O conceito de variável muda, ou variável ligada, aparece muitas vezes em matemática e a sua compreensão revela-se muito útil para o estudante. Basicamente dizer que uma variável é ligada significa dizer que o símbolo que estamos a utilizar não importa realmente. O que importa é o contexto em que ele está a ser utilizado. Por exemplo, nos seguintes somatórios , o índice de soma é uma variável muda. O resultado da soma é o mesmo, independentemente do facto de utilizarmos , ou , ou qualquer outro símbolo.

Mas será que todos as variáveis são mudas? Não, não são. Por exemplo, em a variável não é muda, uma vez que alterações ao seu valor fazem com que o resultado da soma varie. Neste caso diz-se uma variável livre.

Dito isto, vamos olhar para uma demonstração simples onde algumas pessoas que não estejam habituadas a este tipo de raciocínio podem ficar confusas por não estarem acostumadas a pensar nestes termos. O exercício em questão é a demonstração de que o valor do integral de uma função ímpar calculado entre limites simétricos é nulo.

Uma função, , diz-se ímpar quando . E no contexto da nossa afirmação vamos calcular

Para integrais sabemos que a propriedade aditiva é válida

Vamos analisar o primeiro termo do lado direito da igualdade:

Seja , então . Além disso:

Para uma função ímpar é válido e assim é

Vamos agora parar para pensar. Será que é uma variável muda no contexto deste integral? Se nós substituirmos por outro símbolo qualquer será que o valor do integral varia? Uma vez que o valor de um integral depende da função integranda e dos limites de integração e não do símbolo particular que utilizamos para representar a função, é patente que ao mudar o símbolo por outro qualquer o valor do integral não sofrerá qualquer alteração. Visto que o valor do integral não varia, então é de facto uma variável muda. Por outro lado, o valor do integral depende de e como tal é uma variável livre. Assim, podemos, por exemplo, fazer uma mudança de variável .

Para quem não está habituado a este tipo de raciocínios o passo anterior terá forçosamente que ser confuso! Primeiro dissemos que e agora dizemos que . Então o que é que vai ser?!

Ambas as opções são mutuamente exclusivas (excepto no caso trivial em que ) e assim sendo precisamos de uma resolução.

A resolução é o facto de, na segunda igualdade, nós estarmos a fazer a simples afirmação de que para efeitos do cálculo dos integrais o que importa é a definição da função integranda (dito de outra forma o que interessa é a função) e os limites de integração. Então o que nós fizemos foi só mudar o símbolo que utilizamos para denotar o argumento da nossa função (não a função em si) e os limites de integração permaneceram os mesmos.

Levando isso em conta, o resultado é

e isso nos leva a:

Que é o resultado esperado.