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Equações diferenciais de Bernoulli e Ricatti. Redução a separação de variáveis

— 2.5. Equação de Bernoulli —

Neste artigo, não estudaremos nenhum tipo particular para equação diferencial.Consideraremos duas equações clássicas que podem ser transformadas em equações já estudadas nas seções anteriores e depois vamos abordar sobre redução a separação de variáveis.

Definição 14.A equação diferencial

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} \ \ \ \ \ (11)$

em que n é um numero real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli.Para ${n=0}$ e ${n=1}$ a equação (11) é linear em y.Agora se ${y\neq0}$ ,a equação (11) pode ser escrita da seguinte maneira:

$\displaystyle y^{-n}\dfrac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \ \ \ \ \ (12)$

se fizermos ${w=y^{1-n},\quad n\neq0,\quad n\neq1,}$ então:

$\displaystyle \dfrac{dw}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$

com essa substituição, a equação (12) transforma-se na equação linear

$\displaystyle \dfrac{dw}{dx}+(1-n)P(x)w=(1-n)Q(x) \ \ \ \ \ (13)$

Resolvendo a equação (13) e depois fazendo ${y^{1-n}=w}$ , obtemos uma solução para a equação (11).

Exemplo 1.Resolva a seguinte equação

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=xy^{2}$

Solução:De acordo a equação de Bernoulli temos: ${P(x)=1/x,\quad Q(x)=x, \quad e \quad n=2}$ .logo, a mudança de variável

$\displaystyle w=y^{-1}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-y^{-2}\dfrac{dy}{dx}\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}\dfrac{dw}{dx}$

nos da o seguinte:

$\displaystyle -y^{2}\dfrac{dw}{dx}+\dfrac{1}{x}y=xy^{2}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}-\dfrac{1}{x}y^{-1}=-x$

substituindo ${w=y^{-1}}$ teremos:

$\displaystyle \dfrac{dw}{dx}-\dfrac{1}{x}w=-x$

o fator de integração para essa equação linear é:

$\displaystyle \mu(x)=e^{-\int \frac{dx}{x}}=e^{-ln x}=x^{-1}$

assim,multiplicando o fator de integração na equação linear, teremos:

$\displaystyle x^{-1}\dfrac{dw}{dx}-x^{-2}w=-1\Rightarrow \dfrac{d}{dx}(x^{-1}w)=-1$

integrando essa ultima forma, obtemos

$\displaystyle x^{-1}w=-x+c \quad ou \quad w=-x^{2}+cx$

como ${w=y^{-1}}$ , então ${y=\frac{1}{w}}$ ou

$\displaystyle y=\dfrac{1}{-x^{2}+cx}$

— 2.6. Equação de Ricatti —

Definição 15.A equação diferencial linear

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2} \ \ \ \ \ (14)$

é chamada de equação de Ricatti.Se ${y_{1}}$ é uma solução particular para (14),então as substituições

$\displaystyle y=y_{1}+u \quad e \quad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy_{1}}{dx}+\dfrac{du}{dx}$

em (14) produzem a seguinte equação diferencial para u:

$\displaystyle \dfrac{du}{dx}-(Q+2y_{1}R)u=Ru^{2} \ \ \ \ \ (15)$

como (15) é uma equação de Bernoulli com ${n=2}$ , ela pode, por sua vez, ser reduzida a equação linear

$\displaystyle \dfrac{du}{dx}+(Q+2y_{1}R)u=-R \ \ \ \ \ (16)$

através da substituição ${w=u^{-1}}$ .Depois de fazer essa substituição podemos aplicar os outros métodos estudados.

Exemplo 2.Considere a equação

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}$

Verifica-se que ${y_{1}=-e^{x}}$ é uma solução particular desta equação.Fazendo a substituição

$\displaystyle y=-e^{x}+u\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-e^{x}+\dfrac{du}{dx}$

teremos:

$\displaystyle -e^{x}+\dfrac{du}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})(-e^{x}+u)+(-e^{x}+u)^{2}$

simplificando a equação obtemos a seguinte expressão

$\displaystyle \dfrac{du}{dx}=u+u^{2}$

a equação acima é uma equação de Bernouli, então,vamos fazer a seguinte substituição:

$\displaystyle w=u^{-1}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-y^{-2}\dfrac{du}{dx}\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=-u^{2}\dfrac{dw}{dx}$

logo, teremos:

$\displaystyle -u^{2}\dfrac{dw}{dx}=u+u^{2}\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-\dfrac{1}{u}-1\Rightarrow \dfrac{dw}{dx}=-w-1$

a ultima equação é de variáveis separáveis de modo que resolvendo teremos:

$\displaystyle ln (w+1)=-x+c_{1}\Rightarrow w=e^{-x+c_{1}}-1\Rightarrow w=ce^{-x}-1$

substituindo ${w=u^{-1}}$ temos:

$\displaystyle u^{-1}=ce^{-x}-1\Rightarrow u=\dfrac{1}{ce^{-x}-1}$

substituindo ${u=y+e^{x}}$ obtemos que a solução da equação é dada por:

$\displaystyle y=\dfrac{1}{ce^{-x}-1}-e^{x}$

— 2.7. Redução a Separação De Variáveis —

Definição 16.Uma equação diferencial da forma

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=f(Ax+By+c)$

se pode sempre reduzir a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição ${u=Ax+By+c}$ , ${B\neq0}$

Exemplo 3.Resolva a seguinte equação diferencial

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=(-2x+y)^{2}-7, \quad y(0)=0$

Solução:Vamos resolve-la fazendo a substituição

$\displaystyle u=-2x+y\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=-2+\dfrac{dy}{dx}$

dessa maneira a equação diferencial se expressa da seguinte forma:

$\displaystyle \dfrac{du}{dx}+2=u^{2}-7\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=u^{2}-9$

essa ultima equação é de variáveis separáveis de modo que teremos:

$\displaystyle \dfrac{du}{(u-3)(u+3)}=dx\Rightarrow \dfrac{1}{6}\left[\dfrac{1}{u-3}-\dfrac{1}{u+3}\right]du=dx$

e depois de integrar vamos ter:

$\displaystyle \dfrac{1}{6}ln \left[\dfrac{u-3}{u+3}\right]=x+c_{1}\Rightarrow \dfrac{u-3}{u+3}=e^{6x+6c_{1}}$

substituindo ${e^{6c_{1}}}$ por c e isolando u obtemos o seguinte:

$\displaystyle u=\dfrac{3(1+ce^{6x})}{1-ce^{6x}}$

substituindo ${u=-2x+y}$ na equação acima obtemos a seguinte solução:

$\displaystyle y=2x+\dfrac{3(1+ce^{6x})}{1-ce^{6x}}$

por ultimo aplicando a condição inicial ${y(0)=0}$ a ultima equação obtém-se ${c=-1}$ de modo que a solução particular será:

$\displaystyle y=2x+\dfrac{3(1-e^{6x})}{1+e^{6x}}$

a figura abaixo mostra em azul escuro o gráfico da solução particular junto com o gráfico de outros membros da família de soluções.

eqdf3

Figura 1:Algumas soluções do Exemplo 3

Nas seções precedentes, vimos que em certas situações uma equação diferencial podia ser ser transformada, por meio de uma substituição, em uma forma em que era possível resolve-la por um método padrão.Uma equação pode parecer diferente de todas as que vimos e estudamos, mas mudando uma variável, talvez um problema aparentemente difícil possa ser facilmente resolvido.Embora não haja uma regra geral que indique qual substituição deve ser feita,uma axioma pratico é o seguinte:tente alguma coisa!Algumas vezes custa caro ser engenhoso.

Exemplo 4.Considere a equação

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x}{y-x-1}$

se olharmos bem a equação, podemos ser impelidos a tentar a substituição

$\displaystyle u=y-x\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx}-1\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+1$

substituindo na equação temos:

$\displaystyle \dfrac{du}{dx}+1=\dfrac{u}{u-1}\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{u-1}\Rightarrow (u-1)\dfrac{du}{dx}=1$

que é uma equação de variável separável cuja solução é:

$\displaystyle \dfrac{u^{2}}{2}-u=x+c$

Substituindo-se de volta ${u=y-x}$ obtemos que a solução da equação é dada implicitamente por

$\displaystyle \dfrac{(y-x)^{2}}{2}-y=c$

eqdf4

Figura 2:soluções da equação do Exemplo 4

By Maitsudá Matos in 02 Física, 04 Ensino Superior, 19 Cálculo IV on 02/10/2016.

3 comentários

Belmiro diz:

05/17/2016 às 10:36 am

Bom dia Prof. Maitsuda tenho uma pequena dúvida:
Na equaçao de Bernoulli quando fazemos W=y^1-n. O “n” deve ser o maior grau da nossa equaçao ou deverá ser o grau da variável que multiplica “Q(x)”?

Se for o grau da variável que multiplica Q(x), nos casos em que temos na equação Q(x)/y^2 por exemplo, podemos considerar “n”= -2??

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Responder
Belmiro diz:

05/17/2016 às 10:37 am

Bom dia Prof. Maitsuda tenho uma pequena dúvida:
Na equaçao de Bernoulli quando fazemos W=y^1-n. O “n” deve ser o maior grau da nossa equaçao ou deverá ser o grau da variável que multiplica “Q(x)”?

Se for o grau da variável que multiplica Q(x), nos casos em que temos na equação Q(x)/y^2 por exemplo, podemos considerar “n”= -2?

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Responder
Bruna Brasil diz:

10/23/2016 às 11:04 pm

boa tarde, na equação y’ + (1-2x)y = xe^-x. Q(x) = -x?

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