Análise Matemática – Limites e Continuidade VI

— 5. Exemplos de propriedades para funções contínuas —

Definição 36 Seja ${{D \subset \mathbb{R}}}$ ; ${{f: D\rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D'\setminus D}}$ . Se ${{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=a\in \mathbb{R}}}$ , podemos definir o prolongamento por continuidade de ${f}$ , que se representa por ${{\tilde{f}}}$ como:

$\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} f(x) \quad x \in D \\ a \quad x=c \end{cases} \ \ \ \ \ (47)$

Como uma aplicação da definição acima vamos estudar a função ${{f(x)= \sin x/x}}$ . Temos ${{D= \mathbb{R}\setminus \{0\}}}$ . Uma vez que ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sin x/x=1}}$ podemos definir ${{\tilde{f}}}$ como

$\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} \sin x/x \quad x \neq 0 \\ 1 \quad x=0 \end{cases}$

Como segundo exemplo temos ${{f(x)=1/x}}$ . Uma vez que ${{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty}}$ e ${{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty}}$ não podemos definir ${{\tilde{f}}}$ para ${{1/x}}$ . Finalmente temos a função ${{f(x)=1/x^2}}$ . Sabemos que é ${{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=+\infty}}$ . Ainda que os limites sejam iguais não podemos definir ${{\tilde{f}}}$ , visto que a função não é majorada. Em geral podemos dizer que dado ${{f: D\rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D'\setminus D}}$ ${{\tilde{f}}}$ existe, sse ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}f(x)}}$ existe e é finito.

Teorema 42 Seja ${{D \subset \mathbb{R}}}$ ; ${{f,g: D\rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D}}$ . Se ${{f}}$ e ${{g}}$ são funções contínuas, então ${{f+g}}$ , ${{fg}}$ e (se ${{g(c)\neq 0}}$ ) ${{f/g}}$ também são funções contínuas.

Demonstração: Vamos mostrar que ${{fg}}$ é contínua e deixar os outros casos para o leitor. Seja ${{x_n}}$ uma sucessão de pontos em ${{D}}$ tal que ${{x_n \rightarrow c}}$ . Então ${{f(x_n) \rightarrow f(c)}}$ e ${{g(x_n) \rightarrow c}}$ (dado que ${{f}}$ e ${{g}}$ são funções contínuas). Logo ${{f(x_n)g(x_n) \rightarrow f(x)g(x)}}$ da propriedade ${{6}}$ do Teorema 19. E isto é a nossa definição de uma função contínua. $\Box$

Seja ${{f(x)=5x^2-2x+4}}$ . Tomemos ${{f_1(x)=5}}$ , ${{f_2(x)=-2}}$ e ${{f_3(x)=4}}$ . Já sabemos que as funções anteriores são funções contínuas. Ora ${{f_4(x)=x^2}}$ e ${{f_5(x)=x}}$ também são funções contínuas. ${{f_6(x)=-2x}}$ é contínua visto ser o produto de ${{2}}$ funções contínuas. Finalmente ${{f(x)=5x^2-2x+4}}$ é contínua visto ser a soma de funções contínuas.

Teorema 43 (Continuidade da Função Composta) Seja ${{D, E \subset \mathbb{R}}}$ , ${{g: D\rightarrow E}}$ , ${{f: E \rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D}}$ . Se ${{g}}$ é contínua em ${{c}}$ e ${{f}}$ é contínua em ${{g(c)}}$ , então a função composta ${{f \circ g (x)=f(g(x)) }}$ é contínua em ${{c}}$ .

Demonstração: Seja ${{x_n}}$ uma sucessão de pontos em ${{D}}$ com ${{x_n \rightarrow c}}$ . Assim ${{\lim g(x_n)=g(c)}}$ . Se ${{f}}$ é contínua em ${{g(c)}}$ sabemos que ${{\lim f(g(x_n))=f(g(c))}}$ . Isto é ${{\lim (f \circ g)(x_n)= (f \circ g)(c)}}$ . Logo ${{f \circ g}}$ é contínua em ${{c}}$ . $\Box$

Como uma aplicação do teorema anterior vamos estudar a função ${{f(x)=a^x}}$ . Visto que ${{a^x=e^{\log a^x}=e^{x \log a}}}$ , podemos escrever ${{a^x=e^t \circ t=x\log a}}$ . ${{f(t)=e^t}}$ é contínua e ${{g(x)=x \log a}}$ também é contínua. Assim ${{a^x}}$ também é contínua visto resultar da composição de duas funções contínuas. Pelo mesmo argumento também podemos mostrar que para ${{\alpha \in \mathbb{R}}}$ , ${{x^\alpha}}$ (com ${{x \in \mathbb{R}^+}}$ ) é contínua em ${{\mathbb{R}^+}}$ .

Teorema 44 Seja ${{D, E \subset \mathbb{R}}}$ , ${{g: D\rightarrow E}}$ , ${{f: E \rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D'}}$ . Suponha que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a}}$ e que ${{\displaystyle \lim_{t \rightarrow a}f(t)}}$ existe. Se ${{f}}$ é contínua então ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(g(x))=\lim_{t \rightarrow a}f(t)}}$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Calcule ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)}}$ . Podemos escrever ${{\sin (1/x)= \sin t \circ (t=1/x)}}$ . Uma vez que é ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty}(1/x)=0}}$ vem que, pelo Teorema 44 que, ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\sin t =0}}$ . Em geral podemos dizer que se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)= a \in \mathbb{R}}}$ vem que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sin (g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow a} \sin t = \sin a}}$ . Concluindo:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\sin (g(x))=\sin (\lim_{x \rightarrow c}g(x))$

Vamos admitir que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}}$ e seja ${{\tilde{f}}}$ a função que torna ${{\sin x/x}}$ contínua em ${{x=0}}$ . Temos ${{\sin x =x \tilde{f}(x)}}$ , logo também é ${{\sin g(x) = \tilde{f}(g(x))g(x)}}$ . Por definição ${{\tilde{f}}}$ é contínua. Logo pelo Teorema 44 ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}f(g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\tilde{f}(t)=1}}$ . Assim podemos concluir que quando temos ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}}$ vem que

$\displaystyle \sin (g(x))\sim g(x)\quad (x \rightarrow c)$

Por exemplo ${{\sin (x^2-1) \sim (x^2-1)\quad (x \rightarrow 1)}}$ . Seja ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a \in \mathbb{R}}}$ . Pelo Teorema 44 é ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} e^{g(x)}=\lim_{t \rightarrow a}e^t=e^a}}$ (com as convenções ${{e^{+\infty}=+\infty}}$ e ${{e^{-\infty}=0}}$ ). Logo ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}e^{g(x)}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}g(x)}}}$ . De forma análoga podemos mostrar que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \log g(x)= \log (\lim_{x \rightarrow c}g(x))}}$ com as convenções ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \log g(x)=+\infty}}$ e ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \log g(x)=-\infty}}$ ). Seja ${{a>1}}$ . Temos ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}a^x =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x\log a}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} x\log a}=+\infty }}$ (visto ${{\log a>0}}$ ). Por outro lado, para ${{\alpha > 0}}$ também é ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^\alpha =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{\alpha \log x}= e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\alpha \log x}=+\infty}}$ . O que nós queremos saber é qual é o valor de ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{a^x}{x^\alpha} }}$ , visto que a resposta a esta pergunta nos dirá qual das funções cresce mais rápido.

Teorema 45 Seja ${{ a<1}}$ e ${{\alpha > 0}}$ . Então

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=+\infty \ \ \ \ \ (48)$

Demonstração: Seja ${{b=a^{1/(2\alpha)}}}$ ( ${{b>1}}$ ). É ${{a=b^{2\alpha}}}$ . Uma vez que ${{a^x=b^{2\alpha x}}}$ . Para além disso é ${{\dfrac{a^x}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{\sqrt{x}^{2\alpha}}}}$ . que é

$\displaystyle \frac{a^x}{x^\alpha}=\left( \frac{b^x}{\sqrt{x}} \right)^{2\alpha} \ \ \ \ \ (49)$

Seja ${{[x]}}$ a parte inteira de ${x}$ e usando a desigualdade de Bernoulli ( ${{b^m\geq 1+ m(b-1)}}$ ) é ${{b^x\geq x^{}[x]\geq 1+[x](b-1)>[x](b-1)>(x-1)(b-1)}}$ . Assim ${{\dfrac{b^x}{\sqrt{x}}>\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}(b-1)=\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)}}$ . Uma vez que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)=+\infty}}$ segue do Teorema 32 que ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{b^x}{\sqrt{x}}=+\infty}}$ . Usando 49 e tomando ${{t=b^x/\sqrt{x}}}$ vem que ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=\displaystyle\lim_{t \rightarrow +\infty}t^{2\alpha}=+\infty}}$ . $\Box$

Podemos sintetizar o conteúdo do teorema anterior na seguinte forma:

A exponencial de base ${>1}$ cresce mais rapidamente que qualquer potência do seu expoente.

Corolário 46 Seja ${{\alpha > 0}}$ , então

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^\alpha}{\log x}=+\infty$

Demonstração: Fica com um exercício para o leitor. Lembre-se de fazer a mudança de variável apropriada. $\Box$

Teorema 47 Seja ${{a>1}}$ , então ${{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}}}$ =0.

Demonstração: Primeiro relembramos que ${{\log n!=n\log n -n + O(\log n)}}$ que é a aproximação de Stirling. Uma vez que ${{\dfrac{\log n}{n} \rightarrow 0}}$ também é ${{\dfrac{O(\log n)}{n} \rightarrow 0}}$ . e

$\displaystyle \dfrac{a^n}{n!}=e^{\log (a^n/n!)}=e^{n\log a - \log n!}$

Logo

$\displaystyle \lim \dfrac{a^n}{n!}=e^{\lim(n\log a - \log n!)}$

Para o argumento da função exponencial é ${{\begin{aligned} \lim(n\log a - \log n!) &= \lim n\log a-n\log n+n-O(\log n) \\ &=\lim \left(n\left(\log a -\log n+1 -\dfrac{O(\log n)}{n}\right)\right) \\ &=+\infty\times -\infty=-\infty \end{aligned}}}$

O que resulta em ${{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}=e^{-\infty}=0}}$ . $\Box$

Lema 48

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=e \ \ \ \ \ (50)$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Teorema 49

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1 \ \ \ \ \ (51)$

Demonstração: Será demonstrado como um exercício. $\Box$

Corolário 50

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \ \ \ \ \ (52)$

Demonstração: Deixado como um exercício para o leitor. Faça a mudança de variável ${{e^x=t+1}}$ e use o Teorema 49 $\Box$

Generalizando os resultados anteriores podemos escrever:

${{\sin g(x) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}}$ se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}$
${{\log (1+g(x)) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}}$ se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}$
${{e^{g(x)}-1 \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}}$ se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}$

1 Comentário

Análise Matemática – Cálculo Diferencial III « Luso Academia diz:

11/15/2015 às 12:02 pm

[…] exponencial tende para infinito mais rápido que qualquer polinómio de pelo teorema 45 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VI mas utilizando a Segunda regra de Cauchy podemos demonstrar esse resultado de forma mais […]

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