Análise Matemática – Limites e Continuidade IV

Como uma aplicação do Teorema 35 vamos estudar as funções ${f(x)=e^x}$ e ${g(x)=\log x}$ .

Ora ${f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}}$ é uma função estritamente crescente e ${g:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}}$ também é uma função estritamente crescente.

Pelo Teorema 35 é então $\lim_{x \rightarrow +\infty}e^x = \mathrm{sup} [\mathbb{R^+}] = +\infty$ e $\lim_{x \rightarrow -\infty} e^x= \mathrm{inf} [\mathbb{R^+}] = 0$ .

Quanto a ${g(x)}$ vem que $\lim_{x \rightarrow +\infty} \log x=\sup [\mathbb{R}]=+\infty$ e $\lim_{x \rightarrow 0} \log x = \inf [\mathbb{R}]=-\infty$ .

Definição 34 Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f,g: D \rightarrow \mathbb{R}}$ ,e ${c \in D^\prime}$ . Vamos admitir que existe ${h: D \rightarrow \mathbb{R}}$ tal que ${f(x) = h(x)g(x) }$ .

Se $\lim_{x \rightarrow c} h(x)=1$ dizemos que ${f(x)}$ é assimptoticamente igual a ${g(x)}$ quando ${x \rightarrow c}$ e escrevemos ${f(x) \sim g(x)\,\, (x \rightarrow c)}$ .
Se $\lim_{x \rightarrow c} h(x) = 0$ dizemos que ${f(x)}$ é desprezável relativamente a ${g(x)}$ quando ${x \rightarrow c}$ e escrevemos ${ f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c)}$ .
Se ${h(x)}$ é limitada em alguma vizinhança de ${c}$ dizemos que ${f(x)}$ é dominada por ${g(x)}$ quando ${x \rightarrow c}$ e escrevemos ${f(x)=O(g(x)) \;(x \rightarrow c)}$ .

Se ${g(x)\neq 0}$ é:

${ f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 1}$ .
${ f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 0}$ .
${ f(x) = O(g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)} }$ é limitada em alguma vizinhança de ${c}$ .

Esta noções têm uma interpretação exactamente igual à interpretação oferecida aquando do nosso estudo das sucessões e dão o mesmo tipo de informação referente ao comportamento de duas funções.

Teorema 36

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f,g,f_0,g_0: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , e ${c \in D^\prime}$ . Então:

Se ${f(x) \sim g(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ e $\lim_{x \rightarrow c}g(x) = a$ , então $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$
Se ${f(x) \sim f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ e ${g(x) \sim g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ , então ${f(x)g(x) \sim f_0(x)g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ e ${f(x)/g(x) \sim f_0(x)/f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ .

Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. $\Box$

Para as funções polinomiais podemos dizer com toda a generalidade o seu comportamento é ditado pelo termo de maior grau se nos estivermos a aproximar de ${\pm \infty}$ . No entanto, se a aproximação for para ${0}$ o seu comportamento é ditado pelo termo de menor grau.

Para vermos que de facto as coisas são como enunciamos vamos analiser o simples exemplo:

$\displaystyle f(x) = x^2+x$

Ora ${x^2+x=(x+1)x}$ . Seja ${h(x)=x+1}$ . então $\lim_{x \rightarrow 0} h(x)=1$ e assim é ${x^2+x=O(x) \,\, (x \rightarrow 0)}$ .

Outro exemplo com bastante interesse para nós é:

$\displaystyle \sin x \sim x \,\, (x \rightarrow 0)$

Podemos ver que é assim uma vez que é $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

— 4.6. Condição Epsílon-Delta —

Após este preâmbulo está na hora de introduzirmos o conceito de limite e continuidade utilizando a condição ${ \varepsilon\delta }$ .

Mais uma vez o que estamos a fazer é usar conceitos cada vez mais abstractos por forma a conseguirmos atingir níveis de rigor e generalização cada vez maiores. A partir deste ponto temos perfeita consciência que a compreensão desta matéria será mais difícil, especialmente para quem não está habituado a este tipo de argumentos, mas temos também sabemos que ao fazerem o devido esforço serão recompensados intelectualmente.

O ponto da condição ${ \varepsilon\delta }$ é que nos permite evitar conceitos nebulosos como perto de, sinais de entrada, sinais de saída, ou ainda a relativamente fraca definição de limite que temos usado até agora.

Teorema 37 (Teorema de Heine)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${c \in D^\prime}$ e ${a \in \overline{\mathbb{R}}}$ . Dizemos que $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ sse

$\displaystyle \forall \delta > 0 \, \exists \varepsilon >0 : \; x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a, \delta)$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Caso a parafernália de símbolos faz com que os nossos leitores fiquem a pensar “Mas afinal isto quer dizer o quê?!” a resposta é que isto somente uma correcta formalização da noção intuitiva de limite.

Mais uma vez temos que ver isto como se fosse um jogo entre duas pessoas. A primeira escolhe os valores de ${\delta}$ enquanto que a segunda escolhe os valores de ${\varepsilon}$ que façam com que a condição seja válida.

Se o segundo jogador conseguir encontrar uma expressão geral de ${\varepsilon}$ para todos os valores de ${\delta}$ ele ganha o jogo e podemos afirmar que função realmente tem limite ${a}$ no ponto ${c}$ .

Teorema 38

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , e ${c \in D^\prime}$ . Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)$ existe e é finito, então existe uma vizinhança de ${c }$ onde ${f(x)}$ é limitada.

Demonstração:

Seja $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a \in \mathbb{R}$ . Pelo Teorema 37 com ${\delta=1}$ existe ${\varepsilon > 0}$ tal que

$\displaystyle \begin{aligned} x \in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace ) &\Rightarrow f(x) \in V(a,1) \\ &\Rightarrow f(x) \in \left] a-1, a+1\right[ \end{aligned}$

Assim ${x\in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace)\Rightarrow a-1 < f(x) < a+1}$ .

Logo

$\displaystyle x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f (x) \begin{cases} \leq \mathrm{max} \left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \\ \geq \mathrm{max}\left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \end{cases}$

e ${f(x)}$ é limitada em ${V(c,\varepsilon)}$ $\Box$

Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)/g(x)$ existe, então ${f(x)= O(g(x))\,\, (x \rightarrow c)}$ uma vez que neste caso é ${h(x)=f(x)/g(x)}$ e existe uma vizinhança de ${c}$ onde ${h(x)}$ é limitada.

Após isto estamos interessados em saber como é que podemos traduzir $\lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a$ para uma condição ${\varepsilon\delta}$ .

Neste caso estamos a considerar ${f(x)}$ apenas no conjunto ${D_{c^+}}$ e temos:

$\displaystyle \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)$

Teorema 39

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f:D \rightarrow \mathbb{R}}$ , e ${c \in D^\prime}$ . Se $\lim_{x \rightarrow c^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow c^+}f(x)=a$ , então $\lim_{x \rightarrow c}f(x)=a$ .

Demonstração:

Seja ${\delta > 0}$ . Pela condição ${\varepsilon\delta}$ é:

$\displaystyle \exists \varepsilon_1>0:x \in V(c,\varepsilon_1)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)$

$\displaystyle \exists \varepsilon_2>0:x \in V(c,\varepsilon_2)\cap D_{c^-} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)$

Tomando ${\varepsilon =\mathrm{min} \left\lbrace \varepsilon_1, \varepsilon_2 \right\rbrace }$ Vem que ${x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^+}}$ ou ${x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^- }\Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)}$

Em conclusão:

${ \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: x \in V(c,\varepsilon)\cap (D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta) }$ que é equivalente a $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=a$ . $\Box$

Definição 35

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D}$ . Dizemos que ${f(x)}$ é contínua em ${c}$ se para todas as sucessões ${x_n}$ de pontos em ${D}$ , tal que ${\lim x_n = c}$ é ${\lim f(x_n)=f(c)}$ .

A função diz-se contínua se é contínua em todos os pontos de ${D}$ .

Vamos agora usar alguns exemplos para clarificar a Definição 35.

$\displaystyle f(x)=|x| \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Seja ${c \in \mathbb{R}}$ e ${x_n}$ uma sucessão tal que ${x \rightarrow c}$ . Então ${f(x_n)=|x_n|}$ e ${\lim f(x_n) = \lim |x_n| = |c|}$ .

Ou seja dizer que ${f(x_n) \rightarrow f(c)}$ é equivalente a dizer que ${f}$ é contínua em ${c}$ . Uma vez que ${c}$ pode ser um ponto qualquer ${f(x)=|x|}$ é contínua em ${\mathbb{R}}$ .
Seja ${f(x)= \sin x}$ e ${x_n}$ uma sucessão tal que ${x_n \rightarrow \theta}$ . Temos ${\lim \sin x= \sin \theta}$ e usando o mesmo argumento que no exemplo anterior podemos dizer que ${\sin x}$ é contínua.
Em geral podemos dizer que se ${x_n \rightarrow c}$ é ${\lim f(x_n)=f(c)=f(\lim x_n)}$ . Logo para ${\exp (x)}$ é ${\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}$ .
Se ${x_n \rightarrow +\infty }$ vem que ${\lim \exp(x_n)=+\infty }$ . Para ${x_n \rightarrow -\infty}$ vem que ${\lim \exp(x_n)=0}$ .

Se definirmos ${\exp (+\infty)=+\infty}$ e ${\exp (-\infty)=0}$ vem que é sempre ${\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}$ .
De forma análoga podemos definir ${\log +\infty= +\infty}$ e ${\log 0 = -+\infty}$ para que seja sempre ${\lim \log x_n = \log (\lim x_n)}$ .

Teorema 40 (Teorema de Heine para a continuidade)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f:D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D}$ . ${f}$ é contínua em ${D}$ sse

$\displaystyle \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in D \wedge |x-c| < \varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(c)| < \delta$

Que também podemos escrever na forma de vizinhanças:

$\displaystyle \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f(x) \in V(f(c),\delta)$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Como podemos ver a condição ${\varepsilon\delta}$ para a continuidade no ponto ${c}$ é muito semelhante à condição ${\varepsilon\delta}$ para o limite ${a}$ no ponto ${c}$ .

Para terminarmos este artigo vamos só enunciar um teorema que torna mais explícita a relação entre continuidade e limite.

Teorema 41 Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f:D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D \cap D^\prime}$ . Então ${f}$ é contínua em ${c}$ sse $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

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