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Análise Matemática – Fundamentos I

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Para se conhecer e compreender Física temos de conhecer e compreender alguma Matemática. Nesse sentido vamos iniciar o nosso estudo de Matemática com o que se pode chamar de Cálculo Diferencial e Cálculo Integral porque são a pedra angular da Física.

Por favor consultem a seguinte página porque símbolos matemáticos serão usados frequentemente neste blog. A princípio uma abordagem mais verbal será utilizada para os leitores se acostumarem, mas gradualmente passaremos a utilizar mais a estenografia matemática.

— 1. Axiomas dos Números Reais —

Primeiro de tudo vamos admitir a existência de um conjunto de números reais, que vamos denotar pelo símbolo {\mathbb{R}} no qual são definidas duas operações. Estas operações são a operação de adição, e a operação de multiplicação.

Vamos supor também que existe um subconjunto de {\mathbb{R}} que vamos chamar o conjunto dos números positivos e que denotamos por {\mathbb{R}^+}.

Esses quatro termos serão tomados como conceitos primitivos (também chamados termos indefinidos).

— 1.1. Axiomas —

Axioma 1 A operação de adição e multiplicação são comutativas

Ou seja, para cada { x } e { y } pertencentes a { \mathbb{R} } é válido:

  • { x + y = y+x }
  • { x\cdot y = y\cdot x }

Onde {+} denota a operação de adição e {\cdot} denota a operação de multiplicação.

Axioma 2

Adição e multiplicação são associativas

Ou seja, para cada { x }, { y } e { z } pertencente a { \mathbb{R} } é { \left(x + y \right) + z = x + \left(y + z \right) } e { \left(x\cdot y \right)\cdot z = x\cdot\left(y\cdot z \right) }

Axioma 3

A multiplicação é distributiva em relação à adição

Para cada { x }, { y } e { z } pertencente a { \mathbb{R} } é válido { x\cdot \left( y + z \right) = x\cdot y + x\cdot z }

Axioma 4

Tanto a operação de adição e a operação de multiplicação têm um elemento neutro, e os elementos neutros para cada operação são distintos um do outro.

Mais formalmente, para a operação de adição, existe um elemento, { a }, que para cada elemento { x \in \mathbb{R} } nós temos { x + a = a + x = x }.

Para a operação de multiplicação existe um elemento { b }, que para cada elemento { x \in \mathbb{R} } é válido { x\cdot b = b\cdot x = x }.

E é ainda {a\neq b}

Recorrendo ao Axioma 1 podemos mostrar que cada um desses elementos neutros é único em { \mathbb{R} }.

Vamos fazê-lo no caso da multiplicação (para o elemento neutro da adição a demonstração é perfeitamente análoga).

A estratégia da nossa demonstração é a seguinte:

  1. assumimos que temos dois elementos neutros, { b } e { c } para a operação de multiplicação
  2. concluimos que os dois elementos neutros são iguais

Sabemos que {x\cdot b = x\quad \forall x \in \mathbb{R} }. Em particular a equação é válida para { x = c } e assim fica { c\cdot b = c }.

É também válido { x\cdot c = x \quad \forall x \in \mathbb{R}}. Em particular, esta equação é válida para { x = b } e assim fica { b\cdot c = b }).

Portanto, temos { c\cdot b = c } e {b\cdot c = b}. Considerando o Axioma 1 sabemos que multiplicação é comutativa e assim é { c\cdot b = b\cdot c } e por isso podemos concluir que { c = b }. O que prova que os dois elementos neutros são de facto apenas um.

Por favor, notem o papel crucial que o Axioma 1 tem nesta demonstração. Pensando um bocado mais podemos ver que um corpo tem um elemento neutro único sempre que a adição e a multiplicação são comutativas. Para grupos não comutativos os elementos neutros não têm necessariamente que ser únicos.

Depois de provar a unicidade de ambos os elementos neutros e tendo em conta o Axioma 4 podemos fazer algumas novas definições e estabelecer alguns resultados.

Definição 1 O elemento neutro da adição será chamado de zero e representada pelo símbolo { 0 }. O elemento neutro da multiplicação tem o nome de um e denotamos pelo símbolo { 1 }.

Vamos agora introduzir um novo axioma e demonstrar alguns resultados recorrendo aos axiomas e aos resultados demonstrados até agora.

Axioma 5

  1. { \forall x \in \mathbb{R} \, \exists! y \in \mathbb{R}: x + y = 0 }
  2. { \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \, \exists! y \in \mathbb{R}: x\cdot y = 1 }

Do axioma anterior vem que para cada número real { x } existe outro número real { y } cuja soma com o primeiro número real é {0}.

O elemento { y } é chamado o inverso aditivo, elemento simétrico, ou mais simplesmente simétrico de { x } e é fácil de provar a sua unicidade:

Suponhamos que temos { y } e { y'} para o qual { x + y = 0 } e { x + y' = 0 } são igualdades válidas. No entanto:

{\begin{aligned} y' &= y' + 0\\ &= y '+ (x + y)\\ &= (y' + x) + y\\ &= 0 + y\\ &= y \end{aligned}}

Onde os Axiomas 4, propriedade 1, 2, 1, 4, propriedade 2, 2 e 4 foram utilizados, respectivamente.

Assim, podemos concluir que quaisquer dois opostos que supostamente existem são de facto o mesmo. De um modo mais inteligível: existe um e apenas um simétrico para cada número real.

Depois de provar a unicidade do elemento simétrico na operação de adição é possível denotar o simétrico de { x } pelo símbolo {-x} para que tenhamos { x + (- x) = 0 }

Para a segunda parte do Axioma 5 {y} é chamado de multiplicativo inverso, ou o inverso, de { x }. Tal como provamos que o simétrico é único para a adição podemos também provar que o inverso é único para a multiplicação e essa prova fica como um exercício para os nossos leitores. Assim, faz sentido definirmos o inverso de {x} como sendo { x^{- 1} } ou { \frac{1}{x} }

Em Matemática um corpo é definido como sendo um conjunto onde {. } E {+ } são operações bem definidas e todos os cinco axiomas anteriores são verificadas.

Agora vamos afirmar (e, em alguns casos provar) alguns resultados conhecidos utilizando os resultados que demonstrámos até agora.

Teorema 1

\displaystyle   \forall x, y, z \in \mathbb{R} \, x + y = x + z \Rightarrow y = z \ \ \ \ \ (1)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Este resultado é muito familiar, mas mais uma vez o que queremos salientar é o facto deste resultado poder ser provado de uma forma rigorosa.

Teorema 2 Existe uma operação inversa à operação de adição denominada de subtracção, e essa operação é única.

\displaystyle   \forall x, y \in \mathbb{R} \exists! z: x = y + z \ \ \ \ \ (2)

Demonstração: Em primeiro lugar, vamos demonstrar que tal operação realmente existe

{\begin{aligned} y + [x + (- y)] &= (y + x) + (- y)\\ &= (x + y) + (- y)\\ &= x + (y-y)\\ &= x + 0\\ &= x \end{aligned}}

Assim definindo { z = x + (- y) } temos { x = y + z }

Vamos agora demonstrar a unicidade da operação de subtracção.

\displaystyle  y + z = x

e

\displaystyle  y + z '= x

Pelo Teorema 1 é { z = z' }. \Box

{ z } é a diferença entre { x } e { y } e é denotada pelo {x-y }

Teorema 3 Existe uma operação inversa à operação de multiplicação denominada de divisão, e essa operação é única.

\displaystyle   \forall x, y \in \mathbb{R} \setminus \{0 \} \, \exists! z \in \mathbb{R}: x = y\cdot z \ \ \ \ \ (3)

Demonstração: A demonstração é análoga à demonstração do Teorema 2 \Box

{ z } é chamado o quociente entre { x } e { y } e é denotado por { \frac{x}{y} } ou { xy^{- 1} }

Vamos agora demonstrar um resultado elementar e de conhecimento geral, mas cuja ideia de demonstração é difícil de conceber para leitores não acostumados.

Teorema 4 A multiplicação entre um número real e {0} é igual a {0}.

\displaystyle   \forall x \in \mathbb{R} \quad x\cdot 0 = 0 \ \ \ \ \ (4)

Demonstração:

O resultado anterior pode ser demonstrado da seguinte forma:

{\begin{aligned} 0 + 0 &= 0\\ x (0 + 0) &= x\cdot 0 \\ x\cdot 0 + x\cdot 0 &= x\cdot 0 \\ x\cdot 0 &= 0 \end{aligned}}

\Box

Teorema 5 Quando o produto entre dois factores é nulo, pelo menos um dos factores é nulo.

\displaystyle   \forall x, y \in \mathbb{R} \quad x\cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 \vee y = 0 \ \ \ \ \ (5)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

A prova deste exercício fica como um exercício para o leitor e por favor não se esqueçam de partilhar as vossas proposta de resolução nos comentários.

Tudo isso pode parecer tautológico para as pessoas que não estão acostumadas ao raciocínio matemático, mas não é. O ponto de todas estas definições, axiomas e teoremas é construirmos uma teoria matemática a partir do zero e sempre com rigor máximo de modo a que não hajam dúvidas sobre os resultados afirmados.

Para além disso também pensamos que o facto de podermos demonstrar todos estes resultados tem uma beleza própria e queremos partilhar essa beleza com os nossos leitores.

Assim concluímos a primeira parte da construção dos números reais. No próximo artigo, vamos estudar os Axiomas de Ordem e obter alguns mais resultados conhecidos para continuar a construir a nossa familiaridade/admiração para com o raciocínio matemático.

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3 comentários

  1. […] Análise Matemática – Fundamentos I […]

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  2. […] vez que o simétrico de é único temos que ter […]

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  3. […] desigualdade é perfeitamente possível quando usamos operadores em vez de utilizarmos números reais . Para além disso vimos também que para as experiências realizadas era sempre válido o […]

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