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Análise Matemática – Limites e Continuidade II

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}$

Neste caso é ${D_{0^+} = \left] 0, +\infty\right[ }$ e ${ 0^+ \in D_{0^+} }$ .

Se ${x_n}$ é uma sucessão de pontos em ${D_{0^+}}$ tal que ${x_n \rightarrow 0^+}$ vem que

$\displaystyle \lim f(x_n) = \lim \dfrac{1}{x_n} = \dfrac{1}{0^+} = + \infty$

Vamos agora introduzir um teorema que descreve um resultado simples e óbvio.

De uma forma mais dinâmica podemos entender o teorema seguinte como indicando o facto de que se nos aproximarmos de um ponto ${c}$ pela sua esquerda ou pela sua direita as imagens associadas a ambos os limites devem ser iguais, para o limite realmente existir.

Teorema 29

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f: D \rightarrow \mathbb{R} }$ , ${c \in D^\prime}$ e vamos supor que $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ . Se ${c \in D^\prime_{c^+}}$ temos que $\lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a$ , e se ${c \in D^\prime_{c^-}}$ também é $\lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = a$ .

Demonstração:

Seja ${x_n}$ uma sucessão de pontos em ${D_{c^+} }$ tal que ${x_n \rightarrow c}$ .

Uma vez que ${x_n}$ é uma sucessão de pontos em ${D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace}$ (por definição de ${x_n}$ ) e $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=a$ (por hipótese) pela definição de limite vem que ${ \lim f(x_n) = a }$ .

Mas isto é $\lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a$ pela Definição 33.

O caso $\lim_{x \rightarrow c^-} f(x)$ é provado usando um raciocínio análogo e como tal fica como um exercício para o leitor. $\Box$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}$

Já sabemos que ${\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty}$ e que $\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x} = - \infty$ .

Uma vez que o limite à direita de ${0}$ é diferente do limite à esquerda podemos concluir que o limite não existe.

— 4.4. Limites de Funções e desigualdades —

Vamos agora enunciar um conjunto de teoremas que vão generalizar os resultados que vimos para as sucessões.

Teorema 30 (Desigualdade de limites) Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${c \in D^\prime}$ e vamos admitir que existe ${r > 0}$ tal que

$\displaystyle f(x) < g(x)\quad \forall x \in V(c,r) \cap (D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace )$

Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x)$ existe e é $\lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow c} g(x)$

Demonstração:

Seja ${x_n}$ uma sucessão de pontos em ${D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace }$ tal que ${x_n \rightarrow c}$ . Pela definição 19 ${\exists k \in \mathbb{N}:\, n \geq k \Rightarrow x_n \in V(c,r) \Rightarrow x_n \in V(c,r) \cap D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace }$ .

Uma vez que ${x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace \Rightarrow f(x) \leq g(x)}$ .

Assim ${n \geq k}$ implica que ${f(x_n) \leq g(x_n)}$ .

Pelo Teorema 14 sabemos que é $\lim f(x_n) \leq \lim g(x_n)$ .

Uma vez que $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(x_n)$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x) = g(x_n)$ segue que $\lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow c} g(x)$ $\Box$

Corolário 31

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f: D \rightarrow \mathbb{R} }$ , ${c \in D^\prime}$ e ${a \in \mathbb{R}}$ .

Se existe ${r > 0}$ tal que ${f(x) \leq a}$ ( ${f(x) \geq a}$ ) ${ \forall x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace}$ e se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)$ existe, vem que $\lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq a$ ( $\lim_{x \rightarrow c} f(x) \geq a$ ).