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Introdução aos Tópicos de Física Moderna

Há alguns anos atrás tive que ensinar a disciplina de Tópicos de Física Moderna a um grupo de alunos com um conjunto de conhecimentos em Física e Matemática muito variado. Dessa forma leccionar a disciplina como ela é normalmente leccionada seria algo extremamente improdutivo.

Fortemente inspirado pelo livro A Evolução da Física que torna o conceito de campo em algo crucial à exposição e desenvolvimento do tema decidi então fazer um curso de Tópicos de Física Moderna que pudesse ser simples o suficiente de modo até que os alunos menos preparados pudessem tirar algo do curso sem descurar o ensino dos conceitos fundamentais da Física Moderna.

Neste sentido decidi disponibilizar os apontamentos que escrevi na altura para que possam estar disponíveis a um número maior de pessoas.

Para fazer download do ficheiro clique em Fisica Moderna.

Um mês de actividade

Ontem o nosso blog fez um mês de actividade.

Durante este mês de actividade publicámos 41 artigos o que resultou em 1.777 visitas vindas de pelo menos 24 países. Até à data a maior parte das visitas vieram maioritariamente de Portugal (40%), Angola (32%) e Brasil (12%).

Para o futuro pretendemos escrever mais artigos em áreas académicas mais diversificadas de maneira a podermos ser útil a um número maior de pessoas.

Para continuarem a apoiar o nosso projecto continuem a visitar e divulgar o nosso blog e a nossa página de facebook entre os vossos contactos.

Hidrostática

— 2. Hidrostática —

A Hidrostática, como já foi citado anteriormente, trata de estudar os fluidos em equilíbrio. Vamos caracterizar, agora, algumas das propriedades dos fluidos em equilíbrio, dando ênfase especial aos líquidos.

— 2.1. Propriedades gerais dos líquidos —

  • A superfície livre de um líquido em equilíbrio é plana e horizontal. 
  • A força exercida por um líquido sobre uma superfície qualquer é sempre perpendicular (normal) a essa superfície. Isto pode ser constatado quando furamos um vaso que contém líquidos e observamos que este se projeta (derrama, escoa) perpendicularmente à parede do vaso.
  • Líquidos de diferentes densidades, quando em equilíbrio, apresentam uma superfície de separação plana e horizontal.
  • Nos líquidos, em particular e num fluido, em geral, a pressão aumenta a medida que aumenta a profundidade (distância medida desde a superfície livre). Esta propriedade será estudada com mais detalhes mais adiante.

Figura 8 (a): Superfície livre de um líquido. [2]

Figura 8 (b): Superfície de Separação entre dois líquidos de densidade diferente. [2]

— 2.2. Fluidos estáticos —

As regras principais que regem o comportamento de um fluido estático derivam das leis do equilíbrio mecânico, estudadas na estática. São estas:

  • Nos fluidos estáticos não pode agir nenhuma força de cisalhamento.
  • Qualquer força entre o fluido e a fronteira deve ser normal (perpendicular) em relação à fronteira.

— 2.3. Variação da Pressão num Fluido Estático —

A experiência prática já mostra que, a medida que descemos mais quando efectuamos um mergulho na água, a pressão que a água exerce sobre o nosso corpo aumenta. Num fluido estático, a pressão em qualquer ponto está relacionada directamente com a profundidade deste ponto e com a densidade deste fluido. Se pensarmos que a pressão é a força por unidade de área, então, veremos que a medida que a profundidade aumenta, aumenta também a quantidade de fluido por cima de um dado ponto.

Suponhamos que temos um fluido num tanque. Imaginemos dois pontos de diferentes profundidades 1 e 2.

Figura 9: Pressão no interior de um fluido.  [6]

A pressão entre nos pontos 1 e 2 serão diferentes devido a ao peso da camada de fluido que existe acima do ponto 2. O seu valor é determinado pelo princípio de Stevin: “A variação da pressão entre dois pontos quaisquer de um fluido incompressível é igual ao produto de sua massa específica pela diferença de nível entre os dois pontos e pela aceleração da gravidade “.

\displaystyle \Delta p= p_2 - p_1 = \rho . g . h \ \ \ \ \ (11)

Neste caso, podemos dizer que a pressão num interior de recipiente aberto, contendo um fluido será:

\displaystyle p= p_{ext} + \rho . g . h \ \ \ \ \ (12)

Onde {h} representa a profundidade e {p} é a pressão absoluta.

A pressão atmosférica é a pressão normal do ar atmosférico ao nível do mar. Essa pressão é devido ao efeito da massa de ar por cima de nós, dentre outros factores. Torricelli, através de seus experimentos conseguiu determinar o seu valor:

{p_a = 1 atm = 760 mmHg = 1,01 \times 10^5 Pa}

 

Algumas observações importantes:

  • O Teorema de Stevin só se aplica a fluidos em repouso.
  • {\Delta h} é a diferença de cotas e não a distância entre os dois pontos considerados.
  • Todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão.
  • A pressão num ponto qualquer não depende da área, ou seja, do formato do recipiente.

— 2.4. Princípio de Pascal. Prensas hidráulicas —

O princípio de Pascal pode ser enunciado da seguinte maneira: “Um acréscimo de pressão, num ponto qualquer de um líquido em equilíbrio, transmite- se integralmente a todos os pontos do líquido”.

Isto significa que, quando aumentamos de uma quantidade P a pressão exercida na superfície livre de um líquido em equilíbrio, todos os pontos do líquido sofrerão o mesmo acréscimo de pressão P. Uma aplicação prática do princípio de Pascal é a da prensa hidráulica, ilustrada na figura abaixo. [2]

A força {F_1} exercida no êmbolo de área {A_1} provoca um acréscimo de pressão no líquido: {p = F / A = F_1 / A_1}. Pelo princípio de Pascal, este acréscimo de pressão transmite-se pelo líquido, atingindo, neste caso, o êmbolo de área {A_2}. Se a área aumentou, a força {F_2} exercida sobre o êmbolo também crescerá a fim de manter constante a pressão. Este é o princípio de funcionamento da prensa hidráulica.

Figura 10: Prensa hidráulica. Princípio de Pascal. [2]

— 2.5. Princípio de Arquimedes. Empuxo —

Você já deve ter observado que os corpos, quando imersos em água, perdem, aparentemente, um pouco de seu peso, ou seja, é mais fácil levantar um corpo dentro da água do que fora dela. Podemos presumir, portanto, que a água exerce uma força sobre o corpo, de modo a reduzir o peso aparentes. Esta força exercida pelo fluido sobre o corpo é chamada de empuxo.

Arquimedes enunciou então, o seguinte princípio: “Todo corpo imerso em um fluido, está sujeito à ação de uma força vertical de baixo para cima (empuxo), cujo módulo é igual ao peso da quantidade de fluido deslocada”.

O valor da força de empuxo é:

\displaystyle F_E = \rho .g . V_{imersa} \ \ \ \ \ (13)

Figura 11: Princípio de Arquimedes. [2]

Portanto, quando um corpo está imerso é um fluido, ele sofrerá acção desta força denominada Empuxo. Dependendo do valor desta força, o corpo poderá: afundar (quando {P > F_E }), permanecer imponderável (quando {P = F_E}) ou flutuar sobre o fluído (quando {P < F_E}, o que vai fazer o fluido subir até que se cumpra a condição {P = F_E}).

Podemos dizer então que o peso aparente de um corpo imerso em um líquido é

\displaystyle P_{aparente} = P_{Ar} - F_E = m_{corpo}.g - \rho_{liq} .g . V_{imersa} \ \ \ \ \ (14)

 

(mais…)

Introdução à Mecânica dos Fluidos

 

— 1. Introdução —

A Mecânica dos Fluídos é uma parte da Física que, por vezes aparece como uma ciência autónoma, mas por vezes é ligada à Mecânica ou mesmo à Termodinâmica. O seu objecto de estudo são os fluidos (que podem ser líquidos ou gases) e suas interacções, e é a base fundamental da Hidráulica. O movimento dos fluidos pode ser estudado de forma semelhante ao movimento de corpos sólidos, usando-se as leis fundamentais da física juntamente com as propriedades físicas dos fluidos.

A mecânica dos fluidos também encontra muita aplicação em diversas áreas da engenharia, sendo uma ferramenta muito útil para qualquer engenheiro, químico ou físico. Os seus conhecimentos são também muito úteis para a biologia e medicina, propriamente no estudo do movimento dos fluidos no nosso corpo ou em qualquer ser vivo. A hidráulica encontra aplicações em diversas área, sendo aplicada profundamente na aeronáutica, na náutica, na indústria petrolífera, no estudo do meio ambiente, etc. Alguns dados históricos da mecânica dos fluidos podem ser vistos na figura 1.

Figura 1: historia da mecânica dos fluidos.[1]

 

Para [1],  algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia são:

  • Redes de distribuição de fluidos – água, combustíveis (gás natural, gases de petróleo liquefeito, petróleo), de vapor de água (em fábricas); Ventilação em edifícios urbanos e industriais, túneis e outras infra-estruturas;
  • Máquinas de conversão de energia (turbinas hidráulicas, turbinas eólicas, turbinas a vapor e gás, compressores, ventiladores e bombas hidráulicas);
  • Transferência de calor e massa em equipamentos térmicos (caldeiras, trocadores de calor, fornalhas, queimadores, motores de combustão interna);
  • Transporte de veículos (resistência ao avanço, sustentação de aeronaves, propulsão de aeronaves e de navios, segurança aerodinâmica e conforto – controle de ruído e circulação de ar no interior de veículos);
  • Vibrações e esforços de origem aerodinâmica em estruturas; (edifícios, chaminés, estádios, aeroportos).
  • Estudos de qualidade de água e de qualidade de ar (poluição atmosférica).

As leis básicas que governam os problemas de Mecânica dos Fluidos são:

  • Lei de conservação da massa.
  • A segunda lei de Newton.
  • O princípio do momento da quantidade de movimento.
  • A primeira lei da termodinâmica.
  • A segunda lei da termodinâmica .

A Mecânica é a parte da Física que trata das leis do movimento e do equilíbrio. Está subdividida em diversas partes: Cinemática, Estática, Dinâmica, Energia e interacções, Mecânica dos fluidos, etc. A Estática trata das relações das forças que produzem equilíbrio entre corpos materiais. A Dinâmica é parte da Mecânica que trata do movimento dos corpos sob a influência de forças. A Mecânica dos Fluidos trata das leis de forças e movimentos de fluidos, isto é, líquidos e gases. A mecânica dos fluidos, por sua vez, está dividida em:

  • A Estática dos Fluidos ou Hidrostática estuda as condições de equilíbrio dos líquidos sob a ação de forças exteriores, principalmente da gravidade. Fundamenta-se na segunda lei de Newton para corpos sem aceleração.
  • A dinâmica dos fluidos ou Hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento e se fundamenta principalmente na segunda lei de Newton para corpos com aceleração.

Para entendermos melhor a mecânica do fluido, vamos começar por entender o seu objecto de estudo.

— 1.1. Fluído —

De certeza que todos nós já vimos, mexemos e usamos um fluído. No nosso corpo temos muitos fluídos. Então, o que é um fluido?

Definição 1 Fluído é uma substância que não resiste a tensão de cisalhamento.

Fluidos é o nome que se dá a categoria de substâncias tais como os líquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os sólidos plásticos. A sua principal característica está relacionada a propriedade de não resistir a deformação e apresentam a capacidade de fluir, ou seja, possuem a habilidade de tomar a forma de seus recipientes.

Segundo [3], podemos ainda definir um fluido da seguinte forma:

Definição 2 Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de cisalhamento, não importando quão pequena possa ser esta “tensão”.

Parece que a definição é muito complexa, mas não. A chave está em percebermos o que uma tensão de cisalhamento.

Uma força de cisalhamento é a componente tangencial da força que age sobre a superfície. Quando dividida pela área da superfície, dá origem à tensão média de cisalhamento. Pode-se dizer assim que a tensão de cisalhamento em um ponto é o valor limite da razão entre a força de cisalhamento e a área, quando esta tende a um ponto. [3]

\displaystyle \tau=\frac{F_{tang}}{A} \ \ \ \ \ (1)

Onde: {\tau} é a tensão de cisalhamento, {F_{tang}} é o módulo da força tangencia e {A} é o valor da área.

Isto significa que num fluido, a mínima força aplicada tangecialmente a uma superfície é capaz de movimentar este fluido, desde que não haja forças que se oponha a este movimento. Esta característica dá ao fluido a capacidade de fluir, por acção de qualquer força. Esta propriedade é proveniente da sua incapacidade de suportar uma tensão de cisalhamento em equilíbrio estático.

Se o fluido permanece estático não existirão forças de cisalhamento atuando. Todas as forças devem ser perpendiculares ao plano que atuam.[1]

Figura 2: Força de cisalhamento.[2]

Figura 3: Estados de agregação básicos e suas características.[2]

Para entendermos a diferença entre sólidos e fluidos, vejamos a figura 4.

Figura 4: Força de cisalhamento num fluido em forma de paralelepípedo. [1]

Quando aplicamos uma força tangencial, como a força {F} da figura 4, à um sólido, três coisas podem acontecer: ou todas as partes do sólido movimenta com mesma velocidade, ou o sólido se mantém em repouso, devido ao atrito, ou o sólido parte-se e uma parte movimenta-se e outra não. Quando a mesma força actua sobre um fluido, o angulo de deformação {\phi} aumenta, e as diversas camadas do fluido se movimenta com velocidades diferentes conforme indicado na figura, e o fluido escoa.

Os fluidos são formados por moléculas em constante movimento e com ocorrência de colisões entre elas. Na teoria cinética dos gases e na Mecânica Estatística realiza-se a análise dos fluidos considerando a acção de cada molécula ou grupos de moléculas. Nas aplicações de engenharia se estudam as manifestações médias mensuráveis de um conjunto de moléculas. Desta forma, consideram-se os fluidos como sendo formados por pequenas partículas, cada uma contendo muitas moléculas. Trata-se o fluido como um meio contínuo composto de partículas fluidas que interagem entre si e com o meio.

Na Mecânica dos Fluidos estuda-se o movimento das partículas de fluido e não o movimento das moléculas do fluido.

Neste sentido, os parâmetros usados para descrever um sólido já são, em alguns casos, inconvenientes para aplicar a fluidos. Parâmetros como massa, força, etc, têm de ser descritos de outra forma. Isso deve-se ao facto de o fluido poder mudar a forma de organização das moléculas ao longo do tempo, bem como por haver um contínuo movimento das suas moléculas. Analisando o movimento de um mesmo fluido, um certo volume do fluido pode ter diferentes massas, dependendo de outros parâmetros do mesmo. Acontece algo parecido ao aplicarmos uma força.

— 1.1.1. Massa Específica ou Densidade —

A massa especifica de um fluido qualquer é a razão entre a massa contida num volume infinitesimal deste fluido pelo valor deste volume infinitesimal, ou seja:

\displaystyle \rho=\frac{dm}{dV} \qquad [\rho]=kg/m^3 \ \ \ \ \ (2)

Se considerarmos que a massa específica de um fluido é igual em todos os pontos, então poderemos escrever:

\displaystyle \rho=\frac{m}{V} \qquad [\rho]=kg/m^3 \ \ \ \ \ (3)

Onde: {m} é a massa da amostra e {V} é o seu volume. A densidade relativa de uma substância é a razão entre a densidade desta substância e a densidade da água:

\displaystyle {\rho}_r = \frac{{\rho}_{subst}}{\rho_{Agua}} \ \ \ \ \ (4)

Nota: { \rho_r } é adimensional.

Massa específica de algumas substâncias:

  • Água: {1000 kg / m^3 = 1 g / cm^3}
  • Mercúrio: {13600 kg/ m^3 = 13,6 g/ cm^3}
  • Ar: {1,2 kg /m^3 = 0,0012 g/ cm^3}

Vale recordar que a massa especifica (densidade) dos sólidos e dos líquidos sofre pequenas variações com a temperatura. Já a massa específica dos gases sofre maior variação com a temperatura devido à dilatação térmica que é maior nos gases do que nos líquidos (em geral).

— 1.1.2. Pressão —

Quando aplicamos uma força perpendicularmente a uma superfície, esta força é distribuída em toda a área da superfície em questão. A força por unidade de área é definida como pressão. Por definição a pressão {p} é:

\displaystyle p=\frac{dF}{dA} \ \ \ \ \ (5)

ou

\displaystyle p=\frac{\Delta F}{\Delta A} \ \ \ \ \ (6)

Se a força for constante e distribuída uniformemente em toda a superfície, e aplicada em uma superfície plana de área {A}, então poderemos dizer que:

\displaystyle p = \frac{F}{A} \qquad [p]=N/m^2=Pa (Pascal) \ \ \ \ \ (7)

As observações experimentais permitiram ver que a pressão exercida por um sistema sobre o outro é sempre a mesma, independentemente da direcção em que esta é medida, o que levou-nos a concluir que a pressão é uma grandeza escalar. O seu efeito é independente da direcção e do sentido em que a força é aplicada. Por exemplo: uma força de {10N} aplicada perpendicularmente a superfície de um êmbolo vertical transmite a este fluido a mesma pressão que uma força de {10N} aplicada perpendicularmente por um êmbolo horizontal ou oblíquo. Quando aplicamos uma força obliquamente, esta força terá duas componentes: a componente tangencial, que origina a tensão de cisalhamento e a força normal que origina a pressão.

Figura 5: Força aplicada obliquamente.[2]

 

Portanto, a pressão será criada pela componente normal ({F_X})da força aplicada. A unidade SI é também conhecida pelo nome PASCAL, abreviando-se {Pa}.

{1 N/m^2 = 1 Pa}

Outras unidades utilizadas:

  • Libras força por polegada quadrada {Lbf/pol^2}
  • Atmosfera técnica métrica {atm}
  • Milímetros de mercúrio { mmHg}

As unidades {atm} e o {mmHg} surgiram das experiências realizadas por TORRICELLI (físico italiano), para medir a pressão atmosférica.[2]

{ 1 atm = 760 mmHg = 1,01 \times 10^5 Pa}

{ 1 bar = 10^5 Pa}

{ 1 torr = 1 mmHg}

 

O valor da pressão de um fluído, principalmente nos gases, pode ser influenciado pela temperatura, mas estes casos serão analisados com mais profundidade em termodinâmica.

— 1.1.3. Viscosidade —

É óbvio que {1dm^3} ({1 litro}) de ferro pesa mais que {1 litro} de água.

Agora pensemos: Entre a água e o óleo, qual é mais a mais densa (mais pesado em iguais circunstâncias de volume)? Reformulando. Tens um litro de água e um litro de óleo. Qual pesa mais?

Esta pergunta parece simples, mas a sua resposta vai contrariar a ideia de muitos. É óbvio que um litro de água pesa mais, por ser mais densa. Lembra-te que ao colocares a água e o óleo num recipiente, a água fica por baixo e o óleo por cima. O parâmetro que origina o engano de pensar que o óleo é mais denso que a água é a viscosidade. O óleo é mais “Viscoso”, ou se quisermos, pegajoso do que a água, mas a água é mais densa do que o óleo. A Viscosidade é a propriedade de um fluido, devido à coesão e interação entre moléculas, que oferece resistência para deformação de cisalhamento. Fluidos diferentes deformam com valores diferentes para uma mesma tensão de cisalhamento. Fluidos com uma alta viscosidade, deformam mais lentamente que fluidos com uma viscosidade baixa.

Se imaginarmos o escoamento do fluido como um conjunto de camadas horizontais de fluido que deslizam uma sobre a outra, então a viscosidade vai representar o atrito entre estas camadas.[1]

A viscosidade dinâmica, {\eta} , é definida como a força de cisalhamento, por unidade de área, (ou tensão de cisalhamento {\tau} ), requerido para arrastar uma camada de fluido com velocidade unitária para outra camada afastada a uma distância unitária.

\displaystyle \eta=\frac{\tau}{\frac{du}{dy}} \qquad [Pa.s] \ \ \ \ \ (8)

A Viscosidade cinemática, {\nu} , é definida como a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.

\displaystyle \nu=\frac{\eta}{\rho} \qquad [m^2/s] \ \ \ \ \ (9)

As moléculas de líquidos e gases são mantidas na sua posição unidas por uma coesão molecular. Nos líquidos, as moléculas estão muito próximas e as forças moleculares são grandes afetando diretamente a resistência ao escoamento. Nos gases as moléculas estão muito mais espaçadas e estas forças moleculares são desprezíveis. Neste caso a resistência ao movimento deve-se a trocas de quantidade de movimento entre camadas adjacentes de fluido.

Viscosidade nos gases – Quando as camadas adjacentes movem-se existe uma troca contínua de moléculas. As moléculas de uma camada mais lenta movem-se para camadas mais rápidas causando um arrasto. Desta forma quando as moléculas movem-se exercem uma força que aceleram as partículas arrastadas. Se a temperatura de um gás aumenta, a sua atividade molecular aumenta e também sua quantidade de movimento. Isto provoca um aumento da troca entre camadas de fluidos. Desta forma aumenta a sua viscosidade dinâmica. [1]

A viscosidade também muda com a pressão – mas sob condições normais esta mudança é desprezível nos gases.

Viscosidade nos Líquidos – O espaçamento entre moléculas de líquido é pequeno (comparadas com gases) e as forças coesivas entre moléculas é grande. Esta coesão joga um importante papel na viscosidade de líquidos já que existe uma troca molecular entre camadas adjacentes de fluido no escoamento. Se aumentamos a temperatura de um líquido reduzimos as forças coesivas e aumentamos o intercâmbio molecular. Reduzindo as forças coesivas reduzimos a resistência ao movimento. A viscosidade dinâmica é um indicativo desta resistência, verificando-se uma redução da viscosidade dinâmica ({\eta}) com o aumento da temperatura.

Figura 6: Variação da Viscosidade com a temperatura(neste gráfico, { \mu} representa a viscosidade dinámica).[1]

— 1.1.4. Diferenças entre Líquidos e Gases —

Apesar dos líquidos e gases serem classificados como fluidos, há algumas diferenças entre eles que podemos destacar.

Uma primeira diferença é que os gases, por serem expansíveis, ocupam o volume total dentro de um recipiente, qualquer que seja sua capacidade(volume), já quando colocamos um certo volume de líquido num vaso de maior capacidade, ele ocupará somente uma parte do vaso, igual ao seu próprio volume. O gás não tem volume próprio, mas o líquido tem. Como consequência, podemos encerrar, num mesmo recipiente de 1 litro preenchido com um gás ,uma quantidade muito maior de gás do que a quantidade que ele já tinha. Nos líquidos isso não ocorre.

Uma diferença muito importante entre líquido e gás é a imiscibilidade. Os líquidos, como já vimos, nem sempre são miscíveis entre si, como no caso do óleo e da água, visto anteriormente. Os gases, ao contrário, sempre se misturam homogeneamente entre si. Um exemplo típico é o ar atmosférico, constituído de nitrogénio, oxigénio e outros gases em menor proporção.[2]

Há ainda muitas outras diferenças entre fluido líquido e fluido gasoso, que vamos percebendo a medida que estudamos a Mecânica dos Fluidos.

 

— 1.2. Tipos de Fluidos —

Até mesmo fluidos que são aceites como tais podem ter grandes diferenças de comportamento quando submetidos a tensões de cisalhamento. Fluidos que obedecem a Lei de Newton, onde o valor de { \eta } é constante são conhecidos como fluidos newtonianos. Se { \eta} é constante a tensão é linearmente dependente do gradiente de velocidade. Isto é verdadeiro para a maioria dos fluidos. Os fluidos em que o valor de {\eta} não é constante são conhecidos como fluidos não-newtonianos. Há várias categorias destes, sendo apresentados brevemente abaixo. Essas categorias são baseadas nas relações entre a tensão e o gradiente de velocidade (variação da tensão de cisalhamento) no fluido. Tais relações podem ser vistas no gráfico abaixo para várias categorias de fluidos.

Figura 7:Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação.[1]

Cada uma das linhas pode ser representada pela equação:

\displaystyle \tau = A + B . (\frac{du}{dy})^n \ \ \ \ \ (10)

onde A e B e n são constantes. Para fluidos newtonianos {A = 0, B =\eta} e {n = 1.}

Como fluidos não-newtonianos independentes do tempo temos os seguintes:

  • Plásticos: A tensão aplicada deve atingir certo valor mínimo antes de iniciar o escoamento. Um exemplo típico é a pasta de dentes que não flui para o exterior até apertar o tubo e superar certo esforço (nestes fluidos {n=1}, {A,B\neq 0}).
  • Plástico tipo Bingham: Tal como o plástico (n=1) deve atingir a tensão um valor mínimo. Como exemplo: chocolate, mostarda, ketchup, maionese, tintas, asfalto, sedimentos de águas residuais.
  • Pseudoplásticos: Não é necessária uma tensão mínima para se dar o escoamento. A viscosidade diminui com o aumento da taxa de tensão. Exemplos: plasma sanguíneo, polietileno fundido, soluções polímeras e polpa de papel em água. {(n < 1)}. São também conhecidos como não dilatantes.
  • Fluidos Dilatantes; A viscosidade aumenta com a taxa de deformação {(n >1)} . No gráfico a tensão de corte se encontra por baixo da tensão de corte dos fluidos newtonianos. Inicia com uma inclinação baixa o que indica baixa viscosidade aparente. Por exemplo, temos suspensões de amido e de areia.
  • Fluidos Tixotrópicos: Existem também fluidos não-newtonianos dependentes do tempo, os quais são complicados de analisar e denominados fluidos tixotrópicos, nestes o gradiente de velocidade varia com o tempo. Exemplo: a tinta de impressão, o nylon, a massa de farinha e várias soluções de polímeros.

Também em Mecânica dos Fluidos lidamos com o caso de fluidos que não são reais, conhecidos como fluidos ideais. Um fluido ideal é aquele que não tem nenhuma viscosidade. Trata-se de um conceito útil nas soluções teóricas para as posteriores soluções reais. No gráfico dado na figura 7, a curva sobre o eixo dos x representaria aos fluidos ideais, isso é com viscosidade nula {(\eta=0)}. No caso de um sólido real seria representando na figura sofrendo uma mínima deformação, e dentro do limite de proporcionalidade (lei de Hooke). A curva é uma linha reta quase vertical passando pela origem.

 

 

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

DOMÍNIO DE FUNÇÃO


Definição 1

Seja a função {y=f(x)} de {A} em {B} . { D } é o domínio da função, ao conjunto de todos os elemento de { x \in A } pelos os quais existe { y \in B }.

Matematicamente, temos:

\displaystyle   D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \rightarrow D=A \ \ \ \ \ (1)

Exercício 1 Seja a função { f(x)=x^2 +2x-1} de { A=(-2,0,1,2,3)} e { B=(-1,0,1,3,4,14, 20,23)}, determinar o seu domínio.

Resolução

O domínio dessa função é { D=A \rightarrow D=(-2,0,1,2,3) }.

Definição 2 Dada a função {y=f(x)}. Chama-se domínio ao conjuntos de valores reais de { x } para os quais a função está definida.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \ \ \ \ \ (2)

No parágrafo a seguir, entenderemos melhor essa definição

— 1. Determinação de domínio de diversas funções —

Segundo a definição, antes de determinarmos o domínio de uma função dada devemos, em primeiro passo, estudar a natural da função assim como a sua definição.

Vamos apresentar algumas formas de representação de domínio:

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }

ou

{ D= \mathbb{R}- \lbrace g(x)= 0 \rbrace }

ou

{ D= \mathbb{R}/\lbrace g(x)= 0 \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x \leq b \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x < b \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x < b \rbrace}

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x \leq b \rbrace }

ou simplesmente { D=\mathbb{R} }

{ \forall a \in \mathbb{R} } e { \forall b \in \mathbb{R} }

Essas representações dependem do critério do leitor outras do tipo de função em causa.

Vamos agrupar as funções segundo as suas definições para facilitar a compreensão do leitor e posteriormente podermos resolver as funções de expressões mistas.

— 2. Domínio da função polinomial —

Definição 3 O domínio da função polinomial é sempre o conjunto dos números reais

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{0} \ \ \ \ \ (3)

{ D=\mathbb{R}}

Exercício 2

Determinar o domínio da função {f(x)=2x-3}

Resolução:
O domínio é { D=\mathbb{R} }
Quando se trata de um polinómio o domínio é imediatamente o conjunto dos números reais ou simplesmente { \mathbb{R} }

Exercício 3 Determinar o domínio da função {f(x)=\dfrac{3}{5}x^{5}+7x^{4}-3x^{3}+x^{2}+6x+11}

Resolução:
{ D=\mathbb{R} }, Claramente.

Exercício 4 Determinar o domínio da função {f(x)=k } onde { k\in \mathbb{R} }

Resolução:
Como { k } é qualquer número real, então o domínio é o conjunto dos números reais { (\mathbb{R}) }

— 3. Domínio de função racional —

Definição 4 O domínio da função racional está definida para o denominador diferente de zero.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)} \leftrightarrow g(x)\neq0 \ \ \ \ \ (4)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }.

Exercício 5 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{x-1}{x+2} }.

Resolução:
Vamos igualar o denominador a diferente de zero, assim: { x+2\neq 0 }
Agora, vamos resolver:
Temos: { x+2\neq 0 \leftrightarrow x\neq-2 }
logo o domínio é { D=\lbrace x\in R\mid x\neq -2 \rbrace } ou { D= \mathbb{R}-\lbrace-2\rbrace }

Exercício 6 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{1}{x^2-3x-4} }.

Resolução:
Vamos resolver { x^2-3x-4\neq0} resolvendo temos: {x_{1}\neq-1,\ e \ x_{2}\neq4 \rightarrow D= \mathbb{R}-\lbrace-1,4\rbrace } ou { D=\lbrace x\in R\mid x\neq-1 \ e \ x\neq4 \rbrace }

— 4. Domínio da função irracional de índice ímpar —

Definição 5 O domínio de uma função irracional de índice ímpar é sempre o conjunto dos números reais.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\sqrt[2k-1]{g(x)} \ \ ( \forall k\in\mathbb{N}) \rightarrow D=\mathbb{R} \ \ \ \ \ (5)

{ D=\mathbb{R} }

Exercício 7 Determinar domínio da função {f(x)=\sqrt[3]{x^4 -\dfrac{5}{2} x+3}}

Resolução:
Evidentemente que {D=\mathbb{R}}

Exercício 8 Determinar domínio da função {f(x)=\sqrt[7]{-2x^2 +x}+9}

Resolução:
Claramente que {D=\mathbb{R}}

— 5. Domínio de função irracional de índice par —

Definição 6 O domínio da função irracional de índice par estás definida para o radical maior ou igual a zero.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\sqrt[2k]{g(x)} \ \ k \in \mathbb{N} \ \ \ \ \ (6)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid g(x)\geq0\rbrace }

Exercício 9 Determinar o domínio da função { f(x)=\sqrt{3x+12}}.

Resolução:
{ 3x+12\geq0 \rightarrow 3x\geq-12 \leftrightarrow x\geq-\dfrac{12}{3} \leftrightarrow x\geq-4 }, logo o domínio é,

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\geq-4\rbrace }

Exercício 10 Determinar o domínio da função { f(x)=\sqrt[4]{x^2+5x+6}}.

Resolução:
{ x^2+5x+6\geq0 } resolvendo temos: { x\leq -3 } ou { x\geq -2 }, logo o domínio é: {D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq -3 \ e \ x\geq-2\rbrace }.

— 6. Domínio de função logaritmica —

Definição 7 O Domínio da função logarítmica é definido, para logaritmando igual ou maior que um e a base maior que zero e diferente de um.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\log_{a}^x \ \ \ \ \ (7)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid 0<a<1 \ \ e \ \ a>1 \ e \ x>0 \rbrace}

Exercício 11 Determinar o domínio da função { f(x)=\log_{4}^{(4x^2-3x-1)}}.

Resolução:
{4x^2-3x-1>0} Primeiro vamos determinar as raízes, temos: { x_{1}=1} ou { x_{2}=-\dfrac{1}{4} } . Como se trata de inequação, o intervalo que satisfaz é: { x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 } assim o domínio da função é: { D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 \rbrace }

Exercício 12 Determinar o domínio da função { y=\log_{(x-2)}^7}.

Resolução:
{ 0<x-2<1 } e { x-2>1} segundo a condição da base do logaritmo.
vamos resolver:{ 0<x-2<1 \leftrightarrow 0+2<x<1+2 \leftrightarrow 2<x<3}
Outra condição: { x-2>1 \rightarrow x>1+2 \leftrightarrow x>3 }
Temos o domínio { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 2<x<3 \ e \ x>3\rbrace }

Exercício 13 Determinar o domínio da função { y=\log_{(x+3)}^{x^2-x}}.

Resolução:
temos: {x^2-x>0 \rightarrow x(x-1)>0 \leftrightarrow x>0} e { x-1>0 \leftrightarrow x>1} ou { x<0 } e { x-1<0 \leftrightarrow x<1 }
A propriedade da base: { 0<3+x<1 \rightarrow -3<x<-2 } e { x+3>1 \leftrightarrow x>-2 }
achando a intersecção de todas as condições temos: { -2<x<0 } e { x>1 }
o domínio é { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid -2<x<0 \ \ e \ \ x>1\rbrace }

— 7. Domínio de função exponencial —

Definição 8 O domínio da função exponencial é definido para base maior que zero e diferente um.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=a^x \ \ \ \ \ (8)

{ D=\lbrace a \in \mathbb{R}\vert a>0 \wedge a \neq 1 \rbrace }

Exercício 14 Determinar o domínio da função { y=2^x }
Resolução:
Claramente que o { D=\mathbb{R} }
Exercício 15 Determinar o domínio da função { y=(\dfrac{1}{3} )^{\dfrac{x-1}{4}} }

Resolução:
Sem mais comentário o domínio é { D=\mathbb{R} }

— 8. Domínio de função trigonométrica —

Definição 9 – O domínio da função de seno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \sin x \ \ \ \ \ (9)

O domínio é { D=\mathbb{R} }

Definição 10 – O domínio da função de cosseno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \cos x \ \ \ \ \ (10)

O domínio é { D=\mathbb{R} }

Definição 11 – O domínio da função de tangente é definido para cosseno diferente de zero. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \tan x \ \ \ \ \ (11)

{ D=\lbrace \forall x \in \mathbb{R}\vert \cos x \neq 0 \rbrace } { \rightarrow D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi \rbrace }

Exercício 16 Determinar o domínio da função { y=\tan\dfrac{x}{2}}

Resolução: Sabemos que a tangente não está definida para { \dfrac{\pi}{2} } então, temos: { \tan\dfrac{x}{2}\neq\tan\dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow \dfrac{x}{2}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi } { \leftrightarrow x\neq \pi+2k\pi }. logo o domínio é: { D(x)=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\neq \pi+2k\pi \rbrace }

Exercício 17 Determinar o domínio da função { f(x)=\dfrac{1+\cot x}{1-\tan x} }.

Resolução: Destaca-se a condição da {\cot x, \tan x } e a condição do denominador {1-\tan x }
– A Condição da {\cot x }: {\cot x \neq \cot 0 \leftrightarrow x \neq k\pi }
– A Condição da {\tan x }: { \tan x \neq \tan \dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi}
– A Condição do denominador { 1-\tan x } : { 1-\tan x \neq0 \leftrightarrow \tan x \neq1 \leftrightarrow \tan x \neq\tan\dfrac{\pi}{4}} { \leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi }
Finalmente, temos: { D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x \neq k\pi \ e \ x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi \ e \ x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi\rbrace}

— 9. Determinação de domínio de diversas funções —

Exercício 18 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3x+5}}}
Resolução:
Como o índice é ímpar vamos analisar a condição só do denominador.
{ 3x+5\neq0\Longleftrightarrow x=\dfrac{-5}{3}}, logo o domínio é, { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid x\neq-\dfrac{5}{3}\rbrace }.

Exercício 19 Determinar o dominio da função { f(x)=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x}-2} }

Resolução:
Nesse exercício temos que impor a condição do denominador e do radical porque o índice é par.
-A condição do radical: { x\geq0 }
-A condição do denominador: { \sqrt{x}-2 \neq0 \rightarrow \sqrt{x}\neq2 \rightarrow x\neq4 }
-Intersecção das duas condições: { 0\leq x<4 \ e \ 4<x }
finalmente o domínio é: { D=\lbrace x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x<4 \ e \ 4<x \rbrace }

Exercício 20 Qual é o domínio da função { f(x)=\dfrac{1}{\log^{x}} }?
Resolução:
Nesse exercício temos a condição do denominador e do logatitmando porque o índice é par.
-A Condição do logaritmando é: { x>0 }
-A Condição do denominador é : { \log^{x}\neq0 \rightarrow x\neq10^0 \rightarrow x\neq1 }
finalmente o domínio é: { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0<x<1 \ e \ x>1\rbrace}.

Exercício 21 O domínio da função { f(x)=\log(\sin x)} é?

Resolução:
Nesta função está em caso, simplesmente, a condição do logaritmando.
Temos: {\sin x >0 \leftrightarrow 0< x < \pi \leftrightarrow D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0 < x < \pi \rbrace}

Exercício 22 Ache o domínio da função { y=\dfrac{2+\sqrt{x-5}}{x^2-64} }.
Resolução:
Vamos estudar a condição do radical e do denominador.
– A Condição do denominador: { x^2-64\neq0 \leftrightarrow x^2\neq64 \leftrightarrow x\neq\pm8 }
– A Condição do radical { x-5\geq \leftrightarrow x\geq5}
– Intersecção das duas condições resulta { 5\leq x < 8 \ e \ x>8 }:
finalmente o domínio é: {D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 5\leq x < 8 \ e \ x>8 \rbrace }

Exercício 23 Encontre o domínio da função { f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^3}+\dfrac{2x}{\sqrt{x+4}} }.
Resolução:
– A condição {\sqrt{x-1} \leftrightarrow x-1\geq0 \leftrightarrow x\geq1 }
– A condição { x^3\neq0 \Longrightarrow x\neq0 }
– A condição do denominador {\sqrt{x+4}\neq0 \leftrightarrow x+4>0 \leftrightarrow x>-4 }
A intersecção das três condições fornece-nos o seguinte resultado: { x>1 }, logo o domínio da função é:
{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid 1\leqslant x \rbrace }

Exercício 24 Determinar o domínio da função { f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} }.
Resolução: { f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} } isto só é possível para { 2^{(x-2)}-1\geq0 }. logo temos: { 2^{(x-2)} \geq 1 \leftrightarrow 2^{(x-2)} \geq 2^0 } { \leftrightarrow x-2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 } Por fim temos o domínio: { D= \lbrace x \in \mathbb{R} \mid 2\leq x \rbrace }.

Exercício 25 Dada a função { f(x)=\dfrac{1}{\vert x-2 \vert -3} }. Determinar o domínio.

Resolução:

O denominador diferente de zero: { \vert x-2\vert-3\neq0 \leftrightarrow \vert x-2 \vert \neq3 } , segundo as propriedades modular, temos:
{ x-2 \neq3 \leftrightarrow x\neq5 }
{ x-2 \neq-3 \leftrightarrow x\neq-1 }
Assim o domínio é { D=\mathbb{R}-(-1, 5) }

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