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Aplicação das equações diferenciais de primeira ordem.Corpos em queda

— 3.4. Corpos em queda —

Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton.Lembre-se da física elementar que a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou continuara movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força externa.Em cada caso, isso equivale a dizer que quando a soma das forças,isto é, a força resultante, que age sobre sobre o corpo for diferente de zero, essa força resultante será proporcional a aceleração ou mais precisamente:

$\displaystyle F=\sum F_{r}=m\cdot a \ \ \ \ \ (1)$

onde ${m}$ é a massa do corpo.

Suponha agora que uma pedra seja jogada para acima do topo de um prédio, conforme a figura ${1}$ .

Figura 1:Corpos em queda

Qual é a posição ${s(t)}$ da pedra em relação ao chão no instante ${t}$ ?A aceleração da pedra é ${ \frac{d^{2}s}{dt^{2}}}$ .1Se assumirmos como positiva a direção para cima e que nenhuma outra força alem da gravidade age sobre a pedra, obteremos a segunda lei de Newton

$\displaystyle m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=-mg \quad ou \quad \frac{d^{2}s}{dt^{2}}=-g \ \ \ \ \ (2)$

Em outras palavras, a força resultante é simplesmente o peso da pedra próximo a superfície da terra,ou seja:

$\displaystyle F=F_{1}=-P \ \ \ \ \ (3)$

Lembre-se de que a magnitude do peso é ${P=m\cdot g}$ , onde ${g}$ é a aceleração de gravidade.O sinal de subtração foi usado em (2), pois o peso da pedra é uma força dirigida par baixo, oposta a direção positiva.Se a altura do prédio é ${s_{0}}$ e a velocidade inicial da pedra é ${v_{0}}$ , então ${s}$ é determinada, com base no problema de valor inicial de segunda ordem

$\displaystyle \frac{d^{2}s}{dt^{2}}=-g, \quad s(0)=s_{0}, \quad s\prime(0)=v_{0} \ \ \ \ \ (4)$

Embora não estejamos dando enfaze a resolução das equações obtidas, note que a equação ${(4)}$ pode ser resolvida integrando-se a constante ${-g}$ duas vezes em relação a t.As condições iniciais determinam duas constante de integração.Podemos obter a solução de ${(4)}$ como a fórmula

$\displaystyle s(t)=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+s_{0} \ \ \ \ \ (5)$

— 3.4.1. Corpos em queda e a resistência do ar —

Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se que os objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caiam com uma aceleração maior do que a de objetos mais leves, como uma pena.Obviamente, uma bala de canhão e uma pena , quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso não se deve ao fato de a bala de canhão ser mais pesada.A diferença das taxas é devida a resistência do ar.A força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em ${(4)}$ .Sob algumas circunstancias, um corpo em queda com massa ${m}$ , como uma pena com baixa densidade e formato irregular, encontra uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea ${v}$ .Se nessas circunstancias, tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força resultante que age sobre a massa será dada por

$\displaystyle F=F_{1}+F_{2}=mg-kv \ \ \ \ \ (6)$

onde o peso ${F_{1}=mg}$ do corpo é a força que age na direção positiva e a resistência do ar ${ F_{2}=-kv }$ é uma força chamada amortecimento viscoso que age na direção oposta ou para cima.Veja a figura ${2}$ .

Figura 2:Corpos em queda com resistência do ar

Agora, como a velocidade ${v}$ esta relacionado com a aceleração ${a}$ atraves de ${a=\frac{dv}{dt}}$ , a segunda lei de Newton torna-se

$\displaystyle F=m\cdot a =m\cdot \frac{dv}{dt} \ \ \ \ \ (7)$

substituindo a equação ${(6)}$ em ${(7)}$ obtemos a equação diferencial de primeira ordem para a velocidade ${v(t)}$ do corpo no instante ${t}$ .

$\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv \ \ \ \ \ (8)$

onde ${k}$ é uma constante de proporcionalidade positiva.

como a velocidade inicial do objeto é ${v_{0}}$ , um modelo para a velocidade do corpo que cai se expressa mediante o problema de com valor inicial:

$\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv, \quad v(0)=v_{0} \ \ \ \ \ (9)$

a equação ${(9)}$ é uma equação diferencial linear,ao resolvermos, obtemos:

$\displaystyle v(t)=\dfrac{mg}{k}+\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)e^{-kt/m} \ \ \ \ \ (10)$

considerando ${s=0 }$ quando ${t=0}$ podemos determinar a equação de movimento do objeto integrando ${v=\frac{ds}{dt}}$ em relação a ${t}$ .Assim obtemos

$\displaystyle s(t)=\int v(t)dt=\int\left[\dfrac{mg}{k}+\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)e^{-kt/m}\right]dt$

$\displaystyle s(t)=\dfrac{mg}{k}t-\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)e^{-kt/m}+c \ \ \ \ \ (11)$

fazendo ${s=0 }$ e ${t=0 }$ teremos

$\displaystyle 0=-\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)+c\Rightarrow c=\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)$

Substituindo o valor da constante ${c}$ em ${(11)}$ teremos a equação de movimento:

$\displaystyle s(t)=\dfrac{mg}{k}t+\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)(1-e^{-kt/m}) \ \ \ \ \ (12)$

Exemplo 1 Um objeto que pesa ${4}$ N cai desde uma grande altura partindo do repouso.Se o ar exerce uma resistência de ${\frac{1}{2}v}$ N, onde ${v}$ é a velocidade em m/s,figura 3.Achar a velocidade ${v(t)}$ e a distancia percorrida ${s(t)}$ no instante de tempo ${t}$ .

Solução:Consideremos a direção positiva para baixo.

Figura 3:Corpo em queda do exemplo 1

De acordo a segunda Lei de Newton temos:

$\displaystyle m\dfrac{dv}{dt}=F_{1}-F_{2}$

onde ${m=\frac{P}{g}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}, \quad F_{1}=P=4N, \quad F_{2}=\frac{1}{2}v N}$

substituindo teremos a equação diferencial

$\displaystyle \dfrac{1}{8}\dfrac{dv}{dt}=4-\dfrac{1}{2}v \Rightarrow \dfrac{dv}{dt}=32-4v$

separando as variáveis e integrando temos:

$\displaystyle \int\dfrac{dv}{8-v}=\int4dt \Rightarrow -\ln(8-v)=4t+C_{1}$

usando a condição ${v(0)=0,}$ teremos ${C_{1}=-\ln 8}$ .logo, ao substituir este valor de ${C_{1}}$ e isolando ${v}$ temos:

$\displaystyle v(t)=8(1-e^{-4t})$

Para achar ${s(t)}$ resolve-se o problema de valor inicial:

$\displaystyle v(t)=\dfrac{ds}{dt}=8(1-e^{-4t}); \quad s(0)=0$

separando as variáveis e integrando, obtemos:

$\displaystyle s(t)=8(t+\dfrac{1}{4}e^{-4t})+C_{0}$

usando a condição inicial ${s(0)=0}$ , temos ${C_{0}=-2}$ .Portanto

$\displaystyle s(t)=8(t+\dfrac{1}{4}e^{-4t})-2$

Exemplo 2 Um objeto que pesa ${30}$ N se deixa cair desde uma altura de ${40}$ m, com uma velocidade inicial de ${3m/s}$ .Suponhamos que a resistência do ar é proporcional a velocidade do corpo.Se sabe que a velocidade limite deve ser de ${40m/s}$ .Encontrar: