Início » 04 Ensino Superior » 02 Física » Mecânica Quântica – Revisões IV

Mecânica Quântica – Revisões IV

— 13. Princípio de Hamilton —

Os princípios de minimização têm uma longa história de utilização em Ciência, e abaixo vemos alguns exemplos:

Heron explicou a reflexão da luz usando um princípio de distância mínima.
Fermat corrigiu o Princípio de Heron dizendo que a luz propaga-se entre dois pontos pelo trajecto que minimiza o tempo.
Maupertuis postulou que a dinâmica de uma partícula é sempre aquela que minimiza acção
Gauss postulou o princípio da ligação mínima
Hertz postulou o princípio da curvatura mínima

Na física moderna usamos um princípio mais geral onde tentamos encontrar extremos de uma quantidade a que chamamos acção e é o objectivo desta secção enunciar este princípio e deduzir as suas consequências.

Definição 2 O Lagrangiano (também chamado de função lagrangiana) de uma partícula é dado pela diferença entre a energia cinética, ${K}$ , e a sua energia potencial, ${U}$ .

$\displaystyle L=K-U \ \ \ \ \ (4)$

Definição 3 A Acção, ${S}$ , do movimento de uma partícula é dado pela expressão

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt \ \ \ \ \ (5)$

Axioma 1 Dado um conjunto de caminhos que uma partícula pode tomar entre os pontos ${x_1}$ e ${x_2}$ no intervalo de tempo ${\Delta t= t_2-t_1}$ ela toma sempre o caminho que torna a acção estacionária.

$\displaystyle \displaystyle \delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt=0 \ \ \ \ \ (6)$

Para coordenadas rectangulares temos ${K=K(x_i)}$ , ${U=U(x_i)}$ , assim ${L=K-U=L(x_i,\dot{x}_i)}$ (onde ${\dot{x}_i=\dfrac{dx_i}{dt}}$ é a notação de Newton para representarmos derivadas em ordem ao tempo).

A função ${L}$ pode ser identificada com a função ${f}$ que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes substituições:

${x \rightarrow t}$
${y_i(x) \rightarrow x_i(t)}$
${y\prime_i(x) \rightarrow x\prime_i(t)}$
${f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(x_i,\dot{x}_i,t)}$

Neste caso as equações de Euler passam a chamar-se de equações de Euler-Lagrange e temos:

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0$

Exemplo 3 Vamos estudar o Oscilador Harmónico usando o formalismo Lagrangiano:

$\displaystyle L=K-U=1/2m\dot{x}^2-1/2kx^2 \ \ \ \ \ (7)$

Em primeiro lugar temos ${\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=-kx}$ .

Também temos ${\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}m\dot{x}=m\ddot{x}}$ .

Assim fica

$\displaystyle \dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 \Rightarrow m\ddot{x}+kx=0 \Rightarrow m\ddot{x}=-kx$

que é a conhecida equação que descreve a dinâmica de um oscilador harmónico.

Exemplo 4 Considere um pêndulo plano, escreva o seu lagrangiano e derive as equações de movimento.

O Lagrangiano para o pêndulo plano é

$\displaystyle L=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos \theta) \ \ \ \ \ (8)$

Se considerarmos ${\theta}$ como sendo uma coordenada rectangular (e nós sabemos que não é!) segue que a equação de movimento é

$\displaystyle \displaystyle \ddot{\theta}+g/l\sin \theta=0$

Esta equação é exactamente a equação de movimento de um pêndulo plano e este resultado é admirável porque até agora só analisamos o lagrangiano para coordenadas rectangulares e ainda assim ele foi capaz de dar o resultado correcto de um sistema expresso em coordenadas não rectangulares.

— 14. Coordenadas generalizadas —

Considere um sistema mecânico constituído por ${n}$ partículas. Neste caso temos ${3n}$ quantidades para descrever a posição de todas as partículas (uma vez que temos três graus de liberdade).

Se por acaso também tivermos algum tipo de ligações que restringem o movimento das partículas a quantidade necessária para descrever o movimento das partículas é menor do que ${3n}$ . Vamos admitir que temos ${m}$ ligações, nesse caso os graus de liberdade são ${3n-m}$ .

Seja ${s=3n-m}$ os graus de liberdade deste sistema. Estes graus de liberdade correspondem então a ${s}$ coordenadas, e estas coordenadas não precisam de ser rectangulares, polares, cilíndricas nem esféricas. A única coisa que devem fazer é descrever de forma total o estado mecânico do sistema.

Definição 4

As ${s}$ coordenadas que especificam totalmente o estado mecânico de um sistema de ${n}$ partículas têm o nome de coordenadas generalizadas.

As coordenadas generalizadas são representadas por

$\displaystyle q_1,q_2,\cdots,q_s \ \ \ \ \ (9)$

Uma vez que definimos o conjunto de coordenadas generalizadas de um sistema de partículas podemos também definir as suas velocidades generalizadas.

Definição 5

As ${s}$ velocidades de um sistema de ${n}$ partículas descrito por coordenadas generalizadas têm o nome de velocidades generalizadas.

As velocidades generalizadas são representadas por

$\displaystyle \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_s} \ \ \ \ \ (10)$

Seja ${\alpha}$ uma variável que denota uma partícula, ${\alpha=1,2,\cdots,n}$ ; ${i}$ representa o número de graus de liberdade ${i}$ , ${i=1,2,3}$ ; e ${j}$ o número de coordenadas generalizadas ${j=1,2,\cdots,s}$ .

$\displaystyle x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_1,q_2,\cdots,q_s,t)=x_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (11)$

Para as velocidades generalizadas é

$\displaystyle \dot{x}_{\alpha,i}=\dot{x}_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (12)$

E as transformações inversas são

$\displaystyle q_j=q_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (13)$

e

$\displaystyle \dot{q_j}=\dot{q}_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (14)$

Finalmente vamos também dizer que precisamos de ${m=3n-s}$ equações de ligação

$\displaystyle f_k=f_k(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (15)$

com ${k=1,2,\cdots,m}$ .

Exemplo 5 Considere uma partícula pontual que se move na superfície de uma semi-esfera de raio ${R}$ cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas.

As equações relevantes são ${x^2+y^2+z^2-R^2\geq 0}$ e ${z\geq 0}$ .

Vamos tomar ${q_1=x/R}$ , ${q_2=y/R}$ e ${q_3=z/R}$ como as coordenadas generalizadas.

Para além disso também temos a ligação ${q_1^2+q_2^2+q_3^2=1}$ . Assim ${q_3=\sqrt{1-(q_1^2+q_2^2)}}$

Definição 6

O Espaço de Configuração é o espaço vetorial definido pelo conjunto das coordenadas generalizadas.

A evolução no tempo de um sistema mecânico pode ser representado como uma curva no espaço de configuração.

— 15. As equações de Euler-Lagrange em coordenadas generalizadas —

Uma vez que ${K}$ e ${U}$ são funções escalares, ${L}$ também é uma função escalar. Logo ${L}$ é um invariante para transformações de coordenadas.

Assim é

$\displaystyle L=K(\dot{x}_{\alpha,i})- U(x_{\alpha,i})=K(q_j,\dot{q}_j,t)-U(q_j,t) \ \ \ \ \ (16)$

e ${L=L(q_j,\dot{q}_j,t)}$ .

Logo, podemos escrever o Princípio de Hamilton (secção 13) na seguinte forma:

$\displaystyle \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_j,\dot{q}_j,t) dt=0 \ \ \ \ \ (17)$

E agora temos que fazer as seguintes substituições

${x \rightarrow t}$
${y_i(x) \rightarrow q_j(t)}$
${y\prime_i(x) \rightarrow q\prime_j(t)}$
${f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(q_j,\dot{q}_j,t)}$

E as equações de Euler-Lagrange ficam

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=0 \ \ \ \ \ (18)$

Para ${j=1,2,\cdots,s}$

Para finalizar esta secção vamos apontar as condições de aplicabilidade das equações de Euler-Lagrange:

O sistema é conservativo.
As ligações são funções das coordenadas das partículas e também podem ser funções do tempo.

Exemplo 6 Considere o movimento de uma partícula de massa ${m}$ ao longo de uma superfície de um cone sob a acção da gravidade.

Calcule o seu lagrangiano e as equações de movimento.

As equações para as coordenadas generalizadas são ${z=r\cot\alpha}$ e ${v^2=\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2}$ .

Para a energia potencial ${U=mgz=mgr\cot\alpha}$ . E assim o lagrangiano é

$\displaystyle \displaystyle L=1/2m(\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2)-mgr\cot\alpha$

Uma vez que ${\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=0}$ vem que ${\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=0}$ . Assim é ${\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}=\mathrm{const}}$ .

O momento angular em torno do eixo ${z}$ é ${mr^2\dot{\theta}=mr^2\omega}$ . Assim ${mr^2\omega=\mathrm{const}}$ expressa a conservação do momento angular em torno de um eixo de simetria do sistema.