Análise Matemática – Limites e Continuidade III

O conceito de limite é um conceito local.

Em linguagem matemática quando dizemos que o conceito de limite é local estamos a dizer que para uma função ter um limite num dado ponto, $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ , não interessa como é que a função se comporta quando estamos longe do ponto em questão. O que interessa é como a função se comporta quando estamos na vizinhança do ponto.

A linguagem que estamos a usar até pode ser satisfatória para o dia-a-dia, mas para os padrões de rigor da Matemática deixa muito a desejar.

O que nós, de facto, estamos a fazer com o conceito de limite é formalizar o que queremos dizer quando usamos expressões como longe e na vizinhança.

Como exemplo, vamos introduzir a função

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

Esta função não é das mais sofisticadas, mas é o suficiente para a ideia que queremos passar.

Antes de mais vamos representar graficamente esta função para termos uma visualização do seu comportamento:

Onde representámos ${x \in \mathbb{Q}}$ com a cor azul e ${x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}$ a vermelho.

É fácil ver que para todos os pontos ${c}$ diferentes de ${0}$ a função não tem limite.

Para ${c \neq 0}$ $\lim_{x \in \mathbb{Q} \rightarrow c} f(x) = 0$ e ${ \displaystyle\lim_{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\rightarrow c} f(x) = c }$ . Logo $\lim_{x \in \mathbb{Q} \rightarrow c} f(x) \neq \lim_{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\rightarrow c} f(x)$ , e assim podemos concluir que este limite não existe.

Para ${c=0}$ é possível mostrar (faremos isso quando o conceito de limite for formalizado usando a condição ${ \epsilon-\delta }$ ) que $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$ .

Quase que apetece dizer que “Não se pode ser mais local do que isto! Esta função só tem limite no ponto ${x=0}$ !”.

De uma forma intuitiva podemos entender este resultado da seguinte forma. O conceito de limite basicamente expressa o quão bem-comportada uma função é. Uma vez que esta função está sempre a saltar de ponto para ponto dependendo se estamos numa ordenada racional ou numa ordenada irracional podemos dizer que esta função é malcomportada.

A asserção anterior é verdadeira em quase todo o domínio da função. O único ponto em que ela deixa de ser aplicável é em ${x=0}$ .

Isto é assim porque embora a função seja malcomportada ela é cada vez menos malcomportada à medida que nos aproximamos da origem.

Teorema 32

Seja ${D \subset \mathbb{R} }$ , ${f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${c \in D^\prime}$ e ${r > 0}$ tal que

$\displaystyle f(x) \leq g(x)\, \forall x \in V(c,r) \cap \left( D \setminus \left\lbrace c\right\rbrace \right)$

Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)= +\infty$ então também é $\lim_{x \rightarrow c} g(x)= +\infty$ . Se $\lim_{x \rightarrow c} g(x)= -\infty$ então também é $\lim_{x \rightarrow c} f(x)= -\infty$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Tal como noutros casos que já vimos o teorema anterior expressa um facto bastante prosaico, mas, tal como nos outros casos, aqui o que interessa é vermos que podemos demonstrar estas asserções rigorosamente.

O que devemos reter deste teorema é que ele nos permite saber o resultado do limite algumas funções sem termos que calcular o limite.

Teorema 33 (Teorema da função enquadrada)

Seja ${D \subset \mathbb{R} }$ , ${f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${c \in D^\prime}$ e ${r > 0}$ tal que ${g(x) \leq f(x) \leq h(x)\quad \forall x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace }$ . Se $\lim_{x \rightarrow c} g(x) = \lim_{x \rightarrow c} h(x) = a$ também é $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

E temos mais um teorema que continua a tendência de possibilitar que saibamos o limite de funções sem termos que o calcular!

Como exemplo vamos ver o limite:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sin x}{x}$

Temos

$\displaystyle -1 \leq \sin x \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Logo

$\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x} \quad \forall x > 0$

Uma vez que é $\lim_{x \rightarrow +\infty}-\frac{1}{x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{x}= 0$ vem que $\lim_{x \rightarrow +\infty}-\frac{\sin x}{x}=0$ .

Como segundo exemplo vamos olhar para:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$

Uma vez que

$\displaystyle \displaystyle \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\quad \forall x \in \left] -\frac{\pi}{2},0 \right[ \cup \left] 0,\frac{\pi}{2}\right[$

Temos $\lim_{x \rightarrow 0}1=1$ e $\lim_{x \rightarrow 0} \cos x = \cos 0 = 1$ . Assim também é $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$

— 4.5. Propriedades algébricas dos limites de funções —

Tal como fizemos para as sucessões vamos agora enunciar algumas regras algébricas que nos permitem calcular o limite de algumas expressões matemáticas mais complexas.

Teorema 34 (Propriedades algébricas dos limites de funções)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f,g:D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D^\prime}$ . Então:

$\lim_{x \rightarrow c} f(x)=a \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} |f(x)|=|a|$
$\lim_{x \rightarrow c} f(x)=a$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x)=b$ , então $\lim_{x \rightarrow c} \left( f(x)+g(x)\right) = a+b$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty$ e ${g}$ é minorada, então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x))= +\infty$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = -\infty$ e ${g}$ é minorada, então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x))= -\infty$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = 0$ e ${g}$ é limitada, então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)g(x))= 0$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x) = b$ , então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)g(x))= ab$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x) = a \neq 0$ , então $\lim_{x \rightarrow c} |f(x)g(x)|= +\infty$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a \neq 0$ , então $\lim_{x \rightarrow c} 1/f(x)= 1/a$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty$ , então $\lim_{x \rightarrow c} 1/f(x)= 0$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = 0$ , então $\lim_{x \rightarrow c} 1/|f(x)|= +\infty$

Demonstração:

Só vamos demonstrar a segunda proposição uma vez que o raciocínio pode ser facilmente adaptado aos outros casos.

Seja ${x_n}$ uma sucessão em ${D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace }$ tal que ${x_n \rightarrow c}$ . Então ${f(x_n) \rightarrow a}$ e ${g(x_n) \rightarrow b}$ . Pelo que já vimos em sucessões é ${f(x_n)+g(x_n) \rightarrow a+b}$ .

Por definição de limite isto é $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x)) = a + b$ . $\Box$

Teorema 35 (Teorema da função Monótona)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${ \alpha = \inf D}$ e ${ \beta = \sup D}$ .

Então:

Se ${ \alpha \in D^\prime }$ , $\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)$ existe e temos: $\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{inf}f \left[ D_{\alpha^+} \right]$ se ${f}$ é crescente.
$\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{sup}f \left[ D_{\alpha^+} \right]$ se ${f}$ é decrescente.
Se ${ \beta \in D^\prime }$ , $\lim_{x \rightarrow \beta} f(x)$ existe e temos: $\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{sup}f \left[ D_{\beta^-} \right]$ se ${f}$ é crescente.
$\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{inf}f \left[ D_{\beta^-} \right]$ se ${f}$ é decrescente.

Demonstração:

Não vamos dar uma demonstração formal deste resultado, mas vamos providenciar uma evidência gráfica da sua veracidade.

Como exemplo vamos tomar a função crescente:

$\displaystyle f(x) = \sin x \quad \forall x \in \left] -\pi/2, \pi/2\right[$

Neste caso é ${ \alpha = -\pi/2 }$ e ${ \beta = \pi/2 }$ ; $\lim_{x \rightarrow -\pi/2} \sin x = \sin(-\pi/2)= -1$ .

${ D_{\alpha^+}}$ representa ${D\cap \left] \alpha, +\infty \right[}$ de tal modo que ${f \left[ D_{\alpha^+} \right] }$ representa o transformado de ${f}$ por ${ D \cap \left] \alpha, +\infty \right[ }$ . Isto é mesmo que dizer que ${f \left[ D_{\alpha^+} \right] = \left] -1, 1 \right[ }$ e ${ \mathrm{inf}\left] -1, 1 \right[=-1 }$ como já havíamos visto ao calcular o limite.