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Análise Matemática – Limites e Continuidade II

\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}

Neste caso é {D_{0^+} = \left] 0, +\infty\right[ } e { 0^+ \in D_{0^+} }.

Se {x_n} é uma sucessão de pontos em {D_{0^+}} tal que {x_n \rightarrow 0^+} vem que

\displaystyle  \lim f(x_n) = \lim \dfrac{1}{x_n} = \dfrac{1}{0^+} = + \infty

Vamos agora introduzir um teorema que descreve um resultado simples e óbvio.

De uma forma mais dinâmica podemos entender o teorema seguinte como indicando o facto de que se nos aproximarmos de um ponto {c} pela sua esquerda ou pela sua direita as imagens associadas a ambos os limites devem ser iguais, para o limite realmente existir.

Teorema 29

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R} }, {c \in D^\prime} e vamos supor que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}. Se {c \in D^\prime_{c^+}} temos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a}, e se {c \in D^\prime_{c^-}} também é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = a}.

Demonstração:

Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D_{c^+} } tal que {x_n \rightarrow c}.

Uma vez que {x_n} é uma sucessão de pontos em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace} (por definição de {x_n}) e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=a } (por hipótese) pela definição de limite vem que { \lim f(x_n) = a }.

Mas isto é { \displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a} pela Definição 33.

O caso { \displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) } é provado usando um raciocínio análogo e como tal fica como um exercício para o leitor. \Box

\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}

Já sabemos que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty} e que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x} = - \infty }.

Uma vez que o limite à direita de {0} é diferente do limite à esquerda podemos concluir que o limite não existe.

— 4.4. Limites de Funções e desigualdades —

Vamos agora enunciar um conjunto de teoremas que vão generalizar os resultados que vimos para as sucessões.

Teorema 30 (Desigualdade de limites) Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e vamos admitir que existe {r > 0} tal que

\displaystyle f(x) < g(x)\quad \forall x \in V(c,r) \cap (D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace )

Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)} existe e é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow c} g(x)}

Demonstração:

Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tal que {x_n \rightarrow c}. Pela definição 19 {\exists k \in \mathbb{N}:\, n \geq k \Rightarrow x_n \in V(c,r) \Rightarrow x_n \in V(c,r) \cap D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace }.

Uma vez que {x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace \Rightarrow f(x) \leq g(x)}.

Assim {n \geq k} implica que {f(x_n) \leq g(x_n)}.

Pelo Teorema 14 sabemos que é {\displaystyle \lim f(x_n) \leq \lim g(x_n)}.

Uma vez que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(x_n)} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) = g(x_n)} segue que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow c} g(x)} \Box

Corolário 31

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R} }, {c \in D^\prime} e {a \in \mathbb{R}}.

Se existe {r > 0} tal que {f(x) \leq a} ({f(x) \geq a}) { \forall x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace} e se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)} existe, vem que { \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq a} ({ \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \geq a }).

Demonstração: Façamos {g(x)=a} no Teorema 30. \Box

Introdução à Óptica Geométrica

— 1. Introdução —

A Óptica Geométrica foi das primeiras partes da Óptica a ser estudada, por tratar-se daquela que possui mais ligação com o dia-a-dia de todo mundo. Todos nós já lidamos com conceitos como luz, cor, sombra, transparência dos objectos, etc. A primeira parte da Óptica debruça-se sobre estes aspectos, comuns para a maioria das pessoas, mais que ainda suscitam algumas dúvidas.

Como vimos no “post” passado, a luz é uma onda electromagnética correspondendo há uma região do espectro electromagnético com {\lambda} (c.d.o.) entre 400nm à 750nm.

Uma pergunta curiosa que muita gente já se deve ter feito é: Como as lentes, espelhos, microscópios ou telescópios fazem o aumento da imagem?

As respostas a estas questões são dadas pela Óptica Geométrica.

— 2. Conceitos Gerais —

Definição 1 A Luz é a onda electromagnética capaz de estimular os órgãos sensoriais do olho humano.

Experimentos diversos permitiram comprovar que a luz é uma onda transversal, isto é, os vectores campo eléctrico e campo magnético oscilam em direcções perpendiculares à direcção de propagação.

Apesar de a luz ser uma onda electromagnética, os primeiros estudos sobre ela ignoravam este facto, e assentavam-se apenas na experiência do quotidiano. Estes estudos contribuíram para o desenvolvimento da Óptica Geométrica. A Óptica Geométrica assenta-se em quatro princípios fundamentais:

  • Propagação Rectilínea da Luz.
  • Reversibilidade dos raios luminosos.
  • Independência dos raios luminosos.
  • Lei da Reflexão e da Refracção.

A aplicação correcta destes princípios permite-nos explicar variadíssimos fenómenos, desde a formação de imagem por uma superfície reflectora ao Eclipse Solar.

— 2.1. Propagação rectilínea da Luz —

Uma ideia errónea é falarmos de movimento da luz. Não se deve dizer: a luz movimenta-se…. O próprio termo luz já se refere a movimento. Lembra-te que a luz é uma onda, e uma onda é uma perturbação que se propaga (se espalha, viaja) no espaço. O termo correcto a aplicar em Óptica é Propagação. A luz propaga-se…

A luz pode propagar-se no vácuo (vazio) ou no interior de qualquer substância transparente. Esta região do espaço onde a luz se propaga é denominada de meio de propagação.

Este meio onde a luz se propaga pode ser homogéneo ou não homogéneo. Entende-se como meio homogéneo aquele no qual o índice de refracção não depende da posição, sendo, portanto constante. Já no meio não homogéneo, o índice de refracção é dependente da posição, em geral devido às flutuações de densidade, temperatura ou composição química do material [3]. A homogeneidade de um meio está associada com a distribuição espacial da matéria e de suas propriedades, o que dá origem a uma mudança no valor do índice de refracção em cada meio. o índice de refracção será abordado em outro tópico.

Quando o meio é homogéneo, o índice de refracção é constante em todas as regiões do espaço. Quando o meio é não homogéneo, o índice de refracção não é o mesmo em todas as regiões. O meio pode ser simultaneamente homogéneo e anisotrópicos, caso comum em cristais, para os quais o índice de refracção tem valores diferenciados para distintas direcções de propagação da luz. Nestes, a passagem da luz depende da direcção em que a luz incide e/ou passa sobre o material. Por exemplo, num material destes, para um raio passando verticalmente o material poderia apresentar um índice de refracção diferente do que apresentaria para um raio que passe horizontalmente.

Para meios isotrópicos, a passagem da luz ocorre de mesma forma para quaisquer direcção de propagação.

O postulado da Propagação rectilínea da Luz afirma que: Num meio homogéneo e isotrópico, a luz propaga-se rectilineamente.

Este postulado permite-nos introduzir o conceito de raio de luz. Sabemos que se tivermos uma fenda, e esta estiver muito distante de uma fonte, a fenda dará origem a um feixe muito estreito de luz. Podemos então definir:

Definição 2 Raios de luz são linhas orientadas que representam a direcção e o sentido de propagação da luz. [4]

A ideia de raio de luz deve ser de um feixe muitíssimo estreito, de dimensões desprezíveis.

F1

Figura 1. Exemplo de raios de Luz numa vela.[4]

 

— 2.2. Reversibilidade dos raios luminosos —

Este postulado é muito simples: Se num dado sistema óptico, um raio de luz faz uma trajectória num dado sentido, por exemplo partindo de A para B, então, ao invertermos o sentido de propagação, isto é, saindo de B para A, o raio vai descrever exactamente a mesma trajectória.

F2

Figura 2. Ilustração do princípio de Reversibilidade de raios luminosos.[4]

Significa que, ao analisarmos um sistema óptico qualquer, podemos analisar os raios de luz num sentido ou no sentido oposto.

— 2.3. Independência dos raios luminosos —

Vale recordar que a luz tem diversas características: velocidade de propagação, frequência, comprimento de onda, período, etc. Se imaginarmos a luz como corpúsculo, a ideia que viria à mente de muitos é que, ao cruzarmos dois fotões (corpúsculos de luz), alguma característica de cada um deles fosse alterada, mas tal não acontece!

O princípio de independência de raios luminosos diz que: quando dois raios de luz se encontram num ponto do espaço qualquer, nenhum deles provoca alteração alguma ao outro, de modos que, depois deste ponto, cada um segue a sua exactamente da mesma maneira que estavam antes. Este princípio pode ser verificado com facilidade no nosso dia-a-dia. Por exemplo, podemos vê-lo no cruzamento das luzes de duas lanternas.

F3

Figura 3. Cruzamento de raios de luz. Princípio de Independência dos raios luminosos.[4]

— 2.4. Lei da reflexão e da refracção —

Como vimos, num meio uniforme, a luz propaga-se rectilíneamente. A mudança de direcção dos raios luminosos só pode ocorrer na superfície de separação de dois meios (plano {P_S}, ver figura 4). O plano {P_P} que contém o raio incidente e a normal {n} da superfície de separação dos meios é chamado de plano de incidência.

Quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios transparentes de índice de refracção diferentes, três fenómenos podem acontecer: Reflexão, Refracção ou Absorção.

F4

Figura 4. Refracção e Reflexão da luz.

No ponto {0} ocorre a refracção, reflexão e absorção da luz. Neste caso cumprem-se as seguintes leis experimentais:

  • O raio reflectido {(2)} também se encontra no plano de incidência. O ângulo de incidência {\alpha} (entre o raio incidente e a normal) é igual ao ângulo de reflexão {\alpha'} (entre o raio reflectido e a normal) – Lei da reflexão.
  • O raio refractado {(3)} está no plano de incidência, mas no segundo meio. O ângulo de refracção {\beta} obedece a lei de Snell:{ \frac{sen \alpha}{sen \beta} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21} },onde { n_2 } e { n_1 } são os índices de refracção absolutos dos meios 1 e 2, {n_{21}} é o índice de refração relativo do meio 2 em relação ao meio 1.

O índice de refracção relativo {n_{21}} é a relação entre a velocidade da luz no meio 1 e a velocidade da luz no meio 2, isto é, {n_{21}=\frac{v_1}{v_2}}. Se o índice de refracção {n_{21}} for maior do que 1, isto é, { v_1 > v_2 }, então consideraremos que o meio 2 é mais denso que o meio 1.

O índice de refracção absoluto {(n)} de um meio é a relação entre a velocidade da luz no vácuo {(c)} e a velocidade da luz nesse meio {(v)}.

{n=\frac{c}{v}} ( onde {c = 3. {10}^{8} m/s)}

Como { c \geqslant v }, então o índice de refração de qualquer meio é sempre maior ou igual a um. Podemos ainda ver que:

{n_{21} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}}.

De acordo com a lei da refração, quando temos a passagem da luz do meio ópticamente menos denso {n_1} para o meio opticamente mais denso {n_2} {(n_2>n_1)}, o ângulo de refração {\beta} será menor do que o ângulo de incidência {\alpha}. Este exemplo é visto na figura 4.

Para o caso contrario, isto é, quando temos a passagem da luz do meio com índice de refracção maior para o meio com índice de refracção menor, neste caso o ângulo de refracção será sempre maior do que o ângulo de incidência e pode ocorrer um fenómeno interessante. Com o aumento do ângulo de incidência até um certo valor {\alpha_c}, o ângulo de refração aumenta-se até {90}º. Este valor do ângulo de incidência {\alpha_c} para o qual o ângulo de refração é {\beta_c =90}º é chamado de ângulo crítico ou ângulo limite. Neste caso, o raio refratado {4'} propaga-se na superfície de separação dos meios.

F5

Figura 5. Passagem do meio mais denso para o meio menos denso.

O ângulo {\alpha_c} pode ser definido pela fórmula:

{\frac{ sen \alpha_c }{ sen \beta_c } = \frac{sen \alpha_c }{sen 90^0 } = sen \alpha_c = n_{21} = \frac{n_2}{n_1} }.

Se o raio incide na fronteira entre um meio qualquer com índice de refração {n_1} e o ar (com índice de refração {n_2 = 1}), ficamos com:

{sen \alpha_c = \frac{1}{n_1}}.

Quando um raio incide com um ângulo maior que o ângulo limite {\alpha_c}, ele não penetra no segundo meio, mas é totalmente refletido sob o mesmo ângulo (veja o raio {5} na figura 5). Este fenómeno chama-se reflexão total interna. É com base neste fenómeno que funcionam as fibras ópticas, os prismas de reflexão, etc.

  

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— Referências Bibliográficas —

 

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I,  FATEC-SP, [s.d.].

[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].

[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].

[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].

[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, (2009)

[6] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, (2009)

Mecânica Quântica – Revisões III

— 10. Cálculo de Variações —

Definição 1 Um funcional é uma operação matemática que faz corresponder um elemento de um espaço vectorial a um número real.

Seja {\displaystyle J = \int _{x_1}^{x^2} f\{y(x),y\prime (x),x\}dx}. Vamos supor que que {x_1} e {x_2} são constantes e que a expressão matemática de {f} é conhecida.

De acordo com a definição 1 {J} é um funcional e o objectivo do cálculo de variações é determinar {y(x)} tal que o valor de {J} é um extremo (ponto de derivada nula).

Seja {y=y(\alpha, x)} uma representação paramétrica de {y} tal que {y(0,x)=y(x)} é uma função que faz com que {J} seja um extremo.

Podemos escrever {y(\alpha, x)=y(0,x)+ \alpha\eta(x}, onde {\eta (x)} é uma função de {x} de classe {C^1} (função contínua cuja primeira derivada também é contínua) com {\eta (x_1)=\eta (x_2)=0}.

Ora {J} é da forma {\displaystyle J(\alpha) = \int _{x_1}^{x^2} f\{y(\alpha, x),y\prime (\alpha, x),x\}dx}

Assim a condição de estacionaridade para {J} é

\displaystyle \displaystyle \frac{dJ}{d\alpha}(\alpha=0)=0

Exemplo 1 Seja {y(x)=x} e {y(\alpha, x)= x+ \alpha\sin x} uma representação paramétrica de {y}. Seja {f=\left(dy/dx\right)^2}, {x_1=0} e {x_2=2\pi}. Dada a equação paramétrica anterior determine {\alpha} que minimize {J}.

Temos {\eta (0)=\eta (2\pi)=0} e {dy/dx=1+\alpha\cos x}.

Assim {\displaystyle J(\alpha)= \int_0^{2\pi}(1+2\alpha\cos x +\alpha^2\cos ^2x)dx=2\pi+\alpha^2\pi}.

Pela forma de {J(\alpha)} é trivial que {\alpha=0} minimiza {J(\alpha)}.

Exercício 1 Dado os pontos {(x_1,y_1)=(0,0)} e {(x_2,y_2)=(1,0)}, calcule a equação da curva que minimiza a distância entre os dois pontos.

Temos {y(\alpha, x)=y(0,x)+\alpha \eta (x) = 0+\alpha(x^2-x)}.

E é também {\eta (x) = x^2-x}, {ds=\displaystyle \sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(dy/dx)^2}dx}

Logo é {s= \displaystyle \int _0^1 \sqrt{1+(dy/dx)^2}dx} com {dy/dx=\alpha (2x-1)}.

O resto do exercício fica para o leitor terminar.

— 11. Equação de Euler —

Nesta secção vamos analisar a condição de estacionaridade para {J}:

{\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial \alpha} &= \frac{\partial}{\partial \alpha} \int _{x_1}^{x_2}f(y,y\prime,x)dx \\ &= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+ \frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{\partial y\prime}{\partial \alpha}\right) dx \end{aligned}}

Uma vez que é {\partial y /\partial \alpha = \eta (x)} e {\partial y\prime /\partial \alpha = d\eta/dx} segue que

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial J}{\partial \alpha}= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta (x)+ \frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{d \eta}{dx}\right) dx

Ora

\displaystyle \displaystyle \int _{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y\prime}\frac{d \eta}{dx}dx=\frac{\partial f}{\partial y\prime}\eta (x)|_{x_1}^{x_2}- \int _{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial f}{\partial y\prime} \right)\eta (x) dx

Para o primeiro termo temos

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\prime}\eta (x)|_{x_1}^{x_2}=0

uma vez que {\eta (x_1)=\eta (x_2)=0} por hipótese.

Logo

{\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial \alpha} &= \int _{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}- \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial f}{\partial y\prime} \right) \frac{\partial y}{\partial \alpha}\right)dx \\ &= \int _{x_1}^{x_2}\left( \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime} \right)\eta (x) dx \end{aligned}}

Relembrando que {\partial J / \partial\alpha(\alpha=0)=0} e notando que {\eta (x)} é uma função arbitrária podemos concluir

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime}=0

Que é conhecida na literatura como Equação de Euler.

Exemplo 2 Como exemplo vamos tentar determinar as equações de movimento de uma partícula que se move sob a acção de um campo de força constante iniciando o seu movimento do estado de repouso tendo como coordenadas iniciais {x_1, y_1} e coordenadas finais {x_2, y_2}.

Do enunciado sabemos que {K+U=c}. Tomando a origem como sendo o ponto de referência para o nosso potencial fica {K+U=0}.

Por definição é {k=1/2mv^2} e para a energia potencial temos {U=-Fx=-mgx}. Da equação anterior vem {v=\sqrt{2gx}}.

Da definição de velocidade vem

\displaystyle \displaystyle t=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2} \frac{ds}{v}=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2}\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2gx}}=\int _{x_1,y_1}^{x_2,y_2}\frac{\sqrt{1+y\prime^2}}{\sqrt{2gx}}dx

Seja {f=\sqrt{\frac{1+y\prime^2}{x}}}. Uma vez que {(2g)^{-1/2}} é um factor constante vamos omiti-lo da nossa análise. Dada a expressão de {f} vem que {df/dy=0} e a equação de Euler fica:

\displaystyle \displaystyle \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y\prime}=0

Da equação anterior vem

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y\prime}=(2a)^{-1/2}=\mathrm{const}

Logo

{\begin{aligned} \frac{y\prime^2}{x(1+y\prime^2)} &= \frac{1}{2a} \Rightarrow\\ y &= \int \frac{x}{\sqrt{2ax-x^2}}dx \end{aligned}}

Fazendo a mudança de variável {x=a(1-\cos \theta)} temos {dx=a\sin \theta d\theta}. Assim a expressão para {y} é {y=\int a(1-\cos \theta)d\theta\Rightarrow y=a(\theta-\sin \theta)+A}. Uma vez que a nossa partícula começa o movimento na origem é {A=0}.

Assim a solução para o nosso problema é

{\begin{aligned} x &= a(1-\cos \theta) \\ y &= a(\theta-\sin \theta) \end{aligned}}

Que são as equações paramétricas de uma cicloide.

cycloid

— 12. Equação de Euler para {n} variáveis —

Seja {f} da forma {f=f\{ y_1(x),y\prime _1(x),y_2(x),y\prime _2(x),\cdots,y_n(x),y\prime _n(x), x \}}.

Agora temos {y_i(\alpha, x)= y_i(0,x)+\alpha \eta (x)} e {\displaystyle \int _{x_1}^{x_2}\left( \frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y _i\prime} \right)\eta _i (x) dx} para cada valor de {i}. Para {\alpha=0} temos, uma vez que {\eta _i(x)} são funções independentes

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y _i\prime}=0

Ou seja temos {n} equações de Euler independentes.

 

Mecânica Quântica – Revisões II

No artigo anterior demos os primeiros passos nos métodos matemáticos da Mecânica Clássica. É objectivo deste artigo introduzimos alguns conceitos físicos e complementarmos as ferramentas matemáticas apresentadas no primeiro artigo.

— 8. Coordenadas curvilíneas —

Por vezes usar coordenadas cartesianas para descrevermos o movimento de uma partícula não é o mais eficiente e optamos por utilizar um sistema de coordenadas mais adequado ao movimento em questão e temos que utilizar coordenadas curvilíneas. Os sistemas utilizados de forma mais frequente são os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

— 8.1. Coordenadas polares —

Quando estamos a estudar sistemas a duas dimensões que exibem uma simetria circular a melhor maneira de proceder é usando coordenadas polares.

Neste sistema de coordenadas em vez de usarmos {x_1} e {x_2}, usamos uma coordenada radial {r} que expressa a distância entre um dado ponto e a origem e uma coordenada angular {\theta}. Esta coordenada angular é igual ao ângulo entre o eixo {x_1} e a posição da partícula medida no sentido contrário aos ponteiros do relógio.

A coordenada radial varia entre {0<r<\infty} e a coordenada angular varia entre {0\leq \theta \leq 2\pi}. Notem que para {r=0} o ângulo {\theta} não está definido e assim a origem é neste sistema de coordenadas uma espécie de singularidade, mas tal deve-se à nossa escolha de sistema de coordenadas e não é intrínseca ao ponto em si.

E como se pode ver na imagem as equações para as transformações de coordenadas são:

  • {x_1=r \cos \theta}
  • {x_2=r \sin \theta}
  • {\theta=\arctan \left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)}

— 8.2. Coordenadas Cilíndricas —

Ao estudarmos alguns sistemas tridimensionais muitas vezes somos confrontados com um sistema que exibe uma simetria circular em torno de um dado eixo. Nestes casos o sistema de coordenadas que nos permite escrever as equações de uma forma que a simetria do sistema é patente é o sistema de coordenadas cilíndricas.

Mais uma vez estaremos a usa uma mistura de distâncias radiais e distâncias angulares. Em primeiro lugar vamos somente considerar o plano formado pelos eixos {x_1} e {x_2}. Vamos usar este plano para projectar o vector posição de um ponto. O ângulo entre {x_1}e esta projecção é {\theta}. As outras duas coordenadas são {r} que é a distância entre o ponto em questão e a origem e {x_3} (ou {z}).

Estas três coordenadas tomam valores nos seguintes intervalos:

  • {0 < r < \infty}
  • {0\leq \theta \leq 2\pi}
  • {-\infty < z < \infty}

Como está indicado na imagem as equações para as transformações de coordenadas são:

  • {x_1=r \cos \theta}
  • {x_2=r \sin \theta}
  • {x_3=z}

— 8.3. Coordenadas esféricas —

O último tipo de coordenadas curvilíneas que vamos considerar são as coordenadas esféricas. Este tipo de coordenadas são extremamente úteis quando o sistema em estudo exibe uma simetria circular em torno de três eixos ortogonais entre si.

Desta vez vamos usar uma coordenada radial e duas coordenadas angulares. Tal como fizemos para as coordenadas cilíndricas vamos projectar o vector posição no plano formado pelos eixos {x_1} e {x_2} e definimos {\phi} como sendo o ângulo entre {x_1} e a projecção do vector posição. {r} é a distância entre a origem e o ponto em questão e {\theta} é medido entre {x_3} e o vector posição.

Como podemos ver pela imagem as equações de transformações de coordenadas são:

  • {x_1=r \sin \theta \cos \phi}
  • {x_2=r \sin \theta \sin \phi}
  • {x_3=r \cos \theta}

Estas três coordenadas tomam valores nos seguintes intervalos:

  • {0 < r < \infty}
  • {0 \leq \phi \leq 2\phi}
  • {0 \leq \theta \leq \pi}

— 9. Cálculo Vectorial —

Nesta secção do nosso artigo vamos olhar brevemente para algumas noções do Cálculo Vectorial que são úteis para a Física.

— 9.1. Gradiente, Divergência e Rotacional —

Se {\varphi=\varphi(x_1,x_2,x_3)} é uma função escalar, contínua e diferenciável, já sabemos que é {\varphi'(x_1',x_2',x_3')=\varphi(x_1,x_2,x_3)}. Desta definição segue que

\displaystyle  \frac{\partial \varphi'}{\partial x_i'}=\sum_j \frac{\partial \varphi}{\partial x_j }\frac{x_j}{x_i'}

A transformação inversa de coordenadas é {x_j= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}x'_k}. Calculando a derivada de {x_j} em ordem a {x_i'} é

{\begin{aligned} \dfrac{\partial x_j}{\partial x_i'} &= \dfrac{\partial}{\partial x'_i}\left( \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}x'_k \right)\\ &= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}\dfrac{\partial x'_k}{\partial x_i'}\\ &= \displaystyle \sum _k\lambda_{kj}\delta_{ik}\\ &=\lambda_{ij} \end{aligned}}

Assim é

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial \varphi'}{\partial x_i'}=\sum_j \lambda_{ij}\frac{\partial \varphi}{\partial x_j }

Pelo que vimos no artigo anterior isto significa que a função {\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_j}} é a componente {j} de um vector.

Se introduzirmos o operador {\nabla} (às vezes chamado de del) cuja definição é

\displaystyle  \nabla= \left( \frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2}, \frac{\partial}{\partial x_3} \right)= \sum_i	\vec{e}_i \frac{\partial}{\partial x_i}

podemos definir o gradiente de uma função escalar {\varphi} como sendo

\displaystyle \nabla\varphi=\left( \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_1},\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_2}, \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_3} \right)

A divergência de um campo escalar, {\vec{A}}, é também um escalar e por definição é:

\displaystyle  \nabla\cdot\vec{A}

Se a divergência de um campo vectorial é positiva num dado ponto tal significa que o ponto em questão é uma fonte do campo. Se a divergência é negativa num ponto então estamos na presença de um sorvedouro do campo vectorial.

Outra entidade vectorial que podemos definir com o operador {\nabla} é o rotacional de um campo vectorial:

\displaystyle  \nabla \times \vec{A}=\sum_{i,j,k}\varepsilon _{ijk}\vec{e}_i\nabla _j A_k

O último operador que vamos definir nesta secção é o Laplaciano. Este operador é o resultado de aplicarmos duas vezes o operador {\nabla}:

\displaystyle  \nabla\cdot\nabla=\sum_i \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_i \frac{\partial ^2}{\partial x^2_i}=\nabla ^2

— 9.2. Integração de vectores —

Quando estamos a lidar com a operação matemática de integração com vectores temos três hipóteses básicas:

  • Integral de volume
  • Integral de superfície
  • Integral de linha

O resultado de integrarmos um vector, {\vec{A}=\vec{A}(x_i)}, ao longo de um volume é também um vector e o resultado é:

\displaystyle   \int_V \vec{A}dv = \left( \int_V A_1 dv, \int_V A_2 dv, \int_V A_3 dv \right) \ \ \ \ \ (1)

Assim para calcularmos o integral de volume de um campo vectorial devemos integrar cada dimensão espacial separadamente.

O resultado de integrarmos a projecção de um campo vectorial {\vec{A}=\vec{A}(x_1)} ao longo de uma superfície é chamado de integral de área.

Um integral de área é sempre calculado utilizando a componente normal de {\vec{A}} ao longo de uma superfície {S}. Assim em primeiro lugar devemos sempre definir a normal da superfície num dado ponto. A normal é representada por {d\vec{a}=\vec{n}da} e temos sempre a ambiguidade de poder escolher duas possíveis direcções ambiguidade que é resolvida ao definirmos a normal como sendo a que aponta na direcção exterior da superfície.

O que temos que calcular é {\vec{A}\cdot d\vec{a}=\vec{A}\cdot \vec{n} da} com:

\displaystyle   \int_S \vec{A}\cdot d\vec{a} = \int_S \vec{A}\cdot \vec{n}da \ \ \ \ \ (2)

O integral de linha é definido ao longo da curva entre dois pontos {B} e {C}. Mais uma vez temos que considerar a normal de {\vec{A}=\vec{A}(x_i)}, sendo que desta vez o que estamos a calcular é:

\displaystyle   \int_{BC} \vec{A}\cdot d\vec{s} \ \ \ \ \ (3)

{d\vec{s}} é o elemento de caminho em {BC} e define-se como sendo positivo no sentido em que o caminho é definido.

Mecânica Quântica – Revisões I

— 1. Introdução —

Vamos agora começar o nosso estudo de Mecânica Quântica. Conceptualmente falando a Mecânica Quântica é a parte da Física onde temos uma maior disrupção face aos conceitos que temos do quotidiano. Por outro lado alguns dos conhecimentos de base para a Mecânica Quântica foram transmitidos noutras disciplinas e como tal é bastante provável que estejam algo esquecidos.

Por forma a minimizar as eventuais falhas identificadas, vamos, antes de mais, rever alguns conceitos de Física e Matemática de outras disciplinas. Em primeiro lugar vamos olhar para a Mecânica Clássica usando um formalismo próprio da Álgebra Linear. Desta forma vemos a linguagem matemática da Mecânica Quântica num contexto físico mais familiar. Posteriormente vamos entrar propriamente na Mecânica Quântica e esperamos que desta forma o choque não seja tão severo pois o estudante já estará mais acostumado à linguagem matemática usada e terá que se acostumar a uma nova linguagem física.

— 2. Sistemas de coordenadas —

Vamos admitir que temos um sistema de coordenadas {S} e um sistema de coordenadas {S'} que resulta de uma rotação a {S}. Vamos considerar um ponto {P} de coordenadas {(x_1,x_2,x_3)} em {S} e coordenadas {(x'_1,x'_2,x'_3)} em {S'}.

Em geral é óbvio que {x'_1=x'_1(x_1,x_2,x_3)}, {x'_2=x'_2(x_1,x_2,x_3)} e que {x'_3=x'_3(x_1,x_2,x_3)}.

Uma vez que a transformação de {S} para {S'} é uma rotação podemos assumir que se trata de uma transformação linear. Assim podemos escrever

{\begin{aligned} x'_1 &= \lambda _{11}x_1+ \lambda _{12}x_2 +\lambda _{13}x_3 \\ x'_2 &= \lambda _{21}x_1+ \lambda _{22}x_2 +\lambda _{23}x_3 \\ x'_3 &= \lambda _{31}x_1+ \lambda _{32}x_2 +\lambda _{33}x_3 \end{aligned}}

Podemos escrever as equações anteriores de uma forma mais compacta:

\displaystyle x'_i=\sum_{j=1}^3 \lambda_{ij}x_j

No caso de queremos fazer uma transformação de {S'} para {S} a transformação inversa é

\displaystyle x_i=\sum_{j=1}^3 \lambda_{ji}x'_j

A notação anterior sugere que os índices {\lambda} podem ser agrupados numa matriz:

\displaystyle \lambda= \left(\begin{array}{ccc} \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \lambda_{23} \\ \lambda_{31} & \lambda_{32} & \lambda_{33} \end{array} \right)

Na literatura a matriz acima tem o nome de matriz de rotação.

— 3. Propriedades da Matriz de Rotação —

Para a transformação {x'_i=x'_i(x_i)}

\displaystyle  \sum_j \lambda_{ij}\lambda_{kj}=\delta_{ik}

Onde {\delta_{ik}} é o delta de Kronecker e a sua definição é

\displaystyle  \delta_{ik}=\begin{cases} 0 \quad i\neq k\\ 1 \quad i=k \end{cases}

Para a transformação inversa {x_i=x_i(x'_i)} é

\displaystyle  \sum_i \lambda_{ij}\lambda_{ik}=\delta_{jk}

As relações anteriores têm o nome de relações ortogonais.

— 4. Matrizes: Definições, Operações e propriedades —

Vamos representar as coordenadas de um ponto {P} usando um vector coluna

\displaystyle  x = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)

Usando a notação habitual da Álgebra Linear podemos escrever as equações de transformação {x'=\mathbf{\lambda} x}

Definimos o produto matricial, {\mathbf{AB}=\mathbf{C}}, como sendo possível somente quando o número de colunas de {\mathbf{A}} é igual ao número de linhas de {\mathbf{B}}.

Para calcularmos um elemento específico da matriz {\mathbf{C}}, que vamos denotar por {\mathbf{C}_{ij}}, temos

\displaystyle  \mathbf{C}_{ij}=[\mathbf{AB}]_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}

Dada a definição de produto matricial é claro que em geral temos {\mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}}

Como exemplo vamos calcular

\displaystyle \mathbf{A}=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right) ;\quad \mathbf{B}=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2\\ 4 & -2 \end{array}\right)

Com

\displaystyle  \mathbf{AB}=\left( \begin{array}{cc} 2\times (-1)+1\times 4 & 2\times 2+1\times (-2)\\ -1\times (-1)+3\times 4 & -1\times 2+3\times (-2) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 13 & -8 \end{array}\right)

e

\displaystyle  \mathbf{BA}=\left( \begin{array}{cc} -4 & 5\\ 10 & -2 \end{array}\right)

Dizemos que {\lambda^T} é a matriz transposta, ou simplesmente transposta, de {\lambda} e calculamos os elementos matriciais da transposta por {\lambda_{ij}^T=\lambda_{ji}}.

De uma forma mais vulgar dizemos que para obtermos a transposta de uma matriz devemos trocar as suas colunas por linhas ou vice-versa.

Para uma matriz {\mathbf{A}} existe outra {\mathbf{U}} tal que {\mathbf{AU}=\mathbf{UA}=\mathbf{A}}. A matriz {\mathbf{U}} diz-se a matriz unidade e escrevemos {\mathbf{U}=\mathbf{1}}.

Se {\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{1}}, {\mathbf{A}} e {\mathbf{B}} dizem-se matrizes inversas e {\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}}, {\mathbf{A}=\mathbf{B}^{-1}}.

Para as matrizes de rotação temos

{\begin{aligned} \lambda \lambda ^T &= \left( \begin{array}{cc} \lambda_{11} & \lambda_{12}\\ \lambda_{21} & \lambda_{22} \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} \lambda_{11} & \lambda_{21}\\ \lambda_{12} & \lambda_{22} \end{array}\right) \\ &= \left( \begin{array}{cc} \lambda_{11}^2+\lambda_{22}^2 & \lambda_{11}\lambda_{21}+\lambda_{12}\lambda_{22}\\ \lambda_{21}\lambda_{11}+\lambda_{22}\lambda_{12} & \lambda_{21}^2+\lambda_{22}^2 \end{array}\right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ &= \mathbf{1} \end{aligned}}

Onde a penúltima igualdade segue do que vimos na Secção 3.

Assim {\lambda ^T=\lambda ^{-1}}.

Para terminarmos esta secção vamos indicar mais algumas propriedade das matrizes.

Em primeiro lugar vamos dizer que ainda que o produto matricial não seja comutativo ele é associativo. Logo {(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC})}.

Para a adição de matriz é válido {C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}.

A matriz responsável por invertermos as coordenadas de todos os eixos de um sistema de coordenadas é chamada de matriz paridade

\displaystyle  \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)

Uma vez que podemos mostrar que as matrizes de rotação têm sempre determinante igual a {1}, enquanto que o determinante da matriz paridade é {-1} sabemos que não existe nenhuma transformação contínua das matrizes de rotação para a matriz paridade.

— 5. Vectores e Escalares —

Em Física as quantidades ou são escalares ou são vectores (também podem ser tensores, mas uma vez que ainda não precisamos destas quantidades vou fingir que não existem). Estas duas entidades são definidas de acordo com as suas propriedades de transformação

Seja {\lambda} uma transformação de coordenadas, {\displaystyle\sum_j\lambda_{ij}\lambda_{kj}=\delta_{ij}}, Se:

  • {\displaystyle\sum_j\lambda_{ij}\varphi=\varphi} então {\varphi} é um escalar.
  • {\displaystyle\sum_j\lambda_{ij}A_j=A'_i} para {A_1}, {A_2} e {A_3} então {(A_1,A_2,A_3)} é um vector.

— 5.1. Operações com escalares e vectores —

No interesse de termos um artigo auto-contido vamos enumerar algumas propriedades de vectores e escalares:

  1. {\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}}
  2. {\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})=(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}}
  3. {\varphi+\psi=\psi+\varphi}
  4. {\varphi+(\psi+\xi)=(\varphi+\psi)+\xi}
  5. {\xi \vec{A}= \vec{B}} é um vector.
  6. {\xi \varphi=\psi} é um escalar.

Como exemplo vamos demonstrar a quinta proposição e as restantes demonstrações ficam como um exercício para o leitor.

Para mostrarmos que {\xi \vec{A}= \vec{B}} é um vector temos que mostrar que a sua lei de transformação é a lei de transformação de um vector.

{\begin{aligned} B'_i &= \displaystyle\sum_j \lambda_{ij}B_j\\ &= \displaystyle\sum_j \lambda_{ij}\xi A_j\\ &= \xi\displaystyle\sum_j \lambda_{ij} A_j\\ &= \xi A'_i \end{aligned}}

Assim {\xi A} transforma-se como um vector.

— 6. Produtos vectoriais —

As operações entre escalares são de conhecimento geral por isso não vamos perder muito tempo com elas, mas provavelmente é importante que olhemos para duas operações entre vectores visto que elas serão muito importantes para os nossos desenvolvimentos futuros.

— 6.1. Produto escalar —

Usando dois vectores é possível construirmos um escalar. Este escalar é uma medida da projecção de um vector no outro e a sua definição é

\displaystyle  \vec{A}.\cdot\vec{B}=\sum_i A_i B_i = AB\cos (A.B)

Para esta operação ser digna do seu nome temos ainda que provar que o resultado é de facto um escalar.

Primeiro escrevemos {A'_i=\displaystyle \sum_j\lambda_{ij}A_j} e {B'_i=\displaystyle \sum_k\lambda_{ik}B_k}, onde alteramos o índice da segunda soma pois vamos multiplicar estas duas quantidades e assim evitamos confusões desnecessárias.

Temos

{\begin{aligned} \vec{A}'\cdot \vec{B}' &= \displaystyle\sum_i A'_i B'_i \\ &= \displaystyle \sum_i \left(\sum_j\lambda_{ij}A_j\right)\left( \sum_k\lambda_{ik}B_k \right)\\ &= \displaystyle \sum_j \sum_k \left( \sum_i \lambda_{ij}\lambda_{ik} \right)A_j B_k\\ &= \displaystyle \sum_j \left(\sum_k \delta_{jk}A_jB_k \right)\\ &= \displaystyle \sum_j A_j B_j \\ &= \vec{A}\cdot \vec{B} \end{aligned}}

Assim {\vec{A}\cdot \vec{B}} é um escalar.

— 6.2. Produto vectorial —

Antes de mais vamos introduzir o Símbolo de Levi-Civita {\varepsilon_{ijk}}. A sua definição é {\varepsilon_{ijk}=0} se dois ou mais índices são iguais; {\varepsilon_{ijk}=1} se {i\,j\,k} é uma permutação par de {123} (as permutações pares são {123}, {231} e {312}); {\varepsilon_{ijk}=-1} se {i\,j\,k} é uma permutação ímpar de {123} (as permutações ímpares são {132}, {321} e {213}).

O produto vectorial, {\vec{C}}, entre dois vectores {\vec{A}} e {\vec{B}} é {\vec{C}=\vec{A}\times \vec{B}}.

Para calcular as componentes do vector {\vec{C}} usamos a seguinte equação:

\displaystyle  C_i=\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}A_j B_k

Onde {\displaystyle\sum_{j,k}} é uma abreviatura para {\displaystyle\sum_j\sum_k}.

Como exemplo vamos calcular {C_1}

{\begin{aligned} C_1 &= \sum_{j,k}\varepsilon_{1jk}A_j B_k\\ &= \varepsilon_{123}A_2 B_3+\varepsilon_{132}A_3 B_2\\ &= A_2B_3-A_3B_2 \end{aligned}}

Onde usámos a definição de {\epsilon_{ijk}} ao longo da dedução.

Também podemos ver que (outro exercício para o leitor) {C_2=A_3B_1-A_1B_3} e que {C_3=A_1B_2-A_2B_1}.

Se apenas queremos determinar a magnitude de {\vec{C}} podemos usar a equação {C=AB\sin (A,B)}.

Após escolhermos os três eixos que definem o nosso referencial podemos escolher como base do nosso espaço um conjunto de três vectores linearmente independentes com norma igual a {1}. Estes vectores são chamados de vectores unitários.

Se denotarmos estes vectores por {\vec{e}_i} qualquer vector {\vec{A}} pode ser escrito como

\displaystyle \vec{A}=\displaystyle \sum _i \vec{e}_i A_i

Também temos {\vec{e}_i\cdot \vec{e}_j=\delta_{ij}} e {\vec{e}_i\times \vec{e}_j=\vec{e}_k}. A última equação pode também ser escrita como {\vec{e}_i\times \vec{e}_j=\vec{e}_k\varepsilon_{ijk}}.

— 7. Derivada de um vector em ordem a um escalar —

Seja {\varphi} uma função escalar de {s}: {\varphi=\varphi(s)}. Uma vez que tanto {\varphi} como {s} são escalares sabemos que as suas equações de transformação são {\varphi=\varphi '} e {s=s'}. Logo temos {d\varphi=d\varphi '} e {ds=ds'}

Assim para a diferenciação é {d\varphi/ds=d\varphi'/ds'=(d\varphi/ds)'}.

Para definirmos a derivada de um vector em ordem a um escalar vamos seguir um caminho semelhante.

Já sabemos que é {A'_i=\displaystyle \sum_j \lambda _{ij}A_j}. Então

{\begin{aligned} \dfrac{dA'_i}{ds'} &= \dfrac{d}{ds'}\left( \displaystyle \sum_j \lambda _{ij}A_j \right)\\ &= \displaystyle \lambda _{ij}\dfrac{d A_j}{ds'}\\ &= \displaystyle \lambda _{ij}\dfrac{d A_j}{ds}\ \end{aligned}}

Onde a última igualdade segue do facto que {s} é um escalar.

Pelo que mostrámos podemos escrever

\displaystyle  \frac{d A'_i}{ds'}= \left( \frac{d A_i}{ds} \right)'=\sum_j \lambda _{ij}\frac{d A_j}{ds}

Assim {dA_j/ds} transforma-se de acordo com a lei de transformação de um vector. Logo {d\vec{A}/ds} é um vector.

As regras para derivarmos vectores são:

  • {\dfrac{d}{ds}(\vec{A}+\vec{B})= \dfrac{d\vec{A}}{ds}+\dfrac{d\vec{B}}{ds}}
  • {\dfrac{d}{ds}(\vec{A}\cdot\vec{B})= \vec{A}\cdot\dfrac{d\vec{B}}{ds}+\dfrac{d\vec{A}}{ds}\cdot \vec{B}}
  • {\dfrac{d}{ds}(\vec{A}\times\vec{B})= \vec{A}\times\dfrac{d\vec{B}}{ds}+\dfrac{d\vec{A}}{ds}\times \vec{B}}
  • {\dfrac{d}{ds}(\varphi\vec{A})= \varphi\dfrac{d\vec{A}}{ds}+\dfrac{d\varphi}{ds}\vec{A}}

As demonstrações destas regras não são necessárias para ganharmos qualquer tipo técnica e assim sendo não serão apresentadas, no entanto o leitor que não esteja muito habituado a este tipo de raciocínio deve concluir as demonstrações para ganhar experiência.

Análise Matemática – Limites e Continuidade I

— 4. Limites e Continuidade —

Após introduzirmos sucessões e ganharmos conhecimentos sobre algumas das suas propriedades (I, II, III, e IV) estamos finalmente prontos para estudar Análise Real.

— 4.1. Definições Preliminares —

A Física expressa-se de uma forma mais concisa e eficiente na linguagem da Matemática. Um conceito matemático muito útil para a Física é conceito de uma função.

Falando de forma informal uma função é uma associação (transforma um sinal de entrada de um conjunto a um sinal de saída noutro conjunto) entre os elementos de dois conjuntos.

As sucessões que estudámos são casos particulares de funções: eles tomam números naturais e mapeiam-nos para números reais.

Mais formalmente introduzimos:

Definição 24

  • Uma função, {f} é uma relação (mapeamento) entre elementos de dois subconjuntos de números reais fazendo corresponder a um elemento do primeiro conjunto, um e um só elemento do segundo conjunto.

    \displaystyle  f:D\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \ \ \ (44)

  • O conjunto {D} é o domínio da função
  • O conjunto formado pelos elementos que podem ser relacionados com o conjunto da função diz-se o contradomínio da função .

    Representamos o elemento transformado pela função por {f(x)}:

    \displaystyle   \left\lbrace f(x):x \in D \right\rbrace = f\left[ D \right] \ \ \ \ \ (45)

Por vezes estamos interessados no mapeamento de uma função não para a totalidade de {D} mas somente para um subconjunto de {D}. Assim, faz sentido introduzir:

Definição 25

Seja {E \subset D}. Então {f\left[ E \right] = \left\lbrace f(x):x \in E \right\rbrace } é o transformado de {f} por {E}.

Tal como fizemos para as sucessões podemos definir o que é uma função majorada, minorada e limitada.

A título de exemplo temos

Definição 26

{f} diz-se limitada sse {\exists \, \alpha > 0 : |f(x)| \leq \alpha \forall x \in D }

— 4.2. Introdução à Topologia —

Vamos agora introduzir de forma breve algumas noções topológicas para depois estudarmos os conceitos de limites e continuidade.

Definição 27

  • Seja {E \subset \mathbb{R}}. Dizemos que {c \in \overline{\mathbb{R}}} é um ponto limite de {E} se existe uma sucessão {x_n} de pontos em {E \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tal que {\lim x_n = c}.
  • O conjunto dos pontos limites de {E} é {E^\prime}.
  • Os pontos pertencentes a {E} que não são pontos limites dizem-se pontos isolados.

Como já vem sendo nosso hábito após introduzirmos algumas definições vamos fornecer alguns exemplos para tornar a nossa exposição mais concreta:

\displaystyle  E = \left] 0,1\right[ \cup \left\lbrace 2 \right\rbrace

É fácil ver que (e não vamos dar uma demonstração rigorosa dessa asserção) que {E^\prime= \left[ 0,1 \right] } e que {2} é o único ponto isolado de {E}.

Definição 28

  • {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^+}} denota o limite para {c} por números reais maiores que {c}.
  • {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^-}} denota o limite para {c} por números reais menores que {c}.
  • Definimos {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^+} f(x) = a} se para todas sucessões {x_n \in D} tais que {x_n \rightarrow c^+} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.

Definição 29

O símbolo {D_{c^+}} é utilizado para denotar {D \cap \left] c, \infty \right[ } e o símbolo {D_{c^-}} para denotar {D \cap \left] - \infty , c \right[ }

Como exemplo vamos calcular

\displaystyle  \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}

Neste caso é {D_{0^+} = \left] 0, \infty \right[ } e {0^+ \in D^\prime_{c^+}} pelo que o limite que vamos calcular não é despropositado.

Se {x_n} é uma sucessão de pontos em {D^\prime_{c^+}} tal que {x_n \rightarrow 0^+} então

\displaystyle \lim f(x_n)=\lim \dfrac{1}{x_n}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty

Teorema 28

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime}. Vamos admitir que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}. Então, se {c \in D^\prime_{c^+}} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a }. Se {c \in D^\prime_{c^-}} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = a }.

Demonstração:

Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D_{c^+}} tal que {x_n \rightarrow c}. Uma vez que {x_n} é uma sucessão de pontos em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } (pela nossa escolha de {x_n}) e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a} (por hipótese do teorema) vem, pela definição de limite que { \lim f(x_n)= a}.

Mas isto é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} = a} por definição.

O caso {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}} é demonstrado com um raciocínio semelhante.

\Box

Como aplicação do teorema 28 vamos calcular

\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}

É fácil ver que este limite não existe. Seja {f(x)=\dfrac{1}{x}}. Então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = -\infty}.

Uma vez que os limites laterais são diferentes podemos concluir que o limite {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}} não existe.

Definição 30

{ +\infty } é um ponto limite de {E} se {E} não é majorado em { \mathbb{R} }.

{ -\infty } é um ponto limite de {E} se {E} não é minorado em {\mathbb{R}}.

Se as definições anteriores o deixam confuso lembre-se que se {E} não é majorado, então tem-se necessariamente { \exists x_n \in E: \quad \lim x_n = +\infty } o que é a definição de ponto limite.

Definição 31

{c} diz-se ponto limite de {E} se

\displaystyle   \forall \delta > 0 \; V(c,\delta) \cap E \setminus \left\lbrace c \right\rbrace \neq \emptyset \ \ \ \ \ (46)

Definição 32

Seja {D \subset \mathbb{R} }, {f : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e { a \in \mathbb{R} }.

{f} tem limite {a} no ponto {c} se para todas sucessões {x_n \in D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tais que {\lim x_n = c} vem que {\lim f(x_n) = a}.

— 4.3. Limites e Topologia —

Só definimos o limite de uma função em pontos limite do seu domínio. De notar que com esta definição podemos também definir o limite de uma função em pontos que não pertencem ao domínio da função.

Vamos agora utilizar alguns exemplos para testar os nossos conhecimentos:

  • Calcule {\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x} }.

    { D = \mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace } e { + \infty \in D^\prime } uma vez que {D} não é majorado em { \mathbb{R} }.

    Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D} tal que { x_n \rightarrow + \infty } e {f(x)=\dfrac{1}{x}}. Então {f(x_n)=\dfrac{1}{x_n}} e temos {\lim f(x_n)=0}.

  • Calcule {\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \sin x }

    O domínio de {f(x)= \sin x} é {D = \mathbb{R}}. Logo {+\infty \in D^\prime}

    Seja {x_n = n \pi}. Assim {x_n \rightarrow +\infty } e {f(x_n)=\sin x_n = 0}.

    Neste caso é trivial que {\lim f(x_n)=0}.

    No entanto escolhendo {y_n=\pi/2 + 2n\pi} também é {y_n \rightarrow + \infty}, mas {f(y_n)= \sin (\pi/2+2n\pi)=1} e assim {\lim f(y_n)=1}.

    Uma vez que temos {x_n}, {y_n} tais que {\lim x_n = \lim y_n = + \infty}, mas {\lim f(x_n) \neq \lim f(y_n)}. Logo {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin x } não existe.

Vamos agora introduzir os conceitos de limites laterais. Vamos usar os símbolos {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}} para denotar a aproximação a {c} por números reais maiores que {c}. A definição de {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}} segue um caminho análogo.

Formalizando:

Definição 33

  • Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x)=a} se para todas {x_n \in D} tais que { x_n \rightarrow c^+} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.
  • {D_{c^+}} é {D \cap \left] c, +\infty \right[ } e {D_{c^-}} é {D \cup \left] -\infty, c \right[ }.
  • Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x)=a} se para todas {x_n \in D} tais que { x_n \rightarrow c^-} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.

Análise Matemática – Exercícios II

1.

a) Para a sequência { \dfrac{n^2+1}{2n^2-1}} mostre que existe uma ordem { k} onde { \left | u_n - \dfrac{1}{2} \right |<10^{-3}} é válido.

{ \begin{aligned} \left | \dfrac{n^2+1}{2n^2-1} - \dfrac{1}{2} \right | &< 10^{-3} \\ \left | \dfrac{2n^2+2-2n^2+1}{2(2n^2-1)} \right | &< 10^{-3} \\ \left | \dfrac{3}{2(2n^2-1)} \right | &< 10^{-3} \\ \dfrac{|3|}{|2(2n^2-1)|} &< 10^{-3} \end{aligned}}

Uma vez que { 2(2n^2-1)>0} vem que

{ \begin{aligned} \dfrac{3}{2(2n^2-1)} &< 10^{-3} \\ 3/2 \times 10^3 &< 2n^2-1 \\ 3/4\times 10^3+1/2 &< n^2 \\ \sqrt{3/4\times 10^3 + 1/2} &< n \end{aligned}}

Tomando { k > \left \lfloor \sqrt{3/4\times 10^3 + 1/2}\right \rfloor +1} Temos o resultado pretendido.

b) Mostre por definição que { u_n \rightarrow 1/2}

Pela definição de limite e usando a), temos

\displaystyle  n > \sqrt{\dfrac{3}{4 \delta}+1/2}

Fazendo

\displaystyle  k= \left \lfloor \sqrt{\dfrac{3}{4 \delta}+1/2} \right\rfloor+1

a diferença entre { u_n} e { 1/2} é sempre menor do que { \delta}.

2. Mostre que { \lim u_n = 0 \Leftrightarrow \lim |u_n| = 0}

Na maior parte dos casos é mais fácil mostrar que o módulo da sequência tende para {0}. Com esta proposição podemos ver que as proposições são equivalentes e como tal podemos evitar cálculos longos e aborrecidos.

Diz-se que { u_n \rightarrow a} sse { \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}: \quad n>k \Rightarrow |u_n - a| < \delta}

Assim { \lim |u_n - a| = 0} sse

{\forall \delta > 0\,\exists k\in\mathbb{N}:\; n > k\Rightarrow||u_n-a|-0| < \delta}

{\Leftrightarrow \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}:\; n > k \Rightarrow |u_n - a| < \delta}

Com { a=0} as proposições { \lim u_n = 0} e { \lim |u_n| = 0} são de facto equivalentes.

3. Calcule { \lim \sqrt{n+1}-\sqrt{n}}

Este limite que estamos interessados em calcular pode ser visto como { \lim u_n - v_n} onde { u_n = \sqrt{n+1}} e { v_n = \sqrt{n}}.

Sabemos que { \lim u_n = \lim \sqrt{n+1} = +\infty} e { \lim v_n = \lim \sqrt{n} = +\infty}.

O que estamos a tentar determinar é quão rápido estas sucessões divergem. Se o valor do limite é { a \in \mathbb{R}^+} então { u_n} diverge ligeiramente mais depressa, se for { a \in \mathbb{R}^-} então é { v_n} que diverge ligeiramente mais depressa.

No caso de { \pm \infty} vemos que uma das sequências diverge muito mais rápido que a outra.

Vamos então calcular:

{\begin{aligned} \lim \sqrt{n+1}-\sqrt{n} &= \lim \dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n(1+1/n)}+\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}\sqrt{n}} \\ &= \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1+1/n}+1 \right)} \\ &= \lim\dfrac{1}{\left( \sqrt{1+1/n}+1 \right) } \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} \\ &= \lim\dfrac{1}{2 \sqrt{n}} \\ &= 0 \end{aligned}}

O que quer dizer que as sucessões divergem com essencialmente a mesma velocidade.

4. Calcule { \lim \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2+1} \right)}

{\begin{aligned} \lim \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2+1} \right)&=\lim \dfrac{n^2+n-n^2-1}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2+1}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)} + \sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{n \sqrt{1+\frac{1}{n}} + n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{n\left( \sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right)} \\ &=\lim \dfrac{n-1}{2n} \\ &=\dfrac{1}{2} \end{aligned}}

5. Calcule { \lim \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2}}.

Vamos escrever alguns termos desta soma para podermos ganhar alguma intuição sobre o que está a acontecer:

{ \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} = \dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \dfrac{1}{(2n)^2}}

Ou seja, fazendo { n \rightarrow \infty} o que nós obtemos é cada vez mais termos para somar, mas os valores destes termos tornam-se cada vez menores.

O valor deste limite dir-nos-á qual destes efeitos contraditórios é mais forte.

Uma vez que estamos a somar { n} cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \leq \dfrac{n}{(n+1)^2}

Mas também é

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \geq \dfrac{n}{4n^2}

Assim

\displaystyle  \dfrac{n}{4n^2} \leq \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} \leq \dfrac{n}{(n+1)^2}

com { \lim \dfrac{n}{4n^2} = \lim \dfrac{n}{(n+1)^2} = 0}

Logo { \lim \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{(n+k)^2} = 0}.

Em conclusão o facto dos valores dos termos serem sucessivamente menores é mais importante para o valor do limite do que o facto do número de termos aumentar indefinidamente.

6. Calcule { \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}}

Uma situação semelhante à encontrada no exercício anterior

Uma vez que estamos a somar { n} cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \geq \dfrac{n}{\sqrt{2n}}

Mas também é

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \leq \dfrac{n}{\sqrt{n+1}}

Logo { \dfrac{n}{\sqrt{2n}} \leq \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} \leq \dfrac{n}{\sqrt{n+1}}}.

Uma vez que

\displaystyle  \lim \dfrac{n}{\sqrt{2n}} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{n}{\sqrt{n}}= \lim \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{n} = + \infty

e

\displaystyle  \lim \dfrac{n}{\sqrt{n+1}} = \lim \dfrac{n}{\sqrt{n}}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = \lim \sqrt{n}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = +\infty

vem que

\displaystyle  \displaystyle \sum _{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}} = + \infty

Desta vez o facto de termos um número infinito de termos para adicionar é mais relevante para o valor do limite do que o facto das fracções estarem a tender para {0}. Tal resultado advém desta vez termos raízes quadradas no denominador das fracções.

7. Calcule { \lim \dfrac{n^n}{n!}}

Visualmente:

\displaystyle  n^{n-1} = n \times n \times n \ldots \times n

com { n-1} termos.

\displaystyle  n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n = 2 \times 3 \times \ldots \times n

com { n-1} termos.

Então

\displaystyle  \lim \dfrac{n^n}{n!} \geq \lim \dfrac{n^n}{n^{n-1}} = + \infty

então também é

\displaystyle  \lim \dfrac{n^n}{n!} = +\infty

De onde podemos concluir que { n^n} tende para infinito mais rápido do que { n!}

8. Dê exemplo de sucessões que

a) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=0}

{ u_n = n} e { v_n = -n}

b) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=10}

{ u_n = n+10} e { v_n = -n}

c) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n=+\infty}

{ u_n = 2n} e { v_n = -n}

d) { u_n \rightarrow +\infty} e { v_n \rightarrow - \infty}: { u_n+v_n} não existe.

{ u_n = n+(-1)^n} e { v_n = -n}

e) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = a \in \mathbb{R}}

{ u_n = \dfrac{a}{n}} e { v_n = n}

f) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = 0}

{ u_n = \dfrac{1}{n^2}} e { v_n = n}

g) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n = +\infty}

{ u_n = \dfrac{1}{n}} e { v_n = n^2}

h) { u_n \rightarrow 0} e { v_n \rightarrow \infty}: { u_n v_n} não existe.

{ u_n = \dfrac{\sin n}{n}} e { v_n = n}

Análise Matemática – Sucessões IV

Após termos demonstrado alguns teoremas importantes sobre sucessões no artigo anterior vamos agora introduzir algumas noções auxiliares que nos ajudarão a continuar o nosso estudo das sucessões.

— 3.3. Relações entre Sucessões —

Definição 20 Sejam { u_n} e { v_n} duas sucessões. Vamos admitir a existência de uma sucessão { h_n} tal que { u_n = h_n v_n}.

Se { \lim h_n=1} dizemos que { u_n} é assimptoticamente igual a { v_n} e escrevemos { u_n \sim v_n}. Se { v_n \neq 0} podemos escrever { h_n = \dfrac{u_n}{v_n}}.

Como exemplo vamos considerar a sucessão { u_n=3n^2-5n+1}. É fácil ver que neste caso temos { u_n \sim 3n^2}.

Podemos então escrever { 3n^2-5n+1=3n^2\left(1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}.

Neste caso é { h_n=1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}} e temos { \lim h_n = \lim \left( 1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2} \right) = 1}.

Teorema 23 Consideremos as sucessões { a_n}, { b_n}, { c_n}, e { d_n}.

  • Se { a_n \sim b_n} e { \lim a_n = a} também temos { \lim b_n = a}
  • Se { a_n \sim c_n} e { b_n \sim d_n} então { a_n b_n \sim c_n d_n} e { \dfrac{a_n}{b_n} \sim \dfrac{c_n}{d_n}}.

Demonstração: Por definição de { a_n \sim b_n} é { a_n=h_n b_n}. Aplicando limites a ambos os lados da equação anterior vem { \lim a_n =\lim (h_n b_n)= \lim h_n \lim b_n= 1\cdot \lim b_n} onde { \lim h_n = 1} por hipótese. Então temos { \lim b_n =\lim a_n=a}.

Vamos escrever { a_n= h_n c_n} e { b_n= t_n d_n} com { \lim h_n = \lim t_n = 1}. Então { a_n b_n = h_n t_n c_n d_n} e aplicando limites { \lim ( a_n b_n )= \lim (h_n t_n)\lim ( c_n d_n )} com { \lim (h_n t_n)= \lim h_n \lim t_n=1\times 1 =1}. Então { \lim ( a_n b_n )= \lim ( c_n d_n )} como pretendido.

A parte do enunciado referente à divisão prova-se de uma forma semelhante. \Box

Definição 21 Sejam { u_n} e { v_n} duas sucessões e vamos supor que { u_n= h_n v_n} para uma sucessão { h_n}:

  • Se { \lim h_n = 0} dizemos que { u_n} é desprezável relativamente a { v_n} e escrevemos { u_n = o(v_n)}.
  • Se { h_n} é limitada dizemos que { u_n} é dominada por { v_n} e escrevemos { u_n = O(v_n)}.

Vamos agora dar uma explicação mais intuitiva sobre o significado dos símbolos que introduzimos:

A notação { u_n \sim v_n} expressa o facto que a diferença entre { u_n} e { v_n} tende para { 0\,} à medida que { n \rightarrow \infty}. Ou seja os valores das sucessões são cada vez mais próximos

A notação { u_n = O(v_n)} expressa o facto que as duas sucessões diferem por um factor de escala, que é o mesmo que dizer que evidenciam o mesmo tipo de comportamento em {\infty}. A expressão o mesmo tipo de comportamento será tornada mais clara com o desenvolver da Análise Real neste blog.

A notação { u_n = o(v_n)} diz-nos que { u_n} toma valores cada vez mais pequenos quando comparada com { v_n} à medida que nos aproximamos de { \infty}. De uma maneira mais formal: se { v_n \neq 0 \, \lim \dfrac{u_n}{v_n}=0}

Vamos agora fornecer alguns exemplos para tornar mais concreta a discussão anterior:

\displaystyle \dfrac{1}{n^3}=o \left(\dfrac{1}{n}\right)

Escrevemos { \dfrac{1}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}\dfrac{1}{n}}. Definindo { h_n = \dfrac{1}{n^2}} vemos que é efectivamente { \lim h_n=0}

\displaystyle \dfrac{\sin n}{n}=O\left(\dfrac{1}{n}\right)

Neste caso escrevemos { \dfrac{\sin n}{n}=\sin n \dfrac{1}{n}} com { h_n=\sin n}. Uma vez que { \sin n} é limitada obtemos o resultado pretendido.

— 3.4. Comentários finais sobre sucessões —

Definição 22 Diz-se que { u_{\alpha_n}} é uma subsucessão de { u_n} se { \alpha_n} é uma sucessão que tende para { \infty}.

De forma informal podemos dizer que uma subsucessão, { u_{\alpha_n}}, de { u_n} é uma sucessão que omite alguns dos termos de { u_n}.

Como exemplo de subsucessões temos { u_{2n}} (onde omitimos os termos ímpares da sucessão inicial) e { u_{n^2}} (onde só consideramos os termos que são quadrados perfeitos da sucessão inicial).

Teorema 24 Se uma sucessão tem um limite então todas as suas subsucessões têm o mesmo limite.

Demonstração: Por hipótese { u_n \rightarrow a \in \overline{\mathbb{R}}}. Seja { u_{\alpha_n}} uma subsucessão de { u_n}.

Se { u_n} converge sabemos que { \forall \delta > 0\, \exists l \in \mathbb{N}: \; n \geq l \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)}.

Uma vez que { \alpha_n \rightarrow \infty \quad \exists k \in \mathbb{N}: \; n \geq k \Rightarrow u_{\alpha_n} > l}.

Assim { n \geq k \Rightarrow u_{\alpha_n} \in V(a,\delta)}.

Por definição isto é { \lim u_{\alpha_n}=a} \Box

Já vimos que { u_n = \left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n} é uma sucessão convergente, então, ainda que { v_n = \left (1+\dfrac{1}{n^2} \right )^{n^2}} pareça ser uma sucessão mais difícil, podemos dizer sem nenhum esforço que { \lim \left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n = \lim \left (1+\dfrac{1}{n^2} \right )^{n^2}} visto que { v_n=u_{n^2}} e assim { v_n} é uma subsucessão de uma sucessão convergente.

Corolário 25 Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites distintos, então a sucessão é divergente.

Demonstração: Segue directamente de { p\Rightarrow q \Leftrightarrow \left( \sim q \Rightarrow \sim p \right)}.

Ou seja este corolário é o contra-recíproco do Teorema 24 e como tal é também uma proposição verdadeira. \Box

Como aplicação do Corolário 25 vamos analisar { u_n = (-1)^n}.

{ u_{2n}= (-1)^{2n}=1} e é {\lim u_{2n}=1}.

{ u_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1} e é { \lim u_{2n+1}=-1}.

Concluímos então que { u_n=(-1)^n} é uma sucessão divergente.

Teorema 26 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda a sucessão limitada tem uma subsucessão convergente em { \mathbb{R}}.

Demonstração: Vamos somente apresentar um esboço de demonstração.

Uma maneira de o fazer é primeiro demonstrar que todas as sucessões têm uma subsucessão monótona. Aplicando este resultado a uma sucessão limitada teríamos então que uma sucessão limitada tem uma subsucessão que é limitada e monótona. Pelo Corolário 21 sabemos que uma sucessão monótona e limitada é convergente. \Box

Definição 23 Seja { X \subset \mathbb{R}}. Dizemos que { X} é um intervalo compacto se for fechado e limitado.
Corolário 27 Seja { X} um intervalo compacto e { u_n : \mathbb{N} \rightarrow X}. Então { \exists \, u_{\alpha_n}: \quad \lim u_{\alpha_n}=x \in X} onde { u_{\alpha_n}} é uma subsucessão de { u_n}.

Demonstração: Seja { X= \lbrack a, b \rbrack} um intervalo compacto e { u_n} uma sucessão de pontos em { X}. Uma vez que { a \leq u_n \leq b}, { u_n} é limitada. Do Teorema 26 vem que { u_n} tem uma subsucessão convergente: { u_{\alpha_n}}.

Para { u_{\alpha_n}} também é { a \leq u_{\alpha_n} \leq b}. Isto implica { \lim a \leq \lim u_{\alpha_n} \leq \lim b \Rightarrow a \leq \lim u_{\alpha_n} \leq b\Rightarrow \lim u_{\alpha_n} \in X} \Box

Análise Matemática – Sucessões III

Teorema 18 Seja { E \subset \mathbb{R}}e { s=\sup E}. Então existe uma sucessão { u_n} com termos em { E} tal que { \lim u_n=s}.

Também podemos formular um teorema análogo para { i=\inf E}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Teorema 19 Dada as sucessões { u_n} e { v_n} é:

  1. { \lim u_n = a \in \mathbb{R}\Rightarrow \lim |u_n|=|a|}
  2. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}} e { \lim v_n=b \in \mathbb{R}}, então { lim (u_n+v_n)=a+b}
  3. { \lim u_n=+\infty} e { v_n} minorada, então { \lim (u_n+v_n)=+\infty}
  4. { \lim u_n=-\infty} e { v_n} majorada, então { \lim (u_n+v_n)=-\infty}
  5. { \lim u_n=0} e { v_n} limitada, então { \lim (u_n v_n)=0}
  6. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}} and { \lim v_n=b \in \mathbb{R}}, então { \lim u_n v_n = ab}
  7. { \lim |u_n|=+\infty} e { \lim v_n=a \neq 0}, então { \lim |u_n v_n|= +\infty}
  8. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \Rightarrow lim \dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{a}}
  9. { \lim |u_n|=+\infty \Rightarrow \lim \dfrac{1}{u_n}=0}
  10. { \lim u_n=0 \Rightarrow \lim \dfrac{1}{|u_n|}=+\infty}

Demonstração: Só vamos demonstrar a propriedade 2 do teorema sendo que as restantes ficam como um exercício para o leitor

Seja { \delta > 0}. Então:

{\begin{aligned} |(u_n+v_n)-(a+b)| &= |(u_n - a)+(v_n - b)| \\ &\leq |u_n - a|+ |v_n - b| \end{aligned}}

Vamos denotar a relação anterior por 1 .

Também temos:

\displaystyle  u_n \rightarrow a\Leftrightarrow \exists k_1 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_1 \Rightarrow |u_n - a| \leq \dfrac{\delta}{2}

\displaystyle  v_n \rightarrow b \Leftrightarrow \exists k_2 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_2 \Rightarrow |v_n - b| \leq \dfrac{\delta}{2}

Seja { k=\mathrm{max}\{k_1,k_2\}} de modo a que ambas as condições anteriores sejam satisfeitas. Então { \exists k \in \mathbb{N}: \, n \geq k \Rightarrow |u_n - a|+|v_n - b|<\delta}.

Voltando a 1 fica:

\displaystyle  |u_n - a|+|v_n - b| < \delta

Consequentemente

\displaystyle  n \geq k \Rightarrow |(u_n + v_n)-(a+b)| < \delta

Isto é equivalente a

\displaystyle  \lim (u_n + v_n) =a+b

que é o resultado pretendido. \Box

Caso esteja a inquirir porque usámos { \dfrac{\delta}{2}} nas condições dos limites, tanto para { u_n} como para { v_n}, ao invés de utilizarmos { \delta} isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo { \dfrac{\delta}{2}}.

Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.

Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação { k-\delta} e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.

Teorema 20 (Convergência da Sucessão Monótona) Seja { u_n} uma sucessão monótona em { \overline{\mathbb{R}}}. Então { u_n} é uma sucessão convergente em { \overline{\mathbb{R}}}:

  • { \lim u_n = \mathrm{sup}\{ u_n: \, n \geq p \}} para { u_n} crescente.
  • { \lim u_n = \mathrm{inf}\{ u_n: \, n \geq p \}} para { u_n} decrescente.

Demonstração: Vamos somente demonstrar o resultado para o caso em que {u_n} é uma sucessão monótona crescente.

Dada uma sucessão monótona { u_n} temos, { E=\{ u_n:\, n\geq p \}} e { s=\sup E}.

Vamos admitir que { s \in \mathbb{R}} (sucessão majorada). Dado { \delta > 0} é possível mostrar que { x \in E} tal que { s-\delta < x\leq s}.

Pela definição de { E} sabemos que { x=u_k}, para um certo { k}. Assim { \exists k \in \mathbb{N}:\, s-\delta < u_k \leq s}.

Uma vez que { u_n} é uma sucessão monótona { n \geq k \Rightarrow u_n > s-\delta}. Mas uma vez que { u_n \in E} também temos { u_n \leq s}.

Logo { n\geq k \Rightarrow s-\delta < u_n\leq s \Rightarrow u_n \in \rbrack s-\delta, s \rbrack \Rightarrow |u_n - s| < \delta}. Pela de definição de limite é { \lim u_n = s}.

Vamos agora supor que { s=+\infty}. Neste caso também podemos provar que dado { L > 0\, \exists x \in E: \, x > L}. Relembrando que é { x=u_k} temos { \exists k \in \mathbb{N}: \, u_k > L}. Uma vez { u_k} é uma sucessão crescente temos { n\geq k \Rightarrow u_n \geq u_k > L} e isto é equivalente a { u_n \rightarrow +\infty}. \Box

Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em { \overline{\mathbb{R}}} são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão { u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}} que tende para {0} ainda que não seja monótona.

Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em { \mathbb{R}}.

Demonstração: Por hipótese sabemos que { \exists a,b \in \mathbb{R}: \, a\leq u_n \leq b}. Pelo Teorema 20 sabemos que { u_n } tem limite em { \overline{\mathbb{R}}}. Pelo Corolário 15 vem que { a \leq \lim u_n \leq b}. Assim { u_n \rightarrow c \in \mathbb{R}} onde { c \in \lbrack a, b \rbrack}. \Box

Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.

Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.

Por exemplo dado { u_n = \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?

Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:

Pelo gráfico podemos ver que { u_n} aparente ser majorada por { 3} e é crescente, logo é monótona.

Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.

Proposição 22 { u_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} é uma sucessão convergente.

Demonstração: Primeiro vamos mostrar que { u_n } é crescente. Para o fazer vamos calcular { u_{n+1}/u_n}.

{\begin{aligned} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&= \dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} \\ &=\dfrac{\left (\dfrac{n+2}{n+1} \right )^{n+1}}{\left ( \dfrac{n+1}{n} \right )^n} \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n+2}{n+1}/\dfrac{n+1}{n} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{(n+2)n}{(n+1)^2} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1} \left( \dfrac{n^2+2n+1-1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right )^n \end{aligned}}

Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli { (1+x)^r \geq 1+rx\, \forall r \in \mathbb{Z}} e { \forall x: \, x \geq -1}. Esta desigualdade será demonstrada num artigo futuro usando a indução matemática.

Continuando.

{\begin{aligned} \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^2} \right )^n &\geq \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2} \right ) \\ &= \left ( 1+\dfrac{1}{n+1}\right )\left ( 1-\dfrac{n}{\left(n+1\right)^2}\right ) \\ &= 1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1-\dfrac{-n(n+1)+(n+1)^2-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{-n^2-n+n^2+2n+1-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^3} \\ &\geq 1 \end{aligned}}

Em conclusão { \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n} e { u_n } é monótona.

Agora resta-nos mostrar que { u_n} é limitada e terminamos a nossa demonstração que {u_n} é convergente.

{ u_1=\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^1=2}. Umja vez que {u_n} é crescente vem que { u_n \geq 2}.

Assim resta-nos provar que { u_n} é majorada para podermos concluir que é limitada.

Como foi mostrado neste artigo podemos escrever

{ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n}}.

Escrevendo por extenso:

{\begin{aligned} \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= \displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+\dbinom{n}{1}\dfrac{1}{n}+\dbinom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+\cdots +\dbinom{n}{n}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} \end{aligned}}

Sabemos que { \dfrac{n(n-1)\ldots (n-(k-1))}{2!}\dfrac{1}{n^k}<1} e que { \dfrac{1}{k!}<\dfrac{1}{2^{k-1}}}. Usando estas duas desigualdades, por essa ordem respectiva:

{ \begin{aligned} 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} &< 1+1+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{n!} \\ &< 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}} \end{aligned} }

Assim o que temos é: { \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n<\displaystyle 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\left( \dfrac{1}{2} \right)^n}.

Uma vez que { \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}r^n=\dfrac{1-r^n}{1-r}} segue

{\begin{aligned} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n &< 1+\dfrac{1-1/2^n}{1-1/2} \\ &= 1+\dfrac{1-1/2^n}{1/2} \\ &= 1+2-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &= 3-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &\leq 3 \end{aligned}}

Sintetizando o que nós temos é

\displaystyle  2\leq \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n \leq 3

Assim { u_n} é monótona e limitada. O que nos leva a concluir que { u_n} é convergente.

Para além disso também sabemos de { u_n \leq 3} que { \lim u_n \leq 3}. Tal não nos permite saber com exactidão qual é o valor do limite, mas é já alguma informação. \Box

Análise Matemática – Sucessões II

Após termos introduzido a definição do que é uma vizinhança no artigo anterior vamos agora fazer mais uma definição que nos permitirá unificar mais alguns resultados.

Definição 17 O conjunto formado por { \{ -\infty \} \cup \mathbb{R} \cup \{\infty \}} é denominado de reta real estendida e o seu símbolo é { \overline{\mathbb{R}}}. Os elementos deste novo conjunto têm as seguintes propriedades:

  • { x\in\mathbb{R}\Rightarrow -\infty<x<\infty} e { -\infty<\infty}
  • { x+\infty=\infty} se { x\neq -\infty}
  • { x-\infty=-\infty} se { x\neq \infty}
  • { x\cdot(\pm\infty)=\pm\infty} se { x>0}
  • { x\cdot(\pm\infty)=\mp\infty} se { x<0}
  • { \dfrac{x}{\pm\infty}=0} se { x\neq\pm\infty}
  • { \displaystyle\left|\frac{x}{0}\right|=\infty} se { x\neq 0}

Após a introdução deste novo conjunto e os seus dois novos elementos podemos definir duas vizinhanças:

Definição 18

\displaystyle   V(+\infty,\delta)=\left\rbrack\dfrac{1}{\delta},+\infty\right\rbrack \ \ \ \ \ (42)

\displaystyle   V(-\infty,\delta)=\left\lbrack -\infty,-\dfrac{1}{\delta}\right\lbrack \ \ \ \ \ (43)

É muito importante que o leitor possa entender a razão de ser destas duas vizinhanças. Por experiência pessoal posso dizer que a primeira vez que olhei para elas fiquei baralhado e penso que a reacção dos meus colegas não foi muito diferente.

A noção de vizinhança de um número real é bastante simples de se entender. Essencialmente é o intervalo aberto e centrado num dado ponto.

Se queremos generalizar a noção de vizinhança para estes novos elementos { +\infty} e { -\infty} temos que perceber que não mais podemos ter intervalos centrados visto que estes dois números são os limites finais de { \overline{\mathbb{R}}}.

O que nós podemos e devemos manter é o facto de quanto maior o valor de { \delta} maior é o intervalo considerado. Mas com { 1/\delta} os rácios são cada vez menores se { \delta} aumentar. E é isso mesmo que nós queremos. Se { 1/\delta} toma valores que são cada vez menores a vizinhança fica cada vez mais próxima de {0}. Uma vez que nós começamos do {\infty} isso quer dizer que a nossa vizinhança é de facto maior!

A definição escolhida para a vizinhança de { -\infty} tem uma justificação análoga.

Vamos agora considerar uma sucessão { u_n}, que é minorada mas não é majorada. Ou seja temos { u_n \rightarrow +\infty} em { \overline{\mathbb{R}}}. Isto é equivalente ao seguinte:

{ \begin{aligned} \forall \delta > 0 \,\exists k \in \mathbb{N}: \, n\geq k \Rightarrow u_n > \dfrac{1}{\delta} &\Leftrightarrow u_n \in \left\rbrack \dfrac{1}{\delta}, +\infty\right\rbrack \\ &\Leftrightarrow u_n \in V(+\infty,\delta) \end{aligned}}

Podemos fazer uma dedução semelhante para for { u_n \rightarrow -\infty}. Assim podemos escrever com toda a generalidade:

Definição 19 Seja { a \in \overline{\mathbb{R}}}. Então é { \lim u_n=a} sse { \forall \delta > 0 \, \exists k \in \mathbb{N}: \, n \geq k \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)}.

— 3.2. Limites e Desigualdades —

Teorema 14 Seja { u_n} e { v_n}. Vamos admitir que existe uma ordem { m} tal que { u_n \leq v_n \quad \forall n \geq m}. Se { \lim u_n} e { \lim v_n} existem, então { \lim u_n \leq \lim v_n}

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Após isto podemos perguntar se { u_n < v_n \Rightarrow \lim u_n < \lim v_n} também é um teorema. A resposta é negativa e um simples contra-exemplo é suficiente para o mostrar:

Por exemplo { \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n} \quad \forall n\geq 1} e ainda assim { \lim \dfrac{1}{n+1}= \lim \dfrac{1}{n} = 0}.

Corolário 15 Seja { u_n} uma sucessão e { a \in \mathbb{R}}. Vamos também admitir que a partir de uma certa ordem se tem { u_n \leq a} ({ u_n \geq a}). Se { \lim u_n} existe, vem que { \lim u_n \leq a} ( { \lim u_n \geq a}).

Demonstração: Seja { v_n=a\, \forall n} no teorema 14 e o resultado segue trivialmente. \Box

Teorema 16

Seja { u_n} e { v_n} tais que { u_n \leq v_n \quad \forall n > m} para alguma ordem { m}. Então:

  • { u_n \rightarrow +\infty \Rightarrow v_n \rightarrow +\infty}
  • { v_n \rightarrow - \infty \Rightarrow u_n \rightarrow -\infty}

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Teorema 17 (Teorema da sucessão enquadrada) Seja { u_n}, { v_n}, and { w_n} tais que a partir de uma certa ordem { m} se tem { v_n \leq u_n \leq w_n}. Se { \lim v_n = \lim w_n}, o limite de { u_n} existe e é { \lim v_n = \lim u_n = \lim w_n}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Enquanto aplicação do Teorema 17 vamos olhar para o seguinte exemplo: { u_n=\dfrac{\sin n}{n}} onde queremos calcular o limite { \lim u_n}.

Ora

\displaystyle  -1\leq \sin n \leq 1 \Rightarrow -\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}

Sabemos que { \lim\left( -\dfrac{1}{n} \right)= \lim \dfrac{1}{n} = 0}, então:

\displaystyle  \lim \dfrac{\sin n}{n}=0

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