Equações Diferenciais Exatas e Lineares

— 2.3. Equações Diferenciais Exatas —

Definição 11. Uma expressão diferencial

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$

é uma diferencial exata em uma região do plano xy se ela corresponde á diferencial total de alguma função f(x,y).Uma equação diferencial da forma

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata

Teorema 2 Sejam M(x,y) e N(x,y) funções continuas com derivadas parciais continuas em uma região retangular R definida por ${ a<x<b, c<y<d. }$ Então, uma condição necessária e suficiente para que

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$

seja uma equação diferencial exata é

$\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$

— 2.3.2. Método de solução —

Dada a equação

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \ \ \ \ \ (1)$

mostre primeiro que

$\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} \ \ \ \ \ (2)$

Depois suponha que

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=M(x,y) \ \ \ \ \ (3)$

dai podemos encontrar f integrando M(x,y) com relação a x, considerando y constante, escrevemos:

$\displaystyle f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y) \ \ \ \ \ (4)$

em que a função arbitraria g(y) é a constante de integração.Agora, derivando a equação (4) com relação a y e supondo ${\partial f/\partial y=N(x,y):}$

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+g\prime(y)=N(x,y). \ \ \ \ \ (5)$

Assim

$\displaystyle g\prime(y)=N(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx \ \ \ \ \ (6)$

Finalmente podemos integrar a equação (6) com relação a y e substituir o resultado em (4).A solução para a equação é ${f(x,y)=c}$

Nota:Poderíamos também começar o procedimento acima com a suposição de que ${ \partial f/\partial y=N(x,y). }$ Depois, integrando N com relação a y e derivando o resultado, encontramos o análogo de (4) e (6), que seria respetivamente.

$\displaystyle f(x,y)=\int N(x,y)dy+h(x) \quad h\prime(x)=M(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial x}\int N(x,y)dy$

Exemplo 1.Resolva a seguinte equação

$\displaystyle (6xy-2y^{2})dx+(3x^{2}-4xy)dy=0$

Solução.com ${M(x,y)=(6xy-2y^{2}) \quad N(x,y)=(3x^{2}-4xy)}$ temos

$\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=6x-4y=\dfrac{\partial N}{\partial x}$

logo, a equação é exata e existe uma função f(x,y) tal que

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=(6xy-2y^{2})$

depois de integrar em relação a x, obtemos:

$\displaystyle f(x,y)=3x^{2}y-2xy^{2}+g(y)$

Derivando a ultima expressão com relação a y e igualando o resultado a N(x,y), temos

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}-4xy+g\prime(y)=3x^{2}-4xy$

segue-se que

${g\prime(y)=0}$ integrando teremos ${g(y)=c}$

A constante de integração não precisa ser incluída, pois a solução é ${ f(x,y)=c}$ então

$\displaystyle 3x^{2}y-2xy^{2}=c$

OBS:Poderíamos resolver também supondo que ${\dfrac{\partial f}{\partial y}=(3x^{2}-4xy)}$

— 2.3.3. Equações diferenciais exatas com fator de Integração —

Definição 12. Se existe uma função ${\mu(x,y)}$ tal que

$\displaystyle \mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0$

é exata, então ${\mu(x,y)}$ chama-se fator de integração da equação diferencial

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

Quando a expressão ${M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$ não é diferencial exata, isto é,

$\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} ,$

mostra-se que há uma infinidade de funções ${\mu(x,y),}$ tais que

$\displaystyle \mu(Mdx+Ndy).$

Se o fator de integração é em função de x temos:

$\displaystyle \mu(x)=e^{\int P(x)} \Rightarrow P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)$

Se o fator de integração é em função de y temos:

$\displaystyle \mu(y)=e^{\int P(y)} \Rightarrow P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)$

Exemplo 2.Encontrar o fator de integração de:

$\displaystyle 3x^{2}ydx+ydy=0$

Solução:Para acharmos o fator de integração temos de verificar se o fator de integração será em função de “x” ou “y”.Para isso vamos determinar primeiro as seguintes derivadas parciais:

$\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=3x^{2} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=0$

vamos provar se ${\mu(x)}$ é o fator de integração:

${P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)=\dfrac{3x^{2} }{y}}$ é uma função de x,logo a função ${\mu(x)}$ não é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.

por isso vamos achar ${\mu(y)}$ com:

${P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)=\dfrac{0-3x^{2}}{3x^{2}y}=-\dfrac{1}{y},}$ é uma função de y,então a função ${\mu(y)}$ é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.Nesse caso, teremos:

${\mu(y)=e^{\int -\dfrac{dy}{y}}=e^{-ln y}=\dfrac{1}{y}}$ com ${y\neq0}$

multiplicando a equação diferencial com este fator teremos:

$\displaystyle 3x^{2}dx+dy=0 \quad M=3x^{2} \quad N=1$

logo:

$\displaystyle \dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial M}{\partial y}=0$

agora a equação é exata e existe uma função tal que:

${\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2} \Rightarrow f=x^{3}+g(y)}$ derivando em relação a y e igualando a ${\frac{\partial f}{\partial y}=1}$ temos:

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=g\prime(y)=1 \Rightarrow g(y)=y \Rightarrow f=x^{3}+y$

então:

$\displaystyle x^{3}+y=c$

a família de curvas da solução para alguns valores de c é:

eqdf2

Figura 1:Família de curvas da solução do Exemplo 2

— 2.4. Equações lineares —

Definição 13. Uma equação diferencial linear de 1ª ordem tem a forma:

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \ \ \ \ \ (7)$

se ${Q(x)=0}$ , a equação é dita homogénea ou incompleta; enquanto,

se ${Q(x)\neq0}$ , a equação é dita não homogénea ou completa.

Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber:

Método do fator integrante
Método de Lagrange

— 2.4.4. Método do Fator Integrante —

Este método consiste na transformação de uma equação linear em outra equação do tipo diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente.Dessa maneira, vamos retornar a equação original de nosso problema

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

vamos reescrever esta ultima sob a forma

$\displaystyle (Py-Q)dx+dy=0$

multiplicando ambos os membros por ${e^{\int Pdx}}$ (fator integrante) obtemos a expressão:

$\displaystyle e^{\int Pdx}(Py-Q)dx+e^{\int Pdx}dy=0$

Identificando as funções M e N temos:

$\displaystyle M=e^{\int Pdx}(Py-Q) \quad N=e^{\int Pdx}$

derivando M em relação a e N com relação a x, obtemos:

$\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=Pe^{\int Pdx} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=Pe^{\int Pdx}$

confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.

Exemplo 3.Resolve pelo método do fator integrante a seguinte equação:

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x}y=x$

Solução:sabemos que ${P(x)=\dfrac{2}{x} \quad Q(x)=x,}$ então o fator integrante é

$\displaystyle \mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2ln x}=x^{2}$

multiplicando a equação acima pelo fator integrante obtemos:

$\displaystyle x^{2}\dfrac{dy}{dx}+2xy=x^{3}$

o lado esquerdo é igual a derivada do produto ${x^{2}y}$ .Logo a equação acima é equivalente a:

$\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left(x^{2}y\right) =x^{3}$

Integrando-se temos:

$\displaystyle x^{2}y=\dfrac{x^{4}}{4}+c$

explicitando y temos que a solução geral da equação diferencial é

$\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{c}{x^{2}}$

podemos esboçar as soluções desta equação diferencial.Para ${c=0}$ a solução é a parábola

$\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}$

para ${c\neq0}$ ,temos que o domínio de y é o conjunto dos números reais tais que ${x\neq0}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}y(x)=+\infty \quad c\neq0$

além disso

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=+\infty \quad se \quad c>0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=-\infty \quad se \quad c<0$

vamos analisar o crescimento e decrescimento das soluções

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{2c}{x^{3}}=0$

se, e somente se ${x^{4}=4c}$

assim se ${c>0}$ as soluções tem somente pontos críticos em ${x=\pm\sqrt[4]{4c}}$ e se ${c<0}$ elas não tem ponto critico.

eqdf1

Figura 2: Soluções da equação do Exemplo 3

— 2.4.5. Método de Lagrange —

Esse método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (7), onde ${ t=\phi(x)}$ e ${z=\psi(x)}$ sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim ${y=z.t}$

Derivando em relação a x temos:

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx} \ \ \ \ \ (8)$

substituindo (8) em (7) vamos obter:

$\displaystyle z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx}+Pzt=Q$

$\displaystyle z\left(\dfrac{dt}{dx}+Pt\right)+t\dfrac{dz}{dx}=Q \ \ \ \ \ (9)$

Para integral a equação (9), examina-se dois casos particulares da equação (7) a saber:

P=0, então ${\dfrac{dy}{dx}=Q}$ (não homogénea) logo: ${y=\int Qdx+c}$
Q=0, então ${\dfrac{dy}{dx}+Py=0}$ (equação homogénea) que resulta em:

${dy+Pydx=0}$ que é uma equação de variáveis separáveis.

daí, ${\dfrac{dy}{y}+Pdx=0}$ integrando essa equação resulta em

$\displaystyle ln y=c-\int Pdx \Rightarrow y=e^{c-\int Pdx}=e^{c}e^{-\int Pdx}$

Fazendo ${k=e^{c}}$ , temos ${y=ke^{c-\int Pdx}}$ que representa a solução homogénea ou incompleta.

Agora, vamos pesquisar na equação (9) valores para “t” e “z”, uma vez que ${y=z.t}$ , teremos a solução da equação (7) que é uma equação linear completa (não homogénea).

Na equação (9) vamos impor o coeficiente de z como sendo nulo.

$\displaystyle \dfrac{dt}{dx}+Pt=0$