Então {CF = FV} e {CV=CF+FV=2FV}. Como, {CV=R} e {FV=f}, logo, temos:

\displaystyle f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (24)

 

Este resultado é válido também para um espelho convexo. Então, podemos destacar: A distância focal {f} de um espelho esférico é igual a metade do seu raio de curvatura {R}, isto é, {f =\frac{R}{2}} . Noutras palavras, o foco de um espelho esférico está situado no meio da distância entre o centro e o vértice do espelho. Os espelhos esféricos tem muitas aplicações em sistemas que requerem alteração do tamanho da imagem. Por exemplo: Espelho retrovisores dos veículos automóveis e não só, sistemas de captação de energia solar, sistemas de vigilância, etc. Uma outra aplicação muito importante dos espelhos esféricos é na construção de telescópios refletores. Ao contrário dos telescópios refractores, os refletores aplicam um espelho como elemento principal, ao invés de lente. O modelo mais comum é o popularmente conhecido “Newtoniano” que utiliza um espelho côncavo montado no fundo do tubo do telescópio. Aplica-se um outro espelho, chamado “secundário”, que direciona a luz captada pelo espelho principal para a direção da ocular. Esses modelos permitem grandes aberturas e quando bem construídos produzem excelentes imagens.

Figura 38:Telescópio reflector. [4]

— 2.7.8. Imagens produzidas pelos espelhos esféricos —

Podemos construir a imagem ou localizar com maior facilidade a sua posição nos espelhos esféricos fazendo uso de determinados raios luminosos, denominados raios auxiliares, os quais apresentamos a seguir:

  • O raio luminoso que incide no espelho côncavo paralelamente ao seu eixo principal, reflete-se passando pelo foco.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo paralelamente ao seu eixo, reflete-se de tal modo que o seu prolongamento passa pelo foco.
  • O raio luminoso que incide num espelho côncavo passando pelo seu foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • Um raio luminoso que incide num espelho convexo de tal maneira que sua direcção passe pelo foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho côncavo passando pelo seu centro de curvatura, reflete sobre si mesmo (este raio incide perpendicularmente ao espelho).
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo de tal maneira que seu prolongamento passe pelo centro de curvatura do espelho, reflete-se sobre si mesmo.
  • Um raio que incide sobre o vértice do espelho, reflete-se segundo a lei da reflexão, sendo que a normal fica sobre o eixo principal (como se o eixo principal fosse a normal).

Figura 39: Raios auxiliares. [7] Adaptado

Para encontrar a imagem que o espelho formaria de um objecto, só devemos encontrar a imagem dos vários pontos que constituem o objecto. Para encontrar cada um desses pontos imagem, devemos, com a ajuda dos raios auxiliares descritos acima traçar a dois raios que passem pelo ponto objecto e a partir dos seu raios emergentes, determinar a sua imagem. Vale recordar que, quer o objecto como a imagem podem ser virtuais ou reais.

Figura 40: Formação da imagem num espelho esférico côncavo. [7]

Para um espelho côncavo temos:

  1. Quando o objecto real {AB} está situado a uma distância {d} maior que a dupla distância focal, a sua imagem {A'B'} é real, invertida e menor que o objecto e fica situada entre o foco e o centro de curvatura do espelho.
  2. , Quando o objecto real {AB} está situado entre o foco e o centro de curvatura do espelho, a sua imagem {A'B'} é real, invertida, maior que o objecto e está situada a uma distância superior ao raio de curvatura do espelho.
  3. Quando o objecto real está situado entre o foco e o vértice do espelho, a sua imagem {A'B'} é virtual, direita e maior que o objecto.

Também podemos observar o seguinte para um espelho convexo: Quando o objecto {AB} é real e fica numa posição qualquer diante do espelho convexo, a sua imagem {A'B'} é sempre virtual, direita e menor que o objecto (ex: retrovisor de um automóvel).

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

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