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Análise Matemática – Limites e Continuidade V

A condição ${\epsilon\delta}$ , por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição ${\epsilon\delta}$ para limites e a definição ${\epsilon\delta}$ para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.

De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição ${\epsilon\delta}$ .

— 4.7. ${\epsilon\delta}$ para continuidade —

Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.

Seja ${f(x)=\alpha}$ (que é uma função obviamente contínua!).

O ponto de utilizarmos o argumento ${\epsilon\delta}$ para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do ${\delta}$ escolhido conseguimos sempre encontrar um ${\epsilon}$ que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.

Voltando à nossa função ${f(x)=\alpha}$ vem que ${|f(x)-f(c)| < \delta}$ . Neste caso temos ${f(x)=f(c)=\alpha}$ . Assim

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha-\alpha| &< \delta \\ |0| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}$

Que é trivialmente válido, uma vez que ${\delta > 0}$ por hipótese. Assim qualquer valor positivo de ${\epsilon}$ satisfaz o critério de Heine para a continuidade e ${f(x)=\alpha}$ é contínua em ${c}$ .

Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a ${c}$ para além de que ${c \in {\mathbb R}}$ podemos concluir que ${f(x)=\alpha}$ é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Vamos agora analisar ${f(x)=x}$ e novamente vamos estudar a continuidade no ponto ${c}$ ( ${f(c)=c}$ ):

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |x-c| &< \delta \end{aligned}}$

A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma ${x-c}$ (a primeira parte do critério ${\epsilon\delta}$ ).

Se tomarmos ${\epsilon=\delta}$ fica então ${|x-c| < \epsilon}$ o que completa a nossa demonstração que ${f(x)=x}$ é contínua em ${c}$ .

Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de ${c}$ para além de que ${c \in {\mathbb R}}$ e como tal concluímos que ${f(x)=x}$ é contínua no seu domínio.

Vamos agora olhar para funções da forma ${f(x)=\alpha x + \beta}$ e estudar a continuidade de ${f(x)}$ em ${c}$ .

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha x + \beta-(\alpha c + \beta)| &< \delta \\ |\alpha x -\alpha c| &< \delta \\ |\alpha||x-c| &< \delta \\ |x-c| &< \dfrac{\delta}{|\alpha|} \end{aligned}}$

Se tomarmos ${\epsilon=|\delta|/ |\alpha|}$ vem que ${|x-c|< \epsilon}$ e ${f(x)=\alpha x + \beta}$ é contínua em ${c}$ .

Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função ${f(x)=\sin x}$ .

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\sin x-\sin c| &< \delta \end{aligned}}$

Uma vez que queremos algo da forma ${|x-c| < g(\delta)}$ a última expressão não nos é útil.

Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.

Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.

${\begin{aligned} |\sin x-\sin c| &= 2\left| \cos\left( \dfrac{x+c}{2}\right)\right| \left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right|\\ &< 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| \end{aligned}}$

Uma vez que ${x \rightarrow c}$ sabemos que em algum momento ${\dfrac{x-c}{2}}$ vai estar no primeiro quadrante. Assim

${\begin{aligned} 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| &< 2\left|\dfrac{x-c}{2}\right| \\ &= |x-c|\\ &< \epsilon \end{aligned}}$

Onde a última desigualdade é válida por hipótese.

Quer isto dizer que se tomarmos ${\epsilon=\delta}$ fica ${|x-c|<\epsilon \Rightarrow | \sin x - \sin x | < \delta}$ que é a condição ${\epsilon\delta}$ para a continuidade.

— 4.8. ${\epsilon\delta}$ para limites —

Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.

Seja ${f(x)=2}$ . Queremos mostrar que $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=2$ .

${\begin{aligned} |f(x)-2| &< \delta \\ |2-2| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}$

Que é trivialmente válido para qualquer valor de ${\delta}$ , assim ${\epsilon}$ pode ser um número positivo qualquer.

Seja ${f(x)=2x+3}$ . Queremos mostrar que $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=5$ .

${\begin{aligned} |f(x)-5| &< \delta \\ |2x+3-5| &< \delta \\ |2x-2| &< \delta \\ 2|x-1| &< \delta \\ |x-1| &< \dfrac{\delta}{2} \end{aligned}}$

Com ${\epsilon=\delta/2}$ satisfazemos a condição ${\epsilon\delta}$ para limites.

Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

Nesse artigo demonstrámos que para ${a \neq 0}$ o limite ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que ${\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0}$ usando a condição ${\epsilon\delta}$ :

${\begin{aligned} |f(x)-f(0)| &< \delta \\ |f(x)-0| &< \delta \end{aligned}}$

Uma vez que ${f(x)=0}$ ou ${f(x)=x}$ vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.

No primeiro caso é ${|0-0|<\delta}$ que é trivialmente válido e assim ${\epsilon}$ pode ser um número positivo qualquer.

No segundo caso é ${|x-0|<\delta}$ . Tomando ${\epsilon=\delta}$ faz com que se respeite o critério de Heine.

Uma vez que mostramos que ${\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0=f(0)}$ a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em ${x=0}$ .