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Análise Matemática – Limites e Continuidade IV

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Como uma aplicação do Teorema 35 vamos estudar as funções {f(x)=e^x} e {g(x)=\log x}.

Ora {f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}} é uma função estritamente crescente e {g:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}} também é uma função estritamente crescente.

Pelo Teorema 35 é então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x = \mathrm{sup} [\mathbb{R^+}] = +\infty} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x= \mathrm{inf} [\mathbb{R^+}] = 0}.

Quanto a {g(x)} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \log x=\sup [\mathbb{R}]=+\infty} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \log x = \inf [\mathbb{R}]=-\infty}.

Definição 34 Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f,g: D \rightarrow \mathbb{R}},e {c \in D^\prime}. Vamos admitir que existe {h: D \rightarrow \mathbb{R}} tal que {f(x) = h(x)g(x) }.

  1. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} h(x)=1 } dizemos que {f(x)} é assimptoticamente igual a {g(x)} quando {x \rightarrow c} e escrevemos {f(x) \sim g(x)\,\, (x \rightarrow c)}.
  2. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} h(x) = 0} dizemos que {f(x)} é desprezável relativamente a {g(x)} quando {x \rightarrow c} e escrevemos { f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c)}.
  3. Se {h(x)} é limitada em alguma vizinhança de {c} dizemos que {f(x)} é dominada por {g(x)} quando {x \rightarrow c} e escrevemos {f(x)=O(g(x)) \;(x \rightarrow c)}.

Se {g(x)\neq 0} é:

  1. { f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 1}.
  2. { f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 0}.
  3. { f(x) = O(g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)} } é limitada em alguma vizinhança de {c}.

Esta noções têm uma interpretação exactamente igual à interpretação oferecida aquando do nosso estudo das sucessões e dão o mesmo tipo de informação referente ao comportamento de duas funções.

Teorema 36

Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f,g,f_0,g_0: D \rightarrow \mathbb{R}}, e {c \in D^\prime}. Então:

  1. Se {f(x) \sim g(x) \,\, (x \rightarrow c)} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x) = a}, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}
  2. Se {f(x) \sim f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)} e {g(x) \sim g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}, então {f(x)g(x) \sim f_0(x)g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)} e {f(x)/g(x) \sim f_0(x)/f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}.

Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. \Box

Para as funções polinomiais podemos dizer com toda a generalidade o seu comportamento é ditado pelo termo de maior grau se nos estivermos a aproximar de {\pm \infty}. No entanto, se a aproximação for para {0} o seu comportamento é ditado pelo termo de menor grau.

Para vermos que de facto as coisas são como enunciamos vamos analiser o simples exemplo:

\displaystyle  f(x) = x^2+x

Ora {x^2+x=(x+1)x}. Seja {h(x)=x+1}. então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} h(x)=1} e assim é {x^2+x=O(x) \,\, (x \rightarrow 0)}.

Outro exemplo com bastante interesse para nós é:

\displaystyle  \sin x \sim x \,\, (x \rightarrow 0)

Podemos ver que é assim uma vez que é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1}

— 4.6. Condição Epsílon-Delta —

Após este preâmbulo está na hora de introduzirmos o conceito de limite e continuidade utilizando a condição { \varepsilon\delta }.

Mais uma vez o que estamos a fazer é usar conceitos cada vez mais abstractos por forma a conseguirmos atingir níveis de rigor e generalização cada vez maiores. A partir deste ponto temos perfeita consciência que a compreensão desta matéria será mais difícil, especialmente para quem não está habituado a este tipo de argumentos, mas temos também sabemos que ao fazerem o devido esforço serão recompensados intelectualmente.

O ponto da condição { \varepsilon\delta } é que nos permite evitar conceitos nebulosos como perto de, sinais de entrada, sinais de saída, ou ainda a relativamente fraca definição de limite que temos usado até agora.

Teorema 37 (Teorema de Heine)

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e {a \in \overline{\mathbb{R}}}. Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a} sse

\displaystyle  \forall \delta > 0 \, \exists \varepsilon >0 : \; x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a, \delta)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Caso a parafernália de símbolos faz com que os nossos leitores fiquem a pensar “Mas afinal isto quer dizer o quê?!” a resposta é que isto somente uma correcta formalização da noção intuitiva de limite.

Mais uma vez temos que ver isto como se fosse um jogo entre duas pessoas. A primeira escolhe os valores de {\delta} enquanto que a segunda escolhe os valores de {\varepsilon} que façam com que a condição seja válida.

Se o segundo jogador conseguir encontrar uma expressão geral de {\varepsilon} para todos os valores de {\delta} ele ganha o jogo e podemos afirmar que função realmente tem limite {a} no ponto {c}.

Teorema 38

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R}}, e {c \in D^\prime}. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)} existe e é finito, então existe uma vizinhança de {c } onde {f(x)} é limitada.

Demonstração:

Seja {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a \in \mathbb{R}}. Pelo Teorema 37 com {\delta=1} existe {\varepsilon > 0} tal que

\displaystyle \begin{aligned} x \in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace ) &\Rightarrow f(x) \in V(a,1) \\ &\Rightarrow f(x) \in \left] a-1, a+1\right[ \end{aligned}

Assim {x\in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace)\Rightarrow a-1 < f(x) < a+1}.

Logo

\displaystyle x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f (x) \begin{cases} \leq \mathrm{max} \left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \\ \geq \mathrm{max}\left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \end{cases}

e {f(x)} é limitada em {V(c,\varepsilon)} \Box

Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)/g(x)} existe, então {f(x)= O(g(x))\,\, (x \rightarrow c)} uma vez que neste caso é {h(x)=f(x)/g(x)} e existe uma vizinhança de {c} onde {h(x)} é limitada.

Após isto estamos interessados em saber como é que podemos traduzir {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a} para uma condição {\varepsilon\delta}.

Neste caso estamos a considerar {f(x)} apenas no conjunto {D_{c^+}} e temos:

\displaystyle  \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)

Teorema 39

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f:D \rightarrow \mathbb{R}}, e {c \in D^\prime}. Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow c^+}f(x)=a}, então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)=a}.

Demonstração:

Seja {\delta > 0}. Pela condição {\varepsilon\delta} é:

\displaystyle  \exists \varepsilon_1>0:x \in V(c,\varepsilon_1)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)

\displaystyle  \exists \varepsilon_2>0:x \in V(c,\varepsilon_2)\cap D_{c^-} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)

Tomando {\varepsilon =\mathrm{min} \left\lbrace \varepsilon_1, \varepsilon_2 \right\rbrace } Vem que {x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^+}} ou {x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^- }\Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)}

Em conclusão:

{ \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: x \in V(c,\varepsilon)\cap (D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta) } que é equivalente a {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=a}. \Box

Definição 35

Seja {D \subset \mathbb{R}}; {f: D \rightarrow \mathbb{R}} e {c \in D}. Dizemos que {f(x)} é contínua em {c} se para todas as sucessões {x_n} de pontos em {D}, tal que {\lim x_n = c} é {\lim f(x_n)=f(c)}.

A função diz-se contínua se é contínua em todos os pontos de {D}.

Vamos agora usar alguns exemplos para clarificar a Definição 35.

  1. \displaystyle  f(x)=|x| \quad \forall x \in \mathbb{R}

    Seja {c \in \mathbb{R}} e {x_n} uma sucessão tal que {x \rightarrow c}. Então {f(x_n)=|x_n|} e {\lim f(x_n) = \lim |x_n| = |c|}.

    Ou seja dizer que {f(x_n) \rightarrow f(c)} é equivalente a dizer que {f} é contínua em {c}. Uma vez que {c} pode ser um ponto qualquer {f(x)=|x|} é contínua em {\mathbb{R}}.

  2. Seja {f(x)= \sin x} e {x_n} uma sucessão tal que {x_n \rightarrow \theta}. Temos {\lim \sin x= \sin \theta} e usando o mesmo argumento que no exemplo anterior podemos dizer que {\sin x} é contínua.
  3. Em geral podemos dizer que se {x_n \rightarrow c} é {\lim f(x_n)=f(c)=f(\lim x_n)}. Logo para {\exp (x)} é {\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}.

    Se {x_n \rightarrow +\infty } vem que{\lim \exp(x_n)=+\infty }. Para {x_n \rightarrow -\infty} vem que {\lim \exp(x_n)=0}.

    Se definirmos {\exp (+\infty)=+\infty} e {\exp (-\infty)=0} vem que é sempre {\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}.

  4. De forma análoga podemos definir {\log +\infty= +\infty} e {\log 0 = -+\infty} para que seja sempre {\lim \log x_n = \log (\lim x_n)}.
Teorema 40 (Teorema de Heine para a continuidade)

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f:D \rightarrow \mathbb{R}} e {c \in D}. {f} é contínua em {D} sse

\displaystyle  \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in D \wedge |x-c| < \varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(c)| < \delta

Que também podemos escrever na forma de vizinhanças:

\displaystyle  \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f(x) \in V(f(c),\delta)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Como podemos ver a condição {\varepsilon\delta} para a continuidade no ponto {c} é muito semelhante à condição {\varepsilon\delta} para o limite {a} no ponto {c}.

Para terminarmos este artigo vamos só enunciar um teorema que torna mais explícita a relação entre continuidade e limite.

Teorema 41 Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f:D \rightarrow \mathbb{R}} e {c \in D \cap D^\prime}. Então {f} é contínua em {c} sse {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

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