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Análise Matemática – Limites e Continuidade VI

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— 5. Exemplos de propriedades para funções contínuas —

Definição 36 Seja {{D \subset \mathbb{R}}}; {{f: D\rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D'\setminus D}}. Se {{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=a\in \mathbb{R}}}, podemos definir o prolongamento por continuidade de {f}, que se representa por {{\tilde{f}}} como:

\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} f(x) \quad x \in D \\ a \quad x=c \end{cases} \ \ \ \ \ (47)

 

Como uma aplicação da definição acima vamos estudar a função {{f(x)= \sin x/x}}. Temos {{D= \mathbb{R}\setminus \{0\}}}. Uma vez que {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sin x/x=1}} podemos definir {{\tilde{f}}} como

\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} \sin x/x \quad x \neq 0 \\ 1 \quad x=0 \end{cases}

Como segundo exemplo temos {{f(x)=1/x}}. Uma vez que {{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty}} e {{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty}} não podemos definir {{\tilde{f}}} para {{1/x}}. Finalmente temos a função {{f(x)=1/x^2}}. Sabemos que é {{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=+\infty}}. Ainda que os limites sejam iguais não podemos definir {{\tilde{f}}}, visto que a função não é majorada. Em geral podemos dizer que dado {{f: D\rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D'\setminus D}} {{\tilde{f}}} existe, sse {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}f(x)}} existe e é finito.

Teorema 42 Seja {{D \subset \mathbb{R}}}; {{f,g: D\rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D}}. Se {{f}} e {{g}} são funções contínuas, então {{f+g}}, {{fg}} e (se {{g(c)\neq 0}}){{f/g}} também são funções contínuas.

Demonstração: Vamos mostrar que {{fg}} é contínua e deixar os outros casos para o leitor. Seja {{x_n}} uma sucessão de pontos em {{D}} tal que {{x_n \rightarrow c}}. Então {{f(x_n) \rightarrow f(c)}} e {{g(x_n) \rightarrow c}} (dado que {{f}} e {{g}} são funções contínuas). Logo {{f(x_n)g(x_n) \rightarrow f(x)g(x)}} da propriedade {{6}} do Teorema 19. E isto é a nossa definição de uma função contínua. \Box

Seja {{f(x)=5x^2-2x+4}}. Tomemos {{f_1(x)=5}}, {{f_2(x)=-2}} e {{f_3(x)=4}}. Já sabemos que as funções anteriores são funções contínuas. Ora {{f_4(x)=x^2}} e {{f_5(x)=x}} também são funções contínuas. {{f_6(x)=-2x}} é contínua visto ser o produto de {{2}} funções contínuas. Finalmente {{f(x)=5x^2-2x+4}} é contínua visto ser a soma de funções contínuas.

Teorema 43 (Continuidade da Função Composta) Seja {{D, E \subset \mathbb{R}}}, {{g: D\rightarrow E}}, {{f: E \rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D}}. Se {{g}} é contínua em {{c}} e {{f}} é contínua em {{g(c)}}, então a função composta {{f \circ g (x)=f(g(x)) }} é contínua em {{c}}.

Demonstração: Seja {{x_n}} uma sucessão de pontos em {{D}} com {{x_n \rightarrow c}}. Assim {{\lim g(x_n)=g(c)}}. Se {{f}} é contínua em {{g(c)}} sabemos que {{\lim f(g(x_n))=f(g(c))}}. Isto é {{\lim (f \circ g)(x_n)= (f \circ g)(c)}}. Logo {{f \circ g}} é contínua em {{c}}. \Box

Como uma aplicação do teorema anterior vamos estudar a função {{f(x)=a^x}}. Visto que {{a^x=e^{\log a^x}=e^{x \log a}}}, podemos escrever {{a^x=e^t \circ t=x\log a}}. {{f(t)=e^t}} é contínua e {{g(x)=x \log a}} também é contínua. Assim {{a^x}} também é contínua visto resultar da composição de duas funções contínuas. Pelo mesmo argumento também podemos mostrar que para {{\alpha \in \mathbb{R}}}, {{x^\alpha}} (com {{x \in \mathbb{R}^+}}) é contínua em {{\mathbb{R}^+}}.

Teorema 44 Seja {{D, E \subset \mathbb{R}}}, {{g: D\rightarrow E}}, {{f: E \rightarrow \mathbb{R}}} e {{c \in D'}}. Suponha que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a}} e que {{\displaystyle \lim_{t \rightarrow a}f(t)}} existe. Se {{f}} é contínua então {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(g(x))=\lim_{t \rightarrow a}f(t)}}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Calcule {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)}}. Podemos escrever {{\sin (1/x)= \sin t \circ (t=1/x)}}. Uma vez que é {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty}(1/x)=0}} vem que, pelo Teorema 44 que, {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\sin t =0}}. Em geral podemos dizer que se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)= a \in \mathbb{R}}} vem que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sin (g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow a} \sin t = \sin a}}. Concluindo:

\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\sin (g(x))=\sin (\lim_{x \rightarrow c}g(x))

Vamos admitir que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}} e seja {{\tilde{f}}} a função que torna {{\sin x/x}} contínua em {{x=0}}. Temos {{\sin x =x \tilde{f}(x)}}, logo também é {{\sin g(x) = \tilde{f}(g(x))g(x)}}. Por definição {{\tilde{f}}} é contínua. Logo pelo Teorema 44 {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}f(g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\tilde{f}(t)=1}}. Assim podemos concluir que quando temos {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}} vem que

\displaystyle \sin (g(x))\sim g(x)\quad (x \rightarrow c)

Por exemplo {{\sin (x^2-1) \sim (x^2-1)\quad (x \rightarrow 1)}}. Seja {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a \in \mathbb{R}}}. Pelo Teorema 44 é {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} e^{g(x)}=\lim_{t \rightarrow a}e^t=e^a}} (com as convenções {{e^{+\infty}=+\infty}} e {{e^{-\infty}=0}}). Logo {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}e^{g(x)}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}g(x)}}}. De forma análoga podemos mostrar que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \log g(x)= \log (\lim_{x \rightarrow c}g(x))}} com as convenções {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \log g(x)=+\infty}} e {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \log g(x)=-\infty}}). Seja {{a>1}}. Temos {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}a^x =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x\log a}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} x\log a}=+\infty }} (visto {{\log a>0}}). Por outro lado, para {{\alpha > 0}} também é {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^\alpha =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{\alpha \log x}= e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\alpha \log x}=+\infty}}. O que nós queremos saber é qual é o valor de {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{a^x}{x^\alpha} }}, visto que a resposta a esta pergunta nos dirá qual das funções cresce mais rápido.

Teorema 45 Seja {{ a<1}} e {{\alpha > 0}}. Então

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=+\infty \ \ \ \ \ (48)

  Demonstração: Seja {{b=a^{1/(2\alpha)}}} ({{b>1}}). É {{a=b^{2\alpha}}}. Uma vez que {{a^x=b^{2\alpha x}}}. Para além disso é {{\dfrac{a^x}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{\sqrt{x}^{2\alpha}}}}. que é

\displaystyle \frac{a^x}{x^\alpha}=\left( \frac{b^x}{\sqrt{x}} \right)^{2\alpha} \ \ \ \ \ (49)

  Seja {{[x]}} a parte inteira de {x} e usando a desigualdade de Bernoulli ({{b^m\geq 1+ m(b-1)}}) é {{b^x\geq x^{}[x]\geq 1+[x](b-1)>[x](b-1)>(x-1)(b-1)}}. Assim {{\dfrac{b^x}{\sqrt{x}}>\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}(b-1)=\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)}}. Uma vez que {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)=+\infty}} segue do Teorema 32 que {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{b^x}{\sqrt{x}}=+\infty}}. Usando 49 e tomando {{t=b^x/\sqrt{x}}} vem que {{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=\displaystyle\lim_{t \rightarrow +\infty}t^{2\alpha}=+\infty}}. \Box

Podemos sintetizar o conteúdo do teorema anterior na seguinte forma:

A exponencial de base {>1} cresce mais rapidamente que qualquer potência do seu expoente.

Corolário 46 Seja {{\alpha > 0}}, então

\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^\alpha}{\log x}=+\infty

Demonstração: Fica com um exercício para o leitor. Lembre-se de fazer a mudança de variável apropriada. \Box

Teorema 47 Seja {{a>1}}, então {{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}}}=0.

Demonstração: Primeiro relembramos que {{\log n!=n\log n -n + O(\log n)}} que é a aproximação de Stirling. Uma vez que {{\dfrac{\log n}{n} \rightarrow 0}} também é {{\dfrac{O(\log n)}{n} \rightarrow 0}}. e

\displaystyle \dfrac{a^n}{n!}=e^{\log (a^n/n!)}=e^{n\log a - \log n!}

Logo

\displaystyle \lim \dfrac{a^n}{n!}=e^{\lim(n\log a - \log n!)}

Para o argumento da função exponencial é {{\begin{aligned} \lim(n\log a - \log n!) &= \lim n\log a-n\log n+n-O(\log n) \\ &=\lim \left(n\left(\log a -\log n+1 -\dfrac{O(\log n)}{n}\right)\right) \\ &=+\infty\times -\infty=-\infty \end{aligned}}}

O que resulta em {{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}=e^{-\infty}=0}}. \Box

Lema 48

\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=e \ \ \ \ \ (50)

  Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Teorema 49

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1 \ \ \ \ \ (51)

  Demonstração: Será demonstrado como um exercício. \Box

Corolário 50

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \ \ \ \ \ (52)

  Demonstração: Deixado como um exercício para o leitor. Faça a mudança de variável {{e^x=t+1}} e use o Teorema 49 \Box

Generalizando os resultados anteriores podemos escrever:

  • {{\sin g(x) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}} se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}
  • {{\log (1+g(x)) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}} se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}
  • {{e^{g(x)}-1 \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}} se {{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}
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1 Comentário

  1. […] exponencial tende para infinito mais rápido que qualquer polinómio de pelo teorema 45 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VI mas utilizando a Segunda regra de Cauchy podemos demonstrar esse resultado de forma mais […]

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