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Mecânica Quântica – Revisões IV

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— 13. Princípio de Hamilton —

Os princípios de minimização têm uma longa história de utilização em Ciência, e abaixo vemos alguns exemplos:

  • Heron explicou a reflexão da luz usando um princípio de distância mínima.
  • Fermat corrigiu o Princípio de Heron dizendo que a luz propaga-se entre dois pontos pelo trajecto que minimiza o tempo.
  • Maupertuis postulou que a dinâmica de uma partícula é sempre aquela que minimiza acção
  • Gauss postulou o princípio da ligação mínima
  • Hertz postulou o princípio da curvatura mínima

Na física moderna usamos um princípio mais geral onde tentamos encontrar extremos de uma quantidade a que chamamos acção e é o objectivo desta secção enunciar este princípio e deduzir as suas consequências.

Definição 2 O Lagrangiano (também chamado de função lagrangiana) de uma partícula é dado pela diferença entre a energia cinética, {K}, e a sua energia potencial, {U}.

\displaystyle L=K-U \ \ \ \ \ (4)

Definição 3 A Acção, {S}, do movimento de uma partícula é dado pela expressão

\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt \ \ \ \ \ (5)

Axioma 1 Dado um conjunto de caminhos que uma partícula pode tomar entre os pontos {x_1} e {x_2} no intervalo de tempo {\Delta t= t_2-t_1} ela toma sempre o caminho que torna a acção estacionária.

\displaystyle \displaystyle \delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt=0 \ \ \ \ \ (6)

Para coordenadas rectangulares temos {K=K(x_i)}, {U=U(x_i)}, assim {L=K-U=L(x_i,\dot{x}_i)} (onde {\dot{x}_i=\dfrac{dx_i}{dt}} é a notação de Newton para representarmos derivadas em ordem ao tempo).

A função {L} pode ser identificada com a função {f} que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes substituições:

  • {x \rightarrow t}
  • {y_i(x) \rightarrow x_i(t)}
  • {y\prime_i(x) \rightarrow x\prime_i(t)}
  • {f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(x_i,\dot{x}_i,t)}

Neste caso as equações de Euler passam a chamar-se de equações de Euler-Lagrange e temos:

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0

Exemplo 3 Vamos estudar o Oscilador Harmónico usando o formalismo Lagrangiano:

\displaystyle L=K-U=1/2m\dot{x}^2-1/2kx^2 \ \ \ \ \ (7)

Em primeiro lugar temos {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=-kx}.

Também temos {\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}m\dot{x}=m\ddot{x}}.

Assim fica

\displaystyle \dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 \Rightarrow m\ddot{x}+kx=0 \Rightarrow m\ddot{x}=-kx

que é a conhecida equação que descreve a dinâmica de um oscilador harmónico.

Exemplo 4 Considere um pêndulo plano, escreva o seu lagrangiano e derive as equações de movimento.

O Lagrangiano para o pêndulo plano é

\displaystyle L=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos \theta) \ \ \ \ \ (8)

Se considerarmos {\theta} como sendo uma coordenada rectangular (e nós sabemos que não é!) segue que a equação de movimento é

\displaystyle \displaystyle \ddot{\theta}+g/l\sin \theta=0

Esta equação é exactamente a equação de movimento de um pêndulo plano e este resultado é admirável porque até agora só analisamos o lagrangiano para coordenadas rectangulares e ainda assim ele foi capaz de dar o resultado correcto de um sistema expresso em coordenadas não rectangulares.

— 14. Coordenadas generalizadas —

Considere um sistema mecânico constituído por {n} partículas. Neste caso temos {3n} quantidades para descrever a posição de todas as partículas (uma vez que temos três graus de liberdade).

Se por acaso também tivermos algum tipo de ligações que restringem o movimento das partículas a quantidade necessária para descrever o movimento das partículas é menor do que {3n}. Vamos admitir que temos {m} ligações, nesse caso os graus de liberdade são {3n-m}.

Seja {s=3n-m} os graus de liberdade deste sistema. Estes graus de liberdade correspondem então a {s} coordenadas, e estas coordenadas não precisam de ser rectangulares, polares, cilíndricas nem esféricas. A única coisa que devem fazer é descrever de forma total o estado mecânico do sistema.

Definição 4

As {s} coordenadas que especificam totalmente o estado mecânico de um sistema de {n} partículas têm o nome de coordenadas generalizadas.

As coordenadas generalizadas são representadas por

\displaystyle q_1,q_2,\cdots,q_s \ \ \ \ \ (9)

Uma vez que definimos o conjunto de coordenadas generalizadas de um sistema de partículas podemos também definir as suas velocidades generalizadas.

Definição 5

As {s} velocidades de um sistema de {n} partículas descrito por coordenadas generalizadas têm o nome de velocidades generalizadas.

As velocidades generalizadas são representadas por

\displaystyle \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_s} \ \ \ \ \ (10)

Seja {\alpha} uma variável que denota uma partícula, {\alpha=1,2,\cdots,n}; {i} representa o número de graus de liberdade {i}, {i=1,2,3}; e {j} o número de coordenadas generalizadas {j=1,2,\cdots,s}.

\displaystyle x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_1,q_2,\cdots,q_s,t)=x_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (11)

Para as velocidades generalizadas é

\displaystyle \dot{x}_{\alpha,i}=\dot{x}_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (12)

E as transformações inversas são

\displaystyle q_j=q_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (13)

e

\displaystyle \dot{q_j}=\dot{q}_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (14)

Finalmente vamos também dizer que precisamos de {m=3n-s} equações de ligação

\displaystyle f_k=f_k(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (15)

com {k=1,2,\cdots,m}.

Exemplo 5 Considere uma partícula pontual que se move na superfície de uma semi-esfera de raio {R} cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas.

As equações relevantes são {x^2+y^2+z^2-R^2\geq 0} e {z\geq 0}.

Vamos tomar {q_1=x/R}, {q_2=y/R} e {q_3=z/R} como as coordenadas generalizadas.

Para além disso também temos a ligação {q_1^2+q_2^2+q_3^2=1}. Assim {q_3=\sqrt{1-(q_1^2+q_2^2)}}

Definição 6

O Espaço de Configuração é o espaço vetorial definido pelo conjunto das coordenadas generalizadas.

A evolução no tempo de um sistema mecânico pode ser representado como uma curva no espaço de configuração.

— 15. As equações de Euler-Lagrange em coordenadas generalizadas —

Uma vez que {K} e {U} são funções escalares, {L} também é uma função escalar. Logo {L} é um invariante para transformações de coordenadas.

Assim é

\displaystyle L=K(\dot{x}_{\alpha,i})- U(x_{\alpha,i})=K(q_j,\dot{q}_j,t)-U(q_j,t) \ \ \ \ \ (16)

e {L=L(q_j,\dot{q}_j,t)}.

Logo, podemos escrever o Princípio de Hamilton (secção 13) na seguinte forma:

\displaystyle \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_j,\dot{q}_j,t) dt=0 \ \ \ \ \ (17)

E agora temos que fazer as seguintes substituições

  • {x \rightarrow t}
  • {y_i(x) \rightarrow q_j(t)}
  • {y\prime_i(x) \rightarrow q\prime_j(t)}
  • {f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(q_j,\dot{q}_j,t)}

E as equações de Euler-Lagrange ficam

\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=0 \ \ \ \ \ (18)

Para {j=1,2,\cdots,s}

Para finalizar esta secção vamos apontar as condições de aplicabilidade das equações de Euler-Lagrange:

  • O sistema é conservativo.
  • As ligações são funções das coordenadas das partículas e também podem ser funções do tempo.
Exemplo 6 Considere o movimento de uma partícula de massa {m} ao longo de uma superfície de um cone sob a acção da gravidade.

Calcule o seu lagrangiano e as equações de movimento.

As equações para as coordenadas generalizadas são {z=r\cot\alpha} e {v^2=\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2}.

Para a energia potencial {U=mgz=mgr\cot\alpha}. E assim o lagrangiano é

\displaystyle \displaystyle L=1/2m(\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2)-mgr\cot\alpha

Uma vez que {\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=0} vem que {\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=0}. Assim é {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}=\mathrm{const}}.

O momento angular em torno do eixo {z} é {mr^2\dot{\theta}=mr^2\omega}. Assim {mr^2\omega=\mathrm{const}} expressa a conservação do momento angular em torno de um eixo de simetria do sistema.

Fica como um exercício para o leitor determinar as equações de Euler-Lagrange para {r}.

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